九年级上册数学第二十六章二次函数单元测试（附答案）

九年级数学第二十六章二次函数单元测试（附答案）
题号
一、选择题
二、填空题
三、简答题
四、作图题
五、实验,探究题
六、计算题
七、综合题
总分
得分
一、选择题
1、如图，等腰Rt（）的直角边与正方形的边长均为2，且与在同一直线上，开始时点与点重合，让沿这条直线向右平移，直到点与点重合为止．设的长为，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为，则与之间的函数关系的图象大致是（?????? ）
2、?将二次函数y=—x2的图象向上平移2个单位，再向左平移3个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（　　）
A．　　??? ?????B．
C．　　????? ?D．
2、?将二次函数y=—x2的图象向上平移2个单位，再向左平移3个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（　　）
A．　　??? ?????B．
C．　　????? ?D．
3、如图为抛物线的图像，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（???? ）?????
A．a＋b=－1??? ??　B． a－b=－1 ??????C． b<2a　　　　?? D．? ac<0?
???????????????
4、如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象所示，若∣ax2+bx+c∣=k(k≠0)有两个不相等的实数根，? 则k的取值范围是（??? ）
? A. k<-3 ?????????B. k>-3????????? C. k<3 ???????D. k>3
?

5、如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（??? ??）
6、动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（??? ??）
7、如图，在△ABC中，,M是AB的中点，动点P从点A出发，沿AC方向匀速运动到终点C，动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B。已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点，连结MP，MQ，PQ。在整个运动过程中，△MNQ的面积大小变化情况是（??? ）
A.? 一直增大??? B.一直减小??? C. 先减小后增大??? D.先增大后减少
8、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2．E、F分别是射线AC、CB上的动点，且AE＝BF，EF与AB交于点G，EH⊥AB于点H，设AE＝x，GH＝y，下面能够反映y与x之间函数关系的图象是(??? )
9、描点法是研究函数图像的重要方法。那么对函数，你如果采用描点法的话，能得到该函数的正确性质是（??? ）
A．该函数图像与y轴相交?????? ?????????B．该函数图像与y轴相交???
C．该函数图像关于原点成中心对称??????? D．该函数图像是轴对称图形
10、如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，则下列说法中正确的个数是（? ）
①ac<0；②4a+2b+c>0；③a+c<0；④抛物线与x轴另一交点坐标为（3,0）；⑤若A（,m）、B（,n）在图中抛物线上，则m(A) 1个???????(B)2个 ?????(C)3个 ???????(D) 4个
二、填空
11、?如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点和点（-2，0），则2a -3b?????? 0.(填＞、＜或＝)
?
12、如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y = a(x-3)2 + k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且 AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为????????? .
13、将抛物线向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是??????????? ．
14、运用图象法解答：如图，已知函数与（a>0，b>0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则结论：①两函数图象的交点???????? ；②则关于x的方程＞0的解为?????????????????????? .
15、已知A、B是抛物线y＝x2－4x＋3上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对称，则点A、B的坐标可能是_____________(写出一对即可)．
16、已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当，，，时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是????????????? .
?
17、二次函数的图像与x轴交于B、C两点，点D是线段BC的中点，在x轴上方的A点为抛物线上的动点，连结AD,设AD=m，当∠BAC为锐角时，m的取值范围????????????。
18、已知抛物线与轴交点的横坐标为-1，则a + c=___________．
三、简答题
19、已知反比例函数y＝的图象与二次函数y＝ax2＋x－1的图象相交于点A（2，2）
(1)求a的值；
(2)反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点，请说明理由.
20、如图，将腰长为的等腰Rt△ABC（=90°）放在平面直角坐标系中的第二象限， 使点C的坐标为（，0），点A在y轴上，点B在抛物线上．
（1）写出点A，B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达的位置．请判断点、是否在该抛物线上，并说明理由．
?

四、作图题
21、如图抛物线与ｘ轴相交于点Ａ、Ｂ，且过点Ｃ（５，４）．
(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标．
(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，
五、实验,探究题
22、请阅读下面材料：
若，?是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点，证明直线 为此抛物线的对称轴.有一种方法证明如下：
证明：∵ ，是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点， ???????
????? ∴ ????????且 ≠.?
??①-②得 .
?? ∴ .
?∴ .
?又∵ 抛物线（a ≠ 0）的对称轴为，
?∴ 直线为此抛物线的对称轴.
?（1）反之，如果，?是抛物线（a ≠ 0）上不同的
两点，直线 为该抛物线的对称轴，那么自变量取，时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程；
??（2）利用以上结论解答下面问题：
已知二次函数 当x = 4?时的函数值与x = 2007?时的函数值相等，求x = 2012时的函数值.
六、计算题
23、如下图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴上.
（1）求的值及这个二次函数的关系式；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.
24、杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线的一部分，如图。
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由。
七、综合题
25、已知点A（-1，-1）在抛物线（其中x是自变量）上.
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若B点与A点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？如果存在，求符合条件的直线解析式；如果不存在，说明理由.
26、如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为,将此三角板绕原点逆时针旋转，得到.
（1）一抛物线经过点、、,求该抛物线的解析式；
（2）设点是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点，使四边形的面积是面积的倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）在（2）的条件下，试指出四边形是哪种形状的四边形？并写出四边形的两条性质.
27、如图，抛物线y=ax2+bx经过点A(4，0)，B(2，2). 连结OB，AB.
??? (1)求该抛物线的解析式；
(2)求证：△OAB是等腰直角三角形
(3)将△OAB绕点O按顺时针方向旋转l35°得到△OA′B′，写出△OA′B′ 的边A′B′的中点P的坐标．试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由.
28、? 已知：二次函数，其图象对称轴为直线，H经过点（）．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）设该图象与x轴交于B、C两点(B点在C点的左边)．请在此二次函数x轴下方的
??? 图象上确定一点E．使△EBC的面积最大．并求出最大面积。
注：二次函数的对称轴是直线．
29、如图，抛物线y＝x2＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(－1，0)．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断的形状，证明你的结论；
（3）点是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．
30、如图，设抛物线交x轴于两点，顶点为．以为直径作半圆，圆心为，半圆交y轴负半轴于．
　　（1）求抛物线的对称轴；
　　（2）将绕圆心顺时针旋转，得到，如图．求点的坐标；
???????
（3）有一动点在线段上运动，的周长在不断变化时是否存在最小值？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
31、如图①②，在平面直角坐标系中，边长为2的等边△CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将△CDE绕边AB的中点G(G点也是DE的中点)，按顺时针方向旋转180°到△C1DE的位置．
(1)求C1点的坐标；
(2)求经过三点O、A、C`的抛物线的解析式；
(3)如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，求切线BF的解析式；
(4)抛物线上是否存在一点M，使得S△AMF∶S△OAB＝16∶3．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
?

32、如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1,0），B（3,0）C（0，-1）三点。
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形求所有满足条件点P的坐标。
参考答案
一、选择题
1、A
2、C
3、B
4、D
5、D
6、D
7、C
8、C；
9、C
10、C
二、填空题
11、＞
12、?18????????
13、．
14、（-3,1） ,x＜-3或x＞0???????
15、
16、（）
17、2＜m≤4? ??
18、1 ?????
三、简答题
19、?解：(1)∵反比例函数y＝的图象与二次函数y＝ax2＋x－1的图象相交于点（2，2）
∴代入得2=4a+2-1
解得a=.
(2) 反比例函数的图象经过二次函数图象的顶点,理由如下：
∵反比例函数y＝的图象过点（2，2）
∴代入得2=，解得k=4.
由(1)可知二次函数的解析式分别为y＝x2＋x－1
计算可得二次函数y＝x2＋x－1的顶点坐标为（-2，-2）
∵x=-2时，y==-2.?????????
?∴反比例函数的图象经过二次函数图象的顶点.
20、（1）A（0，2）， B（，1）；…2’
（2）将B（-3，1）代入函数式得a=,解析式为；…4’
（3）过点作轴于点M，过点B作轴于点N，过点作 轴于点P．……5’??? 在Rt△AB′M与Rt△BAN中，
∵ AB=AB′， ∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM，∴ Rt△AB′M≌Rt△BAN．……6’
∴ B′M=AN=1，AM=BN=3， ∴ B′（1，）．……7’
同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，可得点C′（2，1）；……8’
当x=1时=－1，? 当x=2时=1，
可知点B′、C′在抛物线上．……10’
四、作图题
21、解：（1）把点代入抛物线得，
，
解得．
该二次函数的解析式为．
顶点坐标为．
（2）（答案不唯一，合理即正确）
如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，
得到的二次函数解析式为
，
即．
五、实验,探究题
22、解：（1）结论：自变量取，时函数值相等．
??????????? 证明：∵ ，为抛物线上不同的两点，
?????? ????????由题意得 ????????且≠．
?? ????????①-②，得 .
??????? ????????∵ 直线是抛物线（a ≠ 0）的对称轴，
???????? ???????∴ .
??????? ????????∴ .
???????????? ∴ ，即
（阅卷说明：其他代数证明方法相应给分；直接利用抛物线的对称性而
没有用代数方法进行证明的不给分）
? （2）∵ 二次函数当x = 4?时的函数值与x = 2007?时的函数值相等，
?????? ∴ 由阅读材料可知二次函数的对称轴为直线.
?????? ∴ ，.
?????? ∴ 二次函数的解析式为.
?????? ∵ ，
由（1）知，当x = 2012的函数值与时的函数值相等.
∵ 当x =时的函数值为，
?????? ∴ 当x = 2012 时的函数值为2011.?
六、计算题
23、解：(1) ∵ 点A(3,4)在直线y=x+m上，
∴ 4=3+m.??????????????????????????????
∴ m=1.???????????????????????????????
??????? 设所求二次函数的关系式为y=a(x-1)2.?????
??????? ∵ 点A(3,4)在二次函数y=a(x-1)2的图象上，
??????? ∴ 4=a(3-1)2,
??????? ∴ a=1.???????
∴ 所求二次函数的关系式为y=(x-1)2.
?? 即y=x2-2x+1.??????????????????
(2) 设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE .
∴ PE=h=yP-yE??????????????????????
?????? =(x+1)-(x2-2x+1)?
?????? =-x2+3x.?????????????????
?? 即h=-x2+3x (0＜x＜3).??????????????
(3) 存在.?????????????????????????
解法1：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC.
∵ 点D在直线y=x+1上,
∴ 点D的坐标为(1,2),
∴ -x2+3x=2 .
即x2-3x+2=0 .???????????????????????
解之，得? x1=2，x2=1 (不合题意，舍去)???
∴ 当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形. ?
解法2：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有BP∥CE.?
设直线CE的函数关系式为y=x+b.
∵ 直线CE 经过点C(1,0),
∴ 0=1+b,
∴ b=-1 .
∴ 直线CE的函数关系式为y=x-1 .
∴ ???得x2-3x+2=0.??????
解之，得? x1=2，x2=1 (不合题意，舍去)??
∴ 当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形.
24、解：（1）=
∵，∴函数的最大值是。
答：演员弹跳的最大高度是米。
（2）当x＝4时，＝3.4＝BC，所以这次表演成功。
七、综合题
25、解：（1）已知点A（-1，-1）在已知抛物线上
则，??????????
即
解得 ，????????????????? …………分
当时，函数为一次函数，不合题意，舍去
当时，抛物线的解析式为???????? …………4分
由抛物线的解析式知其对称轴为??????? …………5分
（2）∵点B与点A关于对称，且A（-1，-1），
∴B（）?????????????????????????? …………6分
当直线过B（）且与y轴平行时，此直线与抛物线只有一个交点，
此时的直线为?????????????????? …………8分
当直线过B（）且不与y轴平行时，
设直线与抛物线只交于一点B
则，?????????????????????? …………10分
即 ①
把代入，得，…………11分
即???????????? …………12分
由⊿=0，得? ②
由①，②得????????????????????????????????
故所求的直线为????????????? …………14分
26、解：(1)是由绕原点逆时针旋转得到的，
又，.----------1分
设抛物线的解析式为，
抛物线经过点、、，
，解之得，
满足条件的抛物线的解析式为.----------3分
（2）为第一象限内抛物线上的一动点，
设，则，点坐标满足.
连结,
.----------5分
假设四边形的面积是面积的倍，则
，
即，解之得，此时，即.----------7分
存在点，使四边形的面积是面积的倍. ----------8分
（3）四边形为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可．
①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等. ----------10分
或用符号表示：
①或;②;③;④.----------10分
27、
?
?

28、
BC=4
29、（1）把点A(－1，0)的坐标代入抛物线的解析式y＝x2＋bx－2，
?????? 整理后解得，
所以抛物线的解析式为?
?顶点．??????????
（2）．，，．
是直角三角形．
（3）作出点关于轴的对称点，则，．连接交轴于点，
根据轴对称性及两点之间线段最短可知，的值最小．
设抛物线的对称轴交轴于点．．
．．．
30、解：（1）对称轴为直线x=1??? 2’
(2)? A (-1,0) ， B (3,0) ，M(1,0)
所以圆M的半径为2????? ?????1’
???????? 1’
???
（3）?? 顶点坐标为D（1，-1）???
??????? D（1，-1）关于x轴的对称点D‘（1，1）?? 1’
??????? 则直线CD‘为???????? 1’
??????? 则CD‘与X轴的交点即为所求的Q点为???? 2’
31、?(1)C`(3，)
? (2)∵抛物线过原点O(0，0)，设抛物线解析式为y＝ax2＋bx
把A(2，0)，C`(3，)带入，得?? 解得a＝，b＝－
∴抛物线解析式为y＝x2－x
(3)∵∠ABF＝90°，∠BAF＝60°，∴∠AFB＝30°
又AB＝2??? ∴AF＝4??? ∴OF＝2?????? ∴F(－2，0)
???? 设直线BF的解析式为y＝kx＋b
把B(1，)，F(－2，0)带入，得??? 解得k＝，b＝
∴直线BF的解析式为y＝x＋
?? (4)①当M在x轴上方时，存在M(x，x2－x)
S△AMF：S△OAB＝[×4×(x2－x)]：[×2×4]＝16：3
得x2－2x－8＝0，解得x1＝4，x2＝－2
当x1＝4时，y＝×42－×4＝；
当x1＝－2时，y＝×(－2)2－×(－2)＝
∴M1(4，)，M2(－2，)
②当M在x轴下方时，不存在，设点M(x，x2－x)
? S△AMF：S△OAB＝[－×4×(x2－x)]：[×2×4]＝16：3
得x2－2x＋8＝0，b2－4ac＜0 无解
?? 综上所述，存在点的坐标为M1(4，)，M2(－2，)
?
32、解：（1）设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c根据题意，得
?????????? ?????解之，得
???? ∴所求抛物线的表达式为y=x2-x-1
????? （2）①AB为边时，只要PQ∥AB且PQ=AB=4即可。
???????? 又知点Q在y轴上，∴点P的横坐标为4或-4，这时符合条件的点P有两个，分别记为P1,P2 .
而当x=4时，y=；当x=-4时，y=7，
此时P1（4，）P2（-4,7）
②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可
又知点Q在Y轴上，且线段AB中点的横坐标为1
∴点P的横坐标为2，这时符合条件的P只有一个记为P3
而且当x=2时y=-1 ，此时P3（2，-1）
综上，满足条件的P为P1（4，）P2（-4,7）P3（2，-1）