江苏省郑梁梅中学2012-2013学年高二上学期期末考试数学试题（带解析）

郑梁梅中学2012-2013学年高二上学期期末考试数学试题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、填空题
1．把8分成两个正整数的和，其一个的立方与另一个的平方和最小，则这两个正整数分别为____________.
2．已知命题甲：a+b4, 命题乙:a且b，则命题甲是命题乙的 .
3．指数函数的图象过点，与互为反函数，则__
4．不等式log (2－1)·log (2－2)<2的解集是_______________。
5．以为圆心,截直线y=3x所得弦长为8的圆的方程为_________.
6．若向量夹角为60°，
7．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题,则x的取值范围是___________________.（最后结果用区间表示）
8．若，则的最小值为 ____
9．设复数为虚数单位，若，则的最大值为 ．
10．化简的结果是＿＿＿＿．
11．一个立方体的六个面上分别标有，下图是此立方体的两种不同放置，则与面相对的面上的字母是 ．
12．已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为 .

13．某中学高二年级从甲乙两个班中各随机的抽取10名学生，依据他们的数学成绩画出如图所示的茎叶图,则甲班10名学生数学成绩的中位数是________，乙班10名学生数学成绩的中位数是__________.
14．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁~18岁的男生体重(kg),得到频率分布直方图如下：

根据上图可得这100名学生中体重在的学生人数是 .
二、解答题
15．（1）已知角α的终边经过点P（3，4），求角α的六个三角函数值；
（2）已知角α的终边经过点P（3t，4t），t≠0，求角α的六个三角函数值．
16．已知A（0，3）、B（-1，0）、C（3，0），求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形（A、B、C、D按逆时针方向排列）.
17．一个口袋内装有大小相同的5 个球，其中3个白球分别记为A1、A2、A3；2个黑
球分别记为B1、B2，从中一次摸出2个球．
（Ⅰ）写出所有的基本事件；
（Ⅱ）求摸出2球均为白球的概率．
18．已知f(x)＝ax3＋bx2－2x＋c在x＝－2时有极大值6，在x＝1时有极小值.
(1)求a、b、c的值；
(2)求f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．
19．已知圆方程为
（1）求圆心轨迹的参数方程和普通方程；
（2）点是（1）中曲线上的动点，求的取值范围．
20．设函数的定义域是R，对于任意实数，恒有，且当时，．
（Ⅰ）求证：，且当时，有；
（Ⅱ）判断在R上的单调性；
（Ⅲ）设集合，集合，若，求的取值范围．
参考答案
1．2、6
【解析】本题考查利用求导的方法求比较复杂函数的最值.关键是设变量，构造目标函数.注意变量的取值范围.
设一个数为x，则另一个数为(8－x).
由条件可设y=x3＋(8－x)2(0＜x＜8,x∈N*)，所以y′=3x2＋2x－16.
令y′=3x2＋2x－16=0,即(x－2)(3x＋8)=0,得x=2.∴8－x=6.
2．不充分也不必要条件
【解析】当a+b4时,可选取a=1,b=5，故此时a且b不成立(a=1).
同样，a,且b时，可选取a=2,b=2,a+b=4，故此时a+b=4.
因此，甲是乙的既不充分也不必要条件.
注：a且b为真时，必须a,b同时成立.
3．1
【解析】略
4．（㏒，㏒）
【解析】略
5．(x-)2+y2=25
【解析】设圆的方程为,
利用r=42+d2,其中,
∴r=5.
6．
【解析】
7．[1,2)
【解析】x?[2,5]且x?{x|x<1或x>4}是真命题.
由得1≤x<2,故x∈[1,2).答案:[1,2)
8．
【解析】略
9．
【解析】略
10．1
【解析】
11．
【解析】
试题分析：根据二个图形的字母，可推断出来，C对面是B；A对面是E；D对面是F；故答案为F．
考点：本题主要考查合情推理，正方体的几何特征。
点评：观察图形特征，发现规律，得到答案。
12．2
【解析】
试题分析：由三视图可知，该几何体是一个有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，该四棱锥底面是梯形，所以面积为，该四棱锥的高为2，所以该四棱锥的体积为.
考点：本小题主要考查空间几何体的三视图和空间几何体的体积的计算，考查学生的空间想象能力和运算求解能力.
点评：求解与三视图有关的问题的关键是根据三视图准确还原几何体.
13．75,83
【解析】
试题分析：甲班10名学生的数学成绩从小到大排列为：52,66,68,72,74,76,76,78,82,96，所以中位数为同理可求乙班数学成绩的中位数为
考点：本小题主要考查茎叶图的识别和应用以及中位数的求法.
点评：茎叶图适用于样本数量比较少的情形，求中位数时，要把已知数据按顺序排列，排在中间的一个数或中间两个数的平均数就是中位数.
14．40
【解析】因为在内的频率为(0.03+0.05+0.05+0.07)=0.4,所以这100名学生中体重在的学生人数是.
15．（1）sinα==，cosα==，tanα==，cotα==，secα==，
cscα= =
（2）当t＞0时，r=5t．
因此sinα=，cosα=，tanα=，cotα=，secα=，cscα=；
当t＜0时，r=－5t．
因此sinα=－，cosα=－，tanα=，cotα=，secα=－，cscα=－
【解析】（1）由x=3，y=4，得r==5．
∴sinα==，cosα==，tanα==，cotα==，secα==，cscα= =．
（2）由x=3t，y=4t，得r==5|t|．
当t＞0时，r=5t．
因此sinα=，cosα=，tanα=，cotα=，secα=，cscα=；
当t＜0时，r=－5t．
因此sinα=－，cosα=－，tanα=，cotα=，secα=－，cscα=－
16．（3，3）或.
【解析】要考虑CD是直角梯形的直角边和AD是直角梯形的直角边两种情况，借助向量垂直的坐标表示即可求解.设所求点D的坐标为（x，y），如图所示，由于kAB=3，kBC=0，
∴kAB·kBC=0≠-1，即AB与BC不垂直，故AB、BC都不可作为直角梯形的直角边. …2分
①若CD是直角梯形的直角边，则BC⊥CD，AD⊥CD，
∵kBC=0，∴CD的斜率不存在，从而有x=3.
又kAD=kBC，∴=0，即y=3. 此时AB与CD不平行.
故所求点D的坐标为（3，3）. ………………7分
②若AD是直角梯形的直角边，
则AD⊥AB，AD⊥CD，kAD=，kCD=.由于AD⊥AB，∴·3=-1.
又AB∥CD，∴=3.解上述两式可得此时AD与BC不平行.故所求点D的坐标为, 综上可知，使ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为（3，3）或
17．（Ⅰ）从中一次摸出2个球,有如下基本事件:
(A1,A2),(A1,A3), (A1,B1),(A1,B2),(A2,A3), (A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),
共有10个基本事件.
（Ⅱ）从袋中的5个球中任取2个,所取的2球均为白球的方法有:
(A1,A2),(A1,A3), (A2,A3),共3种, 故所求事件的概率P =．
【解析】略
18．(1)f′(x)＝3ax2＋2bx－2，由条件知
……………3
解得a＝，b＝，c＝， ……………4
(2)由(1)得f(x)＝x3＋x2－2x＋，
f′(x)＝x2＋x－2，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1.列表：
…………8
因此，在区间[－3,3]上，当x＝3时，f(x)max＝10，x＝1时，f(x)min＝.
【解析】略
19．（1）；（2）.
【解析】（1）先将圆的方程化成标准方程，设圆心坐标P（x,y）即可得其参数方程 （为参数）,然后利用，即可化成普通方程即可。
(2)由（1）知 =,则易得2x-y的取值范围为[-5,5].
解:将圆的方程整理得：(x-2cos)2+(y+3sin)2=9 1分
设圆心坐标为P(x,y)，则参数方程： （为参数） 3分
5分
(2)2x-y=4cos+3sin =）
∴ …10分
20．(1)证明见解析
（2）在R上单调递减．
（3）．
【解析】
(1)，令，则，且由时，，所以；
设，，．
（2），则时，，
　，在R上单调递减．
（3），由单调性知，
又，
，，，从而．