第四章 指数函数、对数函数与幂函数
一、选择题(共10道)
1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )．
A．y＝x＋ex B．y＝x＋ C．y＝2x＋ D．y＝
2．设函数f(x)＝，则f(－2)＋f(log212)＝( )．
A．3 B．6 C．9 D．12
3．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )．
A．y＝x3 B．y＝＋1 C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|
4．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )．
A． B．
C． D．－1
5．下列函数中，满足f(x＋y)＝f(x)f(y)的单调递增函数是( )．
A．f(x)＝ B．f(x)＝x3 C．f(x)＝ D．f(x)＝3x
6．函数y＝2(x≥0)的反函数为( )．
A．y＝(xR) B．y＝(x≥0)
C．y＝4x2(xR) D．y＝4x2(x≥0)
7．设a＞0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)在R上是增函数”的( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
9．如图，函数f(x)的图像为折线，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )．
A．{x|－1＜x＜1} B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2}
10．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )．
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c
二、填空题(共5道)
11．计算÷=___________．
12．函数f(x)＝的定义域为____________．
13．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a＞0，且a≠1)，
若g(2)＝a，则f(2)＝____________．
14．若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝____________．
15．函数f(x)＝log2·(2x)的最小值为____________．
三、解答题(共4道)
16．已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0．
(1)若ab＞0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若ab＜0，求f(x＋1)＞f(x)时的x的取值范围．
17．设常数a≥0，函数f(x)＝．
(1)若a＝4，求函数y＝f(x)的反函数y＝f－1(x)；
(2)根据a的不同取值，讨论函数y＝f(x)的奇偶性，并说明理由．
18．已知函数f(x)＝
(1)求不等式＜1的解集；
(2)若≥ax，求a的取值范围．
19．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在函数y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)的图像上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
参考答案
一、选择题(共10道)
1．A
解析：记f(x)＝x＋ex，则f(1)＝1＋e，f(－1)＝－1＋e－1，那么f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以y＝x＋ex既不是奇函数也不是偶函数．
2．C
解析：f(－2)＝1＋log24＝3．f(log212)＝＝＝＝6．
3．B
解析：B选项是偶函数，且当x(0，＋∞)时，y＝＋1＝x＋1是增函数，符合题意，故B选项正确．A选项是奇函数，不合题意；C选项和D选项是偶函数，但当x(0，＋∞)时，均是减函数．
4．D
解析：设两年的平均增长率为x(x＞0)，则有(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，解得x＝－1．
5．D
解析：A选项：由f(x＋y)＝，f(x)f(y)＝·＝，得f(x＋y)≠f(x)f(y)，所以错误；
B选项：由f(x＋y)＝(x＋y)3，f(x)f(y)＝x3·y3＝(xy)3，得f(x＋y)≠f(x)f(y)，所以错误；
C选项：函数f(x)＝是定义在R上的减函数，所以错误；
D选项：由f(x＋y)＝3x＋y，f(x)f(y)＝3x·3y＝3x＋y，得f(x＋y)＝f(x)f(y)；又函数f(x)＝3x是定义在R上的增函数，所以正确．
6．B
解析：注意y＝2中，y≥0，而且由y＝2得x＝，所以函数y＝2(x≥0)的反函数为y＝(x≥0)．
7．A
解析：由“f(x)＝ax在R上是减函数”可以推出“0＜a＜1”，此时必有“g(x)＝(2－a)在R上是增函数；因此“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)在R上是增函数”的充分条件；而从“函数g(x)＝(2－a)在R上是增函数”可以推出“0＜a＜2”，此时f(x)＝ax不一定是减函数．
因此“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)在R上是增函数”的充分不必要条件．
8．B
解析：可以看出f(x)在区间(0，1)上单调递增．
又因为f(0)－1＜0，f(1)＝1＞0，所以f(x)在区间(0，1)上存在一个零点．
9．C
解析：log2(x＋1)的定义域为(－1，+∞)．当－1＜x＜0时，log2(x＋1)＜0，由图像知此时不等式f(x)≥log2(x＋1)成立；当x＞0时，不等式左边f(x)＝－x＋2递减，而不等式右边log2(x＋1)递增；易知当x＝1时，f(x)＝log2(x＋1)．因此不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是{x|－1≤x≤1}．
10．D
解析：因为a＝＝1＋，b＝＝1＋，c＝＝1＋，又因为lg7＞lg5＞lg3，所以＜＜，即c＜b＜a．
二、填空题(共5道)
11．－20
解析：÷＝÷＝－20．
12．(0，]
解析：f(x)＝的定义域为1－2log6x≥0．变形可得log6x≤，解得0＜x≤．
13．
解析：因为－f(x)＋g(x)＝f(－x)＋g(－x)＝a－x－ax＋2，则有g(x)＝2，f(x)＝ax－a－x，由g(2)＝a可知a＝2，因此f(2)＝22－2－2＝．
14．1
解析：由题知ln(x＋)＋ln(－x＋)＝ln(a＋x2－x2)＝lna＝0，解得a＝1．
15．－
解析：因为f(x)＝log2x·[2(log2x＋1)]＝(log2x)2＋log2x＝－，
所以当log2x＝－，即x＝时，f(x)取得最小值－．
三、解答题(共4道)
16．(1)当a＞0，b＞0时，因为a·2x和b·3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增；
当a＜0，b＜0时，因为a·2x和b·3x都单调递减，所以函数f(x)单调递减．
(2)因为f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x＞0，因此：
当a＜0，b＞0时，有＞－，解得x＞；
当a＞0，b＜0时，有＜－，解得x＜．
17．(1)由f(x)＝可解得2x＝，从而y＜－1或y＞1，x＝log2，所以f－1(x)＝log2，x(－∞，－1)(1，＋∞)．
(2)因为f(x)＝且a≥0，所以：
当a＝0时，f(x)＝1．此时，对任意的实数x都有f(x)＝f(－x)，所以y＝f(x)为偶函数．
当a＝1时，f(x)＝，x≠0，f(－x)＝＝，对任意的不为0的实数x都有f(x)＝－f(－x)，所以y＝f(x)为奇函数．
当a≠0且a≠1时，函数f(x)＝中，需有2x－a≠0，x≠log2a，因此函数的定义域为{x|x≠log2a}，注意到log2a≠0，因此函数的定义域不关于原点对称，所以y＝f(x)为非奇非偶函数．＜1，x≤0，
18．(1)解不等式组得1－＜x≤0．
解不等式组得0＜x＜e－1．
所以不等式＜1的解集为x∈(1－，e－1)．
(2)如图所示，当x＞0时，由ln(x＋1)＞ln1＝0，有＝＝ln(x＋1)．所以≥ax等价于ln(x＋1)≥ax，此时满足a≤0即可．
当x≤0时，原函数左半部分解析式化简为＝＝x2－2x，因此≥ax等价于x2－2x≥ax，由x≤0有a≥x－2．由x－2≤－2可知满足条件a≥－2即可．
因此a的取值范围为[－2，0]．
19．解：(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．
故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程为10千米．
(2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标当且仅当存在k＞0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立，即关于k的方程a2k2－20ka＋a2＋64＝0有正根．
因此由判别式(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0解得a≤6．
所以当a不超过6千米时，可击中目标．
x(千米)
y(千米)
O
7第五章 统计与概率
一、选择题(共10道)
1．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样 D．系统抽样
2．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是( )
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
3．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为ma，平均值为，则( )
A．me＝ma＝ B．me＝ma＜
C．me＜ma＜ D．ma＜me＜
4．从分别写有1，2，3，4，5的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
A． B． C． D．
5．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10
6．已知件产品中有件次品，其余为合格品．现从这件产品中任取件，恰有一件次品的概率为( )
A． B． C． D．
7．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A． B． C． D．
8．如果个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取个不同的数，则这个数构成一组勾股数的概率为( )
A． B． C． D．
9．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A． B． C． D．
10．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A． B． C． D．
二、填空题(共5道)
11．从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是____________．
12．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为____________．
13．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为____________．
14．从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度(单位：mm)，结果如下：
甲品种：271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307
308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352
乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318
320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356
由以上数据设计了如下茎叶图
甲 乙
3 1 27
7 5 5 0 28 4
5 4 2 29 2 5
8 7 3 3 1 30 4 6 7
9 4 0 31 2 3 5 5 6 8 8
8 5 5 3 32 0 2 2 4 7 9
7 4 1 33 1 3 6 7
34 3
2 35 6
根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：
①_________________________________________________________________________
________________________________________________________________________；
②_________________________________________________________________________
________________________________________________________________________．
15．一所特色学校有男生400人，女生600人，若用分层抽样的方法从该学校的学生中抽取一个容量为30的样本，则：
(1)应抽取的男生人数为____________；
(2)假设抽得的样本中，男生的平均数为110，女生的平均数为130，则样本平均数为____________．
三、解答题(共4道)
16．为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校名学生进行问卷调查，人得分情况如下：5，6，7，8，9，10．把这名学生的得分看成一个总体．
(1)求该总体的平均数；
(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
17．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以(单位：t，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率．
18．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组 [75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125)
频数 6 26 38 22 8
(1)在下图中作出这些数据的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？
19．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频 数 10 20 16 16 15 13 10
①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数；
②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．
参考答案
一、选择题(共10道)
1．C
解析：回顾各种抽样方法的概念和适用条件，结合题目提示“该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异”，可知最合理的抽样方法是按学段分层抽样．
2．A
解析：根据题中“月接待游客量”的折线图，可以看出2014年1月至2016年12月期间月接待游客量及其变化规律和趋势. 容易看出，折线图中的小“折线段”并不都是“上升”的，所以月接待游客量逐月增加是错误的，所以叙述A符合题目要求，选A．
3．D
解析：因为中位数为5.5，众数为5，因此可知只有D才可能是正确答案．
4．D
解析：记为事件：“抽得的第一张卡片上的数小于第二张卡片上的数”，为事件：“抽得的第一张卡片上的数等于第二张卡片上的数”．
由对称性知，p(A)＝p(B)．又p(C)＝＝，故p(A)＝[1－p(C)]＝．
5．A
解析：样本容量为(3 500＋4 500＋2 000)×2%＝200，抽取的高中生近似人数为2 000×50%×2%＝20．
6．B
解析：设5件产品分别是A，B，C，e，f，其中小写字母表示的是次品．则任取2件的所有可能可以记为AB，AC，Ae，Af，BC，Be，Bf，Ce，Cf，ef，共10种可能，其中有且只有6种情况是恰有一件次品的，因此所求概率为0.6．
7．A
解析：试验“甲、乙两位同学各自参加3个兴趣小组中的一个小组”的基本事件共有9个，事件B＝“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”包含的基本事件共有3个，所以P(B)＝．
8．C
解析：从1，2，3，4，5中任取个不同的数，等可能结果共有如下10种：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)．其中个数构成一组勾股数的结果只有1种(3，4，5)，从而所求的概率为．
9．B
解析：从1，2，3，4中任意取出两个不同的数的方法有6种：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)．其中取出的2个数之差的绝对值为2的只有两种：(1，3)，(2，4)．由等可能事件的概率公式得所求的概率为．
10．A
解析：记Ai＝“该同学第i次投篮投中”，则P(Ai)＝0.6，i＝1，2，3．
用B表示事件“该同学通过测试”，则B＝“在3次投篮中，该同学投中2次或者3次”，即B＝A1A2A3A2A3A1A3A1A2．
由概率的加法公式和事件的独立性得
P(B)＝P(A1A2A3)＋P(A2A3)＋P(A1A3)＋P(A1A2)
＝0.6×0.6×0.6＋(1－0.6)×0.6×0.6＋0.6×(1－0.6)×0.6＋0.6×0.6×(1－0.6)
＝0.648．
11．0.2
解析：从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数的方法有10种：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)．其中和为5的只有两种，由等可能事件的概率公式得概率为0.2．
12．
解析：甲、乙各自从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，共有9种不同的选择，如下表所示．
甲 乙 红 白 蓝
红 (红，红) (红，白) (红，蓝)
白 (白，红) (白，白) (白，蓝)
蓝 (蓝，红) (蓝，白) (蓝，蓝)
甲、乙选择相同颜色运动服的情况为3种：(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，即事件A：“他们选择相同颜色运动服”包含的基本事件的个数为3．由古典概型中事件A的概率公式得P(A)＝＝．
13．
解析：2本数学书分别记为数学书1，数学书2，那么2本不同的数学书和1本语文书随机排成一行的等可能结果共有如下6种：
(数学书1，数学书2，语文书)，(数学书2，数学书1，语文书)，
(数学书1，语文书，数学书2)，(数学书2，语文书，数学书1)，
(语文书，数学书1，数学书2)，(语文书，数学书2，数学书1)．
其中2本数学书相邻的等可能结果有4种，从而所求的概率为．
14．(1)乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度(或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度)．
(2)甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．(或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中(稳定)．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大)．
(3)甲品种棉花的纤维长度的中位数为307 mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318 mm．
(4)乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间(均值附近)．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值(352)外，也大致对称，其分布较均匀．
注：上面给出了四个结论．如果考生写出其他正确答案，同样给分．
15．(1)12 (2)122
解析：(1)×400＝12；
(2)可算得女生有30－12＝18人，所以样本平均数为＝122．
三、解答题(共4道)
16．(1)总体平均数为(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7.5．
(2)设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．
从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(5，10)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(6，10)，(7，8)，(7，9)，(7，10)，(8，9)，(8，10)，(9，10)，共15个基本结果．
事件A包括的基本结果有：(5，9)，(5，10)，(6，8)，(6，9)，(6，10)，(7，8)，(7，9)，共有7个基本结果．
所以所求的概率为P(A)＝．
17．(1)当X[100，130]时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000．
当X[130，150]时，T＝500×130＝65 000．
所以T＝
(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150．
由直方图知需求量X[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7．
18．(1)
(2)质量指标值的样本平均数为
＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08
＝100．
质量指标值的样本方差为
s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08
＝104．
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104．
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68．
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．
19．(1)当日需求量n≥17时，利润y＝85．
当日需求量n＜17时，利润y＝10n－85．
所以y关于n的函数解析式为y＝(n∈N)．
(2)①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为
(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4．
②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝．故当天的利润不少于75元的概率为P＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7．
得分
频数
125
125
2016 年
2015 年
2014 年
月接待游客量(万人)
115
105
95
85
75
O
质量指标值
频率/组距
图 2
图 1
年级
高中
初中
小学
近视率/%
初中生
4 500 名
高中生
2 000 名
小学生
3 500 名
115
105
95
85
75
O
质量指标值
频率/组距
频率/组距
需求量/t
9第二册 综合检测卷
一、选择题(共13道)
1．函数f(x)＝的定义域为( )．
A．(0，) B．(2，＋∞)
C．(0，)(2，＋∞) D．(0，][2，＋∞)
2．若向量＝(2，3)，＝(4，7)，则＝( )．
A．(－2，－4) B．(2，4) C．(6，10) D．(－6，－10)
3．已知向量a＝，b＝(0，－1)，c＝，若a－2b与c共线，则k＝( )．
A．4 B．3 C．2 D．1
4．为美化环境，从红、黄、白、紫种颜色的花中任选种花种在一个花坛中，余下的种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )．
A． B． C． D．
5．已知，，，则( )．
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b
6．函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝( )．
A． B． C． D．
7．函数f(x)＝2lnx的图像与函数g(x)＝x2－4x＋5的图像的交点个数为( )．
A．3 B．2 C．1 D．0
8．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )．
A．＝－＋ B．＝－
C．＝＋ D．＝－
9．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝( )
A． B． C． D．
10．设函数f(x)＝，则满足f(f(a))＝的a取值范围是( )．
A．[，1] B．[0，1] C．[，＋∞) D．[1，＋∞)
11．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中，不能用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )．
A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数
12．下列函数中，在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )
A．y＝ B．y＝(x－1)2
C．y＝ D．y＝log0.5(x＋1)
13．已知定义在R上的函数f(x)＝－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则下列关系式中，正确的是( )．
A．c＜a B．a＜c C．a＜b D．b＜c
二、填空题(共5道)
14．若a＝log43，则＋＝_______．
15．某区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取__________所学校，中学中抽取__________所学校．
16．方程＋＝的实数解为_______．
17．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝，则＝____________．
18．若函数f(x)＝ (a＞0且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是_______．
三、解答题(共6道)
19．为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取位患者服用A药，位患者服用B药，这位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：
服用A药的位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
A药 B药
0.
1.
2.
3.
20．设函数f(x) ＝
(1)若a＝1，求f(x)的最小值；
(2)若f(x)恰有2个零点，求实数a的取值范围．
21．已知函数y＝m的图像为直线l1，函数y＝(m＞0)的图像为l2．若l1与函数y＝的图像从左至右相交于A，B两点，l2与函数y＝的图像从左至右相交于C，D两点．记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b．
(1)当m＝1时，求A，B的坐标；
(2)当m＝时，求C，D的坐标；
(3)当m变化时，求的最小值，并求取得最小值时m的值．
22．某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数．
(1)若n＝19，求y与x的函数解析式；
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
23．某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 5
保 费
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数 0 1 2 3 4 5
频 数 60 50 30 30 20 10
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
24．已知直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的一点：
(1)当P是DC的中点时，将用，表示出来；
(2)当P在DC上运动时，求＋的最小值．
参考答案
一、选择题(共13道)
1．C
解析：由已知得(log2x)2－1＞0，即log2x＞1或log2x＜－1，解得x＞2或0＜x＜．
2．A
解析：根据向量加减法的坐标运算可得＝－＝(－2，－4)．
3．D
解析：因为，因此，k＝1．
4．C
解析：设A表示事件红色和紫色的花在同一花坛，则事件A包含2个基本事件：红紫与黄白，黄白与红紫．由于6个基本事件是等可能的，因此由古典概型的概率计算公式可得P(A)＝＝．
从而红色和紫色的花不在同一花坛的概率是P()＝1－P(A)＝．
5．C
解析：由，，
而＜1＜＜log33.4＜log23.4，且y＝5x为增函数，所以a＞c＞b．
6．D
解析：曲线y＝ex关于y轴对称的函数为y＝，其图像再向左平移一个单位，所以函数为y＝．
7．B
解析：二次函数g(x)＝x2－4x＋5的图像开口向上，在x轴上方，对称轴为x＝2，g(2) ＝1；f(2)＝2ln2＝ln 4＞1．所以g(2)＜f(2)，从图像上可知交点个数为2．
8．A
解析：由已知，＝．
由向量加法的几何意义，＝＋，因此
＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋．
9．A
解析：由向量和的定义，＝＋，＝＋，所以
＋＝＋＝(＋)＝．
10．C
解析：当a≥1时，f(a)＝2a＞1，所以f(f(a))＝，即a≥1满足题意．
当a＜1时，f(a)＝3a－1，若f(f(a))＝，则f(a)≥1，即3a－1≥1，a≥，
所以≤a＜1也满足题意．
11．ACD
解析：回顾抽样统计中数据的平均数、标准差、最大值和中位数概念．通过这些数字特征可以得到数据总体的特征信息．数据的平均数能够给出总体的平均水平；数据的标准差大小能够给出数据的离散或稳定程度；数据的最大值的统计意义不明显；数据的中位数能够给出总体的大致中间位置的数．
12．BCD
解析：y＝(x－1)2在(0，1)上是减函数，y＝与y＝log0.5(x＋1)都是减函数．
13．AC
解析：因为函数f(x)＝－1为偶函数，所以m＝0，即f(x)＝－1，所以
a＝f(log0.53)＝f(log2)＝－1＝－1＝3－1＝2，
b＝f(log25)＝－1＝4，c＝f(2m)＝f(0)＝20－1＝0，
所以c＜a＜b．
二、填空题(共5道)
14．
解析：因为a＝log43，所以4a＝32a＝，故2a＋＝＋＝．
15．18，9
解析：设小学要抽取x所，中学要抽取y所，则
＝，＝，
解得选项x＝18，y＝9．
16．log34
解析：原方程整理后可变为32x－2·3x－8＝0，因此3x＝4，从而x＝log34．
17．2
解析：因为＋＝＝，所以＝2．
18．(1，2]
解析：当x≤2时，f(x)＝－x＋6为单调递减函数，因此当x≤2时，f(x)≥4．
因为f(x)的值域为[4，＋∞)，因此则有解得1＜a≤2．
三、解答题(共6道)
19．(1)设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为．
由观测结果可得
＝(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7
＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，
＝(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8
＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6．
由以上计算结果可得＞，因此可看出A药的疗效更好．
(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：
A药 B药
6 0. 5 5 6 8 9
8 5 5 2 2 1. 1 2 2 3 4 6 7 8 9
9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 2. 1 4 5 6 7
5 2 1 0 3. 2
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2，3上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0，1上，由此可看出A药的疗效更好．
20．(1)若a＝1，f(x)＝
当x＜1时，f(x)＝2x－1为增函数，因此－1＜f(x)＜1．
当x≥1时，f(x)＝4(x－1)(x－2)＝4(x2－3x＋2)＝4－1，
因此当1≤x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增．
因此当x＝时，f(x)min＝＝－1．
综上，f(x)的最小值为－1．
(2)y＝2x－a至多有一个零点，y＝4(x－a)( x－2a)的零点为x＝a和x＝2a．
当a＝0时，函数没有零点．
当a＜0时，y＝4(x－a)( x－2a)的零点x＝a＜0和x＝2a＜0均不满足x≥1，因此原函数不可能有两个零点．
当0＜a＜1时，若f(x)恰有2个零点，需要满足，因此．
当a≥1时，若f(x)恰有2个零点，需要满足21－a≤0，因此a≥2．
综上，若f(x)恰有2个零点，实数a的取值范围为．
21．(1)当m＝1时，由可知或
因此A(，1)，B(2，1)．
(2)当m＝时，由可知或
因此C(，2)，D(4，2)．
(3)设A，B，C，D四点的横坐标分别为x1，x2，x3，x4．
由＝m得x1＝，x2＝；由＝得x3＝，x4＝．
依照题意得
a＝，b＝，＝＝＝．
又因为
m＋＝m＋＋－≥4－＝，
当且仅当m＋＝即m＝时取等号，所以min＝8，而且此时m＝．
22．(1)当x≤19时，y＝3 800；
当x＞19时，y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700)．
所以y与x的函数解析式为
y＝(xN)．
(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19．
(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800，20台的费用为4 300，10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000．
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000，台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
(4 000×90＋4 500×10)＝4 050．
比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．
23．(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2．由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55．
(2)事件发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4．由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3．
(3)由所给数据得
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
调查的200名续保人的平均保费为
0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a．
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a．
24．(1)当P是DC的中点时，＝＋＝＋＝－．
(2)以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则D(0，0)，A(2，0)，B(1，a)，C(0，a)．
设P(0，b)(0≤b≤a)，则有＝(2，－b)，＝(1，a－b)，得＋＝(5，3a－4b)，＋＝≥5，即当3a＝4b时，＋的最小值为5．
1
