人教版数学七年级下册 第五章 相交线与平行线5.1.2 垂线 课件（共31张PPT）

(共31张PPT)
5.1.2 垂线
第五章 相交线与平行线
1.理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.
2.掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.
3.掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理.
重点难点：
1.理解垂线的有关概念、性质及画法．
2.理解垂线段和点到直线的距离的概念，会应用解决简单实际问题.
学习目标：
观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？
情景导入
知识精讲
知识点一 垂线的概念
1.垂直的定义：在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b.当b的位置发生变化时，a、b所成的∠ 也会发生变化.当∠ = 90°时，我们说a与b互相垂直（perpendicular），记作a⊥b.
垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线（perpendicular line)，它们的交点叫做垂足（foot of a perpendicular).
在下图中，AB⊥CD，垂足为O.
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
这个推理过程可以写成下面的形式：
因为 ∠AOC = 90°，
所以 AB⊥CD（垂直的定义）．
反过来，如果AB⊥CD，那么∠AOC 是多少度？
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键是：
只要找到两条直线相交时四个交角中有一个角是直角.
日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，说出下图中的一些互相垂直的直线.你能再举出其他例子吗
窗户的四边
二维码的四边
围棋盘的横线和竖线
铅垂线和水平线
用“⊥”和直线字母表示垂直.
如果直线AB 与直线CD 垂直，那么可记作：AB⊥CD（或CD⊥AB）.
如果用l、m表示这两条直线，那么直线l与直线m垂直，可记作：l⊥m（或m ⊥ l）.
把互相垂直的两条直线的交点叫作垂足（如图中的O点）.
A
B
C
D
O
l
m
2.垂直的表示法：
A
B
C
D
O
符号语言：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O.
①判定：∵∠AOD=90°,（已知）
∴AB⊥CD.（垂直的定义）
符号语言：
②性质：∵ AB⊥CD ,（已知）
∴ ∠AOD=90° .（垂直的定义）
(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
3.垂线的基本性质与判定
针对练习
(1)如图1，若直线m、n相交于点O,∠1＝90°,则 ；
(2)若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，则∠BOD =______；
(3)如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，那么∠COA＝_______,∠BOC的补角为 .
O
m
n
1
B
C
A
O
图1
图2
m⊥n
90°
72°
162°
4.如图AB⊥CD垂足为O,∠COF=56°，求∠AOE？
解：∵AB⊥CD（已知）
　　∴∠COB =90°（垂直的定义）
　　∴∠BOF = ∠COB－∠COF
　　 =90°－56°=34°
　　∴ ∠AOE =∠BOF =34°（对顶角相等）
F
E
D
C
B
A
O
知识点二 垂线的画法及基本事实
A
.B
l
.
(1)画已知直线l的垂线能画几条
(2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能画几条
(3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能画几条
l
O
A
如图，已知直线 l ，作 l 的垂线.
问题：这样画 l 的垂线可以画几条？
无数条
一放
三画
二靠
用三角尺画垂线的方法：
一贴，用三角尺的一条直角边贴住已知直线；
二靠，用三角尺的另一条直角边靠住已知点；
三画，画出垂线． 如果作线段互相垂直或作射线的垂线，实际上是作线段所在的直线互相垂直，或作射线所在的直线的垂线，因为射线和线段都是直线的一部分．在垂线的画法中，有时需延长线段，垂足在延长线上，并记上直角符号“┒”．
总结
l
A
B
1.放
2.靠
3.移
4.画
如图，已知直线 l 和 l 上的一点A ,作l的垂线.
一条
问题：这样画 l 的垂线可以画几条？
提示：
1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；
2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线的性质：
1.如图，直线AB、CD 相交于点O，EO⊥CD．下列说法错误的是（　　）
A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOE+∠BOD＝90°
C．∠AOC＝∠AOE D．∠AOD+∠BOD＝180°
C
针对练习
2.过点 向线段 所在直线引垂线，正确的是（ ）.
A B C D
C
知识点三 垂线段及点到直线的距离
在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，如何挖掘能使渠道最短？
（1）你能将这个实际问题转化成数学问题吗？
（2）在直线上有无数个点，试着取几个点与点 P 相连，比较一下线段的长短．你有什么发现？
（3）你能猜想一下最短的位置会在哪儿？它唯一吗？为什么？
（4）你能用一句话总结出观察得出的结论吗？
垂线性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离．
总结归纳：
针对练习
1.点到直线的距离是指（ ）
A. 直线外一点到这条直线上一点之间的距离
B. 直线外或直线上一点到直线的垂线段的长度
C. 直线外一点到这条直线的垂线的长度
D. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度
D
2. P 是直线 AB 外一点，过点 P 作 PO⊥AB ，垂足为 O ，若 C 为直线 AB 上任意一点，则线段 PC 与线段 PO 的大小关系是（ ）
A. PC ＞ PO B. PC ＜ PO
C. PC ≥ PO D. PC ≤ PO
C
当堂检测
1. 如图所示，若 AB ⊥ CD 于点 O ，则∠AOD = _____；若∠BOD = 90°，则 AB _____ CD.
90°
⊥
2. 如图所示，直线 AB ⊥ CD 于点 O ，直线 EF经过点 O ，若∠1 = 26°，则∠2 的度数是（ ）
A. 26°
B. 64°
C. 54°
D. 以上答案都不对
B
3.如图，AB ⊥ l ，BC ⊥ l ，B 为垂足，那么A、B、C 三点在同一直线上吗？为什么？
解：A、B、C 三点在同一直线上.
∵AB ⊥ l ，BC ⊥ l . 且交点都为 B .
∴A、B、C 三点在同一直线上（在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）.
4.如图，AO⊥FD，OD 为∠BOC 的平分线，OE 为射线OB 的反向延长线，若∠AOB = 40°，求∠EOF、∠COE 的度数．
A
F
D
O
B
C
E
解：∵AO⊥OD且∠AOB=40°，
∴∠BOD=90°-40°=50°，∴∠EOF=50°.
又∵OD平分∠BOC，∴∠DOC=∠BOD=50°，
∴∠COE=180°-50°-50°=80°．
5.如图，平原上有A，B，C，D 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备修建一个蓄水池.
（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H 点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
（2）计划把河水引入蓄水池 H 中，怎样开渠最短并说明根据.
解：（1）∵两点之间线段最短，
∴连接AD，BC 交于 H ，则 H 为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小.
H
（2）过 H 作 HG⊥EF ，垂足为 G .“过直线外一点与直线各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池 H 中开渠最短的根据.
G
H
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
定义
画法
性质
（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
一、放；二、靠；三、移 ；四、画.
垂线
课堂小结
（2）垂线段最短
点到直线的距离