人教版数学八年级下册 17.1 第2课时 勾股定理在实际生活中的应用 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
17.1 勾股定理
第十七章 勾股定理
第2课时 勾股定理在实际生活中的应用
1.能应用勾股定理计算直角三角形的边长.
2.能应用勾股定理解决简单的实际问题.
重点难点：
1.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题．
2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长.
学习目标：
情景导入
如图所示，一棱长为 3 cm 的正方体．把所有的面都分成3×3个小正方形，假若一只蚂蚁每秒爬 2 cm，则它从下底面A点，沿表面爬行至右侧的B点，最少要花几秒
A
.
B
.
知识精讲
知识点一 勾股定理的简单实际应用
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
分析：可以看出木板横着，竖着都不能通过，只能斜着.门框AC的长度是斜着能通过的最大长度，只要AC的长大于木板的宽就能通过.
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AC2=AB2+BC2=12+22=5
因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.
例2 如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m. 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理得
OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，
∴OB=1.
在Rt△COD中，根据勾股定理得
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,
∴梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m.
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程；
（4）解决实际问题.
数学问题
直角三角形
勾股定理
实际问题
转化
构建
利用
决解
归纳：
1.如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的 AC 方向上一点，测得 BC = 60 m，AC = 20m. 求A，B 两点间的距离.(结果取整数)
解：在Rt△BAC 中，BC ＝60m，AC ＝20m，由勾股定理，得AB ＝
＝ ≈57(m)．
答：A，B 两点间的距离约为57m.
针对练习
2.如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0)和B(0，4).求这两点之间的距离.
由点A(5，0)，B(0，4)可知OA＝5，OB＝4，又因为∠BOA＝90°，所以根据勾股定理，得AB＝
＝
解：
知识点二 利用勾股定理求两点距离及验证“HL”
例3 如图，在平面直角坐标系中有两点A(-3,5),B(1,2)求A,B两点间的距离.
A
2
1
-4
-3
-2
-1
-1
2
3
1
4
5
y
O
x
3
B
C
解：如图，过点A作x轴的垂线,过点B作x,y轴的垂线.相交于点C,连接AB.
∴AC=5-2=3，BC=3+1=4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得
∴A,B两点间的距离为5.
方法总结：两点之间的距离公式：一般地，设平面上任意两点
思考：在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A ′ B ′ C ′ 中，∠C=∠C ′=90°，AB=A′ B ′，AC=A′ C′ ．求证：△ABC≌△A ′B ′C′ ．
A
B
C
A
B
C′
′
′
证明：在Rt△ABC 和Rt△A ′B ′C ′中，∠C=∠C′=90°，根据勾股定理得
针对练习
1.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行(　　)
A．8米
B．10米
C．12米
D．14米
B
2.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(　　)
A．0.7米
B．1.5米
C．2.2米
D．2.4米
C
知识点三 利用勾股定理求最短距离
例4 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，已知油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，π取3，问梯子最短需多少米
A
B
A
B
A'
B'
解：油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离.
∵AA'=2×3×2=12, A'B'=5,∴AB'=13. 即梯子最短需13米.
例5 如图，一个牧童在小河的南 4 km的 A 处牧马，而他正位于他的小屋B的西 8 km北 7 km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
牧童A
小屋B
A′
C
解：如图，作出点A关于河岸的对称点A′，连接A′B则A′B就是最短路线.
由题意得A′C=4+4+7=15(km)，BC=8km.
在Rt△A′CB中，由勾股定理得
东
北
针对练习
1.如图，圆柱的底面周长为6 cm，AC 是底面圆的直径，高BC ＝6 cm，P 是母线BC 上一点，且PC ＝ BC.一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的侧面爬行到点P 的最短距离是(　　)
A. cm　　B．5 cm　　
C.3 cm　　 D．7 cm
B
2.如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 在BC 上，BD ＝3，DC ＝1，点P 是AB 上的动点，则PC ＋PD 的最小值为(　　)
A．4
B．5
C．6
D．7
B
当堂检测
1.从电线杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面钢缆A到电线杆底部B的距离是（　　）
A.24 m B.12 m
C. m D. m
D
3..已知点(2,5),(-4,-3),则这两点的距离为_______.
10
2.如图，在长方形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S△PAB＝ S长方形ABCD，则点P 到A、B 两点距离之和PA＋PB 的最小值为(　　)
A.
B.
C．
D.
D
4.在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD(如图所示)，已知标语牌的高AB ＝5 m，在地面的点E处，测得标语牌点A的仰角(即∠AEB )为30°，在地面的点F处，测得标语牌点A的仰角(即∠AFB)为75°，且点E，F，B，C 在同一直线上，求点E 与点F 之间的距离．(计算结果精确到0.1 m，参考数据： ≈1.41， ≈1.73)
解：如图，作FH ⊥AE 于H.由题意可知∠HAF ＝∠HFA＝45°，∴AH ＝HF ，设AH ＝HF ＝x m，则EF ＝2x m，EH ＝ x m，在Rt△AEB 中，∵∠E ＝30°，AB ＝5 m，∴AE ＝2AB ＝10 m，
∴x＋ x＝10，∴x＝5 －5，
∴EF ＝10 －10≈7.3(m)，
答：点E 与点F 之间的距离约为7.3 m.
5.为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？
解：如图，在Rt△ABC 中，∵AC ＝36cm，BC ＝108÷4＝27(cm)．由勾股定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2＝362＋272＝2025＝452，∴AB＝45cm，∴整个油纸的长为45×4＝180(cm)．
课堂小结
勾股定理
的应用
用勾股定理解决实际问题
用勾股定理解决点的距离及路径最短问题
解决“HL”判定方法证全等的正确性问题