北师大版数学九年级下册第一章 直角三角形的边角关系 1.1 第2课时 正弦与余弦 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
1.1 锐角三角函数
第一章 直角三角形的边角关系
第2课时 正弦与余弦
1.理解并掌握锐角正弦、余弦的定义，并进行相关计算；
（重点、难点）
2.在直角三角形中求正弦值、余弦值. (重点)
学习目标
导入新课
1.分别求出图中∠A，∠B的正切值.
复习引入
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠A的对边与邻边的比就随之确定.想一想，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？
A
B
C
邻边b
对边a
斜边c
任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？
A
B
C
A'
B'
C'
讲授新课
正弦的定义
合作探究
在图中，由于∠C＝∠C‘＝90°，∠A＝∠A’＝α，
所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．
A
B
C
A'
B'
C'
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA ，
即
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
在图中
∠A的对边记作a
∠B的对边记作b
∠C的对边记作c
概念学习
例1 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sinA=0.6，求BC的长.
解： 在Rt△ABC中，
即
∴ BC=200×0.6=120.
A
B
C
典例精析
变式：在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=20,
求:△ABC的周长和面积.
解: 在Rt△ABC中,
20
┐
A
B
C
任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？
A
B
C
A'
B'
C'
余弦的定义
合作探究
A
B
C
A'
B'
C'
在图中，由于∠C＝∠C‘＝90°，∠A＝∠A’＝α，
所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是一个固定值．
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
在图中
∠A的对边记作a
∠B的对边记作b
∠C的对边记作c
概念学习
定义中应该注意的几个问题:
1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角
(注意数形结合,构造直角三角形).
2.sinA,cosA是一个完整的符号,
分别表示∠A的正弦,余弦 (习惯省去“∠”号).
3.sinA,cosA 是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA均﹥0,无单位.
4.sinA,cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
例2：如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.
求: sinB,cosB,tanB.
提示:过点A作AD⊥BC于D.
5
5
6
A
B
C
┌
D
如图，梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？
A
sinA的值越大,梯子越 ____ ;
cosA的值越 ____ ,梯子越陡.
陡
小
8
10
6
8
10
6
A
议一议
例3：在Rt△ABC中,∠C=90°,如图,已知AC=3,AB=6,
求sinA和cosB.
┌
B
C
A
3
6
想一想:我们发现sinA=cosB,其中有没有什么内在的联系
正弦、余弦和正切的相互转化
求:AB,sinB.
10
┐
A
B
C
变式：如图:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10,
思考:我们再次发现sinA=cosB,其中的内在联系你可否掌握
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
sinA=cosB
要点归纳
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值为_________.
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，则下列式子一定成立的是（　　）
A．sinA=sinB B．cosA=cosB
C．tanA=tanB D．sinA=cosB
D
针对训练
1.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变 D.不能确定
2.已知∠A,∠B为锐角
(1)若∠A=∠B,则sinA sinB;
(2)若sinA=sinB,则∠A ∠B.
A
B
C
┌
C
=
=
当堂练习
3.如图, ∠C=90°CD⊥AB.
4.在上图中,若BD=6,CD=12.则cosA=______.
┍
┌
A
C
B
D
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
CDBC
ACAB
ADAC
5.如图：P是边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），
则cos α =_____,tan α=_______.
x
y
o
3
4
P
α
A
6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB =10，BC＝6，
求sinA、cosA、tanA的值．
解：∵
又∵
A
B
C
6
10
变式1：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
cosA＝ ，求sinA、tanA的值．
解：∵
A
B
C
设AC=15k，则AB=17k
所以
∴
变式2：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝ ，
求sinA、cosB的值．
A
B
C
8
解：∵
7．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，求sin∠ECM.
解：设正方形ABCD的边长为4x，
∵M是AD的中点，BE=3AE，
∴AM＝DM＝2x,AE＝x,BE＝3x．
由勾股定理可知，
A
M
E
D
B
C
7．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，求sin∠ECM.
A
M
E
D
B
C
由勾股定理逆定理可知，△EMC为直角三角形.
8．如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，
点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA＝
(1)求点B的坐标；
(2)求cos∠BAO的值．
A
B
H
解：(1)如图所示，作BH⊥OA， 垂足为H．在Rt△OHB中，
∵BO＝5，sin∠BOA＝ ,
∴BH=3，OH＝4，
∴点B的坐标为(4，3)．
8．如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，
点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA＝
(2)求cos∠BAO的值．
A
B
H
(2)∵OA＝10，OH＝4，
∴AH＝6．
∵在Rt△AHB中，BH=3，
1.在Rt△ABC中
课堂小结
2.梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系：
sinA的值越大,梯子越陡;
cosA的值越小,梯子越陡.