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第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3．1.2 函数的表示法
[课程目标] 1.掌握函数的三种表示法——解析法、图象法、
列表法；
2.会求函数的解析式，并正确画出函数的图象；
3.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方
法表示函数．
知识点一 函数的三种表示法
表示法 定义
解析法 用_ ___表示两个变量之间的对应关系
图象法 用 表示两个变量之间的对应关系
列表法 通过_____ _来表示两个变量之间的对应关系
数学表达式
图象
列出表格
【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)任何一个函数都有解析式．( )
(2)任何一个函数都能够用图象表示．( )
(3)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a可以有两个交点．( )
(4)如果函数有解析式，则解析式是唯一的．( )
×
×
×
×
【解析】 (1)不是所有函数都能够用解析式表示，例如，一天
内气温随时间变化的关系，只能够用图象表示，不能用解析
式表示．
(2)不一定．如函数的对应关系是：当x为有理数时，函数值等于1；当x为无理数时，函数值等于0.此函数就无法用图象法
表示．
(3)由函数的概念知，自变量确定，则函数值唯一确定，
所以y＝f(x)的图象与直线x＝a最多只有1个交点．
(4)一个函数可以有多个解析式，这些解析式是等价的．
知识点二 分段函数
对于一个函数来说，对应关系_________________构成，它的图象________________组成，这样的函数称为分段函数．
【思辨】判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)分段函数各段的定义域区间是不可以相交的．( )
(2)分段函数各段的对应关系不同，所以分段函数是由几个不同的函数构成的．( )
(3)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式求值．( )
由几个解析式共同
由几条曲线共同
√
×
√
【解析】 (1)分段函数各段的定义域区间的交集为空集，定义域是各段的定义域区间的并集．
(2)分段函数是一个函数，只不过在定义域的不同区间上的对应关系不同．
(3)由自变量与函数值的对应关系知，说法正确．
例1 给定函数f(x)＝x＋1，h(x)＝ ，x∈R且x≠0.用M(x)表 示f(x)，h(x)中的最大者，记为M(x)＝max{f(x)，h(x)}，试分别用图象法和解析法表示M(x).
用m(x)表示f(x)，g(x)，h(x)中的最小者，记为m(x)＝min{f(x) g(x)，h(x)}．已知f(x)＝x＋2，g(x) ＝
试作出函数m(x)的图象，并写出m(x)的解析式．
[规律方法]作函数图象的三个步骤：
(1)列表，先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与这
些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来；
(2)描点，把表中一系列的点(x，f(x))在坐标平面上描出来；
(3)连线，用光滑的线把这些点按自变量由小到大的顺序连接
起来．
【迁移探究】如图所示，函数y＝ax2＋bx＋c与y＝ax＋b(a≠0)的图象可能是____(填序号).
【解析】 由抛物线的对称轴是y轴，可知b＝0，而此时直线应该过原点，故①不可能；由抛物线可知，a>0，而此时由直线的图象得，a<0，故②不可能；由抛物线可知，a<0，而此时由直线的图象得，a>0，故③不可能；由抛物线可知，a<0，
b>0，满足直线图象，可知④可能是两个函数的图象．
④
例2 (1)若一次函数f(x)满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，求f(x)的解析式；
(2)设二次函数f(x)满足f(x－2)＝f(－x－2)，且图象与y轴交点的纵坐标为1，被x轴截得的线段长为2 ，求f(x)的解析式．
例3 求下列函数的解析式．
已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，则f(x)的解析式是( )
C
[规律方法]
求函数解析式的几种常用方法：
(1)待定系数法：当已知函数类型时，常用待定系数法．
(2)代入法：已知y＝f(x)的解析式，求函数y＝f[g(x)]的解析式
时，可直接用新自变量g(x)替换y＝f(x)中的x.
(3)换元法：已知y＝f[g(x)]的解析式，求y＝f(x)的解析式，可
用换元法，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入y＝f[g(x)]中，
求出f(t)，即得f(x).
(4)构造方程组法：当同一个对应关系中的两个自变量之间有互
为相反数或者互为倒数关系时，构造方程组求解．
例4 已知函数f(x)＝ 若f(x)＝10，则x＝_________．
【解析】 当x≥0时，f(x)＝x2＋1＝10，
解得x＝－3(舍去)或x＝3；
当x<0时，f(x)＝－2x＝10，
解得x＝－5.
综上知x＝－5或x＝3.
－5或3
[规律方法]
(1)求分段函数的函数值时，一般应先确定自变量的取值在哪个
子区间上，然后用与这个区间相对应的解析式求函数值．
(2)已知分段函数的函数值，求自变量的值，要进行分类讨论，
逐段用不同的函数解析式求解，求解最后检验所求结果是否
适合条件．
(3)实际问题中的分段函数，以自变量在不同区间上的对应关系
不同进行分段，求出在各个区间上的对应关系(解析式或图
象).
设函数f(x)＝ 若f(a)＝a，则实数a的值
是__________．
－1
例5 设函数f(x)＝|x2－2x|.
(1)在给出的平面直角坐标系中作出y＝f(x)的图象；
(2)若方程f(x)＝a有三个不相等的实根，求实数a的值；
(3)在同一坐标系中作直线y＝x，观察图象写出不等式f(x)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式
是___________________________．
【迁移探究】 若某汽车以52 km/h的速度从A地驶向260 km远处的B地，在B地停留 h后，再以65 km/h的速度返回A地．
则汽车离开A地后行驶的路程s(km)关于时间t(h)的函数解析式
为s＝____________________________．
1．已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为( )
A．－2 B．6
C．1 D．0
【解析】 令x－1＝2，则x＝3，得f(2)＝32－3＝6.
2．设函数f(x)＝ 则f[f(3)]等于( )
B
D
3．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝3x＋2
B．f(x)＝3x＋1
C．f(x)＝3x－1
D．f(x)＝3x＋4
A
4．若一次函数的图象经过点A(1，6)和B(2，8)，则该函数的图
象还可能经过的点的坐标为( )
A
5．已知函数f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式
是___________________．
【解析】 方法一：设t＝x－1，则x＝t＋1.
因为f(x－1)＝x2＋4x－5，
所以f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，
即f(x)的解析式是f(x)＝x2＋6x.
方法二：因为f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)，
所以f(x)的解析式是f(x)＝x2＋6x.
f(x)＝x2＋6x函数的表示法
[课程目标] 1.掌握函数的三种表示法——解析法、图象法、列表法；2.会求函数的解析式，并正确画出函数的图象；3.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．
知识点一 函数的三种表示法
表示法 定义
解析法 用__数学表达式__表示两个变量之间的对应关系
图象法 用__图象__表示两个变量之间的对应关系
列表法 通过__列出表格____来表示两个变量之间的对应关系
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)任何一个函数都有解析式．( × )
(2)任何一个函数都能够用图象表示．( × )
(3)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a可以有两个交点．( × )
(4)如果函数有解析式，则解析式是唯一的．( × )
【解析】 (1)不是所有函数都能够用解析式表示，例如，一天内气温随时间变化的关系，只能够用图象表示，不能用解析式表示．
(2)不一定．如函数的对应关系是：当x为有理数时，函数值等于1；当x为无理数时，函数值等于0.此函数就无法用图象法表示．
(3)由函数的概念知，自变量确定，则函数值唯一确定，所以y＝f(x)的图象与直线x＝a最多只有1个交点．
(4)一个函数可以有多个解析式，这些解析式是等价的．
知识点二 分段函数
对于一个函数来说，对应关系__由几个解析式共同__构成，它的图象__由几条曲线共同____组成，这样的函数称为分段函数．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)分段函数各段的定义域区间是不可以相交的．( √ )
(2)分段函数各段的对应关系不同，所以分段函数是由几个不同的函数构成的．( × )
(3)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式求值．( √ )
【解析】 (1)分段函数各段的定义域区间的交集为空集，定义域是各段的定义域区间的并集．
(2)分段函数是一个函数，只不过在定义域的不同区间上的对应关系不同．
(3)由自变量与函数值的对应关系知，说法正确．
给定函数f(x)＝x＋1，h(x)＝，x∈R且x≠0.用M(x)表示f(x)，h(x)中的最大者，记为M(x)＝max{f(x)，h(x)}，试分别用图象法和解析法表示M(x).
解：如图所示，在同一坐标系中分别作出函数f(x)＝x＋1，h(x)＝的图象，根据函数M(x)的定义知，函数M(x)的图象是图中的实线部分．
由x＋1＝得x2＋x－2＝0，
解得x＝－2或x＝1.
所以函数M(x)的解析式为
M(x)＝
活学活用
用m(x)表示f(x)，g(x)，h(x)中的最小者，记为m(x)＝min{f(x)，g(x)，h(x)}．已知f(x)＝x＋2，g(x)＝－x＋，h(x)＝－x＋2，试作出函数m(x)的图象，并写出m(x)的解析式．
解：如图所示，在同一坐标系中分别作出函数f(x)＝x＋2，g(x)＝－x＋，h(x)＝－x＋2的图象，根据函数m(x)的定义知，函数m(x)的图象是图中的实线部分.
由x＋2＝－x＋得x＝－1，由－x＋＝－x＋2得x＝3.
所以函数m(x)的解析式为
m(x)＝
[规律方法]作函数图象的三个步骤：
(1)列表，先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来；
(2)描点，把表中一系列的点(x，f(x))在坐标平面上描出来；
(3)连线，用光滑的线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来．
【迁移探究】如图所示，函数y＝ax2＋bx＋c与y＝ax＋b(a≠0)的图象可能是__④__(填序号).
【解析】 由抛物线的对称轴是y轴，可知b＝0，而此时直线应该过原点，故①不可能；由抛物线可知，a>0，而此时由直线的图象得，a<0，故②不可能；由抛物线可知，a<0，而此时由直线的图象得，a>0，故③不可能；由抛物线可知，a<0，b>0，满足直线图象，可知④可能是两个函数的图象．
(1)若一次函数f(x)满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，求f(x)的解析式；
(2)设二次函数f(x)满足f(x－2)＝f(－x－2)，且图象与y轴交点的纵坐标为1，被x轴截得的线段长为2，求f(x)的解析式．
解：(1)由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0).
因为3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，
所以3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，
即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，
比较对应项系数，得解得
所以f(x)＝x＋3.
(2)方法一：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由f(x－2)＝f(－x－2)，得4a－b＝0.①
又因为|x1－x2|＝＝2，所以b2－4ac＝8a2；②
又由已知得c＝1.③
由①②③解得b＝2，a＝，c＝1，所以f(x)＝x2＋2x＋1.
方法二：因为f(x－2)＝f(－x－2)，
所以y＝f(x)的图象的对称轴为直线x＝－2，
又|x1－x2|＝2，
所以y＝f(x)的图象与x轴的交点为(－2－，0)，(－2＋，0)，
故可设f(x)＝a(x＋2＋)(x＋2－).因为f(0)＝1，所以a＝，
所以f(x)＝[(x＋2)2－2]＝x2＋2x＋1.
求下列函数的解析式．
(1)已知f(x)＝x2＋2x，求f(2x－1)；
(2)已知f(－1)＝x＋2，求f(x)；
(3)设f(x)是定义在(1，＋∞)上的一个函数，且有f(x)＝2f－1，求f(x).
解：(1)易知f(2x－1)＝(2x－1)2＋2(2x－1)＝4x2－1.
(2)令t＝－1，则t≥－1，且＝t＋1，
所以f(t)＝(t＋1)2＋2(t＋1)＝t2＋4t＋3.
故所求的函数为f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1).
(3)因为f(x)＝2f－1，
所以用代换x，得f＝2f(x)－1.
消去f，解得f(x)＝4f(x)－2－1，
所以f(x)＝＋.
又因为x∈(1，＋∞)，所以f(x)＝＋，x∈(1，＋∞).
活学活用
已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，则f(x)的解析式是( C )
A．f(x)＝x＋ B．f(x)＝－2x＋
C．f(x)＝－x＋ D．f(x)＝－x＋
【解析】 因为f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，①
所以把①中的x换成－x，得f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1.②
由②×3－①，可得f(x)＝－x＋.
[规律方法]
求函数解析式的几种常用方法：
(1)待定系数法：当已知函数类型时，常用待定系数法．
(2)代入法：已知y＝f(x)的解析式，求函数y＝f[g(x)]的解析式时，可直接用新自变量g(x)替换y＝f(x)中的x.
(3)换元法：已知y＝f[g(x)]的解析式，求y＝f(x)的解析式，可用换元法，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入y＝f[g(x)]中，求出f(t)，即得f(x).
(4)构造方程组法：当同一个对应关系中的两个自变量之间有互为相反数或者互为倒数关系时，构造方程组求解．
已知函数f(x)＝若f(x)＝10，则x＝__－5或3__．
【解析】 当x≥0时，f(x)＝x2＋1＝10，解得x＝－3(舍去)或x＝3；当x<0时，f(x)＝－2x＝10，解得x＝－5.综上知x＝－5或x＝3.
[规律方法]
(1)求分段函数的函数值时，一般应先确定自变量的取值在哪个子区间上，然后用与这个区间相对应的解析式求函数值．
(2)已知分段函数的函数值，求自变量的值，要进行分类讨论，逐段用不同的函数解析式求解，求解最后检验所求结果是否适合条件．
(3)实际问题中的分段函数，以自变量在不同区间上的对应关系不同进行分段，求出在各个区间上的对应关系(解析式或图象).
活学活用
设函数f(x)＝若f(a)＝a，则实数a的值是__－1__．
【解析】 当a≥0时，f(a)＝－1＝a，得a＝－2(舍去)；当a<0时，f(a)＝＝a，得a＝±1，a＝1不满足a<0，舍去，所以a＝－1.
设函数f(x)＝|x2－2x|.
(1)在给出的平面直角坐标系中作出y＝f(x)的图象；
(2)若方程f(x)＝a有三个不相等的实根，求实数a的值；
(3)在同一坐标系中作直线y＝x，观察图象写出不等式f(x)解：(1)f(x)＝|x2－2x|＝
可得函数f(x)的图象如图所示．
(2)方程f(x)＝a有三个不相等实根 y＝f(x)的图象与y＝a有三个交点，
结合图象可知a＝1.
(3)结合图象可知f(x)活学活用
已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是__f(x)＝__．
【解析】 因为函数的图象由两条线段组成，所以由一次函数解析式求法，可得f(x)＝
【迁移探究】 若某汽车以52 km/h的速度从A地驶向260 km远处的B地，在B地停留h后，再以65 km/h的速度返回A地．则汽车离开A地后行驶的路程s(km)关于时间t(h)的函数解析式为s＝____．
【解析】 因为260÷52＝5(h)，260÷65＝4(h)，
所以s＝
1．已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为( B )
A．－2 B．6 C．1 D．0
【解析】 令x－1＝2，则x＝3，得f(2)＝32－3＝6.
2．设函数f(x)＝则f[f(3)]等于( D )
A． B．3 C． D．
【解析】 因为f(3)＝，所以f[f(3)]＝f＝＋1＝.
3．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是( A )
A．f(x)＝3x＋2 B．f(x)＝3x＋1
C．f(x)＝3x－1 D．f(x)＝3x＋4
【解析】 令2x＋1＝t，则x＝.所以f(t)＝6×＋5＝3t＋2，所以f(x)＝3x＋2.
4．若一次函数的图象经过点A(1，6)和B(2，8)，则该函数的图象还可能经过的点的坐标为( A )
A． B．
C．(－1，3) D．(－2，1)
【解析】 设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，由该函数的图象经过点A(1，6)和B(2，8)，得解得所以该函数的解析式为y＝2x＋4，检验知A选项正确．
5．已知函数f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是__f(x)＝x2＋6x__．
【解析】 方法一：设t＝x－1，则x＝t＋1.
因为f(x－1)＝x2＋4x－5，所以f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，即f(x)的解析式是f(x)＝x2＋6x.
方法二：因为f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)，所以f(x)的解析式是f(x)＝x2＋6x.
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第三章 函数的概念与性质
3．1 函数的概念及其表示
3．1.1 函数的概念
[课程目标] 1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素；
2.能正确使用区间表示数集，会求简单函数的定义
域、函数值和值域．
知识点一 函数的有关概念
函数的定义 一般地，设A，B是 _ ___，如果对于集合A中的 _ ___，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有_ _和它对应，那么就称 为从集合A到集合B的一个函数
函数的记法 ___________________
函数的定义域 x叫做自变量，x的 叫做函数的定义域
函数的值域 函数值的集合 叫做函数的值域
非空的实数集
任意一个数x
唯一确定的数y
f：A→B
y＝f(x)，x∈A
取值范围A
{f(x)|x∈A}
[研读]函数就是两个非空实数集的元素之间按照一定规则建立起来的对应关系．
【思辨】判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)定义域或值域为空集的函数不存在．( )
(2)若给定A中每一个x值都有唯一的y值与之对应，则集合A就
是函数的定义域．( )
(3)符号y＝f（x）表示“x对应的函数值”，f表示对应关系．
( )
【解析】 (1)因为A，B都是非空的实数集，所以定义域或值域为空集的函数不存在．
(2)根据定义域的概念知说法正确．
(3)根据函数的定义知说法正确．
√
√
√
知识点二 区间表示
设a，b是两个实数，且a(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做____区间，表示为____________；
(2)满足不等式a(3)满足不等式a≤x____________区间，分别表示为__________，__________．
闭
[a，b]
开
(a，b)
半开半闭
[a，b)
(a，b]
【思辨】判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)区间是集合的另一种表达方式，开或闭不能混淆．( )
(2)若[a，b]是确定区间，则一定有a(3)由于区间是表示数集的一种形式，因此对于集合的运算仍然
成立．( )
(4)“∞”只是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一
些性质和运算法则，以“－∞”或“＋∞”为区间的一个端
点时，这一端必须用小括号．( )
【解析】 (1)区间是一类特殊的连续数集的符号表示，因此是集合的另一种表示．
(3)集合的运算适用于区间之间的运算．
√
√
√
√
知识点三 同一个函数
1．函数的三要素：________、__________和______．
2．如果两个函数的_____________，并且__________________
我们就称这两个函数是同一个函数．
[研读]两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同．
定义域
对应关系
值域
定义域相同
对应关系完全一致
【思辨】判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数．( )
(2)解析式不同的两个函数不是同一个函数．( )
(3)函数f(x)＝2x(x∈R)与g(t)＝2t(t∈R)不是同一个函数．( )
(4)值域相同，对应关系相同的两个函数是同一个函数．( )
×
×
×
×
例1 教材拓展下列给出的四个图形中，是函数图象的是( )
A．①② B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【解析】 根据函数的定义，对x∈A，都有唯一的y∈B和它对应，在图②中对应的y不唯一，所以不是函数图象，故选B.
B
例2 下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是( )
B
[规律方法]
1．判断对应关系是否构成函数，关键是判断两个方面，一是
自变量x的取值是否任意，二是对应的y是否唯一．
2．判断两个函数是否相等，要根据函数的三要素来判断，即
看函数的定义域、对应关系、值域是否一致，当三者都一致
的时候，两个函数才是相同函数．
1．下列各图中，可表示函数y＝f(x)图象的只可能是( )
D
2．下列各组的两个函数属于同一个函数的是_______．
(填序号)
③⑤
例3 求下列函数的定义域：
求下列函数的定义域：
[规律方法]
1．求函数的定义域，其实质是以使函数的表达式所含运算有
意义为原则，其原则有：①分式中分母不为零；②偶次根
式中被开方数非负；③对于y＝x0，要求x≠0；④实际问题
中函数定义域要考虑实际意义．
2．如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的
形式构成，那么定义域是使各部分都有意义的公共部分的
集合．
3．函数的定义域要用集合或区间的形式表示．
例4 (1)若函数f(x)的定义域为[－2，1]，求函数f(2x＋1)的定义域；
(2)若函数f(x)的定义域为[－2，1]，求函数
y＝ 的定义域．
[规律方法]
因为f(g(x))就是用g(x)代替了f(x)中的x，所以g(x)的取值范
围与f(x)中的x的取值范围相同．若已知函数f(x)的定义域为
[a，b]，则函数f(g(x))的定义域是指满足不等式a≤g(x)≤b的x的
取值范围；而已知f(g(x))的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]
要求f(x)的定义域，就是求x∈[a，b]时g(x)的值域．
例5 已知函数f(x)＝3x2－2x－1，则f(－2)＝____；f(m－1)＝
________________；f[f(－1)]＝______．
【解析】 f(－2)＝3×(－2)2－2×(－2)－1＝15.
f(m－1)＝3(m－1)2－2(m－1)－1＝3m2－8m＋4.
因为f(－1)＝3×(－1)2－2×(－1)－1＝4，
所以f[f(－1)]＝f(4)＝3×42－2×4－1＝39.
15
3m2－8m＋4
39
已知f(x)＝2x＋3，则f(1)＝____，f(a) ＝________，f(m＋n) ＝_____________，f[f(x)] ＝_________．
【解析】 f(1)＝2×1＋3＝5；f(a)＝2a＋3；
f(m＋n)＝2(m＋n)＋3＝2m＋2n＋3；
f[f(x)]＝2f(x)＋3＝2(2x＋3)＋3＝4x＋9.
5
2a＋3
2m＋2n＋3
4x＋9
例6 求下列函数的值域：
[规律方法]
1．函数值的求法及注意事项
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)
的值；
(2)求f[g(a)]的值应遵循由里往外的原则；
(3)用来替换表达式中x的数a必须是函数定义域内的值，否
则函数无意义．
2．简单函数的值域的求法
目前我们学过的函数主要有一次函数、二次函数、反比例
函数，一次函数的值域为R，二次函数的值域可用公式法、
配方法或图象法，反比例函数可用图象法．在求值域时，
一定要考虑定义域，如求y＝x2－2x(－1≤x<2)的值域，公式
法就不可用，要根据定义域结合图象求解．
1．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其
中能表示从集合M到N的函数关系的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】 由函数的定义知，M中任意一个x，在N中都有唯
一的y与之对应，故①②④正确．
C
2．设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{1}，则
集合A不可能是( )
A．{1} B．{－1}
C．{－1，1} D．{－1，0}
【解析】 由函数的定义可知，x＝0时，集合B中没有元素
与之对应，所以集合A不可能是{－1，0}．故选D.
3．已知函数f(x－1)＝2x2－1，则f(0)等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．3
【解析】 令x－1＝0，则x＝1，所以f(0)＝2×12－1＝1.
D
C
4．下列四组函数中是同一个函数的是( )
【解析】 选项A，C，D中两个函数的定义域均不同；选项
B的定义域和对应关系分别相同．故选B.
B
5．函数y＝ 的定义域是 ．
(－3，2)∪(2，＋∞)函数的概念
[课程目标] 1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素；2.能正确使用区间表示数集，会求简单函数的定义域、函数值和值域．
知识点一 函数的有关概念
函数的定义 一般地，设A，B是 __非空的实数集__，如果对于集合A中的 __任意一个数x__，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有__唯一确定的数y__和它对应，那么就称__f：A→B__为从集合A到集合B的一个函数
函数的记法 __y＝f(x)，x∈A__
函数的定义域 x叫做自变量，x的__取值范围A__叫做函数的定义域
函数的值域 函数值的集合__{f(x)|x∈A}__叫做函数的值域
[研读]函数就是两个非空实数集的元素之间按照一定规则建立起来的对应关系．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)定义域或值域为空集的函数不存在．( √ )
(2)若给定A中每一个x值都有唯一的y值与之对应，则集合A就是函数的定义域．( √ )
(3)符号y＝f表示“x对应的函数值”，f表示对应关系．( √ )
【解析】 (1)因为A，B都是非空的实数集，所以定义域或值域为空集的函数不存在．
(2)根据定义域的概念知说法正确．
(3)根据函数的定义知说法正确．
知识点二 区间表示
设a，b是两个实数，且a(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做__闭__区间，表示为__[a，b]__；
(2)满足不等式a(3)满足不等式a≤x 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)区间是集合的另一种表达方式，开或闭不能混淆．( √ )
(2)若是确定区间，则一定有a(3)由于区间是表示数集的一种形式，因此对于集合的运算仍然成立．( √ )
(4)“∞”只是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则，以“－∞”或“＋∞”为区间的一个端点时，这一端必须用小括号．( √ )
【解析】 (1)区间是一类特殊的连续数集的符号表示，因此是集合的另一种表示．
(3)集合的运算适用于区间之间的运算．
知识点三 同一个函数
1．函数的三要素：__定义域__、__对应关系__和__值域____．
2．如果两个函数的__定义域相同__，并且__对应关系完全一致__，我们就称这两个函数是同一个函数．
[研读]两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数．( × )
(2)解析式不同的两个函数不是同一个函数．( × )
(3)函数f(x)＝2x(x∈R)与g(t)＝2t(t∈R)不是同一个函数．( × )
(4)值域相同，对应关系相同的两个函数是同一个函数．( × )
【解析】 (1)不一定．因为定义域和值域不能确定函数的对应关系．如y＝x＋1与y＝x－1，两个函数的定义域和值域均为实数集R，但这两个函数不是同一个函数．
(2)不一定．如y＝|x|与y＝是同一个函数．
(3)函数f(x)＝2x(x∈R)与g(t)＝2t(t∈R)是同一个函数，函数的表示与字母的选择无关，只要函数的定义域和对应关系相同就是同一个函数．
(4)不一定．如y＝x2(x≥0)与y＝x2(x≤0)，值域相同，对应关系相同，但是定义域不同，不是同一个函数．
教材拓展下列给出的四个图形中，是函数图象的是( B )
A．①② B．①③④
C．①②③ D．①②③④
【解析】 根据函数的定义，对x∈A，都有唯一的y∈B和它对应，在图②中对应的y不唯一，所以不是函数图象，故选B.
下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是( B )
A．y＝()2
B．y＝
C．y＝
D．y＝－1
【解析】 选项A中，y＝()2＝x(x≥0)，y≥0，定义域不同且值域不同，所以两个函数不是同一个函数；选项B中，y＝＝x(x∈R)，y∈R，对应关系相同，定义域和值域都相同，所以是同一个函数；选项C中，y＝，y≥0，与y＝x值域不同，且当x<0时，它的对应关系与函数y＝x不相同，所以不是同一个函数；选项D中，y＝－1的定义域为{x|x≠－1}，与函数y＝x的定义域不相同，所以不是同一个函数．
[规律方法]
1．判断对应关系是否构成函数，关键是判断两个方面，一是自变量x的取值是否任意，二是对应的y是否唯一．
2．判断两个函数是否相等，要根据函数的三要素来判断，即看函数的定义域、对应关系、值域是否一致，当三者都一致的时候，两个函数才是相同函数．
活学活用
1．下列各图中，可表示函数y＝f(x)图象的只可能是( D )
A. B. C. D.
2．下列各组的两个函数属于同一个函数的是__③⑤__．(填序号)
①f(x)＝x－1，x∈R与g(x)＝x－1，x∈N；
②f(x)＝与g(x)＝·；
③y＝1＋与u＝1＋；
④y＝1与f(x)＝x0；
⑤f(x)＝x2－1与g(u)＝u2－1.
求下列函数的定义域：
(1)y＝＋； (2)y＝.
解：(1)由题意得
所以函数的定义域为(－2，3)∪(3，＋∞).
(2)由题意得
所以函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，0).
活学活用
求下列函数的定义域：
(1)y＝； (2)y＝＋＋.
解：(1)由题意得x2＋x－1≠0 x≠，
所以函数定义域为.
(2)由题意得
所以函数的定义域为[－5，－3)∪(－3，3)∪(3，5].
[规律方法]
1．求函数的定义域，其实质是以使函数的表达式所含运算有意义为原则，其原则有：①分式中分母不为零；②偶次根式中被开方数非负；③对于y＝x0，要求x≠0；④实际问题中函数定义域要考虑实际意义．
2．如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成，那么定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．
3．函数的定义域要用集合或区间的形式表示．
(1)若函数f(x)的定义域为[－2，1]，求函数f(2x＋1)的定义域；
(2)若函数f(x)的定义域为[－2，1]，求函数y＝f·f的定义域．
解：(1)若y＝f(2x＋1)有意义，
则－2≤2x＋1≤1，所以－≤x≤0，
所以函数f(2x＋1)的定义域为.
(2)若y＝f·f有意义，
则所以得－≤x≤.
所以函数y＝f·f的定义域为.
[规律方法]
因为f(g(x))就是用g(x)代替了f(x)中的x，所以g(x)的取值范围与f(x)中的x的取值范围相同．若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f(g(x))的定义域是指满足不等式a≤g(x)≤b的x的取值范围；而已知f(g(x))的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]，要求f(x)的定义域，就是求x∈[a，b]时g(x)的值域．
已知函数f(x)＝3x2－2x－1，则f(－2)＝__15__；f(m－1)＝__3m2－8m＋4__；f[f(－1)]＝__39__．
【解析】 f(－2)＝3×(－2)2－2×(－2)－1＝15.
f(m－1)＝3(m－1)2－2(m－1)－1＝3m2－8m＋4.
因为f(－1)＝3×(－1)2－2×(－1)－1＝4，
所以f[f(－1)]＝f(4)＝3×42－2×4－1＝39.
活学活用
已知f(x)＝2x＋3，则f(1)＝__5__，f(a) ＝__2a＋3__，f(m＋n) ＝__2m＋2n＋3__，f[f(x)] ＝__4x＋9__．
【解析】 f(1)＝2×1＋3＝5；f(a)＝2a＋3；
f(m＋n)＝2(m＋n)＋3＝2m＋2n＋3；
f[f(x)]＝2f(x)＋3＝2(2x＋3)＋3＝4x＋9.
求下列函数的值域：
(1)y＝x2－4x＋6 ，x∈[－2，3]；(2)y＝；
(3)y＝.
解： (1)∵y＝(x－2)2＋2，x∈[－2，3]，
∴y∈，所以值域为.
(2)∵y＝＝＝2－≠2，
∴y∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
∴值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).
(3)令u＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1，则y＝，
∵u∈[1，＋∞)，∴y∈(0，1]，
∴值域为(0，1].
[规律方法]
1．函数值的求法及注意事项
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值；
(2)求f[g(a)]的值应遵循由里往外的原则；
(3)用来替换表达式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义．
2．简单函数的值域的求法
目前我们学过的函数主要有一次函数、二次函数、反比例函数，一次函数的值域为R，二次函数的值域可用公式法、配方法或图象法，反比例函数可用图象法．在求值域时，一定要考虑定义域，如求y＝x2－2x(－1≤x<2)的值域，公式法就不可用，要根据定义域结合图象求解．
1．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到N的函数关系的有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】 由函数的定义知，M中任意一个x，在N中都有唯一的y与之对应，故①②④正确．
2．设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{1}，则集合A不可能是( D )
A．{1} B．{－1}
C．{－1，1} D．{－1，0}
【解析】 由函数的定义可知，x＝0时，集合B中没有元素与之对应，所以集合A不可能是{－1，0}．故选D.
3．已知函数f(x－1)＝2x2－1，则f(0)等于( C )
A．－1
B．0
C．1
D．3
【解析】 令x－1＝0，则x＝1，所以f(0)＝2×12－1＝1.
4．下列四组函数中是同一个函数的是( B )
A．f(x)＝|x|，g(x)＝()2
B．f(s)＝2s＋1，g(t)＝2t＋1
C．f(x)＝|x|，g(x)＝
D．f(x)＝，g(x)＝x＋4
【解析】 选项A，C，D中两个函数的定义域均不同；选项B的定义域和对应关系分别相同．故选B.
5．函数y＝－的定义域是__(－3，2)∪(2，＋∞)__．
【解析】 要使函数有意义，x必须满足即即x>－3且x≠2，所以函数的定义域为(－3，2)∪(2，＋∞).
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