第2课时 函数的最大(小)值
[课程目标] 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义；2.理解函数的最大(小)值是在整个定义域上研究函数，体会求函数最值是函数单调性的应用之一；3.会求一些简单函数的最值．
知识点一 函数的最大(小)值的定义及几何意义
设y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
最值 条件 几何意义
最大值 (1)对于任意x∈I， 都有__f(x)≤M__； (2)存在x0∈I，使得 f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标
最小值 (1)对于任意x∈I， 都有__f(x)≥M__； (2)存在x0∈I，使得 f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)函数f(x)＝－x2＋1≤2总成立，则f(x)的最大值是2.( × )
(2)函数的最大值或最小值一定是函数值域中的元素.( √ )
(3)函数f(x)的值域是(0，＋∞)，则函数f(x)的最小值为0.( × )
(4)若函数f(x)在区间[a，b]上具有单调性，则f(a)或f(b)是函数f(x)的最大值或最小值．( √ )
【解析】 (1)函数f(x)的定义域中不存在x0，使f(x0)＝2，所以2不是f(x)的最大值．
(2)函数的最大值和最小值也是函数值，所以函数的最大值或最小值一定是函数值域中的元素．
(3)函数的值域中不包含0，所以0不是函数的最小值．
(4)根据函数最大(小)值的定义知说法正确．
知识点二 求函数的最值的常用方法
1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．
2．运用已学函数的值域．
3．运用函数的单调性
(1)若判断y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝__f(b)__，ymin＝__f(a)__．
(2)若判断y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝__f(a)__，ymin＝__f(b)__．
(3)若y＝f(x)是定义在区间(a，b)或R上的连续函数，则函数y＝f(x)的最大(小)值要根据具体函数而定．
4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中的最大(小)的那个．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)函数y＝－2x＋3在(2，5]上有最小值－7，没有最大值．( √ )
(2)函数y＝在[1，2]上有最大值1，最小值.( √ )
(3)函数y＝x2＋2x＋3的最小值为2.( √ )
(4)函数y＝x2＋2x＋4(x∈[－3，－2])的最小值为2.( × )
【解析】 (1)函数y＝－2x＋3在(2，5]上单调递减，所以当x＝5时，取得最小值－7，没有最大值．
(2)函数y＝在[1，2]上单调递减，所以在定义域区间的端点取得最值．
(3)由二次函数的图象或单调性知，函数的最小值为2.
(4)由函数y＝x2＋2x＋4(x∈[－3，－2])图象知，函数在区间的右端点取得最小值，最小值为4.
已知函数f(x)＝x2－2ax＋3，求f(x)在区间[0，2]上的最小值g(a)和最大值h(a).
解：f(x)＝(x－a)2＋3－a2，对称轴为直线x＝a，
f(a)＝3－a2，f(0)＝3，f(2)＝7－4a，
∴g(a)＝，
h(a)＝max{f(0)，f(2)}＝
活学活用
1．求函数f(x)＝x2－2ax＋2在[－1，1]上的最小值．
解：函数f(x)图象的对称轴为直线x＝a，且函数图象开口向上，
如图1，当a>1时，f(x)在[－1，1]上单调递减，
故f(x)min＝f(1)＝3－2a；
如图2，当－1≤a≤1时，f(x)在[－1，1]上先减后增，
故f(x)min＝f(a)＝2－a2；
如图3，当a<－1时，f(x)在[－1，1]上单调递增，
故f(x)min＝f(－1)＝3＋2a.
综上可知，f(x)min＝
2．已知函数f(x)＝x2＋4x＋3，求f(x)在区间[t，t＋1]上的最小值g(t)和最大值h(t).
解：由f(x)＝(x＋2)2－1，对称轴为直线x＝－2，
f(－2)＝－1，f(t)＝t2＋4t＋3，f(t＋1)＝t2＋6t＋8，结合图象可知
g(t)＝
h(t)＝max{f(t)，f(t＋1)}＝
某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在如图所示中的两条线段上．该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：
(1)根据提供的图象，写出该股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；
(2)根据表中数据，确定该股票日交易量Q(万股)与时间t(天)的函数关系式；
(3)用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求出在这30天中第几天日交易额最大，最大是多少．
解：(1)由图象知，前20天满足递增的直线方程，且过(0，2)，(20，6)两点，易求得直线方程为P＝t＋2.从第20天到第30天满足递减的直线方程，且过(20，6)，(30，5)两点，易求得直线方程为P＝－t＋8.故函数关系式为
P＝
(2)由表易知，Q与t满足一次函数关系式，
即Q＝－t＋40，0
(3)由(1)(2)可知，y＝
当0当20≤t≤30时，y随t的增大而减小，
所以x＝20时，ymax＝120.因为120<125，
所以这30天中第15天的日交易额最大，最大值为125万元．
[规律方法]
1．分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者，故求分段函数的最大或最小值，应先求各段上的最值，再比较即可得函数的最大、最小值．
2．如果函数的图象容易作出，画出分段函数的图象，观察图象的最高点与最低点，并求其纵坐标即可得函数的最大值、最小值．
活学活用
设函数f(x)＝x|x－1|＋m，当m>1时，求f(x)在[0，m]上的最大值．
解：f(x)＝x|x－1|＋m＝
当0≤x≤1时，f(x)＝－x2＋x＋m＝－＋m＋≤m＋；
当1∴函数f(x)在(1，m)上单调递增，∴f(x)max＝f(m)＝m2.
∴f(x)max＝max＝
已知函数f(x)＝，x∈[2，＋∞).
(1)求f(x)的最小值；
(2)若f(x)>a恒成立，求a的取值范围．
解：(1)任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x12，所以x1x2>4，1－>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故f(x)在[2，＋∞)上单调递增，
所以当x＝2时，f(x)有最小值，最小值为f(2)＝.
(2)因为f(x)的最小值为f(2)＝，
所以f(x)>a恒成立，只需f(x)min>a，得a<.
活学活用
求函数f(x)＝在区间[1，2]上的最大值和最小值．
解：因为f(x)＝， x1，x2∈[1，2]，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
因为1≤x1＜x2≤2，所以x1－3<0，x2－3<0，2即6<3(x1＋x2)＜12.又10，
故f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)＝在区间[1，2]上单调递减，
所以f(x)max＝f(1)＝－，f(x)min＝f(2)＝－4.
[规律方法]
1．函数的最值与单调性的关系．
(1)若f(x)在[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；
(2)若f(x)在[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a).
2．利用函数的单调性求最值，要熟练掌握一些常见函数的基本性质．
【迁移探究】 已知函数f＝，x∈.
(1)若不等式f>a在上恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若不等式f>a在上有解，求实数a的取值范围．
解：(1)由题意可得，即求f(x)的最小值，f(x)＝＝1－，判断可得函数f(x)在上单调递增，故f(x)min＝f(3)＝，故a<.
(2)由题意可得，即求f的最大值，f(x)＝＝1－，判断可得函数f(x)在上单调递增，故f(x)max＝f(5)＝，故a<.
1．函数f(x)的部分图象如图所示，则该函数在[－2，2]上的最小值、最大值分别是( C )
A．f(－2)，f(3)
B．0，2
C．f(－2)，2
D．f(2)，2
【解析】 由图象可知，x＝－2时，f(x)取得最小值f(－2)；x＝1时，f(x)取得最大值f(1)＝2.故选C.
2．函数y＝2x2＋1，x∈N*的最值情况是( B )
A．无最大值，最小值是1
B．无最大值，最小值是3
C．无最大值，也无最小值
D．不能确定最大、最小值
【解析】 因为x∈N*，且函数在(0，＋∞)上单调递增，故函数在x＝1时取得最小值，最小值为3，无最大值．故选B.
3．函数f(x)＝在区间上的最大值是( C )
A． B．－1
C．4 D．－4
【解析】 因为f(x)＝在区间上单调递减，所以f(x)max＝f＝4.
4．若函数y＝(k>0)在[2，4]上的最小值为5，则k＝__20__．
【解析】 因为k>0，所以函数y＝在[2，4]上单调递减，所以当x＝4时，y＝最小，由题意知＝5，得k＝20.
5．函数f(x)＝x2＋3x＋a在区间(－3，3)上的最小值为__a－__．
【解析】 因为f(x)＝x2＋3x＋a＝＋a－，－37第1课时 单调性的概念与证明
[课程目标] 1.理解函数单调性的定义及其几何意义；明确增函数、减函数的图象特征；2.能根据图象写出函数的单调区间，并能利用定义进行证明．
知识点一 增函数与减函数的定义
[研读]单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同区间上可以有不同的单调性，即单调性是函数的一个“局部”性质．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)所有的函数在定义域上都具有单调性．( × )
(2)函数f(x)的定义域为D, 存在x1，x2∈D，若x1f(x2)，那么f(x)是减函数．( × )
(3)函数y＝在定义域上单调递减．( × )
(4)函数f(x)＝在定义域上单调递增.( √ )
【解析】 (1)不是所有函数都具有单调性，如函数y＝x2在定义域R上就不是单调函数．
(2)不一定，如函数f(x)＝－x2，f(－1)>f(2)，但f(x)＝－x2不是减函数．
(3)函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，只能说函数y＝在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减．
(4)作出函数f(x)的图象，可知f(x)在定义域上单调递增．
知识点二 单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)__单调性__，区间D叫做y＝f(x)的__单调区间__．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)函数的单调区间是函数定义域的子集．( √ )
(2)函数f(x)＝－的单调递增区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( × )
(3)函数f(x)＝x2－2x(x∈[－1，2])的单调递增区间是[1，2]，单调递减区间是[－1，1].( √ )
(4)函数y＝2x＋1在[0，3]上单调递增，则[0，3]是函数的单调递增区间．( × )
【解析】 (2)函数f(x)＝－的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞).注意两个区间之间要用逗号或“和”连接．
(4)函数在定义域内的某区间递增，这个区间不一定是函数的单调递增区间，它可能是单调区间的子集．
画出函数y＝x2－2|x|＋2的图象，并讨论函数的单调性．
解：y＝x2－2|x|＋2＝图象如图所示．由图可知，函数在区间(－∞，－1)和(0，1)上单调递减，在区间[－1，0]和[1，＋∞)上单调递增．
活学活用
1．定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数的单调递减区间是__[－5，－2]__，__[1，3]__，在区间__[－2，1]__，__[3，5]__上单调递增.
2．作出函数f(x)＝x2－|x|的图象，并讨论函数的单调性．
解：f(x)＝x2－|x|＝作出函数图象如图所示．
由图可知，函数f(x)在和上单调递减，
在和上单调递增．
(1)利用定义判断函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上的单调性；
(2) 利用定义判断函数f(x)＝x3在R上的单调性．
解：(1)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1f(x2)－f(x1)＝－＝
＝.
因为x1所以x2－x1>0，x1＋3>0，x2＋3>0.
所以函数f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
所以函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上单调递增．
(2) x1，x2∈R，且x1由f(x1)－f(x2)＝x－x＝(x＋x1x2＋x)
＝.
因为x10，
即f(x1)活学活用
求证：函数f(x)＝x＋(a>0)在区间(0，)上单调递减．
证明： x1，x2∈(0，)，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝.
由00，
即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝x＋在区间(0，)上单调递减．
[规律方法]
证明函数f(x)在区间D上的单调性应遵循以下步骤：
①设元：设 x1，x2∈D，且x1②作差：将函数值f(x1)，f(x2)作差，有f(x1)－f(x2)或f(x2)－f(x1)；
③变形：将上述差值变形(因式分解、配方等)；
④判号：对上述变形结果的正负加以判断；
⑤定论：根据定义对f(x)的单调性作出结论．
已知函数f(x)在区间(－1，1)上单调递减，且f(a－1)>f(1－4a)，求a的取值范围．
解：由题意知解得0又因为函数f(x)在区间(－1，1)上单调递减，且f(a－1)>f(1－4a)，
所以a－1<1－4a，得a<.②
由①②得，0所以a的取值范围是.
活学活用
已知函数f(x)在区间[－1，1]上单调递减，且f(1－a)＞f(a2－1)，则实数a的取值范围为__(1，]__．
【解析】 函数f(x)在区间上单调递减，
又f(1－a)＞f(a2－1)，∴ 1[规律方法]
解决与抽象函数有关的变量的取值范围问题，关键是利用单调性“脱去”函数符号“f”，从而转化为熟悉的不等式．具体做法是：①若函数y＝f(x)在区间D上单调递增，对任意x1，x2∈D，且f(x1)x2.但需要注意的是，不要忘记函数的定义域．
(1)若函数f(x)＝－x2＋2ax＋1在区间(－∞，2)上单调递增，则实数a的取值范围是__[2，＋∞)__；
【解析】 f(x)＝－x2＋2ax＋1＝－(x－a)2＋1＋a2，抛物线开口向下，当对称轴x＝a≥2时，f(x)在区间(－∞，2)上单调递增，所以实数a的取值范围是[2，＋∞).
(2)若函数f(x)＝ax2＋在区间上单调递增，求实数a的取值范围．
解： x1，x2∈[1，＋∞)，且x1由于f(x)在区间上单调递增，
∴f(x1)－f(x2)＝a(x－x)＋<0恒成立．又x1－x2<0，
∴a(x1＋x2)－>0，即a>，∴a≥.
[规律方法]
对于一次函数、二次函数基本初等函数的单调性问题中所涉及的参数问题，要根据这些函数的图象、性质进行讨论．
活学活用
1．若函数f(x)＝ax2－(a－1)x＋5在区间上单调递增，求实数a的取值范围．
解：当a>0时，由题意得 a>0；
当a＝0时，f(x)＝x＋5在区间上单调递增成立；
当a<0时，由题意得 －1≤a<0，
综上可得，a≥－1.
2．已知函数f(x)＝x3－3x，x∈[－a，a]，若f(x)在[－a，a]上单调递减，求实数a的取值范围．
解： x1，x2∈，且x10.
由于f(x)在区间[－a，a]上单调递减，
∴f(x1)－f(x2)＝(x－3x1)－(x－3x2)＝(x1－x2)(x＋x1x2＋x－3)>0在区间[－a，a]上恒成立．
又x1－x2<0，
∴x＋x1x2＋x－3<0在x1，x2∈时恒成立 3a2－3≤0 01．函数y＝x2－6x的单调递减区间是( D )
A．(－∞，2]
B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(－∞，3]
【解析】 函数y＝x2－6x的图象的对称轴为直线x＝3，所以函数的单调递减区间是(－∞，3].
2．下列四个函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( C )
A．f(x)＝3－x
B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－
D．f(x)＝－|x|
【解析】 f(x)＝3－x在区间(0，＋∞)上单调递减；f(x)＝x2－3x在区间(0，＋∞)上不具备单调性；f(x)＝－在区间(0，＋∞)上单调递增；f(x)＝－|x|在区间(0，＋∞)上单调递减．
3．[0，3]是函数f(x)定义域内的一个区间，若f(1)A．单调递增
B．单调递减
C．既单调递增又单调递减
D．单调性不确定
【解析】 由于仅知道f(1)4．函数f(x)＝在R上( B )
A． 单调递减
B．单调递增
C．先减后增
D．无单调性
【解析】 函数f(x)的图象如图所示，由图象结合单调性定义可知，该函数在R上单调递增．故选B.
5．函数f(x)＝|x－1|－1的单调递减区间是__(－∞，1)(或(－∞，1])__．
【解析】 f(x)＝
画出图象如图所示，函数的单调递减区间为(－∞，1)(或(－∞，1]).
7(共30张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3．2 函数的基本性质
3．2.1 单调性与最大(小)值
第2课时 函数的最大(小)值
[课程目标] 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义；
2.理解函数的最大(小)值是在整个定义域上研究函
数，体会求函数最值是函数单调性的应用之一；
3.会求一些简单函数的最值．
知识点一 函数的最大(小)值的定义及几何意义
设y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
最值 条件 几何意义
最大值 (1)对于任意x∈I，
都有____ ；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标
最小值 (1)对于任意x∈I，
都有_ ___；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标
f(x)≤M
f(x)≥M
【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)函数f(x)＝－x2＋1≤2总成立，则f(x)的最大值是2.( )
(2)函数的最大值或最小值一定是函数值域中的元素.( )
(3)函数f(x)的值域是(0，＋∞)，则函数f(x)的最小值为0.( )
(4)若函数f(x)在区间[a，b]上具有单调性，则f(a)或f(b)是函
数f(x)的最大值或最小值．( )
×
√
×
√
【解析】 (1)函数f(x)的定义域中不存在x0，使f(x0)＝2，所以2不是f(x)的最大值．
(2)函数的最大值和最小值也是函数值，所以函数的最大值或最小值一定是函数值域中的元素．
(3)函数的值域中不包含0，所以0不是函数的最小值．
(4)根据函数最大(小)值的定义知说法正确．
知识点二 求函数的最值的常用方法
1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高
(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．
2．运用已学函数的值域．
3．运用函数的单调性
(1)若判断y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，
则ymax＝__________，ymin＝_______．
(2)若判断y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，
则ymax＝________，ymin＝__________．
f(b)
f(a)
f(a)
f(b)
(3)若y＝f(x)是定义在区间(a，b)或R上的连续函数，则函
数y＝f(x)的最大(小)值要根据具体函数而定．
4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中的最大
(小)的那个．
【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)函数y＝－2x＋3在(2，5]上有最小值－7，没有最大值．( )
(2)函数y＝在[1，2]上有最大值1，最小值.( )
(3)函数y＝x2＋2x＋3的最小值为2.( )
(4)函数y＝x2＋2x＋4(x∈[－3，－2])的最小值为2.( )
√
×
√
√
例1 已知函数f(x)＝x2－2ax＋3，求f(x)在区间[0，2]上的最小值g(a)和最大值h(a).
1．求函数f(x)＝x2－2ax＋2在[－1，1]上的最小值．
解：函数f(x)图象的对称轴为直线x＝a，且函数图象开口
向上，
2．已知函数f(x)＝x2＋4x＋3，求f(x)在区间[t，t＋1]上的最小
值g(t)和最大值h(t).
例2 某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在如图所示中的两条线段上．该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：
(1)根据提供的图象，写出该股票每股交易价格P(元)与时间t
(天)所满足的函数关系式；
(2)根据表中数据，确定该股票日交易量Q(万股)与时间t(天)的函数关系式；
(3)用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求出在这30天中第几天日交易额最大，最大是多少．
[规律方法]
1．分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各
段上最小值的最小者，故求分段函数的最大或最小值，应
先求各段上的最值，再比较即可得函数的最大、最小值．
2．如果函数的图象容易作出，画出分段函数的图象，观察图
象的最高点与最低点，并求其纵坐标即可得函数的最大
值、最小值．
设函数f(x)＝x|x－1|＋m，当m>1时，求f(x)在[0，m]上的最大值．
例3 已知函数f(x)＝ ，x∈[2，＋∞).
(1)求f(x)的最小值；
(2)若f(x)>a恒成立，求a的取值范围．
求函数f(x)＝在区间[1，2]上的最大值和最小值．
[规律方法]
1．函数的最值与单调性的关系．
(1)若f(x)在[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为
f(a)，最小值为f(b)；
(2)若f(x)在[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为
f(b)，最小值为f(a).
2．利用函数的单调性求最值，要熟练掌握一些常见函数的基
本性质．
【迁移探究】
1．函数f(x)的部分图象如图所示，则该函数在[－2，2]上的最
小值、最大值分别是( )
A．f(－2)，f(3)
B．0，2
C．f(－2)，2
D．f(2)，2
【解析】 由图象可知，x＝－2时，
f(x)取得最小值f(－2)；x＝1时，
f(x)取得最大值f(1)＝2.故选C.
C
2．函数y＝2x2＋1，x∈N*的最值情况是( )
A．无最大值，最小值是1
B．无最大值，最小值是3
C．无最大值，也无最小值
D．不能确定最大、最小值
【解析】 因为x∈N*，且函数在(0，＋∞)上单调递增，
故函数在x＝1时取得最小值，最小值为3，无最大值．
故选B.
B
3．函数 在区间上的最大值是( )
C
4．若函数y＝ (k>0)在[2，4]上的最小值为5，则k＝____．
5．函数f(x)＝x2＋3x＋a在区间(－3，3)上的最小值为_______．
20(共29张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3．2 函数的基本性质
3．2.1 单调性与最大(小)值
第1课时 单调性的概念与证明
[课程目标] 1.理解函数单调性的定义及其几何意义；明确增函
数、减函数的图象特征；
2.能根据图象写出函数的单调区间，并能利用定义
进行证明．
知识点一 增函数与减函数的定义
[研读]单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定
义域的不同区间上可以有不同的单调性，即单调性是函数的一
个“局部”性质．
【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)所有的函数在定义域上都具有单调性．( )
(2)函数f(x)的定义域为D, 存在x1，x2∈D，若x1则f(x1)>f(x2)，那么f(x)是减函数．( )
(3)函数y＝ 在定义域上单调递减．( )
(4)函数f(x)＝ 在定义域上单调递增.( )
×
√
×
×
知识点二 单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函
数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)__________，区间D叫做
y＝f(x)的______________．
单调性
单调区间
【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)函数的单调区间是函数定义域的子集．( )
(2)函数f(x)＝－ 的单调递增区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).
( )
(3)函数f(x)＝x2－2x(x∈[－1，2])的单调递增区间是[1，2]，单
调递减区间是[－1，1].( )
(4)函数y＝2x＋1在[0，3]上单调递增，则[0，3]是函数的单调
递增区间．( )
√
×
√
×
例1 画出函数y＝x2－2|x|＋2的图象，并讨论函数的单调性．
1．定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，
则函数的单调递减区间是______________，___________，
在区间__________，____________上单调递增.
[－5，－2]
[1，3]
[－2，1]
[3，5]
2．作出函数f(x)＝x2－|x|的图象，并讨论函数的单调性．
例2 (1)利用定义判断函数f(x)＝ 在区间(0，＋∞)上的单调
性；
(2) 利用定义判断函数f(x)＝x3在R上的单调性．
求证：函数f(x)＝x＋ (a>0)在区间(0，)上单调递减．
[规律方法]
证明函数f(x)在区间D上的单调性应遵循以下步骤：
①设元：设 x1，x2∈D，且x1②作差：将函数值f(x1)，f(x2)作差，有f(x1)－f(x2)或f(x2)－f(x1)；
③变形：将上述差值变形(因式分解、配方等)；
④判号：对上述变形结果的正负加以判断；
⑤定论：根据定义对f(x)的单调性作出结论．
例3 已知函数f(x)在区间(－1，1)上单调递减，且f(a－1)>f(1－4a)，求a的取值范围．
已知函数f(x)在区间[－1，1]上单调递减，且f(1－a)＞f(a2－1)，则实数a的取值范围为__________．
(1， ]
[规律方法]
解决与抽象函数有关的变量的取值范围问题，关键是利用
单调性“脱去”函数符号“f”，从而转化为熟悉的不等式．具体
做法是：①若函数y＝f(x)在区间D上单调递增，对任意x1，
x2∈D，且f(x1)单调递减，对任意x1，x2∈D，且f(x1)x2.但需要
注意的是，不要忘记函数的定义域．
例4 (1)若函数f(x)＝－x2＋2ax＋1在区间(－∞，2)上单调递
增，则实数a的取值范围是________________；
【解析】 f(x)＝－x2＋2ax＋1＝－(x－a)2＋1＋a2，
抛物线开口向下，
当对称轴x＝a≥2时，f(x)在区间(－∞，2)上单调递增，
所以实数a的取值范围是[2，＋∞).
[2，＋∞)
[规律方法]
对于一次函数、二次函数基本初等函数的单调性问题中所涉及的参数问题，要根据这些函数的图象、性质进行讨论．
1．若函数f(x)＝ax2－(a－1)x＋5在区间 上单调递增，
求实数a的取值范围．
2．已知函数f(x)＝x3－3x，x∈[－a，a]，若f(x)在[－a，a]上单
调递减，求实数a的取值范围．
1．函数y＝x2－6x的单调递减区间是( )
A．(－∞，2]
B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(－∞，3]
【解析】 函数y＝x2－6x的图象的对称轴为直线x＝3，
所以函数的单调递减区间是(－∞，3].
D
2．下列四个函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
C
3．[0，3]是函数f(x)定义域内的一个区间，若f(1)f(x)在区间[0，3]上( )
A．单调递增
B．单调递减
C．既单调递增又单调递减
D．单调性不确定
【解析】 由于仅知道f(1)系，故不具备单调性的判断条件．
D
4．函数f(x)＝ 在R上( )
A． 单调递减
B．单调递增
C．先减后增
D．无单调性
【解析】 函数f(x)的图象如图所示，
由图象结合单调性定义可知，
该函数在R上单调递增．故选B.
B
5．函数f(x)＝|x－1|－1的单调递减区间是 ．
(－∞，1)(或(－∞，1])(共29张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3．2 函数的基本性质
3．2.2 奇偶性
[课程目标] 1.了解函数奇偶性的含义，了解奇函数、偶函数的图
象的对称性；
2.会运用定义判断函数的奇偶性．
知识点一 奇函数和偶函数的概念
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，
且______________，那么函数f(x)就叫做偶函数；如果 x∈I，
都有－x∈I，且_______________，那么函数f(x)就叫做奇函数．
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具
有_____________．
[研读]由奇函数和偶函数的定义可知，奇函数或偶函数的定义域关于原点对称．
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
奇偶性
【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)函数f(x)的定义域是R，且f(－1)＝f(1)，f(－2)＝f(2)，则f(x)
是偶函数．( )
(2)函数y＝x2(x∈[－2，2))是偶函数．( )
(3)函数f(x)＝x＋ 是奇函数．( )
(4)函数f(x)对定义域内任意一个x，都有f(x)＋f(－x)＝0，则f(x)
是奇函数．( )
×
×
√
×
【解析】 (1)不满足偶函数的定义．
(2)定义域不关于原点对称．
(3)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且满足f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
(4)定义域不一定关于原点对称．
知识点二 奇函数、偶函数的图象与性质
1．(1)奇函数的图象关于_________对称．反过来，若一个函数
的图象关于_________对称，那么这个函数是__________．
(2)偶函数的图象关于_______对称．反过来，若一个函数的
图象关于________对称，那么这个函数是偶函数．
2．重要性质
(1)奇函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相同的单
调性．
(2)偶函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相反的单调性．
原点
原点
奇函数
y轴
y轴
【思辨】判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)等于0.( )
(2)函数f(x)＝0(x∈[－1，1])既是奇函数又是偶函数．( )
(3)若偶函数f(x)在[0，4]上单调递增，则在[－1，0]上单调递减
( )
(4)若奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则在(－∞，0)上单调
递增．( )
√
√
√
×
【解析】 (1)f(－0)＝－f(0)，2f(0)＝0，所以f(0)＝0.
(2)f(x)＝0(x∈[－1，1])既满足f(x)＝f(－x)，
又满足f(－x)＝－f(x)，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)偶函数f(x)在[0，4]上单调递增，所以在[－4，0]上单调递
减，因为[－1，0] [－4，0]，所以f(x)在[－1，0]上单调递减．
(4)奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则在(－∞，0)上也单
调递减．
例1 判断下列函数的奇偶性．
判断下列各函数的奇偶性．
[规律方法]
1．用定义判断函数奇偶性的步骤：①先求定义域，看是否关
于原点对称；②再判断f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)是否恒
成立．
2．若已知函数的图象，则观察图象是否关于原点或y轴对称，
依此判断函数的奇偶性．
例2 若函数f(x)＝ 为奇函数，则a＝_______．
－1
若函数f(x)＝(|x|－1)(x＋a)为奇函数，则a＝____．
【解析】 ∵f(x)为R上的奇函数，
∴f(0)＝0，即－a＝0，得a＝0.
检验：当a＝0时，f(x)＝(|x|－1)x，
f(－x)＝－(|x|－1)x＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
0
例3 设f(x)在R上是偶函数，在(－∞，0)上单调递减，
若f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)，求实数a的取值范围．
[规律方法]
利用函数的奇偶性和单调性解不等式要注意的两点：
1．奇函数在定义域内的关于y轴对称的两个区间上，单调性相
同，偶函数在定义域内的关于y轴对称的两个区间上，单调
性相反．
2．确定单调区间，依据题设条件将不等式转化为具体不等
式，在这个区间上解不等式．
设定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，
若f(1－m)【迁移探究】
若奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，
其y轴右侧图象如图所示，
则满足f(x)<0的x的集合是__________________．
【解析】 由奇函数f(x)的图象可知，当x∈(2，5)时，f(x)<0；当x∈(0，2)时，f(x)>0.因为图象关于原点对称，
所以当x∈(－5，－2)时，f(x)>0；当x∈(－2，0)时，f(x)<0.
所以满足条件的x的集合是(－2，0)∪(2，5).
(－2，0)∪(2，5)
例4 (1)若函数f(x)＝x3＋2x＋3(x∈[－10，10])，
则f(x)min＋f(x)max＝____；
(2)函数f(x)＝ax2 021＋bx＋1的最大值和最小值分别为M，m，
则M＋m＝____．
【解析】 (1)记函数g(x)＝f(x)－3＝x3＋2x，则g(x)＝x3＋2x为奇函数，由于对称性，所以在区间[－10，10]上，g(x)max＋g(x)min＝0，f(x)min＋f(x)max＝g(x)min＋3＋g(x)max＋3＝6.
(2)令g(x)＝ax2 021＋bx，易得g(x)为奇函数，即g(x)max＝M－1，g(x)min＝m－1，由奇函数对称性得M－1＋m－1＝0，
所以M＋m＝2.
6
2
若函数f(x)＝ 的最大值和最小值分别为M，m，
则M＋m＝____．
2
例5 已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2
求f(x)，g(x)的解析式．
解：因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x).
由f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，①
得f(－x)＋g(－x)＝(－x)2－x－2，
即f(x)－g(x)＝x2－x－2.②
由①②得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.
[规律方法]
利用奇偶性求函数解析式的注意点：
(1)求哪个区间的解析式就设x在哪个区间内；
(2)将问题转化代入已知区间的解析式；
(3)利用函数f(x)的奇偶性写出－f(－x)或f(－x)，从而求出f(x).
已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3－2x2＋2
求f(x)的解析式．
1．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，
则f(1)＝( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
【解析】 f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.
A
2．下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的函
数是( )
B
3．函数y＝ ( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．是既是奇函数又是偶函数
D．是非奇非偶函数
【解析】 由函数可知，定义域为[－1，1]，函数解析式满
足f(－x)＝f(x)，所以该函数是偶函数．故选B.
B
4．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结
论恒成立的是( )
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数
B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
D．|f(x)|－g(x)是奇函数
【解析】 由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，由g(x)是奇函
数可得g(－x)＝－g(x)，故|g(x)|为偶函数，所以f(x)＋|g(x)|
为偶函数．故选A.
A
5．已知y＝f(x)是R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝x3－1，
则x>0时，函数f(x)的解析式为__________________．
【解析】 因为y＝f(x)是R上的奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.
当x>0时，－x<0，
所以f(x)＝－f(－x)＝x3＋1.
f(x)＝x3＋1奇偶性
[课程目标] 1.了解函数奇偶性的含义，了解奇函数、偶函数的图象的对称性；2.会运用定义判断函数的奇偶性．
知识点一 奇函数和偶函数的概念
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且__f(－x)＝f(x)__，那么函数f(x)就叫做偶函数；如果 x∈I，都有－x∈I，且__f(－x)＝－f(x)__，那么函数f(x)就叫做奇函数．
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有__奇偶性__．
[研读]由奇函数和偶函数的定义可知，奇函数或偶函数的定义域关于原点对称．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)函数f(x)的定义域是R，且f(－1)＝f(1)，f(－2)＝f(2)，则f(x)是偶函数．( × )
(2)函数y＝x2(x∈[－2，2))是偶函数．( × )
(3)函数f(x)＝x＋是奇函数．( √ )
(4)函数f(x)对定义域内任意一个x，都有f(x)＋f(－x)＝0，则f(x)是奇函数．( × )
【解析】 (1)不满足偶函数的定义．
(2)定义域不关于原点对称．
(3)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且满足f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(4)定义域不一定关于原点对称．
知识点二 奇函数、偶函数的图象与性质
1．(1)奇函数的图象关于__原点__对称．反过来，若一个函数的图象关于__原点__对称，那么这个函数是__奇函数__．
(2)偶函数的图象关于__y轴__对称．反过来，若一个函数的图象关于__y轴__对称，那么这个函数是偶函数．
2．重要性质
(1)奇函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相同的单调性．
(2)偶函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相反的单调性．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)等于0.( √ )
(2)函数f(x)＝0(x∈[－1，1])既是奇函数又是偶函数．( √ )
(3)若偶函数f(x)在[0，4]上单调递增，则在[－1，0]上单调递减．( √ )
(4)若奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则在(－∞，0)上单调递增．( × )
【解析】 (1)f(－0)＝－f(0)，2f(0)＝0，所以f(0)＝0.
(2)f(x)＝0(x∈[－1，1])既满足f(x)＝f(－x)，又满足f(－x)＝－f(x)，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)偶函数f(x)在[0，4]上单调递增，所以在[－4，0]上单调递减，因为[－1，0] [－4，0]，所以f(x)在[－1，0]上单调递减．
(4)奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则在(－∞，0)上也单调递减．
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|.
解：(1)依题意得解得－1≤x≤1且x≠0，所以函数的定义域为[－1，0)∪(0，1]，所以解析式化简为f(x)＝，满足f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(2)因为x∈R，且f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－f(x)，故f(x)为奇函数．
活学活用
判断下列各函数的奇偶性．
(1)f(x)＝(x－2)；
(2)f(x)＝
解：(1)由≥0，得定义域为[－2，2)，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数．
(2)函数的定义域为R．
x<－1时，f(x)＝x＋2，－x>1，
所以f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x)；
x>1时，f(x)＝－x＋2，－x<－1，
所以f(－x)＝－x＋2＝f(x)；
－1≤x≤1时，f(x)＝0，－1≤－x≤1，
所以f(－x)＝0＝f(x).
综上知，对任意x∈R，都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
[规律方法]
1．用定义判断函数奇偶性的步骤：①先求定义域，看是否关于原点对称；②再判断f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)是否恒成立．
2．若已知函数的图象，则观察图象是否关于原点或y轴对称，依此判断函数的奇偶性．
若函数f(x)＝为奇函数，则a＝__－1__．
【解析】 因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以＝－，
即2(a＋1)x＝0.因为x≠0，所以a＋1＝0，得a＝－1.
活学活用
若函数f(x)＝(|x|－1)(x＋a)为奇函数，则a＝__0__．
【解析】 ∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，即－a＝0，得a＝0.检验：当a＝0时，f(x)＝(|x|－1)x，f(－x)＝－(|x|－1)x＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．
设f(x)在R上是偶函数，在(－∞，0)上单调递减，若f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)，求实数a的取值范围．
解：由题意知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，
a2＋a＋1＝＋>0，
且f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)，
所以a2－2a＋3>a2＋a＋1，解得a<.
综上，实数a的取值范围是.
[规律方法]
利用函数的奇偶性和单调性解不等式要注意的两点：
1．奇函数在定义域内的关于y轴对称的两个区间上，单调性相同，偶函数在定义域内的关于y轴对称的两个区间上，单调性相反．
2．确定单调区间，依据题设条件将不等式转化为具体不等式，在这个区间上解不等式．
活学活用
设定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)解：因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝f(|x|).
所以不等式f(1－m)又f(x)在区间[0，2]上单调递减，
所以解得－1≤m<.
即m的取值范围是.
【迁移探究】
若奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，其y轴右侧图象如图所示，则满足f(x)<0的x的集合是__(－2，0)∪(2，5)__．
【解析】 由奇函数f(x)的图象可知，当x∈(2，5)时，f(x)<0；当x∈(0，2)时，f(x)>0.因为图象关于原点对称，所以当x∈(－5，－2)时，f(x)>0；当x∈(－2，0)时，f(x)<0.所以满足条件的x的集合是(－2，0)∪(2，5).
(1)若函数f(x)＝x3＋2x＋3(x∈[－10，10])，则f(x)min＋f(x)max＝__6__；
(2)函数f(x)＝ax2 021＋bx＋1的最大值和最小值分别为M，m，则M＋m＝__2__．
【解析】 (1)记函数g(x)＝f(x)－3＝x3＋2x，则g(x)＝x3＋2x为奇函数，由于对称性，所以在区间[－10，10]上，g(x)max＋g(x)min＝0，f(x)min＋f(x)max＝g(x)min＋3＋g(x)max＋3＝6.
(2)令g(x)＝ax2 021＋bx，易得g(x)为奇函数，即g(x)max＝M－1，g(x)min＝m－1，由奇函数对称性得M－1＋m－1＝0，所以M＋m＝2.
活学活用
若函数f(x)＝的最大值和最小值分别为M，m，则M＋m＝__2__．
【解析】 f(x)＝＝1＋，记函数g(x)＝f(x)－1＝.易知g(x)＝为奇函数，由对称性，得g(x)max＋g(x)min＝0，所以f(x)min＋f(x)max＝g(x)min＋1＋g(x)max＋1＝2.
已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的解析式．
解：因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x).
由f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，①
得f(－x)＋g(－x)＝(－x)2－x－2，
即f(x)－g(x)＝x2－x－2.②
由①②得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.
[规律方法]
利用奇偶性求函数解析式的注意点：
(1)求哪个区间的解析式就设x在哪个区间内；(2)将问题转化代入已知区间的解析式；(3)利用函数f(x)的奇偶性写出－f(－x)或f(－x)，从而求出f(x).
活学活用
已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3－2x2＋2，求f(x)的解析式．
解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x＝0时，f(－0)＝－f(0) f(0)＝0.
当x<0时，－x>0，
从而有f(x)＝－f(－x)＝－
＝x3＋2x2－2，
所以f(x)＝
1．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝( A )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
【解析】 f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.
2．下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( B )
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝－
【解析】 对于函数y＝|x|＋1，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，所以y＝|x|＋1是偶函数，当x>0时，y＝x＋1，所以在(0，＋∞)上单调递增．函数y＝x3不是偶函数；y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减；y＝－不是偶函数．故选B.
3．函数y＝＋( B )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．是既是奇函数又是偶函数
D．是非奇非偶函数
【解析】 由函数可知，定义域为[－1，1]，函数解析式满足f(－x)＝f(x)，所以该函数是偶函数．故选B.
4．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( A )
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数
B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
D．|f(x)|－g(x)是奇函数
【解析】 由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，由g(x)是奇函数可得g(－x)＝－g(x)，故|g(x)|为偶函数，所以f(x)＋|g(x)|为偶函数．故选A.
5．已知y＝f(x)是R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝x3－1，则x>0时，函数f(x)的解析式为__f(x)＝x3＋1__．
【解析】 因为y＝f(x)是R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.当x>0时，－x<0，所以f(x)＝－f(－x)＝x3＋1.
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