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第三章 函数的概念与性质
3．3 幂函数
[课程目标] 1.理解幂函数的概念；
2.会画幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，
y＝x的图象，结合这几个幂函数的图象，理解幂函
数图象的变化情况和性质．
知识点一 幂函数的概念
一般地，函数_______叫做幂函数，其中x是________，α是常数.
【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)一次函数和二次函数都是幂函数．( )
(2)f(x)＝2x3是幂函数．( )
(3)f(x)＝x－5是幂函数．( )
【解析】 (1)不一定．如y＝2x－5，y＝x2＋2x分别为一次函数和二次函数，但它们都不是幂函数．
(2)f(x)＝2x3中x3的系数不是1，所以f(x)＝2x3不是幂函数．
y＝xα
自变量
×
×
√
知识点二 幂函数的图象与性质
1．五个幂函数的图象
2．五个幂函数的性质
幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪
(0，＋∞)
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R
且y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x∈[0，＋∞)时，
__ __；
x∈(－∞，0]时，
__ __ 增 增 x∈(0，＋∞)时，
__ __；
x∈(－∞，0)时，
__ __
公共点 都经过点__ __
增
减
减
减
(1，1)
3．一般幂函数的图象及性质
(1)所有幂函数在区间____________上都有定义，并且图象
都通过点__________．
(2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间
(0，＋∞)上____________．
当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上____________，图象不
通过原点，且在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图
象无限接近于____轴，当x趋向于正无穷时，图象无限接
近于____轴.
(0，＋∞)
(1，1)
单调递增
单调递减
y
x
【思辨】判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)幂函数的图象不经过第四象限．( )
(2)当α为奇数时，幂函数是奇函数．( )
(3)函数f(x)＝x－2在(－∞，0)上单调递增．( )
√
√
√
例1 已知幂函数f(x)＝(m2－2m－2)xm2＋m－1的图象与坐标
轴没有交点，则m＝_______．
【解析】 依题意有，m2－2m－2＝1，即m2－2m－3＝0，
解得m＝－1或m＝3.当m＝3时，
f(x)＝x11经过原点，与坐标轴有交点，不合题意，
而m＝－1时符合题意．
－1
已知幂函数f(x)＝xm的图象经过点 ，则f(6)＝______.
例2 如图所示，C1，C2，C3为幂函数y＝xα在第一象限内的图象，则解析式中的指数α依次可以取( )
C
幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则( )
A．－1
B．n<－1，0C．－11
D．n<－1，m>1
【解析】 此类题有一简捷的解决办法，
在(0，1)内取x0，作直线x＝x0，
与各图象有交点，根据“点低指数大”．
所以0B
[规律方法]
解决幂函数的图象问题，需把握两个原则：
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，
指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)；在
(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为
“指大图高”).
(2)由图象确定幂指数α与0，1的大小关系，需根据幂函数在
第一象限内的图象来判断．
【迁移探究】
已知函数f(x)＝ 若存在实数b，使方程f(x)－b＝0有两个根，则a的取值范围是______________________．
【解析】 存在实数b，使方程f(x)－b＝0有两个根 存在实数
b，函数y＝f(x)与y＝b的图象有两个交点．
当a<0时，y＝f(x)在(a，0)上单调递减，(0，＋∞)上单调递增，
所以存在实数b∈(0，a2)，
使函数y＝f(x)与y＝b的图象有两个交点；
当0≤a≤1时，y＝f(x)在R上单调递增，
(－∞，0)∪(1，＋∞)
所以不存在实数b，使函数y＝f(x)与y＝b的图象有两个交点；
当a>1时，y＝f(x)在(－∞，a)上单调递增，
(a，＋∞)上也单调递增，
所以存在实数b∈(a2，a3)，
使函数y＝f(x)与y＝b的图象有两个交点．
综上可得，a∈(－∞，0)∪(1，＋∞).
例3 已知幂函数y＝f(x)的图象过点P .讨论y＝f(x)的定
义域、值域、奇偶性、单调性，并画出草图．
[规律方法]
1．幂函数f(x)＝xα的单调性：如果α>0，幂函数在(0，＋∞)上
单调递增， 如果α<0，幂函数在(0，＋∞)上单调递减.
2．利用幂函数的单调性比较大小时要注意：比较大小的两个
实数必须在同一函数的同一单调区间内，否则无法比较大
小．
已知幂函数f(x)＝ (m∈Z)的图象关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上单调递减，求函数f(x)的解析式，并画出它的草图．
解：因为幂函数f(x)＝x (m∈Z)在区间(0，＋∞)上单调递减，所以m2－2m－3<0，即－1又m∈Z，所以m＝0，1，2.
因为函数f(x)的图象关于y轴对称，
所以f(x)为偶函数，所以m2－2m－3是偶数，
将m＝0，1，2分别代入m2－2m－3检验得，
m＝1.此时f(x)＝x－4，作出函数的图象如图所示．
m2－2m－3
【迁移探究1】
已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足 的a的取值范围．
【迁移探究2】
已知函数f(x)＝ (m∈R)，试比较f(5)与f(－π)的大小．
且关于y轴对称，所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，
(1，＋∞)上单调递增，
且关于直线x＝1对称，
又1－(－π)>5－1，
所以f(5)1．在函数y＝ ，y＝2x3，y＝ －1，y＝x0中，幂函数的个
数是( )
A． 0 B． 1
C． 2 D． 3
C
2．下列函数中，定义域为R的函数是( )
C
3．下列不等式成立的是( )
A
5．若 ，则实数a的取值范围
是________________．
(3，＋∞)幂函数
[课程目标] 1.理解幂函数的概念；2.会画幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象，结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质．
知识点一 幂函数的概念
一般地，函数__y＝xα__叫做幂函数，其中x是__自变量__，α是常数.
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)一次函数和二次函数都是幂函数．( × )
(2)f(x)＝2x3是幂函数．( × )
(3)f(x)＝x－5是幂函数．( √ )
【解析】 (1)不一定．如y＝2x－5，y＝x2＋2x分别为一次函数和二次函数，但它们都不是幂函数．
(2)f(x)＝2x3中x3的系数不是1，所以f(x)＝2x3不是幂函数．
知识点二 幂函数的图象与性质
1．五个幂函数的图象
2．五个幂函数的性质
幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪ (0，＋∞)
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R 且y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x∈[0，＋∞)时， __增__； x∈(－∞，0]时， __减__ 增 增 x∈(0，＋∞)时， __减__； x∈(－∞，0)时， __减__
公共点 都经过点__(1，1)__
3．一般幂函数的图象及性质
(1)所有幂函数在区间__(0，＋∞)__上都有定义，并且图象都通过点__(1，1)__．
(2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间(0，＋∞)上__单调递增__．
当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上__单调递减__，图象不通过原点，且在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象无限接近于__y__轴，当x趋向于正无穷时，图象无限接近于__x__轴.
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)幂函数的图象不经过第四象限．( √ )
(2)当α为奇数时，幂函数是奇函数．( √ )
(3)函数f(x)＝x－2在(－∞，0)上单调递增．( √ )
已知幂函数f(x)＝(m2－2m－2)xm2＋m－1的图象与坐标轴没有交点，则m＝__－1__．
【解析】 依题意有，m2－2m－2＝1，即m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3.当m＝3时，f(x)＝x11经过原点，与坐标轴有交点，不合题意，而m＝－1时符合题意．
活学活用
已知幂函数f(x)＝xm的图象经过点，则f(6)＝____.
【解析】 依题意有，＝()m＝3，所以＝－1，m＝－2，所以f(x)＝x－2，所以f(6)＝6－2＝.
如图所示，C1，C2，C3为幂函数y＝xα在第一象限内的图象，则解析式中的指数α依次可以取( C )
A． ，－2， B．－2，，
C．－2，， D． ，，－2
活学活用
幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则( B )
A．－1B．n<－1，0C．－11
D．n<－1，m>1
【解析】 此类题有一简捷的解决办法，在(0，1)内取x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，根据“点低指数大”．所以0[规律方法]
解决幂函数的图象问题，需把握两个原则：
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为“指大图高”).
(2)由图象确定幂指数α与0，1的大小关系，需根据幂函数在第一象限内的图象来判断．
【迁移探究】
已知函数f(x)＝若存在实数b，使方程f(x)－b＝0有两个根，则a的取值范围是__(－∞，0)∪(1，＋∞)__．
【解析】 存在实数b，使方程f(x)－b＝0有两个根 存在实数b，函数y＝f(x)与y＝b的图象有两个交点．
当a<0时，y＝f(x)在(a，0)上单调递减，(0，＋∞)上单调递增，
所以存在实数b∈(0，a2)，使函数y＝f(x)与y＝b的图象有两个交点；
当0≤a≤1时，y＝f(x)在R上单调递增，
所以不存在实数b，使函数y＝f(x)与y＝b的图象有两个交点；
当a>1时，y＝f(x)在(－∞，a)上单调递增，(a，＋∞)上也单调递增，
所以存在实数b∈(a2，a3)，使函数y＝f(x)与y＝b的图象有两个交点．
综上可得，a∈(－∞，0)∪(1，＋∞).
已知幂函数y＝f(x)的图象过点P.讨论y＝f(x)的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出草图．
解：设f(x)＝xn，由题意得＝4，所以2－n＝22，得n＝－2，所以f(x)＝x－2，即f(x)＝，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
因为x≠0，x2>0，所以f(x)>0，即函数的值域为(0，＋∞).
又f(－x)＝＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x10，
即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
因为f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增．作出函数的图象大致如图所示．
[规律方法]
1．幂函数f(x)＝xα的单调性：如果α>0，幂函数在(0，＋∞)上单调递增， 如果α<0，幂函数在(0，＋∞)上单调递减.
2．利用幂函数的单调性比较大小时要注意：比较大小的两个实数必须在同一函数的同一单调区间内，否则无法比较大小．
活学活用
已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上单调递减，求函数f(x)的解析式，并画出它的草图．
解：因为幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)在区间(0，＋∞)上单调递减，所以m2－2m－3<0，即－1又m∈Z，所以m＝0，1，2.
因为函数f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)为偶函数，所以m2－2m－3是偶数，将m＝0，1，2分别代入m2－2m－3检验得，m＝1.此时f(x)＝x－4，作出函数的图象如图所示．
【迁移探究1】
已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋1)－<(3－2a)－的a的取值范围．
解：因为幂函数y＝x3m－9在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，
解得m<3.又m∈N*，所以m＝1，2.
又函数图象关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1，
所以有(a＋1)－<(3－2a)－．
又因为y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减，
所以a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a.
解得即a的取值范围为(－∞，－1)∪.
【迁移探究2】
已知函数f(x)＝(m∈R)，试比较f(5)与f(－π)的大小．
解：f(x)＝＝m－，
y＝－的图象y＝－的图象y＝m－的图象．
又y＝－在(－∞，0)上单调递减，(0，＋∞)上单调递增，且关于y轴对称，所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，(1，＋∞)上单调递增，且关于直线x＝1对称，又1－(－π)>5－1，所以f(5)1．在函数y＝，y＝2x3，y＝－1，y＝x0中，幂函数的个数是( C )
A． 0 B． 1
C． 2 D． 3
【解析】 y＝和y＝x0是幂函数，故选C.
2．下列函数中，定义域为R的函数是( C )
A． y＝x
B． y＝x－
C． y＝x
D． y＝x－3
【解析】 y＝x＝，定义域为[0，＋∞)；y＝x－＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；y＝x＝，定义域为R；y＝x－3＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).故选C.
3．下列不等式成立的是( A )
A．>
B．<
C．>
D．8－<
【解析】 幂函数y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，所以>.所以选项A正确．
4．已知幂函数f(x)的图象过点(4，2)，则f＝____．
【解析】 设幂函数为y＝xα(α为常数).因为f(x)的图象过点(4，2)，所以2＝4α，得α＝.所以y＝x，所以f＝＝.
5．若(a＋1)<(2a－2)，则实数a的取值范围是__(3，＋∞)__．
【解析】 因为幂函数y＝x在R上为增函数，且(a＋1)<(2a－2)，所以a＋1<2a－2，得a>3.
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