(共23张PPT)
4．2 指数函数
第四章 指数函数与对数函数
4．2.1 指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(_______________)叫做____________，其中指数x是自变量，定义域是_______．
[研读]指数函数y＝ax中，a必须满足a>0，且a≠1.
a>0，且a≠1
指数函数
R
(1)y＝xx(x>0)是指数函数． ( )
(2)y＝2x＋1是指数函数． ( )
(3)当a＝6时，函数y＝(a－5)·3x是指数函数. ( )
(4)若函数y＝ax是指数函数，则a>0. ( )
【解析】 (1)指数函数的底数是大于0且不等于1的常数．
(2)不符合指数函数的表达式．
(4)若函数y＝ax是指数函数，则a>0，且a≠1.
×
×
√
×
下列函数中，属于指数函数的是________(填序号).
①y＝0.6x；②y＝5x＋1；③y＝－6x；
④y＝xα(α为常数)；⑤y＝
①⑤
1．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则实数a＝_______.
2
2．找出下列函数中的指数函数，并说明理由．
(1)y＝x2；(2)y＝－3x；(3)y＝πx；(4)y＝2·3x；
(5)y＝3x＋1；(6)y＝3x＋1；(7)y＝32x；(8)y＝2x·3x.
解：指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)中，ax前面的系数为1，自变
量在指数上，且只为x，依此标准，只有(3)y＝πx，(7)y＝32x
＝9x，(8)y＝2x·3x＝6x为指数函数．
如图所示，面积为8的平行四边形OABC的
对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E.若指数函数
y＝ax(a＞0且a≠1)的图象经过点E，B，则a等于
( )
A
已知函数f(x)＝2x＋2ax＋b，f(1)＝ ，f(2)＝ ，求函数f(x)的解析式．
已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)的图象如图所
示，则f(3)等于( )
C
甲、乙两城市的现有人口都是100万人，甲城市人口的年自然增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万．试解答下面的问题：
(1)分别写出甲、乙两城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；
(2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数(精确到0.1万人)；
(3)对两城市人口增长情况作出分析．
[参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈1.430]
解：(1)1年后甲城市人口总数为y甲＝100＋100×1.2%＝
100×(1＋1.2%)；
2年后甲城市人口总数为y甲＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋
1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；
3年后甲城市人口总数为y甲＝100×(1＋1.2%)3；
……
x年后甲城市人口总数为y甲＝100×(1＋1.2%)x(x∈N*).
x年后乙城市人口总数为y乙＝100＋1.3x(x∈N*).
某车间产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t(h)之间的关系为P＝P02－kt(其中P0表示初始废气中的污染物数量).经过5 h后，经测试，消除了20%的污染物．问：
(1)15 h后还剩百分之几的污染物？
(2)污染物减少36%需要花多长时间？
1．给出下列函数：①y＝ ；②y＝(－3)x；③y＝2x－1；
④y＝(a－2)x(a>2，且a≠3).其中指数函数的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 根据指数函数的定义知，y＝(a－2)x(a>2，且a≠3)是
指数函数，其他都不是．故选A.
A
2．若y＝(2－a)·2x是指数函数，则a等于( )
A．－1 B．1
C．－3 D．3
【解析】 由题意知，2－a＝1，解得a＝1.
B
D
4．某企业为了调动员工的劳动积极性，决定基础工资部分每年
按6%的速度增加．设第一年的基础工资为a，则第n年的基础
工资y与n的关系式为__________________．
y＝a(1＋6%)n－1
5．已知f(x)是指数函数，若f(2)＝ ，则f(x)＝________.指数函数的概念
[课程目标] 1.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性；2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用．
知识点 指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(__a>0，且a≠1__)叫做__指数函数__，其中指数x是自变量，定义域是__R__．
[研读]指数函数y＝ax中，a必须满足a>0，且a≠1.
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)y＝xx(x>0)是指数函数．( × )
(2)y＝2x＋1是指数函数．( × )
(3)当a＝6时，函数y＝(a－5)·3x是指数函数.( √ )
(4)若函数y＝ax是指数函数，则a>0.( × )
【解析】 (1)指数函数的底数是大于0且不等于1的常数．
(2)不符合指数函数的表达式．
(4)若函数y＝ax是指数函数，则a>0，且a≠1.
下列函数中，属于指数函数的是__①⑤__(填序号).
①y＝0.6x；②y＝5x＋1；③y＝－6x；
④y＝xα(α为常数)；⑤y＝()x.
【解析】 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)中，ax前面的系数为1，自变量在指数上，且只为x，依此标准，只有y＝0.6x和y＝()x是指数函数，其余都不是．
活学活用
1．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则实数a＝__2__.
【解析】 由y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，可得
解得a＝2.
2．找出下列函数中的指数函数，并说明理由．
(1)y＝x2；(2)y＝－3x；(3)y＝πx；(4)y＝2·3x；
(5)y＝3x＋1；(6)y＝3x＋1；(7)y＝32x；(8)y＝2x·3x.
解：指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)中，ax前面的系数为1，自变量在指数上，且只为x，依此标准，只有(3)y＝πx，(7)y＝32x＝9x，(8)y＝2x·3x＝6x为指数函数．
如图所示，面积为8的平行四边形OABC的对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E.若指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象经过点E，B，则a等于( A )
A．B．
C．2 D．3
【解析】 设点C(0，m)(m＞0)，则由已知可得A，
E，B.因为点E，B在指数函数的图象上，所以
将①式两边平方，得m2＝a，③
②③联立，得m2－2m＝0，所以m＝0(舍)或m＝2，
所以2＝a2，所以a＝.
已知函数f(x)＝2x＋2ax＋b，f(1)＝，f(2)＝，求函数f(x)的解析式．
解：依题意，得
即所以解得
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2x＋2－x.
活学活用
已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则f(3)等于( C )
A．2－2 B．－3
C．3－3 D．3－3或－3－3
【解析】 由题中图象知，f(0)＝1＋b＝－2，所以b＝－3.又f(2)＝a2－3＝0，所以a＝(负值舍去)，故f(x)＝3－3，
所以f(3)＝3－3.
甲、乙两城市的现有人口都是100万人，甲城市人口的年自然增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万．试解答下面的问题：
(1)分别写出甲、乙两城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；
(2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数(精确到0.1万人)；
(3)对两城市人口增长情况作出分析．
[参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈1.430]
解：(1)1年后甲城市人口总数为y甲＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；
2年后甲城市人口总数为y甲＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；
3年后甲城市人口总数为y甲＝100×(1＋1.2%)3；
……
x年后甲城市人口总数为y甲＝100×(1＋1.2%)x(x∈N*).
x年后乙城市人口总数为y乙＝100＋1.3x(x∈N*).
(2)10年、20年、30年后，甲、乙两城市人口总数(单位：万人)如下表：
10年后 20年后 30年后
甲城市 112.7 126.9 143.0
乙城市 113.0 126.0 139.0
(3)甲、乙两城市人口都逐年增长，而甲城市人口后期增长的速度快些，从中可以得出，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异．
活学活用
某车间产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t(h)之间的关系为P＝P02－kt(其中P0表示初始废气中的污染物数量).经过5 h后，经测试，消除了20%的污染物．问：
(1)15 h后还剩百分之几的污染物？
(2)污染物减少36%需要花多长时间？
解：(1)由题意得，P＝P02－5k＝(1－20%)P0，则2－5k＝0.8，
故当t＝15时，P＝P0·2－15k＝P0·(2－5k)3＝(80%)3·P0＝51.2%P0.
故15个小时后还剩51.2%的污染物．
(2)由题意，P02－kt＝(1－36%)P0，
即(2－5k)＝0.64，所以0.8＝0.64，所以＝2，即t＝10，
故污染物减少36%需要花10 h．
1．给出下列函数：①y＝x；②y＝(－3)x；③y＝2x－1；④y＝(a－2)x(a>2，且a≠3).其中指数函数的个数是( A )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 根据指数函数的定义知，y＝(a－2)x(a>2，且a≠3)是指数函数，其他都不是．故选A.
2．若y＝(2－a)·2x是指数函数，则a等于( B )
A．－1 B．1
C．－3 D．3
【解析】 由题意知，2－a＝1，解得a＝1.
3．已知函数f(x)＝2x＋1＋，则f等于( D )
A．2＋B．1＋
C．3D．2
【解析】 f＝2＋＝2.
4．某企业为了调动员工的劳动积极性，决定基础工资部分每年按6%的速度增加．设第一年的基础工资为a，则第n年的基础工资y与n的关系式为__y＝a(1＋6%)n－1__．
5．已知f(x)是指数函数，若f(2)＝，则f(x)＝____.
【解析】 设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则a2＝，
得a＝，所以f(x)＝.
5(共31张PPT)
4.2 指数函数
第四章 指数函数与对数函数
4．2.2 指数函数的图象和性质
第1课时 指数函数的图象和性质
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)y＝( ＋1)x在R上单调递增． ( )
(2)函数y＝2－x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称. ( )
(3)函数f(x)＝ 的定义域为R． ( )
(4)3.2－5<3.2－2. ( )
√
×
√
√
比较下列各组数的大小：
(1)1.82.2_______1.83.2；
(2)0.3－0.4_______0.3－0.6；
(3)2.10.3_______0.93.1；
<
<
<
>
比较下列各组数的大小：
(1)1.72.5，1.73；(2)1.70.3，0.73.1；
(3)1.80.3，1.60.2.
解：(1)由于y＝1.7x是增函数，2.5<3，所以1.72.5<1.73.
(2)因为1.70.3>1.70＝1＝0.70>0.73.1，所以1.70.3>0.73.1.
(3)因为1.80.3>1.80.2>1.60.2，所以1.80.3>1.60.2.
[规律方法]
比较幂的大小的方法：
(1)对于底数相同，但指数不同的幂的大小比较，可以利用指数
函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同，指数相同的幂的大小比较，可利用指数函数
的图象的变化规律来判断．
(3)对于底数不同且指数不同的幂的大小比较，则应通过中间值
来比较．
下列函数的图象是由函数y＝3x的图象经过怎样的变换得到？并作简图．
若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a>0，且a≠1)的图象有两个公共
点，则实数a的取值范围为__________．
【解析】 ①当0
②当a>1时，作出函数y＝|ax－1|图象：
(1)在同一平面直角坐标系中分别作出函数f(x)和g(x)的图象；
解：(1)列表：
描点，连线，得到图象如图所示．
已知实数a，b满足等式2 020a＝2 021b，则下列四个关系式中不可能成立的是( )
A．0＜b＜a
B．a＜b＜0
C．0＜a＜b
D．b＜a＜0
CD
【解析】 如图，观察易知，a，b的关系为a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.
故不可能成立的关系式有2个，即0＜a＜b和b＜a＜0，故选CD.
[规律方法]
1．无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)
的图象都与直线x＝1相交于点(1，a)，画出当a取不同值时的
函数图象，由图象可知，在y轴右侧，图象从下到上相应的底
数由小变大．
2．处理指数函数图象的关键：①抓住特殊点，指数函数图象过
点(0，1)；②巧用图象的平移变换；③注意函数单调性的影
响．
1．已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象是
( )
【解析】 由1＞n＞m＞0可知两图象应递减，故排除A，B，
再由n＞m可知选C.
C
2．已知函数y＝4x的图象，经过怎样的变换得到函数y＝
＋1的图象？
1．若函数y＝(a－1)x(a>1，且a≠2)在定义域内是增函数，则
( )
A．12
C．a>1且a≠2 D．a>3
【解析】 因为y＝(a－1)x(a>1，且a≠2)在定义域内是增函
数，所以a－1>1，得a>2.
B
2．y＝ 的图象可能是( )
A
3．已知a＝ ，b＝2－1.5，c＝ ， 则下列关系中正确的
是( )
A．cC．bC
4．若指数函数f(x)的图象经过点(－1，3)，则f(2)＝________．
5．函数y＝3x－2的值域是_______________．
【解析】 因为对于任意x∈R，都有3x>0，
所以3x－2>－2，即函数y＝3x－2的值域是(－2，＋∞).
(－2，＋∞)第1课时 指数函数的图象和性质
[课程目标] 1.掌握指数函数的图象和性质；2.能利用指数函数的单调性比较函数值的大小．
知识点 指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 __R__
值域 __(0，＋∞)__
性 质
定点 __(0，1)__
单调性 __增函数__ __减函数__
函数值 特征 x>0时，__y>1__； x<0时，__00时，__01__
对称性 y＝ax与y＝的图象关于__y轴__对称
[研读]函数的图象是函数的重要表示形式，作指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，只需作出三点，(0，1)，(1，a)，就能快速作图．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)y＝(＋1)x在R上单调递增．( √ )
(2)函数y＝2－x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称.( × )
(3)函数f(x)＝的定义域为R．( √ )
(4)3.2－5<3.2－2.( √ )
【解析】 (1)＋1>1，所以y＝(＋1)x在R上单调递增．
(2)函数y＝2－x的图象与y＝2x的图象关于y轴对称，函数y＝2－x的图象与y＝－2－x的图象关于x轴对称．
(4)因为y＝3.2x是增函数，所以3.2－5<3.2－2.
比较下列各组数的大小：
(1)1.82.2__<__1.83.2；
(2)0.3－0.4__<__0.3－0.6；
(3)2.10.3__>__0.93.1；
(4)__<__.
【解析】 (1)1.82.2，1.83.2是函数y＝1．8x的两个函数值．因为1.8>1，所以y＝1．8x是增函数，所以1.82.2<1.83.2.
(2)因为y＝0.3x是减函数，又因为－0.4>－0.6，
所以0.3－0.4<0.3－0.6.
(3)因为2.10.3>2.10＝1，0.93.1<0.90＝1，所以2.10.3>0.93.1.
(4)取中间量，因为＝<＝1，所以<.因为y＝是减函数，>，
所以<，所以<.
活学活用
比较下列各组数的大小：
(1)1.72.5，1.73；(2)1.70.3，0.73.1；
(3)1.80.3，1.60.2.
解：(1)由于y＝1.7x是增函数，2.5<3，所以1.72.5<1.73.
(2)因为1.70.3>1.70＝1＝0.70>0.73.1，所以1.70.3>0.73.1.
(3)因为1.80.3>1.80.2>1.60.2，所以1.80.3>1.60.2.
[规律方法]
比较幂的大小的方法：
(1)对于底数相同，但指数不同的幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同，指数相同的幂的大小比较，可利用指数函数的图象的变化规律来判断．
(3)对于底数不同且指数不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较．
下列函数的图象是由函数y＝3x的图象经过怎样的变换得到？并作简图．
(1)y＝； (2)y＝3； (3)y＝3－1.
解：(1)y＝3xy＝3－x＝，如图1.
(2)y＝3xy＝3|x|y＝3，如图2.
(3)y＝3xy＝3x－1y＝3－1，如图3.
活学活用
若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围为____．
【解析】 ①当0若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，
则直线y＝2a－1与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，
由图象可知0<2a－1<1，
∴②当a>1时，作出函数y＝|ax－1|图象：
若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，
则直线y＝2a－1与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，
由图象可知0<2a－1<1，
此时无解，
综上：a的取值范围是设函数f(x)＝，g(x)＝.
(1)在同一平面直角坐标系中分别作出函数f(x)和g(x)的图象；
(2)计算f()与g(－)，f(π)与g(－π), f(k)与g(－k)的值，从中你能得出什么结论？
解：(1)列表：
x … －2 －1 0 1 2 …
f(x) … 1 …
g(x) … 1 …
描点，连线，得到图象如图所示．
(2)易知f()＝g(－)＝，f(π)＝g(－π)＝，
f(k)＝g(－k)＝.
结论：当自变量互为相反数时，两个函数的函数值相等，即两个函数图象关于y轴对称．
已知实数a，b满足等式2 020a＝2 021b，则下列四个关系式中不可能成立的是( CD )
A．0＜b＜a
B．a＜b＜0
C．0＜a＜b
D．b＜a＜0
【解析】 如图，观察易知，a，b的关系为a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.
故不可能成立的关系式有2个，即0＜a＜b和b＜a＜0，故选CD.
[规律方法]
1．无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象都与直线x＝1相交于点(1，a)，画出当a取不同值时的函数图象，由图象可知，在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．
2．处理指数函数图象的关键：①抓住特殊点，指数函数图象过点(0，1)；②巧用图象的平移变换；③注意函数单调性的影响．
活学活用
1．已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象是( C )
【解析】 由1＞n＞m＞0可知两图象应递减，故排除A，B，再由n＞m可知选C.
2．已知函数y＝4x的图象，经过怎样的变换得到函数y＝＋1的图象？
解：先将函数y＝4x的图象关于y轴对称翻折，得到函数y＝的图象，再将y＝的图象向右平移2个单位长度，得到函数y＝的图象，最后将y＝的图象向上平移1个单位长度，得到函数y＝＋1的图象．
1．若函数y＝(a－1)x(a>1，且a≠2)在定义域内是增函数，则( B )
A．12
C．a>1且a≠2 D．a>3
【解析】 因为y＝(a－1)x(a>1，且a≠2)在定义域内是增函数，所以a－1>1，得a>2.
2．y＝的图象可能是( A )
【解析】 因为>1，且函数图象经过点(0，1)，所以y＝的图象可能是选项A的图象．
3．已知a＝，b＝2－1.5，c＝，则下列关系中正确的是( C )
A．cC．b【解析】 因为2－1.5＝＝，函数y＝在R上是减函数，且<<，所以>>，即c>a>b.
4．若指数函数f(x)的图象经过点(－1，3)，则f(2)＝____．
【解析】 设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则f(－1)＝3，即a－1＝3，则a＝，所以f(x)＝，f(2)＝＝.
5．函数y＝3x－2的值域是__(－2，＋∞)__．
【解析】 因为对于任意x∈R，都有3x>0，
所以3x－2>－2，即函数y＝3x－2的值域是(－2，＋∞).
7(共38张PPT)
4.2 指数函数
第四章 指数函数与对数函数
4．2.2 指数函数的图象和性质
第2课时 指数函数的图象及性质的应用
函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的定义域、值域可转化为函数y＝at进行研究，其中t＝_________．若f(x)的定义域为R，则y＝af(x)的定义域为______．函数y＝af(x)的值域要根据f(x)的值域及函数y＝at的单调性研究．
[研读]研究复合函数的单调性，要弄清这个复合函数是由哪几个函数以怎样的方式复合而成的，然后用判断复合函数单调性的一般方法作出判断．
f(x)
R
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)函数y＝a2x－1(a>0，且a≠1)的定义域是R，值域是{y|y>0}．
( )
(2)函数y＝3x2＋1的定义域是R，值域是{y|y>0}． ( )
(3)函数y＝3－|x|＋1是偶函数． ( )
(4)函数y＝ 的定义域是{x|x≥1}． ( )
√
×
√
√
1．a的取值与单调性
若0若a>1，x12．指数型不等式的解法
对形如af(x)>ag(x)的不等式的讨论：
当0ag(x) _____________．
当a>1时，af(x)>ag(x) _____________．
>
<
f(x)f(x)>g(x)
[研读]利用指数函数的单调性可以求函数的最值、解不等式、比较函数值的大小、求解参数的值(或取值范围)等．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(3)若a30，且a≠1)，则实数a的取值范围是0( )
√
√
√
(4)函数y＝23－2x在R上是增函数． ( )
【解析】 (1)由题意知，2x2－x＝22，所以x2－x－2＝0，解得
x＝－1或x＝2.
(2)由题意知，2x＋3>－5，解得x>－4.
(3)因为a3是0(4)函数y＝23－2x在R上是减函数．
×
求下列函数的定义域：
求下列函数的定义域：
求下列函数的值域：
求下列函数的值域：
设0a2x2＋2x－3的解集是___________．
【解析】 因为0
a2x2＋2x－3，所以2x2－3x＋7<2x2＋2x－3，
解得x>2，所以不等式的解集是{x|x>2}．
{x|x>2}
如果a－5x>a3x＋12(a>0，且a≠1)，求x的取值范围．
求下列函数的单调区间：
(2) f(x)＝4x－2x＋1可视为y＝u2－2u与u＝2x复合而成．
当x∈(－∞，0]时，u＝2x单调递增，且u∈(0，1]，又y＝u2－2u在u∈(0，1]上单调递减，
所以当x∈(－∞，0]时，f(x)单调递减．
当x∈[0，＋∞)时，u＝2x单调递增，且u∈[1，＋∞)，又y＝u2－2u在u∈[1，＋∞)上单调递增，所以当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增．
1．若函数y＝ax2－ax－3在区间[1，3]上单调递增，求实数a的取
值范围．
解：y＝ax2－ax－3可视为y＝au与u＝x2－ax－3复合而成．
当a>1时，由于y＝au恒单调递增，又y＝ax2－ax－3在区间
[1，3]上单调递增，所以u＝x2－ax－3在区间[1，3]上单调递
增，
2．求函数f(x)＝3x＋3－x的单调区间．
[规律方法]
与指数型函数有关的复合函数的单调性的求解步骤和一般结论：
1．求解步骤：(1)求定义域：依据题意明确研究范围；(2)拆分：
把原函数拆分为几个基本函数；(3)定性质：分层逐一求单调
性；(4)下结论：根据复合函数的单调性法则，即“同增异
减”，得出原函数的单调性．
2．一般结论：研究形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调性
时，令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果两个函数y＝au与u＝f(x)的
单调性相同，则函数y＝af(x)在[m，n]上单调递增；如果两者
的单调性相异(即一增一减)，则函数y＝af(x)在[m，n]上单调递
减．
已知f(x)为定义在(－1，1)上的奇函数，当x∈(0，1)时，f(x)＝ .
(1)求f(x)在(－1，1)上的解析式；
(2)判断f(x)在区间上的单调性，并证明．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
解：(1)由3x－1≠0，得3x≠1，即x≠0，
所以函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠0}．
[规律方法]
指数型函数的奇偶性和单调性的判断方法：
1．奇偶性按照函数奇偶性定义进行判断，注意定义域优先原
则，判断过程中，要进行必要的指数幂的运算．
2．单调性按照函数单调性定义进行判断，先确定单调区间，
作差变形后再用函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性进行符号
的判断．
1．函数y＝ 的定义域为( )
A．(5，＋∞) B．[5，＋∞)
C．(－∞，5) D．(－∞，5]
B
A．(－1，0) B．(1，2)
C．(－1，1) D．(0，1)
D
3．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
D
4．函数f(x)＝2x＋m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是
_____________．
【解析】 作出f(x)的图象，由图象可知m<0.
{m|m<0}
5．函数y＝ 的值域是____________．
{y|y>1}第2课时 指数函数的图象及性质的应用
[课程目标] 1.理解指数函数的单调性，会解决指数型函数的最值及单调性问题；2.会解简单的指数型方程和不等式．
知识点一 与指数函数有关的复合函数
函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的定义域、值域可转化为函数y＝at进行研究，其中t＝__f(x)__．若f(x)的定义域为R，则y＝af(x)的定义域为__R__．函数y＝af(x)的值域要根据f(x)的值域及函数y＝at的单调性研究．
[研读]研究复合函数的单调性，要弄清这个复合函数是由哪几个函数以怎样的方式复合而成的，然后用判断复合函数单调性的一般方法作出判断．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)函数y＝a2x－1(a>0，且a≠1)的定义域是R，值域是{y|y>0}．( √ )
(2)函数y＝3x2＋1的定义域是R，值域是{y|y>0}．( × )
(3)函数y＝3－|x|＋1是偶函数．( √ )
(4)函数y＝4的定义域是{x|x≥1}．( √ )
【解析】 (2)该函数的定义域是R，因为x2＋1≥1，所以y＝3x2＋1的值域是[3，＋∞).
(3)该函数的定义域为R，且满足f(x)＝f(－x)，所以函数y＝3－|x|＋1是偶函数．
(4)因为x－1≥0，所以x≥1，所以函数y＝4的定义域是{x|x≥1}．
知识点二 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)单调性的应用
1．a的取值与单调性
若0__ax2.
若a>1，x12．指数型不等式的解法
对形如af(x)>ag(x)的不等式的讨论：
当0ag(x) __f(x)当a>1时，af(x)>ag(x) __f(x)>g(x)__．
[研读]利用指数函数的单调性可以求函数的最值、解不等式、比较函数值的大小、求解参数的值(或取值范围)等．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)方程2x2－x＝的解集是{－1，2}．( √ )
(2)不等式22x＋3>的解集是{x|x>－4}．( √ )
(3)若a30，且a≠1)，则实数a的取值范围是0(4)函数y＝23－2x在R上是增函数．( × )
【解析】 (1)由题意知，2x2－x＝22，所以x2－x－2＝0，解得x＝－1或x＝2.
(2)由题意知，2x＋3>－5，解得x>－4.
(3)因为a3(4)函数y＝23－2x在R上是减函数．
求下列函数的定义域：
(1)y＝(a>1)；
(2)y＝.
解：(1)y＝有意义 ax－1≥0 ax≥a0，解得x≥0，所以函数的定义域为[0，＋∞).
(2)y＝有意义 4x－3·2x＋1＋8>0 －6·2x＋8>0 (2x－2)(2x－4)>0，解得x<1或x>2，所以函数的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞).
活学活用
求下列函数的定义域：
(1)y＝；(2)y＝.
解：(1)y＝有意义 2x(3－x)－4≥0 2x(3－x)≥22
x(3－x)≥2，解得1≤x≤2，所以函数的定义域为[1，2].
(2)y＝有意义 2x＋1－4x≥0 2x≤0 0≤2x≤2，解得x≤1，所以函数的定义域为(－∞，1].
求下列函数的值域：
(1)y＝； (2)f(x)＝.
解：(1)令2x－x2＝u，则y＝.
由于u＝2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1.
又y＝在u∈(－∞，1]上单调递减，所以y∈.
(2)f(x)＝＝＝＝1－.
令32x＋1＝u，则y＝1－.
又因为u＝32x＋1>1，且y＝1－在(1，＋∞)上单调递增，所以y∈(－1，1).
活学活用
求下列函数的值域：
(1)f(x)＝； (2)f(x)＝2x＋2－x(x>0).
解：(1)令＝u，则y＝，
由于u＝＝≤2.
又y＝在u∈[0，2]上单调递减，所以y∈.
(2)令2x＝u，则y＝u＋.又因为x>0，所以u>1，
所以y＝u＋>2＝2，等号不成立，
所以y∈(2，＋∞).
设0a2x2＋2x－3的解集是__{x|x>2}__．
【解析】 因为0a2x2＋2x－3，所以2x2－3x＋7<2x2＋2x－3，
解得x>2，所以不等式的解集是{x|x>2}．
活学活用
如果a－5x>a3x＋12(a>0，且a≠1)，求x的取值范围．
解：①当a>1时，因为a－5x>a3x＋12，
所以－5x>3x＋12，解得x<－；
②当0a3x＋12，
所以－5x<3x＋12，解得x>－.
综上所述，当a>1时，x的取值范围为；
当0求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝； (2)f(x)＝4x－2x＋1.
解：(1)f(x)＝可视为y＝与u＝复合而成．
当x∈[－1，1]时，u＝单调递增，u∈，又y＝在u∈[0，2]上单调递减，所以当x∈[－1，1]时，f(x)单调递减；
当x∈[1，3]时，u＝单调递减，u∈，又y＝在u∈[0，2]上单调递减，所以当x∈[1，3]时，f(x)单调递增．
(2) f(x)＝4x－2x＋1可视为y＝u2－2u与u＝2x复合而成．
当x∈(－∞，0]时，u＝2x单调递增，且u∈(0，1]，又y＝u2－2u在u∈(0，1]上单调递减，
所以当x∈(－∞，0]时，f(x)单调递减．
当x∈[0，＋∞)时，u＝2x单调递增，且u∈[1，＋∞)，又y＝u2－2u在u∈[1，＋∞)上单调递增，所以当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增．
活学活用
1．若函数y＝ax2－ax－3在区间[1，3]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：y＝ax2－ax－3可视为y＝au与u＝x2－ax－3复合而成．
当a>1时，由于y＝au恒单调递增，又y＝ax2－ax－3在区间[1，3]上单调递增，所以u＝x2－ax－3在区间[1，3]上单调递增，
所以解得1当0综上，a的取值范围为(1，2].
2．求函数f(x)＝3x＋3－x的单调区间．
解：f(x)＝3x＋3－x可视为y＝u＋，u＝3x复合而成．
当x∈(－∞，0]时，u＝3x单调递增，且u∈(0，1].
又y＝u＋在u∈(0，1]上单调递减，
所以当x∈(－∞，0]时，f(x)单调递减；
当x∈[0，＋∞)时，u＝3x单调递增，且u∈[1，＋∞).又y＝u＋在u∈[1，＋∞)上单调递增，
所以当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增．
[规律方法]
与指数型函数有关的复合函数的单调性的求解步骤和一般结论：
1．求解步骤：(1)求定义域：依据题意明确研究范围；(2)拆分：把原函数拆分为几个基本函数；(3)定性质：分层逐一求单调性；(4)下结论：根据复合函数的单调性法则，即“同增异减”，得出原函数的单调性．
2．一般结论：研究形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调性时，令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，则函数y＝af(x)在[m，n]上单调递增；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y＝af(x)在[m，n]上单调递减．
已知f(x)为定义在(－1，1)上的奇函数，当x∈(0，1)时，f(x)＝.
(1)求f(x)在(－1，1)上的解析式；
(2)判断f(x)在区间上的单调性，并证明．
解：(1)因为当x∈(－1，0)时，－x∈(0，1)，
所以f(x)＝－f(－x)＝－＝－.又f(0)＝0，
所以f(x)＝
(2)f(x)在(－1，0)和(0，1)上单调递减．证明如下：
任取x1，x2∈(0，1)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为2x1＋x2>1，2x2>2x1，所以f(x1)－f(x2)>0，
所以f(x)在(0，1)上单调递减．
由奇函数的性质知，f(x)在(－1，0)上单调递减，
所以f(x)在(－1，0)和(0，1)上单调递减．
活学活用
已知函数f(x)＝＋.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
解：(1)由3x－1≠0，得3x≠1，即x≠0，
所以函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠0}．
(2)因为函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，且
f(－x)＝＋＝＋＝＝－，
而f(x)＝＋＝，
所以f(－x)＝－f(x)，因此f(x)是奇函数．
[规律方法]
指数型函数的奇偶性和单调性的判断方法：
1．奇偶性按照函数奇偶性定义进行判断，注意定义域优先原则，判断过程中，要进行必要的指数幂的运算．
2．单调性按照函数单调性定义进行判断，先确定单调区间，作差变形后再用函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性进行符号的判断．
1．函数y＝的定义域为( B )
A．(5，＋∞) B．[5，＋∞)
C．(－∞，5) D．(－∞，5]
【解析】 依题意，2x－32≥0，即2x≥25，解得x≥5，所以函数y＝的定义域为[5，＋∞).
2．不等式－x>1的解集是( D )
A．(－1，0) B．(1，2)
C．(－1，1) D．(0，1)
【解析】 由－x>1，得－x>1＝，所以x2－x<0，解得03．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( D )
A．y＝2
B．y＝
C．y＝
D．y＝
【解析】 y＝2的值域是(0，1)∪(1，＋∞)；y＝的值域是[0，＋∞)；y＝的值域是(1，＋∞)；y＝的值域是(0，＋∞).
4．函数f(x)＝2x＋m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是__{m|m<0}__．
【解析】 作出f(x)的图象，由图象可知m<0.
5．函数y＝2＋1的值域是__{y|y>1}__．
【解析】 因为>0，所以y＝2＋1>1，即函数的值域是{y|y>1}．
8