(共18张PPT)
4．4 对数函数
第四章 指数函数与对数函数
4．4.1 对数函数的概念
一般地，函数y＝__________(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是_____________．
[研读]对数函数y＝logax中，a满足a>0，且a≠1.
logax
(0，＋∞)
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)由y＝logax得x＝ay，因为a>0，且a≠1，所以x>0. ( )
(2)函数y＝log2x3是对数函数． ( )
(3)函数y＝logax2的定义域是R． ( )
(4)函数y＝loga(x＋3)的定义域是(0，＋∞). ( )
【解析】 (2)函数y＝log2x3不是对数函数．
(3)函数y＝logax2的定义域是{x|x≠0}．
(4)函数y＝loga(x＋3)的定义域是(－3，＋∞).
√
×
×
×
给出下列函数：
其中属于对数函数的是_________(填序号).
③④
下列函数中，与函数y＝x(x≥0)相同的是( )
B
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．[－1，1)∪(1，＋∞)
C
函数y＝log(2x－1)(3－4x)的定义域是_____________．
【迁移探究】
已知函数y＝lg （ ）的定义域为R，则实数a的取值范围为____________．
【解析】 因为函数的定义域为R，所以x2＋2x＋a>0恒成立，即Δ＝4－4a<0，解得a>1，所以a的取值范围为a>1.
{a|a>1}
x2+2x+a
我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2 ，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量．那么当一只两岁燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg (其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的( )
B
1．下列函数为对数函数的是( )
B
2．函数y＝log3(1－x2)的定义域是( )
A．{x|0
B．{x|－1C．{x|－1≤x≤1}
D．{x|x<－1或x>1}
【解析】 由y＝log3(1－x2)，得1－x2>0，解得－1B
3．函数y＝lg (x＋2)＋ln (1－x)的定义域是( )
A．{x|x>0} B．{x|x<1}
C．{x|x>－2} D．{x|－2D
4．若对数函数f(x)的图象经过点(3，2)，则f( )＝_______．
1
5．若函数f(x)＝a2－2a－3＋logax是对数函数，则a＝_______．
【解析】 依题意，a2－2a－3＝0，a>0，且a≠1，解得a＝－1
(舍去)或a＝3，所以a＝3.
3对数函数的概念
[课程目标] 1.理解对数函数的概念，会求简单对数函数的定义域；2.了解对数函数在生产实际中的应用；3.能够熟练运用对数的运算性质进行化简求值．
知识点 对数函数的概念
一般地，函数y＝__logax__(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是__(0，＋∞)__．
[研读]对数函数y＝logax中，a满足a>0，且a≠1.
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)由y＝logax得x＝ay，因为a>0，且a≠1，所以x>0.( √ )
(2)函数y＝log2x3是对数函数．( × )
(3)函数y＝logax2的定义域是R．( × )
(4)函数y＝loga(x＋3)的定义域是(0，＋∞).( × )
【解析】 (2)函数y＝log2x3不是对数函数．
(3)函数y＝logax2的定义域是{x|x≠0}．
(4)函数y＝loga(x＋3)的定义域是(－3，＋∞).
给出下列函数：
①y＝1＋log3x；②y＝2logπx；③y＝logπ2x；④y＝log(＋1)x；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；⑥y＝log4.
其中属于对数函数的是__③④__(填序号).
【解析】 根据对数函数的概念，可知y＝logπ2x，y＝log(＋1)x是对数函数．
活学活用
下列函数中，与函数y＝x(x≥0)相同的是( B )
A．y＝ B．y＝()2
C．y＝lg 10x D．y＝2log2x
【解析】 y＝的定义域为，A不正确；B正确；y＝lg 10x的定义域为，C不正确，y＝2log2x的定义域为，D不正确，故选B.
函数f(x)＝的定义域是( C )
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．[－1，1)∪(1，＋∞)
【解析】 要使函数有意义，应满足解得x>－1且x≠1.
活学活用
函数y＝log(2x－1)(3－4x)的定义域是______．
【解析】 要使函数有意义，应满足
即解得所以该函数的定义域为 .
【迁移探究】
已知函数y＝lg的定义域为R，则实数a的取值范围为__{a|a>1}__．
【解析】 因为函数的定义域为R，所以x2＋2x＋a>0恒成立，即Δ＝4－4a<0，解得a>1，所以a的取值范围为a>1.
我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量．那么当一只两岁燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
解：将耗氧量O＝80代入已知函数关系式，
得v＝5log2＝5log223＝15(m/s).
活学活用
我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg (其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的( B )
A．倍 B．10倍
C．10倍D．ln倍
【解析】 依题意可知，η1＝10lg ，η2＝10lg ，
所以η1－η2＝10lg －10lg ＝10，则lg＝1，所以＝10.
1．下列函数为对数函数的是( B )
A．y＝log5x－2 B．y＝logx
C．y＝log3(2x) D．y＝log(x＋1)
【解析】 根据对数函数的概念知，y＝logx是对数函数．
2．函数y＝log3(1－x2)的定义域是( B )
A．{x|0B．{x|－1C．{x|－1≤x≤1}
D．{x|x<－1或x>1}
【解析】 由y＝log3(1－x2)，得1－x2>0，解得－13．函数y＝lg(x＋2)＋ln(1－x)的定义域是( D )
A．{x|x>0} B．{x|x<1}
C．{x|x>－2} D．{x|－2【解析】 依题意，得解得－2所以该函数的定义域为{x|－24．若对数函数f(x)的图象经过点(3，2)，则f()＝__1__．
【解析】 设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，由题意知2＝loga3，所以a2＝3，解得a＝，所以f(x)＝logx，所以f()＝log＝1.
5．若函数f(x)＝a2－2a－3＋logax是对数函数，则a＝__3__．
【解析】 依题意，a2－2a－3＝0，a>0，且a≠1，解得a＝－1(舍去)或a＝3，所以a＝3.
4(共25张PPT)
4．4 对数函数
第四章 指数函数与对数函数
4．4.2 对数函数的图象和性质
第1课时 对数函数的图象和性质
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)若对数函数y＝log(a＋1)x(x>0)是增函数，则实数a的取值范
围是a>1. ( )
(2)函数y＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1)的图象过原点． ( )
(3)y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax的单调性相同. ( )
(4)log ×
√
√
×
(1)函数y＝x＋a与y＝logax(a>0，且a≠1)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
C
(2)若函数f(x)＝loga(2x－3)(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是_________.
【解析】 (1)选项A中，由直线知a>1，由y＝logax的图象知01，不合题意；选项B中，由直线知01，不合题意；选项C中，由直线知0(2)由loga1＝0，故2x－3＝1 x＝2，所以恒过定点P( 2,0 ).
(2，0)
(1)利用作图工具作出的a＝1.5，4， 时的对数函数y＝logax的图象如图所示，请你判断对应于C1，C2，C3的a的值分别为( )
C
(2)若函数f(x)＝loga(x＋m)＋1(a>0，且a≠1)恒过定点(2，n)，则m＋n的值为______．
0
比较下列各组数的大小．
(1)log2π与log20.8；(2)log20.6与log0.20.6；
(3)log0.76，0.76与60.7；(4)log20.4与log30.4.
解：(1)因为函数y＝log2x是增函数，π>0.8，所以log2π>log20.8.
(2)因为log20.6log0.21＝0，
所以log20.6(3)因为60.7>60＝1，0<0.76<0.70＝1，
又因为log0.760.76>log0.76.
(4)在同一坐标系中作出函数y＝log2x和y＝log3x的图象，如图所示，可知log30.4>log20.4.
[规律方法]
利用对数函数的单调性可进行对数大小的比较，常用的方法有：
(1)同底数的两个对数值的大小比较，常利用对数函数的单调性进行比较．
(2)底数不同且真数也不相同的两个对数值的大小比较，常引入中间变量法比较，通常取中间量为－1，0，1等．
(3)底数不同而真数相同的两个对数值的大小比较，常利用数形结合思想来解决，也可利用换底公式化为同底，再进行比较．
已知loga3x≥loga(8－x)，a>0，且a≠1，求实数x的取值范围．
综上可知，当01时，实数x的取值范围是[2，8).
解下列关于x的不等式：
[规律方法]
解对数型不等式的一般思路．
1．把不等式两边均化为logaf(x)的形式．
2．利用单调性，把不等式转化为真数的大小关系，得到新的不
等式，要注意底数a和1的使用．
3．在真数大于零的前提下，解这个新的不等式．
4．总结得出不等式的解集．
1．若函数f(x)＝loga(x－1)在[a＋1，2a＋1]上单调递减，则f(x)在
[a＋1，2a＋1]上的最大值是( )
A．1 B．a
C．loga2 D．1＋loga2
A
2． 函数y＝log2(2x＋1)的图象大致是( )
C
3． 若a>b>0，0A．logacC．acBD
【解析】 由题意知，log2x－1>0，即log2x>1，解得x>2.
(2，＋∞)对数函数的图象和性质
第1课时 对数函数的图象和性质
[课程目标] 1.初步掌握对数函数的图象和性质；2.能够利用对数函数的单调性比较实数的大小，能够解简单的对数型不等式．
知识点 对数函数的图象与性质
函数 y＝logax(a>0，且a≠1)
底数 a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 __R__
性 质
单调性 增函数 减函数
共点性 图象过定点__(1，0)__，即loga1＝__0__
函数值特征 x∈(0，1)时， y∈__(－∞，0)__； x∈(1，＋∞)时， y∈__(0，＋∞)__ x∈(0，1)时， y∈__(0，＋∞)__； x∈(1，＋∞)时， y∈__(－∞，0)__
性 质
对称性 y＝logax与y＝logx的图象关于__x__轴对称
趋近 a越大，图象 越接近x轴 a越小，图象越 接近x轴
趋势 图象无限趋近于y轴
[研读]作出三点：，(1，0)，(a，1)，就能快速作出函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)若对数函数y＝log(a＋1)x(x>0)是增函数，则实数a的取值范围是a>1.( × )
(2)函数y＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1)的图象过原点．( √ )
(3)y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax的单调性相同.( √ )
(4)log【解析】 (1)因为y＝log(a＋1)x(x>0)是增函数，所以a＋1>1，解得a>0.
(2)因为函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，将y＝logax的图象向左平移1个单位，得到函数y＝loga(x＋1)的图象，所以y＝loga(x＋1)的图象过原点．
(4)y＝logx是减函数，所以log>log.
(1)函数y＝x＋a与y＝logax(a>0，且a≠1)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( C )
A. B.
C. D.
(2)若函数f(x)＝loga(2x－3)(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是__(2，0)__.
【解析】 (1)选项A中，由直线知a>1，由y＝logax的图象知01，不合题意；选项C中，由直线知0(2)由loga1＝0，故2x－3＝1 x＝2，所以恒过定点P.
活学活用
(1)利用作图工具作出的a＝1.5，4，时的对数函数y＝logax的图象如图所示，请你判断对应于C1，C2，C3的a的值分别为( C )
A．1.5，4，
B．4，1.5，
C．，1.5，4
D．，4，1.5
(2)若函数f(x)＝loga(x＋m)＋1(a>0，且a≠1)恒过定点(2，n)，则m＋n的值为__0__．
【解析】 (1)由题图可得，C1，C2，C3对应的a的值分别为，1.5，4，故选C.
(2)由loga1＝0，得x＋m＝1 x＝1－m＝2 m＝－1，n＝1，所以m＋n＝0.
比较下列各组数的大小．
(1)log2π与log20.8；(2)log20.6与log0.20.6；
(3)log0.76，0.76与60.7；(4)log20.4与log30.4.
解：(1)因为函数y＝log2x是增函数，π>0.8，所以log2π>log20.8.
(2)因为log20.6log0.21＝0，
所以log20.6(3)因为60.7>60＝1，0<0.76<0.70＝1，
又因为log0.760.76>log0.76.
(4)在同一坐标系中作出函数y＝log2x和y＝log3x的图象，如图所示，
可知log30.4>log20.4.
[规律方法]
利用对数函数的单调性可进行对数大小的比较，常用的方法有：
(1)同底数的两个对数值的大小比较，常利用对数函数的单调性进行比较．
(2)底数不同且真数也不相同的两个对数值的大小比较，常引入中间变量法比较，通常取中间量为－1，0，1等．
(3)底数不同而真数相同的两个对数值的大小比较，常利用数形结合思想来解决，也可利用换底公式化为同底，再进行比较．
已知loga3x≥loga(8－x)，a>0，且a≠1，求实数x的取值范围．
解：当0当a>1时，因为y＝logax是增函数，所以由题意得
解得2≤x<8，所以实数x的取值范围是[2，8).
综上可知，当01时，实数x的取值范围是[2，8).
活学活用
解下列关于x的不等式：
(1)logx>log；
(2)loga>loga(a>0，且a≠1)；
(3)logx>1(x>0，且x≠1).
解：(1)由题意得，0(2)当a>1时，由2x－5>x－1>0 x∈；
当0(3)由logx>1 logx>logxx，当x>1时，由>x>0 x∈ ；
当0 x∈.故x∈.
[规律方法]
解对数型不等式的一般思路．
1．把不等式两边均化为logaf(x)的形式．
2．利用单调性，把不等式转化为真数的大小关系，得到新的不等式，要注意底数a和1的使用．
3．在真数大于零的前提下，解这个新的不等式．
4．总结得出不等式的解集．
1．若函数f(x)＝loga(x－1)在[a＋1，2a＋1]上单调递减，则f(x)在[a＋1，2a＋1]上的最大值是( A )
A．1 B．a
C．loga2 D．1＋loga2
2． 函数y＝log2(2x＋1)的图象大致是( C )
A. B.
C. D.
【解析】 函数y＝log2(2x＋1)的定义域为，且y＝log2(2x＋1)为增函数，故选C.
3．【多选题】 若a>b>0，0A．logacC．ac【解析】 由a>b>0，04．函数f(x)＝的定义域为__(2，＋∞)__．
【解析】 由题意知，log2x－1>0，即log2x>1，解得x>2.
5．log73，log7，30.7的大小关系是__30.7>log73>log7__．
【解析】 设a＝log73，b＝log7，c＝30.7，因为01，所以30.7>log73>log7.
3(共39张PPT)
4．4 对数函数
第四章 指数函数与对数函数
4．4.2 对数函数的图象和性质
第2课时 对数函数的图象及性质的应用
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)和指数函数________________
___________互为反函数．
[研读]通过作图，可以发现函数y＝ax与y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称．
y＝ax(a>0，且a≠1)
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
( )
(2)函数y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称． ( )
(3)若点(m，n)在函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象上，则点(n，
m)在函数y＝logax的图象上． ( )
(4)函数y＝3x与y＝log3x的定义域与值域是互换的. ( )
√
√
√
√
【解析】 (4)函数y＝3x的定义域为R，值域为(0，＋∞)，y＝
log3x的定义域为(0，＋∞)，值域为R，即它们的定义域和值域
互换．
1．定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域．
2．值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由
y＝logat的单调性确定函数的值域．
3．单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据
________________法则判定(或运用单调性定义判定).
4．奇偶性：根据奇偶函数的定义判定．
5．最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定
函数y＝logat的单调性，最后确定最值．
同增异减
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
( )
( )
(3)函数y＝lg (x2－1)是偶函数． ( )
( )
×
×
√
√
A．ab＝1 B．a＋b＝1
C．a＝b D．a－b＝1
A
A．－2 B．2 C．－1 D．1
函数f(x)＝|log4x|的图象大致是( )
【解析】 先作出函数f(x)＝log4x的图象，然后把x轴下方的图象翻到x轴上方即得函数f(x)＝|log4x|的图象，故选A.
A
函数f(x)＝ln (x2＋1)的图象大致是( )
【解析】 因为x∈R，f(－x)＝ln [(－x)2＋1]＝ln (x2＋1)＝f(x)，所以该函数为偶函数，排除选项C；又f(0)＝0，排除选项B，
D.故选A.
A
[规律方法]
1．对数型函数的图象，一般以函数y＝logax的图象为基础，通过
平移、对称变换得到．
2．两种常见的对称变换：
①含有绝对值的函数的图象变换．一般地，y＝|f(x)|的图象是
保留y＝f(x)的图象在x轴上方的部分，并把x轴下方的部分以x
轴为对称轴翻折到x轴上方而得到的；②y＝f(x)的图象与y＝
f(－x)的图象关于y轴对称，y＝f(x)的图象与y＝－f(x)的图象
关于x轴对称．
【迁移探究】
函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝2－x＋1在同一坐标系中的图象大致是
( )
C
(1)确定a的值；
(2)用定义法证明：f(x)在(1，＋∞)上单调递增；
函数f(x)＝ 的单调递增区间是( )
D
[规律方法]
1．求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意
识，即由f(x)>0，先求定义域．
2．求此类型函数单调性的两种思路：①利用定义求证；②借助
函数的性质，研究函数t＝f(x)和y＝logat在定义域上的单调
性，从而判定y＝logaf(x)的单调性．
求函数y＝log3(x2－4x＋7)的值域．
解：因为x2－4x＋7＝(x－2)2＋3>0，
所以函数y＝log3(x2－4x＋7)的定义域为R．
令t＝x2－4x＋7＝(x－2)2＋3，则y＝log3t，t∈[3，＋∞)，
因为函数y＝log3t在[3，＋∞)上单调递增，
所以y＝log3t≥log33＝1，即y∈[1，＋∞).
所以函数y＝log3(x2－4x＋7)的值域是[1，＋∞).
已知函数y＝logax(a>0，且a≠1)，当x∈[3，9]时，函数的最大
值比最小值大1，则a＝__________．
[规律方法]
求对数型函数的值域或最值时，主要有两种方法：①利用对数函数的单调性；②若函数是与二次函数复合的函数，要考虑二次函数的最值情况．
【迁移探究】 已知函数f(x)＝lg (ax2＋2x＋1).
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.
函数f(x)＝lg |x＋a|是偶函数，则a＝______．
【解析】 依题意，得lg |x＋a|＝lg |－x＋a|，所以当x≠±a时，|x＋a|＝|－x＋a|总成立，所以a＝0.
[规律方法]
判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对
称．对于类似于f(x)＝logag(x)的函数，利用f(－x)±f(x)＝0来判断奇偶性较简便．
0
1．已知函数f(x)＝log2x，若函数g(x)是f(x)的反函数，则f[g(2)]
＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B
2．函数f(x)＝lg (|x|－1)的大致图象是( )
【解析】 由f(－x)＝lg (|－x|－1)＝lg (|x|－1)＝f(x)且定义域
关于原点对称得，f(x)是偶函数，由此C，D错误；又当x>1
时，f(x)＝lg (x－1)在(1，＋∞)上单调递增，故选B.
B
3．已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图象是
( )
C
[－1，＋∞)对数函数的图象和性质
第2课时 对数函数的图象及性质的应用
[课程目标] 1.了解反函数的概念及它们的图象的特点；2.掌握对数型复合函数的单调性、奇偶性、最值等的求解方法．
知识点一 反函数的概念
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)和指数函数__y＝ax(a>0，且a≠1)__互为反函数．
[研读]通过作图，可以发现函数y＝ax与y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)函数y＝的反函数是y＝logx.( √ )
(2)函数y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称．( √ )
(3)若点(m，n)在函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象上，则点(n，m)在函数y＝logax的图象上．( √ )
(4)函数y＝3x与y＝log3x的定义域与值域是互换的.( √ )
【解析】 (4)函数y＝3x的定义域为R，值域为(0，＋∞)，y＝log3x的定义域为(0，＋∞)，值域为R，即它们的定义域和值域互换．
知识点二 y＝logaf(x)型函数性质的研究
1．定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域．
2．值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域．
3．单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据__同增异减____法则判定(或运用单调性定义判定).
4．奇偶性：根据奇偶函数的定义判定．
5．最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)函数y＝log(x－2)在(2，＋∞)上单调递增．( × )
(2)函数y＝log3(x2＋)的值域是(0，＋∞).( × )
(3)函数y＝lg(x2－1)是偶函数．( √ )
(4)函数y＝ln是奇函数．( √ )
【解析】 (1)函数y＝log(x－2)在(2，＋∞)上单调递减．
(2)因为x2＋≥，所以函数y＝log3(x2＋)的值域是.
(3)函数y＝lg(x2－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，因为f(－x)＝lg(x2－1)＝f(x)，所以函数y＝lg(x2－1)是偶函数．
(4)函数y＝ln的定义域为{x|－3若函数y＝与y＝logbx互为反函数，a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，则a与b的关系为( A )
A．ab＝1 B．a＋b＝1
C．a＝b D．a－b＝1
【解析】 y＝logbx的反函数为y＝bx，所以函数y＝bx与函数y＝是同一个函数，所以b＝，即ab＝1.故选A.
活学活用
若点(2，4)在函数f(x)＝logax的反函数的图象上，则f等于( C )
A．－2 B．2 C．－1 D．1
【解析】 因为点(2，4)在函数f(x)＝logax的反函数的图象上，所以点(4，2)在函数f(x)＝logax的图象上，所以2＝loga4，即a2＝4，得a＝2，所以f＝log2＝－1.故选C.
函数f(x)＝|log4x|的图象大致是( A )
【解析】 先作出函数f(x)＝log4x的图象，然后把x轴下方的图象翻到x轴上方即得函数f(x)＝|log4x|的图象，故选A.
活学活用
函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( A )
【解析】 因为x∈R，f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x2＋1)＝f(x)，所以该函数为偶函数，排除选项C；又f(0)＝0，排除选项B，D.故选A.
[规律方法]
1．对数型函数的图象，一般以函数y＝logax的图象为基础，通过平移、对称变换得到．
2．两种常见的对称变换：
①含有绝对值的函数的图象变换．一般地，y＝|f(x)|的图象是保留y＝f(x)的图象在x轴上方的部分，并把x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到的；②y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，y＝f(x)的图象与y＝－f(x)的图象关于x轴对称．
【迁移探究】
函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝2－x＋1在同一坐标系中的图象大致是( C )
【解析】 函数f(x)＝1＋log2x为增函数且图象过点，排除A；函数g(x)＝2－x＋1为减函数且图象过点(0，2)，排除B，D.故选C.
已知f(x)＝log为奇函数，a为常数．
(1)确定a的值；
(2)用定义法证明：f(x)在(1，＋∞)上单调递增；
(3)若对于区间[3，4]上的每一个x值，不等式f(x)＞＋m恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)因为f(x)是奇函数，
所以定义域关于原点对称，由＞0，
得(x－1)(1－ax)＞0.
令(x－1)(1－ax)＝0，解得x1＝1，x2＝，
所以＝－1，解得a＝－1.
(2)证明：由(1)得f(x)＝log，
令u(x)＝＝1＋，
设任意x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，
则u(x1)－u(x2)＝，
因为1＜x1＜x2，所以x1－1＞0，x2－1＞0，x2－x1＞0，
所以u(x1)－u(x2)＞0，即u(x1)＞u(x2).
所以u(x)＝1＋在(1，＋∞)上单调递减．
又y＝logu(x)为减函数，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
(3)由题意知log－＞m在x∈[3，4]时恒成立，
令g(x)＝log－，x∈[3，4]，
由(2)知y＝log在[3，4]上单调递增，
又y＝－在[3，4]上也单调递增，
故g(x)在[3，4]上单调递增，
所以g(x)的最小值为g(3)＝－，所以m＜－，
故实数m的取值范围是.
活学活用
函数f(x)＝的单调递增区间是( D )
A． B．(0，1]
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
【解析】 f(x)＝＝
当x≥1时，t＝logx单调递减，f(x)＝－logx单调递增．
所以f(x)的单调递增区间为[1，＋∞).
[规律方法]
1．求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f(x)>0，先求定义域．
2．求此类型函数单调性的两种思路：①利用定义求证；②借助函数的性质，研究函数t＝f(x)和y＝logat在定义域上的单调性，从而判定y＝logaf(x)的单调性．
求函数y＝log3(x2－4x＋7)的值域．
解：因为x2－4x＋7＝(x－2)2＋3>0，
所以函数y＝log3(x2－4x＋7)的定义域为R．
令t＝x2－4x＋7＝(x－2)2＋3，则y＝log3t，t∈[3，＋∞)，
因为函数y＝log3t在[3，＋∞)上单调递增，
所以y＝log3t≥log33＝1，即y∈[1，＋∞).
所以函数y＝log3(x2－4x＋7)的值域是[1，＋∞).
活学活用
已知函数y＝logax(a>0，且a≠1)，当x∈[3，9]时，函数的最大值比最小值大1，则a＝__3或__．
【解析】 当0当a>1时，函数y＝logax在[3，9]上单调递增，由题意得loga9－loga3＝loga3＝1，所以a＝3.综上可知a＝或3.
[规律方法]
求对数型函数的值域或最值时，主要有两种方法：①利用对数函数的单调性；②若函数是与二次函数复合的函数，要考虑二次函数的最值情况．
【迁移探究】 已知函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1).
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.
解：(1)若f(x)的定义域为R，则关于x的不等式ax2＋2x＋1>0的解集为R．当a＝0时，x>－，这与x∈R相矛盾，所以a≠0；
当a≠0时，由题意得
解得a>1.即实数a的取值范围为.
(2)若f(x)的值域为R，则ax2＋2x＋1能取遍所有的正数，
所以a＝0或解得0≤a≤1.
即实数a的取值范围为{a|0≤a≤1}．
已知函数f＝kx＋loga(ax＋1)(a>0且a≠1)的图象关于y轴对称，求k的值．
解：由题意可知函数f(x)为偶函数，故f＝－kx＋loga＝－kx＋loga＝－x＋loga＝kx＋loga，
所以k＝－k－1 k＝－.
活学活用
函数f(x)＝lg |x＋a|是偶函数，则a＝__0__．
【解析】 依题意，得lg |x＋a|＝lg |－x＋a|，所以当x≠±a时，|x＋a|＝|－x＋a|总成立，所以a＝0.
[规律方法]
判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称．对于类似于f(x)＝logag(x)的函数，利用f(－x)±f(x)＝0来判断奇偶性较简便．
1．已知函数f(x)＝log2x，若函数g(x)是f(x)的反函数，则f[g(2)]＝( B )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是( B )
A. B. C. D.
【解析】 由f(－x)＝lg(|－x|－1)＝lg(|x|－1)＝f(x)且定义域关于原点对称得，f(x)是偶函数，由此C，D错误；又当x>1时，f(x)＝lg(x－1)在(1，＋∞)上单调递增，故选B.
3．已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图象是( C )
A. B. C. D.
【解析】 函数y＝log2x的反函数为y＝2x，故f(x)＝2x，于是f(1－x)＝21－x＝，此函数是R上的减函数，其图象经过点(0，2)，只有选项C中的图象符合要求．
4．若函数y＝log(x2－ax＋a)在(－∞，)上单调递增，则实数a的取值范围是__[2，2＋2]__.
【解析】 令u＝x2－ax＋a，则y＝logu显然为减函数，则要使函数在区间(－∞，)上单调递增，则u＝x2－ax＋a在区间(－∞，)上应单调递减，且恒大于0，
则解得2≤a≤2＋2，故a的取值范围是[2，2＋2].
5．函数y＝log的值域是__[－1，＋∞)__．
【解析】 因为4－x2>0，所以x2<4，得－26(共27张PPT)
4．4 对数函数
第四章 指数函数与对数函数
4．4.3 不同函数增长的差异
[研读]三种函数中，当a>1时，函数y＝ax函数值的增长速度是最快的．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)当x增加一个单位时，y增加或减少的量是定值，则y是x的
一次函数． ( )
(2)函数y＝log3x的增长速度越来越慢． ( )
(3)存在一个实数m，使得x>m时，1.01x>x10. ( )
(4)不存在实数m，使得x>m时，kx>ln x(k>0). ( )
√
√
√
×
以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：
其中关于x呈二次函数变化的变量是______；呈指数增长的变
量是________；呈对数增长的变量是________．
【解析】 从表格中可以看出，y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x.所以
关于x呈二次函数变化的变量是y2；呈指数增长的变量是y1；
呈对数增长的变量是y3.
y2
y1
y3
[规律方法]
常见的函数模型及增长特点：
(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直
线上升，其增长速度不变．
(2)指数函数模型：能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常
数，a>0，b>1)表达的函数模型的增长特点是随着自变量x的
增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”．
(3)对数函数模型：能用对数型函数f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为
常数，m>0，x>0，a>1)表达的函数模型的增长特点是开始阶
段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越
慢，常称之为“蜗牛式增长”．
(4)幂函数模型：能用函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，
α≠1)表达的函数模型的增长情况由a和α的取值确定．
已知函数y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，在区间(0，＋∞)上一定
存在x0，当x>x0时( )
A．2x>x2>log2x B．x2>2x>log2x
C．log2x>2x>x2 D．log2x>x2>2x
【解析】 由于指数函数增长最快，对数函数增长最慢，因此当x很大时，指数函数值最大，对数函数值最小．即在区间(0，＋∞)上一定存在x0，当x>x0时，2x>x2>log2x，故选A.
A
函数f(x)＝1.1x，g(x)＝ln x＋1，h(x)＝x 的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三者的增长差异(以1，
e，a，b，c，d为分界点).
当bg(x)>f(x)；
当cf(x)>g(x)；
函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)比较两个函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较).
解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，
C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；
当x∈(x1，x2)时，f(x)>g(x)；
当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x).
[规律方法]
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法：根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．
某化工厂开发研制了一种新产品，前三个月的月生产量依次为100 t，120 t，130 t．为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y(单位：t)与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，a≠0，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，p≠0，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？
f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130，g(4)＝－80×0.54＋140＝
135.
与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，
所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx
＋r作为模拟函数较好．
某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？
[规律方法]
建立函数模型应遵循的三个原则：
(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素、
主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．
(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，
又能计算、推理，且能得出正确结论．
(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型
的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．
1．下列函数中，当x不断增大时，增长速度最快的是( )
A．y＝2 021x B．y＝x2 021
C．y＝log2 021x D．y＝2 021x
【解析】 比较幂函数、指数函数与对数函数的图象可知，指
数函数增长速度最快，故选A.
A
2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长
到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为
( )
【解析】 设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝
a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，所以函数y＝f(x)的图象大
致为D中图象，故选D.
D
3．某化工厂2020年12月的产量是2020年1月份产量的n倍，则该
化工厂这一年的月平均增长率是( )
D
4．有一组实验数据如下表所示：
下列所给函数模型较适合的是( )
A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)
C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1)
【解析】 通过所给数据可知y随x的增大而增大，其增长速度
越来越快，而选项A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的
函数增长速度保持不变，故选C.
C
5．某细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(由1个分裂为2个)，
则这种细菌由1个分裂成2 048个需要经过_______小时．不同函数增长的差异
[课程目标] 1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型，了解直线上升、指数爆炸、对数增长等含义；2.能够判断不同函数增长的差异．
知识点 三种常见函数模型的增长差异
函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0)
在(0，＋∞) 上的单调性 __单调递增__ __单调递增__ __单调递增__
图象的变化 随x的增大 逐渐变“陡” 随x的增大逐 渐趋于稳定 增长速度 不变
形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升
增长速度 y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过__y＝kx(k>0)__的增长速度；总存在一个x0，当x>x0时，恒有__logax增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有__ax>kx>logax__
[研读]三种函数中，当a>1时，函数y＝ax函数值的增长速度是最快的．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)当x增加一个单位时，y增加或减少的量是定值，则y是x的一次函数．( √ )
(2)函数y＝log3x的增长速度越来越慢．( √ )
(3)存在一个实数m，使得x>m时，1.01x>x10.( √ )
(4)不存在实数m，使得x>m时，kx>ln x(k>0).( × )
以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 …
y1 2 4 8 16 32 64 128 256 …
y2 1 4 9 16 25 36 49 64 …
y3 0 1 1.585 2 2.322 2.585 2.807 3 …
其中关于x呈二次函数变化的变量是__y2__；呈指数增长的变量是__y1__；呈对数增长的变量是__y3__．
【解析】 从表格中可以看出，y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x.所以关于x呈二次函数变化的变量是y2；呈指数增长的变量是y1；呈对数增长的变量是y3.
[规律方法]
常见的函数模型及增长特点：
(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
(2)指数函数模型：能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型的增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”．
(3)对数函数模型：能用对数型函数f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m>0，x>0，a>1)表达的函数模型的增长特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．
(4)幂函数模型：能用函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型的增长情况由a和α的取值确定．
活学活用
已知函数y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，在区间(0，＋∞)上一定存在x0，当x>x0时( A )
A．2x>x2>log2x B．x2>2x>log2x
C．log2x>2x>x2 D．log2x>x2>2x
【解析】 由于指数函数增长最快，对数函数增长最慢，因此当x很大时，指数函数值最大，对数函数值最小．即在区间(0，＋∞)上一定存在x0，当x>x0时，2x>x2>log2x，故选A.
函数f(x)＝1.1x，g(x)＝ln x＋1，h(x)＝x的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三者的增长差异(以1，e，a，b，c，d为分界点).
解：因为f(x)＝1.1x的图象沿y轴向上增长，h(x)＝x的图象经过原点，所以可得出曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x，曲线C3对应的函数是g(x)＝ln x＋1.
由图象可得：当0h(x)>g(x)；
当1g(x)>h(x)；
当ef(x)>h(x)；
当ah(x)>f(x)；
当bg(x)>f(x)；
当cf(x)>g(x)；
当x>d时，f(x)>h(x)>g(x).
活学活用
函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)比较两个函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较).
解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，
C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；
当x∈(x1，x2)时，f(x)>g(x)；
当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x).
[规律方法]
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法：根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．
某化工厂开发研制了一种新产品，前三个月的月生产量依次为100 t，120 t，130 t．为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y(单位：t)与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，a≠0，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，p≠0，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？
解：根据题意列方程组，
解得
所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.①
同理y＝g(x)＝－80×0.5x＋140.②
再将x＝4分别代入①式与②式得，
f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130，g(4)＝－80×0.54＋140＝135.
与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好．
活学活用
某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？
解：A种债券的收益是100元一年到期收益3元；B种债券的半年利率为，所以100元一年到期的本息和为100×≈105.68(元)，收益约为5.68元；C种债券的利率为，100元一年到期的本息和为100×≈103.09(元)，收益约为3.09元．通过以上分析，应购买B种债券．
[规律方法]
建立函数模型应遵循的三个原则：
(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素、主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．
(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．
(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．
1．下列函数中，当x不断增大时，增长速度最快的是( A )
A．y＝2 021x B．y＝x2021
C．y＝log2021x D．y＝2 021x
【解析】 比较幂函数、指数函数与对数函数的图象可知，指数函数增长速度最快，故选A.
2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为( D )
【解析】 设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选D.
3．某化工厂2020年12月的产量是2020年1月份产量的n倍，则该化工厂这一年的月平均增长率是( D )
A．B．
C．－1 D．－1
【解析】 设月平均增长率为x，第一个月的产量为a，则有
a(1＋x)11＝na，所以1＋x＝，所以x＝－1.
4．有一组实验数据如下表所示：
x 1 2 3 4 5
y 4 13 28 49 76
下列所给函数模型较适合的是( C )
A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)
C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1)
【解析】 通过所给数据可知y随x的增大而增大，其增长速度越来越快，而选项A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变，故选C.
5．某细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(由1个分裂为2个)，则这种细菌由1个分裂成2 048个需要经过__3__小时．
【解析】 设共分裂了n次，则有2n＝2 048，即2n＝211，所以n＝11，所用时间为11×20＝220(分钟)＝3(小时).
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