(共34张PPT)
4．5 函数的应用(二)
第四章 指数函数与对数函数
4．5.1 函数的零点与方程的解
函数y＝f(x)的零点的定义：对于一般函数y＝f(x)，把使
____________的实数x叫做函数y＝f(x)的_________．
f(x)＝0
零点
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)函数的零点是一个点． ( )
(2)函数y＝x2－1有零点． ( )
(3)有些函数没有零点． ( )
(4)函数y＝ 的零点是2或(2，0). ( )
×
√
√
×
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的__________，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的_________________，即方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)___________ 函数y＝f(x)的图象与_________________．
实数解
公共点的横坐标
有零点
x轴有公共点
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)方程ln x－1＝0的解是x＝e，则函数y＝ln x－1的零点是e.
( )
(2)函数y＝x2－x的图象与x轴有2个交点，所以函数y＝x2－x有
2个零点． ( )
(3)函数y＝2x－1有1个零点． ( )
(4)函数y＝2＋lg x的图象与x轴有一个交点． ( )
【解析】 根据函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的公共
点之间的关系知，这四个结论都正确．
√
√
√
√
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是______________的曲线，且有_______________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得___________，这个c也就是方程___________的解．
一条连续不断
f(a)f(b)<0
f(c)＝0
f(x)＝0
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)若函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0. ( )
(2)若f(a)f(b)>0，则函数y＝f(x)在(a，b)内没有零点．( )
(3)若f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在(a，b)内一定有零点．
( )
(4)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且
f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在(a，b)内有两个零点． ( )
×
×
×
若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则a＝_____，b＝________．
【解析】 由于函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，所以2和3是方程x2－ax－b＝0的两个根，
所以2＋3＝－(－a)，2×3＝－b，所以a＝5，b＝－6.
5
－6
D
函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
【解析】 因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(－2)＝e－2－4<0，f(－1)＝e－1－3<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，所以f(0)f(1)<0.故函数f(x)的零点在(0，1)内．
C
若函数f(x)＝2x－ －a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1，3) B．(1，2)
C．(0，3) D．(0，2)
C
在区间(3，5)上一定有零点的函数是( )
A．f(x)＝2x ln (x－2)－3
B．f(x)＝－x3－3x＋5
C．f(x)＝2x－4
D．f(x)＝－ ＋2
【解析】 对于选项A，f(x)的图象在(3，5)上连续不断，
且f(3)＝－3<0，f(5)＝10ln 3－3>10ln e－3＝10－3>0，所以f(x)＝2x ln (x－2)－3在区间(3，5)上有零点；而对于选项B，C，
D，在(3，5)上都为单调函数，且都有f(3)f(5)>0，所以函数在区间(3，5)上没有零点．
A
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分对应值如下表：
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是( )
A．(－3，－1)，(2，4) B．(－3，－1)，(－1，1)
C．(－1，1)，(1，2) D．(－∞，－3)，(4，＋∞)
A
【解析】 因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以f(x)在区间
(－3，－1)内必有实数根；又f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以
f(x)在区间(2，4)内必有实数根．
[规律方法]
判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数值，进行符号判断即可得出结论(函数图象必须是一条连续不断的曲线).此类问题的难点往往是函数值符号的判断，对此可运用函数的有关性质进行判断．
函数f(x)＝x2＋x－b2的零点的个数是_______．
【解析】 令x2＋x－b2＝0.因为Δ＝1＋4b2>0，所以方程有两个实数根，即函数f(x)有两个零点．
2
(－∞，5)
函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数是_______．
2
函数f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2的零点个数是_______．
【解析】 方法一：因为函数f(x)的图象在(－1，＋∞)上是连续不断的，
且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2＝lg 2>0，
所以f(x)在区间(0，1)上必定存在零点．
又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
故f(x)有且只有1个零点．
1
方法二：在同一平面直角坐标系中作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg (x＋1)的图象如图所示．由图象知这两个函数的图象有且只有1个交点，即f(x)有且只有1个零点．
[规律方法]
确定函数零点个数的方法：
(1)分解因式法：可转化为一元n次方程根的个数问题，一般采
用分解因式法来解决．
(2)判别式法：可转化为一元二次方程根的问题，通常用判别式
法来判断根的个数．
(3)能够将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题，可
用图象法解决．
(4)单调性法：如果能够确定函数在所给区间上有零点，且是单
调函数，则零点只有1个．
【迁移探究】
已知关于x的二次方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0有两根，且一根大于2，另一根小于2，则实数a的取值范围是__________．
【解析】 令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1，依题意得，函数f(x)有两个零点，且一个零点大于2，另一个零点小于2.所以f(x)的图象大致如图所示．
(0，5)
1．若函数y＝x2－bx＋1只有一个零点，则b的值为( )
A．2 B．－2
C．±2 D．3
【解析】 因为函数只有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，所以
b＝±2.
C
2．方程x3－x－1＝0在[1，1.5]内的实数根( )
A．有3个 B．有2个
C．至少有1个 D．有0个
【解析】 令f(x)＝x3－x－1，则f(1)＝－1<0，
f(1.5)＝1.53－1.5－1＝1.53－2.5>0.故选C.
C
A．[－1，0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
C
【解析】 函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方
程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线
y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图
象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.
4．若函数f(x)＝|x2－4x|－a的零点个数为3，则a＝______．
5．函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数是______．
【解析】 作出函数g(x)＝ln x和h(x)＝x－2的图象如图所
示．由图可知，两函数图象有2个交点，所以函数f(x)有2个
零点．
4
2函数的零点与方程的解
[课程目标] 1.了解函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的公共点三者之间的关系；2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间，能借助函数的单调性及图象判断零点的个数．
知识点一 函数的零点
函数y＝f(x)的零点的定义：对于一般函数y＝f(x)，把使__f(x)＝0__的实数x叫做函数y＝f(x)的__零点__．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)函数的零点是一个点．( × )
(2)函数y＝x2－1有零点．( √ )
(3)有些函数没有零点．( √ )
(4)函数y＝的零点是2或(2，0).( × )
【解析】 (1)函数的零点是一个实数，不是一个点．
(2)函数y＝x2－1的零点是1和－1.
(3)如函数y＝x2＋1没有零点．
(4)函数y＝的零点是2.
知识点二 函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的公共点
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的__实数解__，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的__公共点的横坐标__，即方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)__有零点__ 函数y＝f(x)的图象与__x轴有公共点__．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)方程ln x－1＝0的解是x＝e，则函数y＝ln x－1的零点是e.( √ )
(2)函数y＝x2－x的图象与x轴有2个交点，所以函数y＝x2－x有2个零点．( √ )
(3)函数y＝2x－1有1个零点．( √ )
(4)函数y＝2＋lg x的图象与x轴有一个交点．( √ )
【解析】 根据函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的公共点之间的关系知，这四个结论都正确．
知识点三 函数零点存在的判定方法
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是__一条连续不断__的曲线，且有__f(a)f(b)<0__，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得__f(c)＝0__，这个c也就是方程__f(x)＝0__的解．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)若函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.( × )
(2)若f(a)f(b)>0，则函数y＝f(x)在(a，b)内没有零点．( × )
(3)若f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在(a，b)内一定有零点．( × )
(4)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在(a，b)内有两个零点．( × )
【解析】 (1)若函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0不一定成立．如y＝(x－1)2在(0，2)内有零点，但f(0)·f(2)>0.
(2)若f(a)f(b)>0，则函数y＝f(x)在(a，b)内零点的个数不能判定．如f(x)＝x2满足f(－1)f(1)>0，但零点为0.
(3)若f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在(a，b)内不一定有零点．如f(x)＝满足f(－1)f(1)<0，但在(－1，1)内没有零点．
(4)依据函数零点存在定理，只能判定函数在(a，b)内有零点，但不能判定有几个零点．
若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则a＝__5__，b＝__－6__．
【解析】 由于函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，所以2和3是方程x2－ax－b＝0的两个根，
所以2＋3＝－(－a)，2×3＝－b，所以a＝5，b＝－6.
活学活用
已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( D )
A．，0 B．－2，0
C．D．0
【解析】 当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0；当x＞1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝，不成立，所以函数的零点为0，故选D.
函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( C )
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
【解析】 因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(－2)＝e－2－4<0，f(－1)＝e－1－3<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，所以f(0)f(1)<0.故函数f(x)的零点在(0，1)内．
活学活用
若函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( C )
A．(1，3) B．(1，2)
C．(0，3) D．(0，2)
【解析】 易知函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)内单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，所以f(1)＜0，且f(2)＞0，即解得0＜a＜3.
在区间(3，5)上一定有零点的函数是( A )
A．f(x)＝2x ln(x－2)－3
B．f(x)＝－x3－3x＋5
C．f(x)＝2x－4
D．f(x)＝－＋2
【解析】 对于选项A，f(x)的图象在(3，5)上连续不断，
且f(3)＝－3<0，f(5)＝10ln 3－3>10ln e－3＝10－3>0，
所以f(x)＝2x ln(x－2)－3在区间(3，5)上有零点；而对于选项B，C，D，在(3，5)上都为单调函数，且都有f(3)f(5)>0，所以函数在区间(3，5)上没有零点．
活学活用
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
f(x) 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是( A )
A．(－3，－1)，(2，4) B．(－3，－1)，(－1，1)
C．(－1，1)，(1，2) D．(－∞，－3)，(4，＋∞)
【解析】 因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以f(x)在区间(－3，－1)内必有实数根；又f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以f(x)在区间(2，4)内必有实数根．
[规律方法]
判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数值，进行符号判断即可得出结论(函数图象必须是一条连续不断的曲线).此类问题的难点往往是函数值符号的判断，对此可运用函数的有关性质进行判断．
函数f(x)＝x2＋x－b2的零点的个数是__2__．
【解析】 令x2＋x－b2＝0.因为Δ＝1＋4b2>0，所以方程有两个实数根，即函数f(x)有两个零点．
活学活用
已知函数f(x)＝若方程f(x)＝2有两个解，则实数a的取值范围是__(－∞，5)__．
【解析】 对于函数f(x)＝
当x≥1时，由方程f(x)＝2，可得ln x＋1＝2，解得x＝e，函数有一个零点；当x＜1时，则函数f(x)＝2只有一个零点，即x2－4x＋a＝2在x＜1时只有一个解．因为y＝x2－4x＋a－2的图象开口向上，对称轴为x＝2，函数在(－∞，1)上单调递减，所以f(1)＜2，可得－3＋a＜2，解得a＜5.故答案为(－∞，5).
函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数是__2__．
【解析】 求函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点，即求2x|log0.5x|－1＝0的解，
即|log0.5x|＝的解．作出函数g(x)＝|log0.5x|和函数h(x)＝的图象，如图所示．由图知两函数的图象共有2个交点，故函数f(x)的零点个数是2.
活学活用
函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数是__1__．
【解析】 方法一：因为函数f(x)的图象在(－1，＋∞)上是连续不断的，
且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2＝lg 2>0，
所以f(x)在区间(0，1)上必定存在零点．
又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
故f(x)有且只有1个零点．
方法二：在同一平面直角坐标系中作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的图象如图所示．由图象知这两个函数的图象有且只有1个交点，即f(x)有且只有1个零点．
[规律方法]
确定函数零点个数的方法：
(1)分解因式法：可转化为一元n次方程根的个数问题，一般采用分解因式法来解决．
(2)判别式法：可转化为一元二次方程根的问题，通常用判别式法来判断根的个数．
(3)能够将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题，可用图象法解决．
(4)单调性法：如果能够确定函数在所给区间上有零点，且是单调函数，则零点只有1个．
【迁移探究】
已知关于x的二次方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0有两根，且一根大于2，另一根小于2，则实数a的取值范围是__(0，5)__．
【解析】 令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1，依题意得，函数f(x)有两个零点，且一个零点大于2，另一个零点小于2.所以f(x)的图象大致如图所示．
则a应满足或
即或
解得0
1．若函数y＝x2－bx＋1只有一个零点，则b的值为( C )
A．2 B．－2
C．±2 D．3
【解析】 因为函数只有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.
2．方程x3－x－1＝0在[1，1.5]内的实数根( C )
A．有3个 B．有2个
C．至少有1个 D．有0个
【解析】 令f(x)＝x3－x－1，则f(1)＝－1<0，
f(1.5)＝1.53－1.5－1＝1.53－2.5>0.故选C.
3．已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( C )
A．[－1，0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
【解析】 函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.
4．若函数f(x)＝|x2－4x|－a的零点个数为3，则a＝__4__．
5．函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数是__2__．
【解析】 作出函数g(x)＝ln x和h(x)＝x－2的图象如图所示．由图可知，两函数图象有2个交点，所以函数f(x)有2个零点．
7(共25张PPT)
4．5 函数的应用(二)
第四章 指数函数与对数函数
4．5.2 用二分法求方程的近似解
对于在区间[a，b]上图象连续不断且____________的函数y＝
f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间__________，使所得区间的两个端点_______________，进而得到零点_________的方法叫做二分法．
f(a)f(b)<0
一分为二
逐步逼近零点
近似值
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，可以采用“取中
点”的办法逐步缩小零点所在的区间． ( )
(2)对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)>0的函数y＝f(x)，
不能用“二分法”求出零点． ( )
(3)用“二分法”求函数的零点只是求函数零点的方法之一.
( )
(4)函数y＝x(x－1)2有两个零点，用“二分法”只能求出其中一
个零点． ( )
√
×
√
√
【解析】 (1)根据二分法的概念知此说法正确．
(2)如函数y＝x2－2满足f(－2)f(2)>0，但在(－2，2)上有两个零
点，可根据图象将区间(－2，2)分为(－2，0)和(0，2)，分别
用二分法求零点．故此说法不正确．
(3)求函数的零点有多种方法，如解方程，图象法，二分法
等．
给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤：
(1)确定零点x0的初始区间____________，验证f(a)·f(b)<0.这一
步的关键在于：①使区间长度尽量小；②f(a)，f(b)的值比较
容易计算；③f(a)，f(b)异号．
[a，b]
中点c
(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若__________(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；②若
f(a)f(c)<0(此时x0∈_______)，则令b＝c；③若f(c)f(b)<0(此时
x0∈(c，b))，则令a＝c，这一步的目的在于缩小零点所在的区
间，也就是所谓的“二分”．
(4)判断是否达到精确度ε：若__________，则得到零点近似值
a(或b)，否则重复步骤(2)～(4).
[研读]用二分法求方程的近似解，有两个关键点：一是确定区间[a，b]，要使所确定的区间尽可能小；二是确定精确度，精确度的高低决定了二分法的操作次数．
f(c)＝0
|a－b|<ε
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)用二分法求出的方程的解都是近似解． ( )
(2)若达到精确度后，则所得区间内的任意值均可作为零点的
近似值． ( )
(3)用二分法求函数的零点的精确度取决于区间的长度．
( )
(4)用二分法求函数的零点的近似值时，每次等分区间后，零
点必定在右侧区间内． ( )
×
√
√
×
【解析】 (1)用二分法求出的方程的解可能是近似解，也可能
是精确解．
(4)零点可能在右侧区间内，也可能在左侧区间内．
(1)以下每个图象表示的函数都有零点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
C
(2)在用二分法求函数f(x)的零点近似值时，第一次取的区间是
[－2，4]，则第三次所取的区间可能是( )
A．[1，4]
B．[－2，1]
C．[－2，2.5]
D．[－0.5，1]
【解析】 (1)根据二分法的思想，函数f(x)在区间[a，b]上的图
象连续不断，且f(a)·f(b)<0，才能将区间[a，b]一分为二，逐
步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A，B，D都符合
条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没
有发生变化，因此不能用二分法求函数零点．
(2)因第一次所取的区间是[－2，4]，所以第二次的区间可能是
[－2，1]，[1，4]；第三次所取的区间可能为[－2，－0.5]，
[－0.5，1]，[1，2.5]，[2.5，4]，只有选项D符合．
已知函数f(x)＝x3－2x－5，f(2.5)>0，用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2，3)内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根的区间是_____________．
【解析】 因为f(2)＝23－2×2－5＝－1<0，f(2.5)>0，f(3)＝33
－2×3－5＝16>0，所以f(2)·f(2.5)<0，所以方程x3－2x－5＝
0在(2，2.5)内有实根．
(2，2.5)
求方程lg x＝ 的近似解(精确度为0.1).
下面用计算器计算，列表如下：
某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0.在以下过程中，使用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似值为x＝1.8，那么他所取的x的4个值中最后一个值是____________．
1.812 5
[规律方法]
用二分法求方程的近似解的思路和方法：
(1)根据函数的零点与相应方程解的关系，求函数的零点与求相
应方程的解是等价的，所以求方程f(x)＝0的近似解，可按照用
二分法求函数零点近似值的步骤求解．
(2)对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似值，可以通过移项化为求
函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点的近似值，然后按照用二分法求函
数零点的近似值的步骤求解．
1．若用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为
0.001，则结束计算的条件是( )
A．|a－b|<0.1
B．|a－b|<0.001
C．|a－b|>0.001
D．|a－b|＝0.001
【解析】 根据二分法的步骤，知当区间长度|a－b|<0.001时，
便可结束计算．
B
2．如图所示，用二分法求函数f(x)的零点时，不可能求出的零点
是( )
A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
【解析】 观察图象可知，x3的附近两边的函数值都为负值，
所以x3不能用二分法求．
C
3．用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，得
f(0.64)<0，f(0.68)<0，f(0.72)>0，f(0.74)>0，则函数的一个精
确度为0.1的正实数零点的近似值可取( )
A．0.64 B．0.74
C．0.7 D．0.6
【解析】 因为f(0.72)>0，f(0.68)<0，所以零点在区间(0.68，
0.72)内，又因为精确度为0.1，所以近似值可以为0.7.
C
4．用二分法求2x＋x＝4在[1，2]内的近似解(精确度为0.2).参考
数据如下表．
解：令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4＝－1<0，f(2)＝22＋2
－4＝2>0.列表如下：
∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，
∴2x＋x＝4在[1，2]内的近似解可取为1.375.用二分法求方程的近似解
[课程目标] 1.了解二分法的原理及其适用条件；2.掌握二分法的实施步骤；3.体会二分法中蕴含的逐步逼近思想和程序化思想．
知识点一 二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且__f(a)f(b)<0__的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间__一分为二__，使所得区间的两个端点__逐步逼近零点__，进而得到零点__近似值__的方法叫做二分法．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，可以采用“取中点”的办法逐步缩小零点所在的区间．( √ )
(2)对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)>0的函数y＝f(x)，不能用“二分法”求出零点．( × )
(3)用“二分法”求函数的零点只是求函数零点的方法之一.( √ )
(4)函数y＝x(x－1)2有两个零点，用“二分法”只能求出其中一个零点．( √ )
【解析】 (1)根据二分法的概念知此说法正确．
(2)如函数y＝x2－2满足f(－2)f(2)>0，但在(－2，2)上有两个零点，可根据图象将区间(－2，2)分为(－2，0)和(0，2)，分别用二分法求零点．故此说法不正确．
(3)求函数的零点有多种方法，如解方程，图象法，二分法等．
知识点二 二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤：
(1)确定零点x0的初始区间__[a，b]__，验证f(a)·f(b)<0.这一步的关键在于：①使区间长度尽量小；②f(a)，f(b)的值比较容易计算；③f(a)，f(b)异号．
(2)求区间(a，b)的__中点c__，利用公式c＝即可．
(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若__f(c)＝0__(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c，这一步的目的在于缩小零点所在的区间，也就是所谓的“二分”．
(4)判断是否达到精确度ε：若__|a－b|<ε__，则得到零点近似值a(或b)，否则重复步骤(2)～(4).
[研读]用二分法求方程的近似解，有两个关键点：一是确定区间[a，b]，要使所确定的区间尽可能小；二是确定精确度，精确度的高低决定了二分法的操作次数．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)用二分法求出的方程的解都是近似解．( × )
(2)若达到精确度后，则所得区间内的任意值均可作为零点的近似值．( √ )
(3)用二分法求函数的零点的精确度取决于区间的长度．( √ )
(4)用二分法求函数的零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．( × )
【解析】 (1)用二分法求出的方程的解可能是近似解，也可能是精确解．
(4)零点可能在右侧区间内，也可能在左侧区间内．
(1)以下每个图象表示的函数都有零点，其中不能用二分法求函数零点的是( C )
(2)在用二分法求函数f(x)的零点近似值时，第一次取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是( D )
A．[1，4]
B．[－2，1]
C．[－2，2.5]
D．[－0.5，1]
【解析】 (1)根据二分法的思想，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点．
(2)因第一次所取的区间是[－2，4]，所以第二次的区间可能是[－2，1]，[1，4]；第三次所取的区间可能为[－2，－0.5]，[－0.5，1]，[1，2.5]，[2.5，4]，只有选项D符合．
活学活用
已知函数f(x)＝x3－2x－5，f(2.5)>0，用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2，3)内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根的区间是__(2，2.5)__．
【解析】 因为f(2)＝23－2×2－5＝－1<0，f(2.5)>0，f(3)＝33－2×3－5＝16>0，所以f(2)·f(2.5)<0，所以方程x3－2x－5＝0在(2，2.5)内有实根．
求方程lg x＝－1的近似解(精确度为0.1).
解：先作出函数y＝lg x和y＝－1的图象如图所示，估算出方程的解所在的一个区间，再用二分法求解．由图象知，方程lg x＝－1有唯一实数解，且在区间(0，1)内．设f(x)＝lg x－＋1，则f(1)＝>0.
下面用计算器计算，列表如下：
零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 区间长度
(0，1) 0.5 －0.0081 1
(0.5，1) 0.75 0.2805 0.5
(0.5，0.75) 0.625 0.1475 0.25
(0.5，0.625) 0.5625 0.0730 0.125
(0.5，0.5625) 0.0625
由于区间(0.5，0.562 5)的长度为0.062 5<0.1，所以函数f(x)的零点近似值可取0.5，
即方程lg x＝－1的近似解为x＝0.5.
活学活用
某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0.在以下过程中，使用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似值为x＝1.8，那么他所取的x的4个值中最后一个值是__1.812__5__．
【解析】 已知f(1)<0，f(2)>0，经计算f<0，f<0，f>0，所以四个值中的最后一个值为＝＝1.812 5.
[规律方法]
用二分法求方程的近似解的思路和方法：
(1)根据函数的零点与相应方程解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的，所以求方程f(x)＝0的近似解，可按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．
(2)对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似值，可以通过移项化为求函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点的近似值，然后按照用二分法求函数零点的近似值的步骤求解．
1．若用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是( B )
A．|a－b|<0.1
B．|a－b|<0.001
C．|a－b|>0.001
D．|a－b|＝0.001
【解析】 根据二分法的步骤，知当区间长度|a－b|<0.001时，便可结束计算．
2．如图所示，用二分法求函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( C )
A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
【解析】 观察图象可知，x3的附近两边的函数值都为负值，所以x3不能用二分法求．
3．用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，得f(0.64)<0，f(0.68)<0，f(0.72)>0，f(0.74)>0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值可取( C )
A．0.64 B．0.74
C．0.7 D．0.6
【解析】 因为f(0.72)>0，f(0.68)<0，所以零点在区间(0.68，0.72)内，又因为精确度为0.1，所以近似值可以为0.7.
4．用二分法求2x＋x＝4在[1，2]内的近似解(精确度为0.2).参考数据如下表．
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625
2x的近似值 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08
解：令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4＝－1<0，f(2)＝22＋2－4＝2>0.列表如下：
区间 精确度 区间中 点值xn f(xn)的值及符号
(1，2) 2－1＝1 x1＝1.5 f(x1) ≈0.33>0
(1，1.5) 1.5－1＝0.5 x2＝1.25 f(x2) ≈－0.37<0
(1.25，1.5) 1.5－1.25 ＝0.25 x3＝1.375 f(x3) ≈－0.035<0
(1.375，1.5) 1.5－1.375 ＝0.125
∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，
∴2x＋x＝4在[1，2]内的近似解可取为1.375.
6(共39张PPT)
4．5 函数的应用(二)
第四章 指数函数与对数函数
4．5.3 函数模型的应用
用函数模型解应用题的四个步骤．
(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步
选择模型．
(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符
号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)求模——求解数学模型，得出数学模型．
(4)还原——将数学结论还原为实际问题．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有数据完全符合
该函数模型． ( )
(2)利用函数模型求实际问题的最值时要注意取得最值时的自
变量与实际意义是否相符． ( )
(3)用函数模型预测的结果必须和实际结果相符合. ( )
(4)数据拟合时，得到的函数必须要进行检验． ( )
【解析】 (1)在选择实际问题的函数模型时，允许少量数据不
符合该函数模型．
×
√
√
√
某城市2020年底人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答以下问题：
(1)写出经过x年后，该城市人口总数y(万人)与x(年)的函数关系；
(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算经过多少年以后，该城市人口总数将达到120万人(精确到1年).
(参考数据：1.0129≈1.113，1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.301，lg 1.012≈0.005)
解：(1)2020年底人口总数为100万人，
经过1年，2021年底人口总数为
100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)(万人)，
经过2年，2022年底人口总数为
100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝
100×(1＋1.2%)2(万人)，
经过3年，2023年底人口总数为
100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝
100×(1＋1.2%)3(万人)，
……
所以经过x年后，该城市人口总数为
100×(1＋1.2%)x(万人)，
所以y＝100×(1＋1.2%)x.
(2)10年后该城市人口总数为
100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人).
(3)由题意得100×(1＋1.2%)x＝120，
即lg [100×(1＋1.2%)x]＝lg 120，
整理得，2＋x lg 1.012＝2＋lg 1.2，
解得x≈16.
所以经过16年以后，该城市人口总数将达到120万人．
[规律方法]
有关平均增长率的问题，其基本运算方法是：如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y可用公式y＝N(1＋p)x来表示．解决平均增长率的问题，常用到这个函数模型．
某医药研究所开发一种新药，如果成年人按
规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血
液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间近似
满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后y与t之间的函数解析式y＝f(t)；
(2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，药物对治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病的有效时间．
人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系，声音的强度用I(W/m2)表示，但在实际测量中常用声音的强度水平L表示，它们满足关系式L＝10·lg (单位为分贝，L≥0，I0＝1×
10－12 W/m2，I0是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).
(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12 W/m2，耳语的强度是1×10－10 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8 W/m2，试分别求出它们的强度水平；
(2)某一新建的安静小区规定小区内公共场所声音的强度水平必须保持在50分贝以下，求声音强度I的范围．
某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形．下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是( )
D
A．y＝2t B．y＝2t2
C．y＝t3 D．y＝log2t
【解析】 由图形知该函数可能是y＝log2t.
某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表：
该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知A，B两种商品各投入多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(精确到0.01万元).
解：以投资金额为横轴，纯利润为纵轴，分别在平面直角坐标系中画出图象，如图所示．
由图1可以看出，A种商品所获纯利润y与投资金额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟．
取(4，2)为最高点，则yA＝a(x－4)2＋2(a≠0)，
再把点(1，0.65)代入，
得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，
所以yA＝－0.15(x－4)2＋2；
由图2可以看出，B种商品所获纯利润y与投资金额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟．
此时B商品的投资为9万元．
故该经营者第七个月把12万元中的3万元投资A种商品，
9万元投资B种商品，可获得最大利润，约为4.55万元．
某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以
来，该产品的产量平稳增长．记2016年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(单位：万件)之间的关系如表所示．
(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2016年和2018年的数据求出相应的解析式；
(2)因受新冠肺炎疫情的影响，2020年的年产量比预计减少了30%，试根据所建立的函数模型，求出2020年的年产量．
解：(1)最适合的函数模型为f(x)＝ax＋b，理由如下：
若模型为f(x)＝2x＋a，则由f(1)＝2＋a＝4，
可知a＝2，即f(x)＝2x＋2，则f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，
与已知数据相差很大，不符合．
[规律方法]
1．对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数解析式，
再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回
答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．
2．函数拟合与预测的一般步骤：
(1)根据原始数据，绘出散点图；
(2)通过观察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合
直线或拟合曲线；
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解
析式；
(4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测，为决
策和管理提供依据．
1．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得
沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则
沙漠增加值y(万公顷)关于年数x的函数关系较为接近的是
( )
【解析】 当x＝1时，排除选项B；当x＝2时，排除选项D；
当x＝3时，排除选项A.故选C.
C
2．经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q(单位：L)
与速度v(单位：km/h)(40≤v≤120)的数据如下表：
为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择：Q(v)＝
0.04v＋3.6，Q(v)＝0.5v＋a，Q(v)＝0.000 025v3－0.004v2＋
0.25v.选出最符合实际的函数模型，解决下列问题：某高速
公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道、内侧车
道，车速范围分别是[60，90)，[90，110)，[110，120](单
位：km/h).为使百公里耗油量W(单位：L)最小，该型号汽
车行驶的车道与速度为( )
A．在外侧车道以80 km/h行驶
B．在中间车道以90 km/h行驶
C．在中间车道以95 km/h行驶
D．在内侧车道以115 km/h行驶
A
3．我们可以把(1＋1%)365看作每天的“进步”率都是1%，一年
后的值是1.01365，而把(1－1%)365看作每天的“退步”率都是
1%，一年后的值是0.99365，照此计算，若“进步”后的值是
“退步”后的值的10倍，则需经过的天数为(参考数据：lg
1.01≈0.004 32，lg 0.99≈－0.004 36)( )
A．100 B．108
C．115 D．124
C
(i)调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间[0，100]；
(ii)调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；
(iii )调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．
记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指
数，给出下面四个y关于x的函数解析式：
则满足此次联合调度要求的函数解析式是______(填序号).
②
5．某市的房价(均价)经过5年时间从3 200元/m2增加到了9 600
元/m2，则这5年间平均每年的增长率是_________．函数模型的应用
[课程目标] 1.能利用已知函数模型求解实际问题；2.能建立函数模型求解实际问题．
知识点一 常见的函数模型
常 用 函 数 模 型
一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
分段函数模型 y＝
知识点二 应用函数模型解决问题的基本过程
用函数模型解应用题的四个步骤．
(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．
(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)求模——求解数学模型，得出数学模型．
(4)还原——将数学结论还原为实际问题．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有数据完全符合该函数模型．( × )
(2)利用函数模型求实际问题的最值时要注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符．( √ )
(3)用函数模型预测的结果必须和实际结果相符合.( √ )
(4)数据拟合时，得到的函数必须要进行检验．( √ )
【解析】 (1)在选择实际问题的函数模型时，允许少量数据不符合该函数模型．
某城市2020年底人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答以下问题：
(1)写出经过x年后，该城市人口总数y(万人)与x(年)的函数关系；
(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算经过多少年以后，该城市人口总数将达到120万人(精确到1年).
(参考数据：1.0129≈1.113，1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.301，lg 1.012≈0.005)
解：(1)2020年底人口总数为100万人，
经过1年，2021年底人口总数为
100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)(万人)，
经过2年，2022年底人口总数为
100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝
100×(1＋1.2%)2(万人)，
经过3年，2023年底人口总数为
100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝
100×(1＋1.2%)3(万人)，
……
所以经过x年后，该城市人口总数为
100×(1＋1.2%)x(万人)，
所以y＝100×(1＋1.2%)x.
(2)10年后该城市人口总数为
100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人).
(3)由题意得100×(1＋1.2%)x＝120，
即lg[100×(1＋1.2%)x]＝lg 120，
整理得，2＋x lg 1.012＝2＋lg 1.2，
解得x≈16.
所以经过16年以后，该城市人口总数将达到120万人．
[规律方法]
有关平均增长率的问题，其基本运算方法是：如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y可用公式y＝N(1＋p)x来表示．解决平均增长率的问题，常用到这个函数模型．
活学活用
某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后y与t之间的函数解析式y＝f(t)；
(2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，药物对治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病的有效时间．
解：(1)当t∈[0，1]时，函数的解析式为y＝kt.
将M(1，4)代入，得k＝4，所以y＝4t；
当t∈(1，＋∞)时，因为函数的解析式为y＝.
将(3，1)代入，得a＝3，所以y＝.
综上，y＝f(t)＝
(2)当0≤t≤1时，
由f(t)≥0.25得4t≥0.25，得≤t≤1；
当t>1时，
由f(t)≥0.25得≥0.25，解得1综上可知，当≤t≤5时，药物对治疗疾病有效，
所以服药一次治疗疾病的有效时间为5－＝4(小时).
人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系，声音的强度用I(W/m2)表示，但在实际测量中常用声音的强度水平L表示，它们满足关系式L＝10·lg (单位为分贝，L≥0，I0＝1×10－12 W/m2，I0是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).
(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12 W/m2，耳语的强度是1×10－10 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8 W/m2，试分别求出它们的强度水平；
(2)某一新建的安静小区规定小区内公共场所声音的强度水平必须保持在50分贝以下，求声音强度I的范围．
解：(1)由题意可知，树叶沙沙声的强度是I1＝1×10－12 W/m2，则＝1，所以L1＝10lg 1＝0，即树叶沙沙声的强度水平为0分贝；
耳语的强度是I2＝1×10－10 W/m2，则＝102，
所以L2＝10lg 102＝20，即耳语声的强度水平为20分贝；
恬静的无线电广播的强度是I3＝1×10－8 W/m2，
则＝104，所以L3＝10lg 104＝40，
即恬静的无线电广播的强度水平为40分贝．
(2)由题意知，0≤L<50，即0≤10·lg <50，
所以1≤<105，
所以10－12≤I<10－7.
故声音强度I的范围是[10－12，10－7).
活学活用
某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形．下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是( D )
A．y＝2t B．y＝2t2
C．y＝t3 D．y＝log2t
【解析】 由图形知该函数可能是y＝log2t.
某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表：
投资A种商品金额/万元 1 2 3 4 5 6
获纯利润/万元 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40
投资B种商品金额/万元 1 2 3 4 5 6
获纯利润/万元 0.30 0.59 0.88 1.20 1.51 1.79
该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知A，B两种商品各投入多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(精确到0.01万元).
解：以投资金额为横轴，纯利润为纵轴，分别在平面直角坐标系中画出图象，如图所示．
由图1可以看出，A种商品所获纯利润y与投资金额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟．
取(4，2)为最高点，则yA＝a(x－4)2＋2(a≠0)，
再把点(1，0.65)代入，
得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，
所以yA＝－0.15(x－4)2＋2；
由图2可以看出，B种商品所获纯利润y与投资金额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟．
设yB＝kx＋b(k≠0)，取点(1，0.30)和(4，1.20)代入，
得解得所以yB＝0.3x.
设第七个月投入A，B两种商品的资金分别为x万元，(12－x)万元，总利润为W万元，
那么W＝yA＋yB＝－0.15(x－4)2＋2＋0.3(12－x).
所以W＝－0.15(x－3)2＋4.55.
当x＝3时，W取得最大值，约为4.55万元，
此时B商品的投资为9万元．
故该经营者第七个月把12万元中的3万元投资A种商品，9万元投资B种商品，可获得最大利润，约为4.55万元．
活学活用
某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2016年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(单位：万件)之间的关系如表所示．
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44
若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：
①f(x)＝ax＋b；②f(x)＝2x＋a；③f(x)＝logx＋a.
(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2016年和2018年的数据求出相应的解析式；
(2)因受新冠肺炎疫情的影响，2020年的年产量比预计减少了30%，试根据所建立的函数模型，求出2020年的年产量．
解：(1)最适合的函数模型为f(x)＝ax＋b，理由如下：
若模型为f(x)＝2x＋a，则由f(1)＝2＋a＝4，
可知a＝2，即f(x)＝2x＋2，则f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，
与已知数据相差很大，不符合．
若模型为f(x)＝logx＋a，则f(x)是单调递减函数，与已知数据不相符，故符合的模型为f(x)＝ax＋b.
由题意可得解得a＝，b＝，
所以f(x)＝x＋，x∈N*.
(2)2020年的年产量为10×(1－30%)＝7(万件)，所以2020年的年产量为7万件．
[规律方法]
1．对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数解析式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．
2．函数拟合与预测的一般步骤：
(1)根据原始数据，绘出散点图；
(2)通过观察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式；
(4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测，为决策和管理提供依据．
1．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y(万公顷)关于年数x的函数关系较为接近的是( C )
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
【解析】 当x＝1时，排除选项B；当x＝2时，排除选项D；当x＝3时，排除选项A.故选C.
2．经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q(单位：L)与速度v(单位：km/h)(40≤v≤120)的数据如下表：
v 40 60 90 100 120
Q 5.2 6 8.325 10 15.6
为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择：Q(v)＝0.04v＋3.6，Q(v)＝0.5v＋a，Q(v)＝0.000 025v3－0.004v2＋0.25v.选出最符合实际的函数模型，解决下列问题：某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道、内侧车道，车速范围分别是[60，90)，[90，110)，[110，120](单位：km/h).为使百公里耗油量W(单位：L)最小，该型号汽车行驶的车道与速度为( A )
A．在外侧车道以80 km/h行驶
B．在中间车道以90 km/h行驶
C．在中间车道以95 km/h行驶
D．在内侧车道以115 km/h行驶
【解析】 由图表中的数据分析可知耗油量随速度增加而增加，故Q(v)＝0.5v＋a不符合题意；若选择模型Q(v)＝0.04v＋3.6，则Q(90)＝7.2，Q(100)＝7.6，Q(120)＝8.4，与实际数据差距较大；若选择Q(v)＝0.000 025v3－0.004v2＋0.25v，则Q(40)＝5.2，Q(60)＝6，Q(100)＝10，因此选择Q(v)＝0.000 025v3－0.004v2＋0.25v，∴W＝×Q(v)＝0.002 5v2－0.4v＋25＝0.002 5(v－80)2＋9，当v＝80时，W取最小值9，故选A.
3．我们可以把(1＋1%)365看作每天的“进步”率都是1%，一年后的值是1.01365，而把(1－1%)365看作每天的“退步”率都是1%，一年后的值是0.99365，照此计算，若“进步”后的值是“退步”后的值的10倍，则需经过的天数为(参考数据：lg 1.01≈0.004 32，lg 0.99≈－0.004 36)( C )
A．100 B．108
C．115 D．124
【解析】 假设经过n天，
由题意可知(1＋1%)n＝10(1－1%)n，∴＝10，
∴n＝≈115，故选C.
4．长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数(蓄满指数＝×100)来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：
(i)调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间[0，100]；
(ii)调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；
(iii )调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．
记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：
①y＝－x2＋6x；②y＝10；③y＝10．
则满足此次联合调度要求的函数解析式是__②__(填序号).
【解析】 由联合调度要求可知，定义域为[0，100]，值域为[0，100]，y≥x对任意的x∈[0，100]恒成立且在[0，100]上单调递增．
①y＝－x2＋6x＝－(x－60)2＋180在[0，100]上不是单调函数，故①不符合题意；
②y＝10在[0，100]上单调递增，值域为[0，100]，又因为10－x＝(10－)≥0对任意的x∈[0，100]恒成立，所以y≥x对任意的x∈[0，100]恒成立，故②符合题意；
③y＝10≥x对任意的x∈[0，100]不恒成立，比如10＝10<50，故③不符合题意．
5．某市的房价(均价)经过5年时间从3 200元/m2增加到了9 600元/m2，则这5年间平均每年的增长率是__－1__．
【解析】 设5年间平均年增长率为x，则有
3 200(1＋x)5＝9 600，解得x＝－1.
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