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第五章 三角函数
5．1 任意角和弧度制
5．1.1 任意角
[课程目标] 1.了解任意角的概念，能正确区分正角、负角与零
角，了解象限角的概念；
2.理解并掌握终边相同角的概念，能写出终边相同角
组成的集合．
知识点一 任意角
1．角的概念：角可以看成____________绕着它的________旋转
所成的图形．
一条射线
端点
2．角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：
类型 定义 图示
正角 一条射线绕其端点
按__ __形成的角
负角 一条射线绕其端点
按_ ___形成的角
零角 一条射线__ __，就称它形成了一个零角
逆时针方向旋转
顺时针方向旋转
没有做任何旋转
[研读]角的概念中，“旋转”是关键，要注意旋转方向和旋转量的大小．
【思辨】判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)零角的始边与终边重合．( )
(2)始边与终边重合的角是零角．( )
(3)360°角是指一条射线绕其端点逆时针旋转一周所得的图形
( )
(4)钟表上的分针在一刻钟的时间里走了90°.( )
√
×
√
×
【解析】 (1)符合零角的概念．
(2)始边与终边重合的角不一定是零角，也可以是其他角，
如720°角的始边与终边重合．
(4)钟表上的分针在一刻钟的时间里走了－90°.
知识点二 象限角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是_____________．如
果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
[研读]象限角满足的条件：角的顶点在坐标原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边不在坐标轴上．
第几象限角
【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)－50°角是第四象限角．( )
(2)钝角是第二象限的角．( )
(3)180°角不是象限角．( )
(4)第一象限角都是锐角．( )
【解析】 (4)第一象限角不一定都是锐角，如－300°是第一象限角，但不是锐角．
√
√
√
×
知识点三 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合
S＝{β|__________________________}，即任一与角α终边相同
的角，都可以表示成角α与____________的和．
β＝α＋k·360°，k∈Z
整数个周角
【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)终边落在同一条射线上的角有无数个．( )
(2)30°角与－330°角的终边相同．( )
(3)角α与角β的终边相同，则α＋β＝360°.( )
(4)若α＝β＋180°，则角α与角β的终边相反．( )
【解析】 (1)根据终边相同的角的概念知说法正确．
(3)角α与角β的终边相同，则α－β＝k·360°(k∈Z).
√
√
×
√
例1 下列结论中正确的是____．(填序号)
①三角形的内角必是第一、二象限角；
②始边相同而终边不同的角一定不相等；
③小于90°的角为锐角；
④第三象限角大于第二象限角；
⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角．
②
【解析】 90°角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；
始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；
小于90°的角可以是0°角，也可以是负角，故③不正确；
终边落在第三象限的角可以是正角，也可以是负角，终边落在第二象限的角可以是正角也可以是负角，故④不正确；
0°小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤不正确．
设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )
A．B C A
B．B A C
C．D
D．C∩D＝B
D
【解析】 小于90°的角、锐角、第一象限角及小于90°而不小于0°的角的范围，如下表所示．
所以C∩D＝B.
例2 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
解：(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．
(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．
给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角．其中真命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
D
【解析】 对于①：如图1所示，－75°角是第四象限角，正确；
对于②：如图2所示，225°角是第三象限角，正确；
对于③：如图3所示，475°角是第二象限角，正确；
对于④：如图4所示，－315°角是第一象限角，正确．
第二或第四象限
例3 已知θ＝－290°.
(1)把θ改写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求α，使α与θ终边相同，且－1 000°<α<－300°.
解：(1)因为θ＝－290°＝－360°＋70°.
所以把θ改写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)
的形式为θ＝－360°＋70°，它是第一象限角．
(2)与－290°角终边相同的角为α＝k·360°＋70°(k∈Z)，
由－1 000°得－107<36k<－37.
因为k∈Z，
所以k＝－2，
此时α＝－650°.
即所求满足条件的α为－650°.
[规律方法]
1．终边落在直线上的角的集合的步骤：
(1)写出在0°～360°范围内相应的角；
(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；
(3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁．
2．终边相同角常用的三个结论：
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍；
(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．
(3)终边在相互垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍．
如图，α，β分别是终边在OA，OB位置上的两个角，且α＝60°，β＝315°.
(1)求终边在阴影部分(不包括边界)的角的集合；
(2)求终边在阴影部分(不包括边界)，且满足0°≤θ≤360°的角θ的集合．
解：(1)因为与角β终边相同的一个角可以表示为－45°，
所以阴影部分(不包括边界)所表示的角的集合
为{γ|k·360°－45°＜γ＜k·360°＋60°，k∈Z}．
(2){θ|0°≤θ＜60°或315°＜θ≤360°}．
1．下列说法正确的是( )
A．锐角是第一象限角
B．第二象限角是钝角
C．第三象限角都大于180°
D．第四象限角是负角
【解析】 根据象限角的概念知，只有选项A正确．
A
2．与－390°终边相同的最小正角是( )
A．－210°
B．30°
C．60°
D．330°
【解析】 与－390°终边相同的角是α＝k·360°－390°，
k∈Z，当k＝2 时，α＝330°，即330°为最小正角．
D
3．与－60°角终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°－120°，k∈Z}
D．{α|α＝k·360°－300°，k∈Z}
【解析】 因为300°＝360°－60°，
所以300°角与－60°角的终边相同，
所以与－60°角终边相同的角的集合
是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．
B
4．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角所
表示的范围(阴影部分)是( )
C
5．已知α＝－1 120°.
(1)把α写成k ·360°＋β(k∈Z)的形式，其中0°≤β＜360°；
(2)写出与角α终边相同的角θ的集合，并求出适合不等
式－720°≤θ＜0°的角θ.
解：(1)用－1 120°除以360°，
商为－4，余数为320°，
∴α＝－4×360°＋320°.
(2)与角α＝－1 120°终边相同的角的集合是
{α|α＝k·360°＋320°，k∈Z}．任意角
[课程目标] 1.了解任意角的概念，能正确区分正角、负角与零角，了解象限角的概念；2.理解并掌握终边相同角的概念，能写出终边相同角组成的集合．
知识点一 任意角
1．角的概念：角可以看成__一条射线__绕着它的__端点__旋转所成的图形．
2．角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：
类型 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按__逆时针方向旋转__形成的角
负角 一条射线绕其端点按__顺时针方向旋转__形成的角
零角 一条射线__没有做任何旋转__，就称它形成了一个零角
[研读]角的概念中，“旋转”是关键，要注意旋转方向和旋转量的大小．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)零角的始边与终边重合．( √ )
(2)始边与终边重合的角是零角．( × )
(3)360°角是指一条射线绕其端点逆时针旋转一周所得的图形．( √ )
(4)钟表上的分针在一刻钟的时间里走了90°.( × )
【解析】 (1)符合零角的概念．
(2)始边与终边重合的角不一定是零角，也可以是其他角，如720°角的始边与终边重合．
(4)钟表上的分针在一刻钟的时间里走了－90°.
知识点二 象限角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是
__第几象限角__．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
[研读]象限角满足的条件：角的顶点在坐标原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边不在坐标轴上．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)－50°角是第四象限角．( √ )
(2)钝角是第二象限的角．( √ )
(3)180°角不是象限角．( √ )
(4)第一象限角都是锐角．( × )
【解析】 (4)第一象限角不一定都是锐角，如－300°是第一象限角，但不是锐角．
知识点三 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|__β＝α＋k·360°，k∈Z__}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与__整数个周角__的和．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)终边落在同一条射线上的角有无数个．( √ )
(2)30°角与－330°角的终边相同．( √ )
(3)角α与角β的终边相同，则α＋β＝360°.( × )
(4)若α＝β＋180°，则角α与角β的终边相反．( √ )
【解析】 (1)根据终边相同的角的概念知说法正确．
(3)角α与角β的终边相同，则α－β＝k·360°(k∈Z).
下列结论中正确的是__②__．(填序号)
①三角形的内角必是第一、二象限角；
②始边相同而终边不同的角一定不相等；
③小于90°的角为锐角；
④第三象限角大于第二象限角；
⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角．
【解析】 90°角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；
始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；
小于90°的角可以是0°角，也可以是负角，故③不正确；
终边落在第三象限的角可以是正角，也可以是负角，终边落在第二象限的角可以是正角也可以是负角，故④不正确；
0°小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤不正确．
活学活用
设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( D )
A．B C A
B．B A C
C．D
D．C∩D＝B
【解析】 小于90°的角、锐角、第一象限角及小于90°而不小于0°的角的范围，如下表所示．
角 集合表示
小于90°的角 A＝{α|α<90°}
锐角 B＝{α|0°<α<90°}
第一象限角 C＝{α|k·360°<α小于90°而不小于0°的角 D＝{α|0°≤α<90°}
所以C∩D＝B.
在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
解：(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．
(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．
活学活用
给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角．其中真命题有( D )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】 对于①：如图1所示，－75°角是第四象限角，正确；
对于②：如图2所示，225°角是第三象限角，正确；
对于③：如图3所示，475°角是第二象限角，正确；
对于④：如图4所示，－315°角是第一象限角，正确．
【迁移探究】已知α是第四象限角，则角所在的象限是__第二或第四象限__．
【解析】 因为α是第四象限角，
所以k·360°－90°<α所以k·180°－45°<已知θ＝－290°.
(1)把θ改写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求α，使α与θ终边相同，且－1 000°<α<－300°.
解：(1)因为θ＝－290°＝－360°＋70°.所以把θ改写成
k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式为θ＝－360°＋70°，
它是第一象限角．
(2)与－290°角终边相同的角为α＝k·360°＋70°(k∈Z)，
由－1 000°因为k∈Z，所以k＝－2，此时α＝－650°.
即所求满足条件的α为－650°.
[规律方法]
1．终边落在直线上的角的集合的步骤：
(1)写出在0°～360°范围内相应的角；
(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；
(3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁．
2．终边相同角常用的三个结论：
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍；
(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．
(3)终边在相互垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍．
活学活用
如图，α，β分别是终边在OA，OB位置上的两个角，且α＝60°，β＝315°.
(1)求终边在阴影部分(不包括边界)的角的集合；
(2)求终边在阴影部分(不包括边界)，且满足0°≤θ≤360°的角θ的集合．
解：(1)因为与角β终边相同的一个角可以表示为－45°，所以阴影部分(不包括边界)所表示的角的集合为{γ|k·360°－45°＜γ＜k·360°＋60°，k∈Z}．
(2){θ|0°≤θ＜60°或315°＜θ≤360°}．
1．下列说法正确的是( A )
A．锐角是第一象限角
B．第二象限角是钝角
C．第三象限角都大于180°
D．第四象限角是负角
【解析】 根据象限角的概念知，只有选项A正确．
2．与－390°终边相同的最小正角是( D )
A．－210° B．30°
C．60° D．330°
【解析】 与－390°终边相同的角是α＝k·360°－390°，k∈Z，当k＝2 时，α＝330°，即330°为最小正角．
3．与－60°角终边相同的角的集合是( B )
A．{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°－120°，k∈Z}
D．{α|α＝k·360°－300°，k∈Z}
【解析】 因为300°＝360°－60°，所以300°角与－60°角的终边相同，所以与－60°角终边相同的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．
4．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( C )
5．已知α＝－1 120°.
(1)把α写成k ·360°＋β(k∈Z)的形式，其中0°≤β＜360°；
(2)写出与角α终边相同的角θ的集合，并求出适合不等式－720°≤θ＜0°的角θ.
解：(1)用－1 120°除以360°，商为－4，余数为320°，
∴α＝－4×360°＋320°.
(2)与角α＝－1 120°终边相同的角的集合是
{α|α＝k·360°＋320°，k∈Z}．
解法一：(赋值法)由所求角θ的范围，可得：
当k＝－2时，θ＝－2×360°＋320°＝－400°，
当k＝－1时，θ＝－1×360°＋320°＝－40°，
故θ＝－400°或－40°.
解法二：(不等式法)由－720°≤k·360°＋320°<0°，得
－≤k<－，k∈Z，∴k＝－2或－1.∴θ＝－400°或－40°.
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第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
5．1.2 弧度制
[课程目标] 1.了解弧度制下，角的集合与实数集合之间的一一对
应关系；
2.理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制
度，能对弧度和角度进行正确的换算；
3.掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积
公式．
知识点一 角的两种不同单位制
1．角度制：1度的角等于周角的____，这种用度作为单位来度量
角的单位制叫做角度制．
2．弧度制：把长度等于__________的圆弧所对的圆心角叫做1弧
度的角，记作__________．
3．角的弧度数求法：如果半径为r的圆的圆心角α rad所对的弧
长为l，那么l，α，r之间存在的关系为：________；其中，
α的正负由角α的________________决定．正角的弧度数是一
个______，负角的弧度数是一个_____，零角的弧度数是___．
半径长
1 rad
终边的旋转方向
正数
负数
0
[研读]不管是以弧度制还是以角度制为单位的角的大小，
都是一个与半径的大小无关的定值．
【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)1弧度＝1°.( )
(2)在同一个圆中，弧长越长，所对圆心角的弧度数越大．( )
(3)1弧度是长度等于半径的弧．( )
(4)一个角的弧度数是一个实数．( )
【解析】 (1)不符合弧度制的定义．
(3)弧度是角的单位，弧以长度为单位．
×
√
×
√
知识点二 角度制与弧度制的换算
角度化弧度 弧度化角度
360°＝________rad 2π rad＝___________
180°＝_______rad π rad＝__________
1°＝_________rad≈
0．017 45 rad 1 rad＝_________≈57.30°
2π
360°
π
180°
【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．( )
(2)90°＝ rad.( )
(3)－5π rad＝－900°.( )
【解析】 由角度制与弧度制的换算可知，这三个说法都正确．
√
√
√
知识点三 扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α (0<α<2π)为其圆心角．
αR
√
【解析】 由弧长公式和扇形面积公式知，这三个说法都正确．
√
√
例1 将下列角度与弧度进行互化．
例2 已知角α＝－680°.
(1)将α改写成φ＋2kπ(k∈Z，0≤φ≤2π)的形式，并指出α是第几
象限角；
(2)在区间[－2π，π]上找出与α终边相同的角．
如图，用弧度表示终边落在阴影部分内(包括边界)的角的集合．
例3
如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB的长为2，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面
积为_____.
【迁移探究】已知扇形AOB的周长为8 cm.
(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求该扇形的圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦AB的长度．
1．已知角α与β的终边关于原点对称，则α与β的关系为( )
A．α－β＝π＋2kπ(k∈Z) B．α＋β＝0
C．α＋β＝2kπ(k∈Z) D．以上都不对
2．－4弧度的角的终边所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
A
B
A
C弧度制
[课程目标] 1.了解弧度制下，角的集合与实数集合之间的一一对应关系；2.理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的换算；3.掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．
知识点一 角的两种不同单位制
1．角度制：1度的角等于周角的____，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
2．弧度制：把长度等于__半径长__的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作__1__rad__．
3．角的弧度数求法：如果半径为r的圆的圆心角α rad所对的弧长为l，那么l，α，r之间存在的关系为：__|α|＝__；其中，α的正负由角α的__终边的旋转方向__决定．正角的弧度数是一个__正数__，负角的弧度数是一个__负数__，零角的弧度数是__0__．
[研读]不管是以弧度制还是以角度制为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)1弧度＝1°.( × )
(2)在同一个圆中，弧长越长，所对圆心角的弧度数越大．( √ )
(3)1弧度是长度等于半径的弧．( × )
(4)一个角的弧度数是一个实数．( √ )
【解析】 (1)不符合弧度制的定义．
(3)弧度是角的单位，弧以长度为单位．
知识点二 角度制与弧度制的换算
角度化弧度 弧度化角度
360°＝__2π__rad 2π rad＝__360°__
180°＝__π__rad π rad＝__180°__
1°＝____rad≈ 0．017 45 rad 1 rad＝__°__≈57.30°
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．( √ )
(2)90°＝rad.( √ )
(3)－5π rad＝－900°.( √ )
【解析】 由角度制与弧度制的换算可知，这三个说法都正确．
知识点三 扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α (0<α<2π)为其圆心角．
度量单位 类别 α为角度制 α为弧度制
扇形的弧长 l＝____ l＝__αR__
扇形的面积 S＝____ S＝__αR2__＝ __lR__
[研读]在弧度制下的扇形面积公式S＝lR，与三角形面积公式S＝ah(其中h是三角形底边a上的高)的形式较相似，可类比记忆．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)在半径为2的圆中，的圆心角所对的弧长为.( √ )
(2)在半径为3的圆中，120°的圆心角所对的弧长为2π.( √ )
(3)扇形的半径为3，圆心角为120°，则扇形的面积为3π.( √ )
【解析】 由弧长公式和扇形面积公式知，这三个说法都正确．
将下列角度与弧度进行互化．
(1)80°； (2)－25°； (3)； (4)－.
解：(1)80°＝×80＝.
(2)－25°＝×(－25)＝－.
(3)＝×°＝75°.
(4)－＝×°＝－337.5°.
活学活用
将下列角度与弧度进行互化．
(1)112°30′； (2)－.
解：(1)112°30′＝°＝×＝.
(2)－＝×°＝－220°.
已知角α＝－680°.
(1)将α改写成φ＋2kπ(k∈Z，0≤φ≤2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)在区间[－2π，π]上找出与α终边相同的角．
解：(1)α＝－680°＝－2×360°＋40°＝－4π＋.
因为是第一象限角，所以α是第一象限角．
(2)与α终边相同的角可表示为θ＝2kπ＋(k∈Z).
又θ∈[－2π，π]，所以k＝－1或k＝0，
将k的值分别代入θ＝2kπ＋(k∈Z)，
得θ＝－或.
活学活用
如图，用弧度表示终边落在阴影部分内(包括边界)的角的集合．
解：330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度为－，而75°＝75×＝，
∴终边落在阴影部分内(包括边界)的角的集合为.
已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为，则这个圆心角所对的弧长是____；这个扇形的面积是____．
【解析】 因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为，所以半径r＝＝，
所以这个圆心角所对的弧长l＝×＝，
这个扇形的面积S＝××＝.
活学活用
如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB的长为2，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为____.
【解析】 由题意可知OB＝OA＝1，OC＝OC′＝，BC＝B′C′＝，∠B′OC＝∠B′OC′＝，扇形AOB′的面积为，Rt△B′OC′的面积为，故B′C′左边空白图形的面积S1＝－，而B′C′右边两块空白图形的面积之和S2＝××＋＝＋，由此可得空白图形的总面积S＝S1＋S2＝＋＝，而半圆的面积为，所以所求阴影部分的面积为－＝.
【迁移探究】已知扇形AOB的周长为8 cm.
(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求该扇形的圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦AB的长度．
解：(1)设该扇形AOB的半径为r，圆心角为θ，面积为S，弧长为l.
由题意，得
解得或
所以圆心角θ＝＝＝6或θ＝＝，
所以该扇形的圆心角的大小为rad或6 rad.
(2)因为θ＝，
所以S＝·r2·＝4r－r2＝－(r－2)2＋4，
所以当r＝2，即θ＝＝2时，Smax＝4 cm2.
此时弦长AB＝2×2sin 1＝4sin 1(cm).
所以扇形面积最大时，圆心角的大小等于2 rad，弦AB的长度为4sin 1 cm.
1．已知角α与β的终边关于原点对称，则α与β的关系为( A )
A．α－β＝π＋2kπ(k∈Z)
B．α＋β＝0
C．α＋β＝2kπ(k∈Z)
D．以上都不对
2．－4弧度的角的终边所在的象限为( B )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 因为－4∈，所以－4弧度的角的终边在第二象限．
3．半径为1，圆心角为的扇形的面积是( A )
A． B． C． D．π
【解析】 S＝××12＝.
4．与角－终边相同的角是( C )
A． B． C． D．
【解析】 与角－终边相同的角的集合为
，
当k＝1时，α＝－＋2π＝.故选C.
5．将－1 125°表示成2kπ＋α，0≤α＜2π，k∈Z的形式为__－8π＋__．
【解析】 －1 125°＝－4×360°＋315°，所以－1 125°可表示为－8π＋.
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