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第五章 三角函数
5．2 三角函数的概念
5．2.1 三角函数的概念
[课程目标] 1.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、
正切)的定义；
2. 掌握任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)值在各
象限的符号，会利用角的终边上的点的坐标求角的
正弦、余弦和正切；
3.掌握公式一并会应用．
知识点一 任意角的三角函数的定义
前提 如图所示，设α是一个任意角，
α∈R，它的始边为射线OA，
终边OP与单位圆交于点P(x，y)
定义 正弦
函数 __ _叫做α的正弦函数，记作sin α，即___＝sin α
余弦
函数 __ _叫做α的余弦函数，记作cos α，即___＝cos α
正切
函数 ____________________________________________________叫做α的正切函数，记作tan α，即________＝tan α
三角
函数 正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：
正弦函数：y＝sin x，x∈R；余弦函数：y＝cos x，x∈R；
正切函数：y＝tan x，x≠＋kπ(k∈Z)
把点P的纵坐标y
y
把点P的横坐标x
x
单位圆上点P的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数
(x≠0)
[研读](1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集；sin α是一个整体，不是sin 与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin ” “cos ”“tan ”等是没有意义的．
(2)若点P(x，y)是角α终边上的一点，则sin α＝________，
cos α＝__________，tan α＝____________.
【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)sin α的含义是角α终边上的点的纵坐标．( )
(2)tan α的含义是角α终边上的点的纵坐标与横坐标的比值．
( )
(3)角α是确定的，则cos α也是确定的．( )
(4)任给一个角都有三角函数值．( )
×
√
√
×
知识点二 三角函数值的符号
如图所示：
正弦函数：一、二象限正，三、四象限负；
余弦函数：一、四象限正，二、三象限负；
正切函数：一、三象限正，二、四象限负．
简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
[研读]三角函数值的符号的记忆，把握两点：一是三角函数的定义；二是角的终边上一点的坐标的符号．
【思辨】判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)判断三角函数值的符号只需确定角的终边所处的位置．
( )
(2)角的终边不在任何象限时，三角函数值的符号要用三角函数
定义判断．( )
(3)若θ是三角形的一个内角，则cos θ>0.( )
(4)sin (－210°)<0.( )
【解析】 (3)若θ为直角或钝角，则cos θ≤0.
(4)－210°角是第二象限角，所以sin (－210°)>0.
√
√
×
×
知识点三 公式一
即终边相同的角的同一三角函数的值________．
[研读](1)利用公式一，可以把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．(2)上面三个公式也可以统一写成：f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)，或f(k·360°＋α)＝f(α)(k∈Z).
相等
【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)两个角的终边相同，则其同名三角函数值也相同.( )
(2)公式一的主要作用是将“大角”的三角函数值化为“小角”的同
名三角函数值．( )
(3)sin (－335°)＝sin 25°.( )
(4)tan 1 200°＝tan 120°.( )
【解析】 (3)sin (－335°)＝sin (－360°＋25°)＝sin 25°.
(4)tan 1 200°＝tan (3×360°＋120°)＝tan 120°.
√
√
√
√
例1
【解析】
例2
B
1．式子sin 1·cos 2·tan 4的值的符号为( )
A．正 B．负
C．零 D．不能确定
【解析】 因为1，2，4分别为第一、二、三象限的角，
所以sin 1＞0，cos 2＜0，tan 4＞0，
所以sin 1·cos 2·tan 4＜0.故选B.
B
2．若sin θ＜cos θ，且sin θ·cos θ＜0，则角θ的终边位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】 由条件可知sin θ＜0，cos θ＞0，则θ为第四象
限角．
D
例3 求下列各式的值．
求下列各式的值．
(2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°＝sin (2×360°＋90°)
＋cos (360°＋0°)－tan (3×360°＋45°)
＝sin 90°＋cos 0°－tan 45°
＝1＋1－1
＝1.
1．cos 1 110°等于( )
D
C
AD
4．tan 210°＝____．
5．若角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0).
(1)求sin θ＋cos θ的值．
(2)试判断cos (sin θ)·sin (cos θ)的符号．三角函数的概念
[课程目标] 1.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；2.掌握任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)值在各象限的符号，会利用角的终边上的点的坐标求角的正弦、余弦和正切；3.掌握公式一并会应用．
知识点一 任意角的三角函数的定义
前提 如图所示，设α是一个任意角，α∈R，它的始边为射线OA，终边OP与单位圆交于点P(x，y)
定义 正弦 函数 __把点P的纵坐标y__叫做α的正弦函数，记作sin α，即__y__＝sin α
余弦 函数 __把点P的横坐标x__叫做α的余弦函数，记作cos α，即__x__＝cos α
正切 函数 __单位圆上点P的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数__叫做α的正切函数，记作tan α，即__(x≠0)__＝tan α
三角 函数 正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数：y＝sin x，x∈R； 余弦函数：y＝cos x，x∈R； 正切函数：y＝tan x，x≠＋kπ(k∈Z)
[研读](1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集；sin α是一个整体，不是sin 与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin ”“cos ”“tan ”等是没有意义的．
(2)若点P(x，y)是角α终边上的一点，则sin α＝____，cos α＝____，tan α＝__(x≠0)__.
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)sin α的含义是角α终边上的点的纵坐标．( × )
(2)tan α的含义是角α终边上的点的纵坐标与横坐标的比值．( √ )
(3)角α是确定的，则cos α也是确定的．( √ )
(4)任给一个角都有三角函数值．( × )
【解析】 (1)sin α的含义是角α终边与单位圆的交点的纵坐标．
(4)不是所有的角都有三角函数值，如的正切值不存在．
知识点二 三角函数值的符号
如图所示：
正弦函数：一、二象限正，三、四象限负；
余弦函数：一、四象限正，二、三象限负；
正切函数：一、三象限正，二、四象限负．
简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
[研读]三角函数值的符号的记忆，把握两点：一是三角函数的定义；二是角的终边上一点的坐标的符号．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)判断三角函数值的符号只需确定角的终边所处的位置．( √ )
(2)角的终边不在任何象限时，三角函数值的符号要用三角函数定义判断．( √ )
(3)若θ是三角形的一个内角，则cos θ>0.( × )
(4)sin (－210°)<0.( × )
【解析】 (3)若θ为直角或钝角，则cos θ≤0.
(4)－210°角是第二象限角，所以sin (－210°)>0.
知识点三 公式一
即终边相同的角的同一三角函数的值__相等__．
[研读](1)利用公式一，可以把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．(2)上面三个公式也可以统一写成：f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)，或f(k·360°＋α)＝f(α)(k∈Z).
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)两个角的终边相同，则其同名三角函数值也相同.( √ )
(2)公式一的主要作用是将“大角”的三角函数值化为“小角”的同名三角函数值．( √ )
(3)sin (－335°)＝sin 25°.( √ )
(4)tan 1 200°＝tan 120°.( √ )
【解析】 (3)sin (－335°)＝sin (－360°＋25°)＝sin 25°.
(4)tan 1 200°＝tan (3×360°＋120°)＝tan 120°.
若点P(2m，－3m)(m<0)在角α的终边上，则sin α＝____，cos α＝__－__，tan α＝__－__．
【解析】
如图所示，点P(2m，－3m)(m<0)在第二象限，过点P作x轴的垂线，设点P与原点的距离为r，则r＝－m，
故有sin α＝＝＝，
cos α＝＝＝－，
tan α＝＝－.
活学活用
已知角α的终边在直线y＝x上，则sin α＋cos α的值为__±__．
【解析】 在角α的终边上任取一点P(x，y)，则y＝x.当x＞0时，r＝＝x，sin α＋cos α＝＋＝＋＝；
当x＜0时，r＝＝－x，sin α＋cos α＝＋＝－－＝－.
综上，sin α＋cos α的值为±.
[规律方法]
已知角α的终边在直线上，求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：
(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0).则sin α＝，cos α＝.
已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
有下列三角函数值：①sin 1 125°；②tan ·sin ；③；④sin 1－cos 1.其中为负值的个数是( B )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 由1 125°＝1 080°＋45°，则1 125°角是第一象限角，所以sin 1 125°>0；因为＝2π＋，则角是第三象限角，
所以tan >0，sin <0，故tan ·sin <0；因为3弧度的角在第二象限，则sin 3>0，tan 3<0，故<0；因为<1<，则sin 1－cos 1>0.所以②③为负数．
活学活用
1．式子sin 1·cos 2·tan 4的值的符号为( B )
A．正 B．负
C．零 D．不能确定
【解析】 因为1，2，4分别为第一、二、三象限的角，所以sin 1＞0，cos 2＜0，tan 4＞0，所以sin 1·cos 2·tan 4＜0.故选B.
2．若sin θ＜cos θ，且sin θ·cos θ＜0，则角θ的终边位于( D )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 由条件可知sin θ＜0，cos θ＞0，则θ为第四象限角．
3．已知＝－，且lg (cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M，求m的值及sin α的值．
解：(1)∵＝－，∴sin α<0.①
由lg (cos α)有意义，得cos α>0.②
由①②得，角α在第四象限．
(2)∵点M在单位圆上，
∴＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，∴m<0，∴m＝－.
由三角函数定义知，sin α＝－.
求下列各式的值．
(1)cos ＋tan ；
(2)sin 420°cos 750°＋sin (－690°)cos (－660°).
解：(1)因为cos ＝cos ＝cos ＝，
tan ＝tan ＝tan ＝1，
所以cos ＋tan ＝＋1＝.
(2)因为sin 420°＝sin (360°＋60°)＝sin 60°＝，
cos 750°＝cos (2×360°＋30°)＝cos 30°＝，
sin (－690°)＝sin (－2×360°＋30°)＝sin 30°＝，
cos (－660°)＝cos (－2×360°＋60°)＝cos 60°＝，
所以sin 420°cos 750°＋sin (－690°)cos (－660°)＝
×＋×＝1.
活学活用
求下列各式的值．
(1)sin ＋tan ；
(2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°.
解：(1)sin ＋tan
＝sin ＋tan
＝sin ＋tan
＝＋＝.
(2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°
＝sin (2×360°＋90°)＋cos (360°＋0°)－tan (3×360°＋45°)
＝sin 90°＋cos 0°－tan 45°
＝1＋1－1＝1.
1．cos 1 110°等于( D )
A．－ B．
C．－ D．
【解析】 cos 1 110°＝cos (3×360°＋30°)＝cos 30°＝.
2．若角α的终边经过点P(1，)，则下列结论错误的是( C )
A．sin α＝
B．cos α＝
C．sin α＝
D．tan α＝
【解析】 由题意得，sin α＝，cos α＝，tan α＝.
3． 已知α是第一象限角，则下列结论正确的是( AD )
A．sin 2α＞0 B．cos 2α＞0
C．cos ＞0 D．tan ＞0
【解析】 ∵α是第一象限角，∴2kπ＜α＜2kπ＋(k∈Z)，
∴4kπ＜2α＜4kπ＋π(k∈Z)，kπ＜＜kπ＋(k∈Z)，
∴2α的终边位于一、二象限及y轴非负半轴上，的终边位于一、三象限．所以sin 2α＞0，tan ＞0.故选AD.
4．tan 210°＝____．
【解析】 210°角的终边与单位圆的交点坐标为，所以tan 210°＝.
5．若角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0).
(1)求sin θ＋cos θ的值．
(2)试判断cos (sin θ)·sin (cos θ)的符号．
解： (1)因为角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)，
所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，
当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－＝－；
当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－＋＝.
(2)当a＞0时，sin θ＝∈，cos θ＝－∈，
则cos (sin θ)·sin (cos θ)＝cos ·sin ＜0；
当a＜0时，sin θ＝－∈，cos θ＝∈，
则cos (sin θ)·sin (cos θ)＝cos ·sin ＞0.
综上，当a＞0时，cos (sin θ)·sin (cos θ)的符号为负；
当a＜0时，cos (sin θ)·sin (cos θ)的符号为正．
7(共31张PPT)
第五章 三角函数
5．2 三角函数的概念
5．2.2 同角三角函数的基本关系
[课程目标] 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值
与恒等式证明．
知识点 同角三角函数的基本关系
1．平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于____，
即sin2α＋cos2α＝____．
2．商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的_______，
即 ＝________ .
[研读]同角三角函数关系是同一个角的三种三角函数之间的等量关系，要注意角的范围以及方程思想的应用．
1
1
正切
tan α
【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)对任意角α，sin2 ＋cos2 ＝1都成立．( )
(2)对任意角θ， ＝tan 3θ都成立．( )
(3)若sin α＝0，则cos α＝1.( )
(4)(sin α＋cos α)2＝1－2sin αcos α.( )
√
×
×
×
例1 已知cos α＝－ ，求sin α，tan α的值．
[规律方法]
若没有指出α是第几象限角，必须由题设条件推断α可能是第几象限的角，再分象限加以讨论．
已知tan α＝2，求sin α与cos α的值．
例2 已知tan α＝－ ，求下列各式的值．
[规律方法]
已知角α的正切，求关于sin α，cos α的齐次式的方法：
(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于
sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分
子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式
子，再代入求值．
(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，
将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代
入求值．
例3
[规律方法]
三角函数式的化简方法：
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函
数名称，达到化繁为简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然
后去根号，达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构
造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
例4 已知α∈(0，π)，sin α＋cos α＝ ，计算下列各式的值．
(1)sin αcos α；(2)sin α－cos α.
C
[规律方法]
已知sin α±cos α，sin αcos α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式有：
(1)(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α；
(2)(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α；
(3)(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；
(4)(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α.
B
B
C
4．设tan 160°＝k，则sin 160°＝( )
B同角三角函数的基本关系
[课程目标] 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．
知识点 同角三角函数的基本关系
1．平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于__1__，即sin2α＋cos2α＝__1__．
2．商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的__正切__，即＝__tan__α__.
[研读]同角三角函数关系是同一个角的三种三角函数之间的等量关系，要注意角的范围以及方程思想的应用．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)对任意角α，sin2＋cos2＝1都成立．( √ )
(2)对任意角θ，＝tan 3θ都成立．( × )
(3)若sin α＝0，则cos α＝1.( × )
(4)(sin α＋cos α)2＝1－2sin αcos α.( × )
已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
解：因为cos α<0，且cos α≠－1，故α是第二或第三象限角．
如果α是第二象限角，那么
sin α＝＝＝，
tanα＝＝×＝－；
如果α是第三象限角，那么sin α＝－，tan α＝.
[规律方法]
若没有指出α是第几象限角，必须由题设条件推断α可能是第几象限的角，再分象限加以讨论．
活学活用
已知tan α＝2，求sin α与cos α的值．
解：因为tan α＝2>0，所以α是第一或第三象限角．
因为tan α＝2，所以＝2，即sin α＝2cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，
得cos2α＝.
当α为第一象限角时，cosα＝，sin α＝2cos α＝；
当α为第三象限角时，cos α＝－，sin α＝2cos α＝－.
已知tan α＝－，求下列各式的值．
(1)；
(2)2sin2α－sinαcos α＋5cos2α.
解：(1)＝＝＝－.
(2)原式＝
＝·
＝×＝.
活学活用
已知2cos2α＋3cosαsin α－3sin2α＝1，α∈.求：
(1)tanα； (2).
解：(1)2cos2α＋3cosαsin α－3sin2α
＝
＝＝1，即4tan2α－3tanα－1＝0，解得tan α＝－或tan α＝1.
∵α∈，∴α为第二象限角，∴tan α<0，∴tan α＝－.
(2)∵tan α＝－，∴原式＝＝＝.
[规律方法]
已知角α的正切，求关于sin α，cos α的齐次式的方法：
(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值．
(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．
化简： ＋ .
解：原式＝ ＋
＝＋
＝＋.
因为α∈，所以∈，
所以cos －sin >0，cos ＋sin >0，
所以原式＝cos －sin ＋cos ＋sin ＝2cos .
活学活用
求证：(1)－＝sinα＋cos α；
(2)(2－cos2α)(2＋tan2α)＝(1＋2tan2α)(2－sin2α).
证明：(1)∵左边＝－＝－＝－＝－＝＝sin α＋cos α＝右边，∴原式成立．
(2)∵左边＝4＋2tan2α－2cos2α－sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α，
右边＝(1＋2tan2α)(1＋cos2α)＝1＋2tan2α＋cos2α＋2sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α，
∴左边＝右边，∴原式成立．
[规律方法]
三角函数式的化简方法：
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
已知α∈(0，π)，sin α＋cos α＝，计算下列各式的值．
(1)sin αcos α；(2)sin α－cos α.
解：(1)由sin α＋cos α＝，
两边平方，得sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝，
所以sin αcos α＝－.
(2)由(1)知sin αcos α＝－<0，又因为α∈(0，π)，
所以cos α<0，所以α∈，所以sin α－cos α>0，
所以sin α－cos α＝
＝
＝＝＝.
活学活用
若△ABC的内角A满足sin A cos A＝－，则cos A－sin A的值为( C )
A．－ B．±
C．－ D．±
【解析】 ∵A为三角形的一个内角，且sin A cos A＝－，
∴A为钝角，∴cos A－sin A＜0.
∴cos A－sin A＝－
＝－＝－＝－.
[规律方法]
已知sin α±cos α，sin αcos α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式有：
(1)(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α；
(2)(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α；
(3)(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；
(4)(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α.
1．已知α是第三象限角，sin α＝－，则cos α等于( B )
A．－ B．－ C． D．
【解析】 cos α＝－＝－.
2．已知2tan α·sin α＝3，－＜α＜0，则sin α＝( B )
A． B．－ C． D．－
【解析】 因为2tan α·sin α＝3，所以＝3，所以2sin2α＝3cosα，即2－2cos2α＝3cosα，即2cos2α＋3cosα－2＝0，
解得cos α＝或cos α＝－2(舍去).
又－＜α＜0，所以sin α＝－.
3．若锐角α满足sin α＋cos α＝，则sin αcos α等于( C )
A． B．－ C． D．－
【解析】 由sin α＋cos α＝，
得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，所以sin αcos α＝.
4．设tan 160°＝k，则sin 160°＝( B )
A． B．
C． D．
【解析】 ∵tan 160°＝＝k，∴sin 160°＝k cos 160°.
又∵sin2160°＋cos2160°＝1，
∴(k cos160°)2＋cos2160°＝1，∴cos2160°＝.
又160°是第二象限角，
∴cos160°<0，∴cos 160°＝－，
∴sin 160°＝k cos 160°＝－.
5．已知tan α＝，求下列各式的值：
(1)＋；
(2)；
(3)sin2α－2sinαcos α＋4cos2α.
解：(1)＋＝＋，将tan α＝代入，得原式＝＋＝.
(2)＝＝，将tan α＝代入，
得原式＝.
(3)sin2α－2sinαcos α＋4cos2α＝
＝，将tanα＝代入，得原式＝＝.
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