(共27张PPT)
第五章 三角函数
5.3 诱导公式
第1课时 三角函数诱导公式(1)
[课程目标] 1.能借助圆的对称性推导公式二、三、四；
2.灵活运用诱导公式二、三、四，并能利用诱导公式
进行化简与求值．
知识点一 公式二
1．角π＋α与角α的终边关于________对称，
如图所示．
2．公式二：sin (π＋α)＝____________，
cos (π＋α)＝_________，
tan (π＋α)＝_______．
原点
－sin α
－cos α
tan α
【思辨】判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
×
×
√
×
知识点二 公式三
1．角－α与角α的终边关于____轴对称，如图所示．
2．公式三：sin (－α)＝_________，
cos (－α)＝________，
tan (－α)＝__________．
x
－sin α
cos α
－tan α
【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)公式sin (－α)＝－sin α，α是锐角才成立．( )
(2)sin (－340°)<0.( )
(3)cos (－390°)＝ . ( )
(4)tan (－600°)＝－ .( )
×
×
√
√
知识点三 公式四
1．角π－α与角α的终边关于____轴对称，
如图所示．
2．公式四：sin (π－α)＝__________，
cos (π－α)＝__________，
tan (π－α)＝__________．
[研读]诱导公式可以统一为：α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号．
y
sin α
－cos α
－tan α
【思辨】判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)公式tan (α－π)＝tan α中，α＝ 时不成立．( )
(2)角α与角β的终边关于y轴对称，则sin α＋sin β＝0.( )
(3)若α＋β＝3π，则cos α＝cos β.( )
(4)tan (5π－θ)＝tan θ.( )
√
×
×
×
例1 求下列各式的值．
[规律方法]
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤：
例2
[规律方法]
利用诱导公式一～公式四化简应注意的问题：
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有
改变；
(3)同时有“切”(正切)与“弦”(正弦函数、余弦函数)的式子化
简，一般采用“切”化“弦”，有时也将“弦”化“切”.
例3
[规律方法]
解决给值(式)求值的策略：
(1)仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间
的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形
向已知式转化．
B
2．下列式子中正确的是( )
A．sin (π－α)＝－sin α
B．cos (π＋α)＝cos α
C．cos α＝sin α
D．sin (2π＋α)＝sin α
【解析】 根据诱导公式知sin (2π＋α)＝sin α正确．
D
3．已知函数f(x)＝a sin (πx＋α)＋b cos (πx＋β)＋6，x∈R，
且f(2 021)＝5，则f(2 020)等于( )
A．4 B．5
C．6 D．7
【解析】 因为f(2 021)＝a sin (2 021π＋α)＋b cos (2 021π
＋β)＋6＝5，所以a sin (2 021π＋α)＋b cos (2 021π＋β)
＝－1，即a sin α＋b cos β＝1，
则f(2 020)＝a sin (2 020π＋α)＋b cos (2 020π＋β)＋6
＝a sin α＋b cos β＋6＝7.
D
D第1课时 三角函数诱导公式(1)
[课程目标] 1.能借助圆的对称性推导公式二、三、四；2.灵活运用诱导公式二、三、四，并能利用诱导公式进行化简与求值．
知识点一 公式二
1．角π＋α与角α的终边关于__原点__对称，如图所示．
2．公式二：sin (π＋α)＝__－sin__α__，
cos (π＋α)＝__－cos__α__，
tan (π＋α)＝__tan__α__．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)公式二中角α是任意角．( × )
(2)sin ＝－sin .( × )
(3)cos ＝－.( √ )
(4)tan ＝.( × )
【解析】 (1)公式tan (π＋α)＝tan α中，α≠kπ＋(k∈Z).
(2)sin ＝－sin ＝－sin ＝sin .
(3)cos ＝cos ＝－cos ＝－.
(4)tan ＝tan ＝tan ＝tan ＝－.
知识点二 公式三
1．角－α与角α的终边关于__x__轴对称，如图所示．
2．公式三：sin (－α)＝__－sin__α__，
cos (－α)＝__cos__α__，
tan (－α)＝__－tan__α__．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)公式sin (－α)＝－sin α，α是锐角才成立．( × )
(2)sin (－340°)<0.( × )
(3)cos (－390°)＝.( √ )
(4)tan (－600°)＝－.( √ )
【解析】 (1)α为任意角．
(2)sin (－340°)＝－sin 340°＝－sin (360°－20°)＝－sin (－20°)＝sin 20°>0.
(3)cos (－390°)＝cos 390°＝cos (360°＋30°)＝cos 30°＝.
(4)tan (－600°)＝－tan 600°＝－tan (720°－120°)＝tan 120°＝－.
知识点三 公式四
1．角π－α与角α的终边关于__y__轴对称，如图所示．
2．公式四：sin (π－α)＝__sin__α__，
cos (π－α)＝__－cos__α__，
tan (π－α)＝__－tan__α__．
[研读]诱导公式可以统一为：α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)公式tan (α－π)＝tan α中，α＝时不成立．( √ )
(2)角α与角β的终边关于y轴对称，则sin α＋sin β＝0.( × )
(3)若α＋β＝3π，则cos α＝cos β.( × )
(4)tan (5π－θ)＝tan θ.( × )
【解析】 (1)公式中α≠kπ＋(k∈Z).
(2)角α与角β的终边关于y轴对称，有sin α＝sin β.
(3)α＝3π－β，cos α＝cos (3π－β)＝cos (π－β)＝－cos β.
(4)tan (5π－θ)＝tan (π－θ)＝－tan θ.
求下列各式的值．
(1)cos 150°； (2)cos sin .
解：(1)cos 150°＝cos (180°－30°)＝－cos 30°＝－.
(2)cos sin ＝cos sin
＝cos sin ＝－cos sin
＝－×＝－.
活学活用
计算：(1)tan ＋tan ＋tan ＋tan ；
(2)sin (－60°)＋cos 225°＋tan 135°.
解：(1)原式＝tan ＋tan ＋tan ＋tan ＝
tan ＋tan －tan －tan ＝0.
(2)原式＝－sin 60°＋cos (180°＋45°)＋tan (180°－45°)＝
－－cos 45°－tan 45°＝－－－1＝－.
[规律方法]
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤：
化简：.
解：原式＝＝
＝＝－1.
活学活用
已知f(x)＝(n∈Z).
(1)化简f(x)的表达式；(2)求f.
解：(1)解法一：f(x)＝＝＝sin2x.
解法二：当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，
f(x)＝
＝＝＝sin2x；
当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，
f(x)＝
＝＝＝sin2x，
综上得f(x)＝sin2x.
(2)由(1)知f＝sin2＝sin2＝sin2＝sin2＝sin2＝.
[规律方法]
利用诱导公式一～公式四化简应注意的问题：
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；
(3)同时有“切”(正切)与“弦”(正弦函数、余弦函数)的式子化简，一般采用“切”化“弦”，有时也将“弦”化“切”.
已知cos ＝，求下列各式的值．
(1)cos ；
(2)sin2.
解：(1)cos＝cos ＝cos ＝.
(2)sin2＝sin2＝sin2＝
1－cos2＝1－＝.
活学活用
已知tan ＝，则tan 的值是__－__．
【解析】 tan ＝tan ＝
－tan ＝－.
[规律方法]
解决给值(式)求值的策略：
(1)仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
1．已知cos (π＋θ)＝，则cos θ等于( B )
A． B．－
C． D．－
【解析】 cos θ＝－cos (π＋θ)＝－.
2．下列式子中正确的是( D )
A．sin (π－α)＝－sin α
B．cos (π＋α)＝cos α
C．cos α＝sin α
D．sin (2π＋α)＝sin α
【解析】 根据诱导公式知sin (2π＋α)＝sin α正确．
3．已知函数f(x)＝a sin (πx＋α)＋b cos (πx＋β)＋6，x∈R，且f(2 021)＝5，则f(2 020)等于( D )
A．4 B．5
C．6 D．7
【解析】 因为f(2 021)＝a sin (2 021π＋α)＋b cos (2 021π＋β)＋6＝5，所以a sin (2 021π＋α)＋b cos (2 021π＋β)＝－1，即a sin α＋b cos β＝1，则f(2 020)＝a sin (2 020π＋α)＋b cos (2 020π＋β)＋6＝a sin α＋b cos β＋6＝7.
4．已知sin ＝，则sin ＝( D )
A． B．－
C．－ D．
【解析】 ∵sin ＝，
∴sin ＝sin ＝sin ＝.
5．设k为整数，化简：.
解：方法一：(分类讨论)当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，
则原式＝
＝＝＝－1；
当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1.
方法二：(配角法)由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，故cos [(k－1)π－α]＝cos [(k＋1)π＋α]＝－cos (kπ＋α)，
sin [(k＋1)π＋α]＝－sin (kπ＋α)，
sin (kπ－α)＝－sin (kπ＋α).
所以，原式＝＝－1.
6(共24张PPT)
第五章 三角函数
5．3 诱导公式
第2课时 三角函数诱导公式(2)
[课程目标] 1.了解公式五和公式六的推导方法，能够准确记住公
式五和公式六；
2.灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和
证明．
知识点一 公式五
直线y＝x
cos α
sin α
知识点二 公式六
cos α
－sin α
【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．( )
(2)cos (90°＋α)＝sin α.( )
(3)sin ＝ cos α.( )
(4)sin (270°－θ)＝cos θ.( )
×
×
×
×
例1
例2
[规律方法]
三角恒等式的证明策略：对于恒等式的证明，应遵循化繁
为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左
右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角
法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于
从中选择巧妙简捷的方法．
例3
已知cos (75°＋α)＝ ，求cos (105°－α)－sin (15°－α)的值．
用诱导公式化简求值的方法：
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的
原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切
化弦，以简化三角函数．
(2)对于π±α和 ±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不
变名，而运用后一套公式必须变名．
C
B
C第2课时 三角函数诱导公式(2)
[课程目标] 1.了解公式五和公式六的推导方法，能够准确记住公式五和公式六；2.灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．
知识点一 公式五
1．角－α与角α的终边关于__直线y＝x__对称，如图所示．
2．公式五：sin ＝__cos__α__，
cos ＝__sin__α__.
知识点二 公式六
公式六：sin ＝__cos__α__，
cos ＝__－sin__α__.
[研读]±α的正弦(余弦)的函数值，分别等于α的余弦(正弦)的函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．( × )
(2)cos (90°＋α)＝sin α.( × )
(3)sin ＝cos α.( × )
(4)sin (270°－θ)＝cos θ.( × )
【解析】 (1)诱导公式五、六中的角α是任意角．
(2)cos (90°＋α)＝－sin α.
(3)sin ＝－sin ＝－cos α.
(4)sin (270°－θ)＝sin (180°＋90°－θ)＝－sin (90°－θ)＝－cos θ.
化简：.
解：因为sin (4π－α)＝sin (－α)＝－sin α，
cos ＝cos ＝cos ＝－sin α，
sin ＝sin ＝－sin ＝－cos α，
故原式＝＝－＝－tan2α.
活学活用
已知cos ＝2sin ，则
＝____．
【解析】 因为cos ＝2sin ，所以sin α＝2cos α.
原式＝＝＝.
求证：＝.
证明：左边＝
＝＝＝，
右边＝＝＝，
左边＝右边，所以等式成立．
活学活用
求证：＝1.
证明：左边＝＝
＝1＝右边，
所以等式成立．
[规律方法]
三角恒等式的证明策略：对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
已知＝，
求的值．
解：因为＝＝
＝，所以cos θ＝，
所以＝
＝＝＝.
活学活用
已知cos (75°＋α)＝，求cos (105°－α)－sin (15°－α)的值．
解：因为cos (75°＋α)＝，所以cos (105°－α)－sin (15°－α)
＝cos [180°－(75°＋α)]－sin [90°－(75°＋α)]
＝－cos (75°＋α)－cos (75°＋α)＝－.
[规律方法]
用诱导公式化简求值的方法：
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以简化三角函数．
(2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．
1．已知sin ＝，那么cos θ等于( C )
A． B． C．－ D．－
【解析】 sin ＝sin ＝－sin ＝－cos θ＝，得cos θ＝－.
2．若cos ＝m，则sin α等于( B )
A．－m B．m
C．－ D．
【解析】 cos ＝cos ＝m，所以sin α＝cos ＝m.
3．已知α是第四象限角，且3sin2α＝8cosα，则cos ＝( C )
A．－ B．－ C． D．
【解析】 ∵3sin2α＝8cosα，∴sin2α＋＝1，
整理可得9sin4α＋64sin2α－64＝0，
解得sin2α＝或sin2α＝－8(舍去).
又∵α是第四象限角，
∴sinα＝－，
∴cos ＝cos ＝cos ＝－sin α＝.
4．已知sin ＝，则sin ＋sin2＝____．
【解析】∵sin ＝，
∴cos ＝cos
＝sin ＝，
∴sin ＋sin2
＝sin＋
＝sin＋
＝＋＝.
5．已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(m，－m－1)，且cosα＝.
(1)求m的值；
(2)若m>0，求的值．
解：(1)由cos α＝＝，
解得m＝0或m＝3或m＝－4.
(2)由(1)知m＝0或m＝3或m＝－4，因为m>0，所以m＝3，所以cos α＝，sin α＝－，所以
＝＝－＝－.
5
