(共24张PPT)
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质
5．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
[课程目标] 1.了解正弦函数、余弦函数的图象；
2.会用五点作图法画正弦函数、余弦函数的图象；
3.能够利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题
知识点 正弦函数、余弦函数的图象
函数 y＝sin x(x∈R) y＝cos x(x∈R)
图象
图象
画法 五点法 五点法
五个
关键
点 _ ___， ，
__ __， ，
_ ___ (0，1)，________，
(π，－1)，_______，
(2π，1)
(0，0)
(π，0)
(2π，0)
[研读]“五点法”作图中的“五点”是指函数图象的最高点、
最低点以及图象与坐标轴的交点．这是作正弦函数、余弦函数
图象最常用的方法．
【思辨】判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)函数y＝sin x的图象与y轴只有一个交点．( )
(2)正弦曲线和余弦曲线有无数个交点．( )
(3)将余弦曲线向右平移 个单位长度就得到正弦曲线.( )
(4)当x∈R时，函数y＝sin x的图象与函数y＝cos x 的图象的形状完全一致．( )
【解析】 根据正弦函数和余弦函数的图象可知，以上说法都正确．
√
√
√
√
例1 用“五点法”作出函数y＝sin x＋2，x∈[0，2π]的简图．
解：列表：
用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：
①y＞1；②y＜1.
(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交
点，求a的取值范围．
解： 列表如下：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图，
(1)由图象可知，图象在直线y＝1上方部分时y＞1，
在直线y＝1下方部分时y＜1，所以①当x∈(－π，0)时，
y＞1；②当x∈(0，π)时，y＜1.
(2)如图，当直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两
个交点时，1＜a＜3或－1＜a＜1，所以a的取值范围
是(－1，1)∪(1，3).
(1)列表：
例2
A
例3 函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域
为___________________________________.
[规律方法]
用三角函数图象解三角不等式的步骤：
(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象；
(2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；
(3)根据公式写出定义域内的解集．
1．对于正弦函数y＝sin x的图象，下列说法错误的是( )
A．向左右无限伸展
B．与y＝cos x的图象形状相同，但位置不同
C．与x轴有无数个交点
D．关于y轴对称
【解析】 根据正弦函数y＝sin x的图象知，正弦函数
y＝sin x的图象关于原点对称，不关于y轴对称．
D
2．函数y＝|sin x|的图象( )
A．关于x轴对称
B．关于原点对称
C．关于坐标轴对称
D．关于y轴对称
【解析】 函数y＝|sin x|是偶函数，图象关于y轴对称．
D
C
4．请补充完整下面用“五点法”作出y＝－sin x(0≤x≤2π)的图象
时的列表．
①____；②____；③____．
【解析】 五个关键点是图象与x轴的三个交点以及图象的
最高点和最低点．所以应填π，0，1.
π
0
1
5．若函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k
有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是__________．
(1，3)正弦函数、余弦函数的图象
[课程目标] 1.了解正弦函数、余弦函数的图象；2.会用五点作图法画正弦函数、余弦函数的图象；3.能够利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题．
知识点 正弦函数、余弦函数的图象
函数 y＝sin x(x∈R) y＝cos x(x∈R)
图象
图象 画法 五点法 五点法
五个 关键 点 __(0，0)__，， __(π，0)__，， __(2π，0)__ (0，1)，____， (π，－1)，____， (2π，1)
[研读]“五点法”作图中的“五点”是指函数图象的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点．这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)函数y＝sin x的图象与y轴只有一个交点．( √ )
(2)正弦曲线和余弦曲线有无数个交点．( √ )
(3)将余弦曲线向右平移个单位长度就得到正弦曲线.( √ )
(4)当x∈R时，函数y＝sin x的图象与函数y＝cos x 的图象的形状完全一致．( √ )
【解析】 根据正弦函数和余弦函数的图象可知，以上说法都正确．
用“五点法”作出函数y＝sin x＋2，x∈[0，2π]的简图．
解：列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
sin x＋2 2 3 2 1 2
在坐标系中描出五点：(0，2)，，(π，2)，，(2π，2)，
用光滑的曲线连接五点，得到y＝sin x＋2，x∈[0，2π]的图象，如图所示．
活学活用
用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：①y＞1；②y＜1.
(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围．
解： 列表如下：
x －π － 0 π
sin x 0 －1 0 1 0
1－2sin x 1 3 1 －1 1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图，
(1)由图象可知，图象在直线y＝1上方部分时y＞1，在直线y＝1下方部分时y＜1，所以①当x∈(－π，0)时，y＞1；②当x∈(0，π)时，y＜1.
(2)如图，当直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点时，1＜a＜3或－1＜a＜1，所以a的取值范围是(－1，1)∪(1，3).
[规律方法]
用“五点法”作函数y＝A sin x＋b(A≠0)或y＝A cos x＋b(A≠0)在上的简图的步骤如下：
(1)列表：
x 0 π 2π
sin x (或cos x) 0(或1) 1(或0) 0(或－1) －1 (或0) 0(或1)
y b (或A＋b) A＋b (或b) b (或－A＋b) －A＋b (或b) b (或A＋b)
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，，(π，y3)，，(2π，y5)，这里的yi(i＝1，2，3，4，5)值是通过函数解析式计算得到的．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接．
利用正弦函数的图象，求满足sin x≥的x的集合．
解：作出正弦函数y＝sin x，x∈的图象，如图所示，由图象可以得到在[0，2π]上满足条件的x的集合为，所以满足条件的x的集合为，k∈Z．
活学活用
在(0，2π)内使sin x＞|cos x|成立的x的取值范围是( A )
A． B．∪
C． D．
【解析】 ∵sin x＞|cos x|≥0，∴sin x＞0，∴x∈(0，π).在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π)与y＝|cos x|，x∈(0，π)的图象，如图．
观察图象易得使sin x＞|cos x|成立的x∈，故选A.
函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为____.
【解析】 要使函数有意义，则必有2sin x＋1>0，即sin x>－.结合正弦曲线，如图所示，可知函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为.
活学活用
函数f(x)＝＋的定义域为__(－4，－π]∪[0，π]__．
【解析】 要使函数f(x)有意义，则必有由sin x≥0，得2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z．
由16－x2>0得－4[规律方法]
用三角函数图象解三角不等式的步骤：
(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象；
(2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；
(3)根据公式写出定义域内的解集．
1．对于正弦函数y＝sin x的图象，下列说法错误的是( D )
A．向左右无限伸展
B．与y＝cos x的图象形状相同，但位置不同
C．与x轴有无数个交点
D．关于y轴对称
【解析】 根据正弦函数y＝sin x的图象知，正弦函数y＝sin x的图象关于原点对称，不关于y轴对称．
2．函数y＝|sin x|的图象( D )
A．关于x轴对称 B．关于原点对称
C．关于坐标轴对称 D．关于y轴对称
【解析】 函数y＝|sin x|是偶函数，图象关于y轴对称．
3．函数y＝cos x·|tan x|的大致图象是( C )
A. B.
C. D.
【解析】 y＝cos x·|tan x|
＝故选C.
4．请补充完整下面用“五点法”作出y＝－sin x(0≤x≤2π)的图象时的列表．
x 0 ① 2π
－sin x ② －1 0 ③ 0
①__π__；②__0__；③__1__．
【解析】 五个关键点是图象与x轴的三个交点以及图象的最高点和最低点．所以应填π，0，1.
5．若函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是__(1，3)__．
【解析】 f(x)＝sin x＋2|sin x|
＝
图象如图所示．
若使f(x)的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，根据图象可得k的取值范围是(1，3).
6(共30张PPT)
第五章 三角函数
5．4 三角函数的图象与性质
5．4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第2课时 单调性与最值
[课程目标] 1.会求y＝sin x，y＝cos x的最大(小)值，会求简单三
角函数的值域和最值；
2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，能够利用单调性
比较大小；
3.会求函数y＝A sin (ωx＋φ)，y＝A cos (ωx＋φ) 的
单调区间．
知识点 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
正弦函数 余弦函数
图象
值域 _ ___ __ __
单
调
性 在_ 上单调递增，在_ _上
单调递减 在__________________________上单调递增，
在__________________________上单调递减
最值 x＝______________时，ymax＝1；
x＝____________时，ymin＝－1 x＝______________时，ymax＝1；
x＝____________________时， ymin＝－1
[－1，1]
[－1，1]
[2kπ－π，2kπ](k∈Z)
[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
2kπ(k∈Z)
2kπ＋π(k∈Z)
[研读]正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域
上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域上不单
调；正弦曲线(或余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(或余弦曲
线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(或余弦值)取得最大值
或最小值．
【思辨】
×
×
×
√
例1
[规律方法]
与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧．
(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)确定函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采
用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令
“t＝ωx＋φ”，即通过求y＝A sin t的单调区间而求出函数的
单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将ω转变为正数．
例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
比较下列各组数的大小．
[规律方法]
比较三角函数值大小的方法：
(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角
化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．
(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的
三角函数，后面步骤同上．
例3
例4
求函数y＝cos2x＋4sinx的最值及取到最大值和最小值时的x的集合．
[规律方法]
正弦、余弦函数最值的两种类型：
(1)形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b(或y＝A cos (ωx＋φ)＋b)型，可先
由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin (ωx＋φ)(或cos
(ωx＋φ))的范围，最后求得最值．
(2)形如y＝a sin2x＋b sinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝
sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要
根据定义域来确定．
C
2．已知a＝sin 58°，b＝sin 121°，c＝sin 260°，则( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．b>c>a
【解析】 因为y＝sin x在(0°，90°)上单调递增，
a＝sin 58°，b＝sin 121°＝sin (180°－59°)＝sin 59°，
所以b>a>0.又c＝sin 260°<0，所以b>a>c.
B
D
4．【多选题】对于函数f(x)＝ax3＋b sin x＋c(a，b∈R，c∈Z)
选取a，b，c的一组值去计算f(－1)和f(1)的值，所得出的正
确结果可能是( )
A．2和6 B．3和9
C．4和11 D．5和13
ABD
【解析】 设F(x)＝f(x)－c＝ax3＋b sin x，
∵F(－x)＝a(－x)3＋b sin (－x)
＝－(ax3＋b sin x)＝－F(x)，
∴F(x)是奇函数，∴F(－1)＝－F(1).
又F(－1)＝f(－1)－c，F(1)＝f(1)－c，
∴f(－1)－c＝－f(1)＋c，∴f(1)＋f(－1)＝2c.
由c∈Z知f(1)＋f(－1)为偶数，故A，B，D有可能正确，
而4与11的和15为奇数，C不可能正确，因此选ABD.第2课时 单调性与最值
[课程目标] 1.会求y＝sin x，y＝cos x的最大(小)值，会求简单三角函数的值域和最值；2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，能够利用单调性比较大小；3.会求函数y＝A sin (ωx＋φ)，y＝A cos (ωx＋φ) 的单调区间．
知识点 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
正弦函数 余弦函数
图象
值域 __[－1，1]__ __[－1，1]__
单 调 性 在 (k∈Z)__上单调递增， 在 (k∈Z)__上单调递减 在__[2kπ－π，2kπ](k∈Z)__上单调递增， 在__[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)__上单调递减
最值 x＝__2kπ＋(k∈Z)__时，ymax＝1； x＝__2kπ－(k∈Z)__时，ymin＝－1 x＝__2kπ(k∈Z)__时，ymax＝1； x＝__2kπ＋π(k∈Z)__时， ymin＝－1
[研读]正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域上不单调；正弦曲线(或余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(或余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(或余弦值)取得最大值或最小值．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)正弦函数、余弦函数在定义域上都是单调函数．( × )
(2)存在x∈R满足sin x＝.( × )
(3)在区间上，函数y＝sin x仅在x＝处取得最小值－1.( × )
(4)函数y＝cos x在[－π，0]上单调递增．( √ )
【解析】 (1)正弦函数、余弦函数在定义域上都不是单调函数．
(2)y＝sin x的值域是[－1，1].
(3)在x＝－和x＝处，函数y＝sin x都取得最小值－1.
(4)由图象知函数y＝cos x在[－π，0]上单调递增．
求函数y＝sin 的单调递增区间．
解：y＝sin ＝－sin ，
令t＝2x－，则y＝－sin t.
因为t＝2x－是x的一次函数，所以要求y＝－sin t的单调递增区间，即求y＝sin t的单调递减区间，即2kπ＋≤t≤2kπ＋(k∈Z)，
所以2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以该函数的单调递增区间是(k∈Z).
活学活用
函数y＝sin 的单调递减区间为__，__．
【解析】 由＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
得＋≤x≤＋(k∈Z).
又x∈，所以函数y＝sin 的单调递减区间为，.
[规律方法]
与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧．
(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)确定函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“t＝ωx＋φ”，即通过求y＝A sin t的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将ω转变为正数．
利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin 与sin ；
(2)cos 与cos .
解：(1)因为y＝sin x在上单调递增，
－<－<－<0，所以sin >sin .
(2)cos ＝cos ＝－cos ，
cos ＝cos ＝－cos ，
因为y＝cos x在上单调递减，所以cos >cos ，
所以cos 活学活用
比较下列各组数的大小．
(1)cos 与cos ；
(2)sin 1，sin 2，sin 3.
解：(1)cos ＝cos ＝cos ，
cos ＝cos ＝cos .
因为函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，且0< < <π，
所以cos >cos ，所以cos >cos .
(2)由诱导公式得sin 2＝sin (π－2)，sin 3＝sin (π－3).
又0<π－3<1<π－2<，且y＝sin x在上单调递增，
∴sin (π－3)[规律方法]
比较三角函数值大小的方法：
(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．
(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．
求函数y＝3－4cos ，x∈的最大值、最小值及相应的x的值．
解：因为x∈，所以2x＋∈，
从而－≤cos ≤1.
所以当cos ＝1，即2x＋＝0，x＝－时，ymin＝3－4＝－1.
当cos ＝－，即2x＋＝，x＝时，
ymax＝3－4×＝5.
综上所述，当x＝－时，ymin＝－1；当x＝时，ymax＝5.
活学活用
已知函数f(x)＝2a sin x＋b的定义域为，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．
解：因为－≤x≤，所以－≤sin x≤1.
若a＝0，不合题意；
若a＞0，则解得
若a＜0，则解得
函数y＝cos2x－sinx，x∈的最大值是____，最小值是__－__．
【解析】 y＝cos2x－sinx＝1－sin2x－sinx
＝－＋.
因为－≤x≤，所以－≤sin x≤，
所以当sin x＝－，即x＝－时，函数取得最大值，ymax＝；
当sin x＝，即x＝时，函数取得最小值，ymin＝－.
活学活用
求函数y＝cos2x＋4sinx的最值及取到最大值和最小值时的x的集合．
解：y＝cos2x＋4sinx＝1－sin2x＋4sinx
＝－sin2x＋4sinx＋1＝－(sin x－2)2＋5.
因为sin x∈[－1，1]，
所以当sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝4；
当sin x＝－1，即x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－4.
所以ymax＝4，此时x的取值集合是；
ymin＝－4，此时x的取值集合是.
[规律方法]
正弦、余弦函数最值的两种类型：
(1)形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b(或y＝A cos (ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin (ωx＋φ)(或cos (ωx＋φ))的范围，最后求得最值．
(2)形如y＝a sin2x＋b sinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定．
1．在下列区间中，使函数y＝sin x单调递增的区间是( C )
A．[0，π] B．
C． D．[π，2π]
【解析】 由图象知y＝sin x在上单调递增．
2．已知a＝sin 58°，b＝sin 121°，c＝sin 260°，则( B )
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．b>c>a
【解析】 因为y＝sin x在(0°，90°)上单调递增，a＝sin 58°，b＝sin 121°＝sin (180°－59°)＝sin 59°，所以b>a>0.又c＝sin 260°<0，所以b>a>c.
3．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为( D )
A．ymax＝3，x＝
B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
D．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
【解析】 由题意得，当sin x＝－1，即x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝3.
4． 对于函数f(x)＝ax3＋b sin x＋c(a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值去计算f(－1)和f(1)的值，所得出的正确结果可能是( ABD )
A．2和6 B．3和9
C．4和11 D．5和13
【解析】 设F(x)＝f(x)－c＝ax3＋b sin x，
∵F(－x)＝a(－x)3＋b sin (－x)＝－(ax3＋b sin x)＝－F(x)，∴F(x)是奇函数，∴F(－1)＝－F(1).
又F(－1)＝f(－1)－c，F(1)＝f(1)－c，
∴f(－1)－c＝－f(1)＋c，∴f(1)＋f(－1)＝2c.
由c∈Z知f(1)＋f(－1)为偶数，故A，B，D有可能正确，而4与11的和15为奇数，C不可能正确，因此选ABD.
5．已知函数f(x)＝cos ，x∈R．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)当x∈时，方程f(x)＝a恰有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝cos ，
∴函数f(x)的周期T＝＝π.
令－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)易知f(x)＝cos 在区间上单调递增，在区间上单调递减．
∵f＝0，f＝，f＝－1，
∴当a∈[0，)时，方程f(x)＝a恰有两个不同的实数根．
7(共21张PPT)
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质
5．4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 周期性与奇偶性
[课程目标] 1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义，会求常
见三角函数的周期；
2.通过图象直观理解奇偶性，能够确定图象的对称轴
和对称中心．
知识点 周期函数
1．周期函数的概念
条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个
_ ___常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且__ __
结论 函数f(x)叫做__ __，__ __叫做这个函数的__ __
非零
f(x＋T)＝f(x)
周期函数
非零常数T
周期
[研读]并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一；如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．
2．最小正周期的概念
条件 周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的___ _
结论 这个最小__ __叫做f(x)的最小正周期
正数
正数
3．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 y＝sin x y＝cos x
周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期 __ __ _ ___
奇偶性 __ __ __ __
2π
2π
奇函数
偶函数
【思辨】
×
√
×
×
例1 求下列函数的周期．
例2 判断下列函数的奇偶性．
判断下列函数的奇偶性．
例3
D
1
D
B
C
4π
5．函数f(x)＝sin x＋cos 2x的一个周期是____．(答案不唯一)
【解析】 因为f(x＋2π)
＝sin (2π＋x)＋cos (2x＋4π)
＝sin x＋cos 2x
＝f(x)，
所以2π是函数的一个周期．
2π第1课时 周期性与奇偶性
[课程目标] 1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义，会求常见三角函数的周期；2.通过图象直观理解奇偶性，能够确定图象的对称轴和对称中心．
知识点 周期函数
1．周期函数的概念
条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个__非零__常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且__f(x＋T)＝f(x)__
结论 函数f(x)叫做__周期函数__，__非零常数T__叫做这个函数的__周期__
[研读]并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一；如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．
2．最小正周期的概念
条件 周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的__正数__
结论 这个最小__正数__叫做f(x)的最小正周期
3．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 y＝sin x y＝cos x
周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期 __2π__ __2π__
奇偶性 __奇函数__ __偶函数__
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)由于sin ＝sin ，则是正弦函数y＝sin x 的一个周期．( × )
(2)若T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N*)也是函数f(x)的周期．( √ )
(3)函数y＝sin 是奇函数．( × )
(4)函数y＝－cos 是偶函数．( × )
【解析】 (1)因为sin ≠sin x，所以不是正弦函数y＝sin x的一个周期．
(3)y＝sin ＝cos x，且cos ＝cos x，
所以是偶函数．
(4)y＝－cos ＝sin x，
且sin ＝－sin x，
所以是奇函数．
求下列函数的周期．
(1)f(x)＝sin ； (2)f(x)＝|cos x|.
解：(1)方法一：因为f(x)＝sin ＝sin ＝sin ＝f，
即f＝f(x)，所以f(x)＝sin 的周期为.
方法二：因为f(x)＝sin ，ω＝4，
所以函数f(x)＝sin 的周期为T＝＝.
(2)作出函数f(x)＝|cos x|的图象如图所示，由图可知，函数f(x)＝|cos x|的周期为π.
活学活用
已知函数y＝ sin x＋ |sin x|.
(1)画出该函数的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其周期．
解：(1)y＝ sin x＋ |sin x|
＝ 画出函数图象如图所示．
(2)由图象知该函数是周期函数，周期是2π.
[规律方法]
求三角函数周期的方法：
(1)定义法．
(2)公式法：y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω>0)，则周期T＝.
(3)图象法．
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝3sin ；
(2)f(x)＝x2cos .
解：(1)函数f(x)＝3sin 的定义域为R．
因为f(x)＝3sin ＝－3sin
＝－3sin ＝－3cos 3x，
所以f(－x)＝－3cos (－3x)＝－3cos 3x＝f(x)，
所以f(x)＝3sin 是偶函数．
(2)f(x)＝x2cos 的定义域为R．
因为f(x)＝x2cos ＝x2sin x，
f(－x)＝－x2sin x＝－f(x).
所以f(x)＝x2cos 是奇函数．
活学活用
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝cos 2x；
(2)f(x)＝sin ；
(3)f(x)＝x cos x.
解：(1)因为x∈R，f(－x)＝cos (－2x)＝cos 2x＝f(x)，
所以f(x)＝cos 2x是偶函数．
(2)因为x∈R，f(x)＝sin ＝－cos ，所以f(－x)＝
－cos ＝－cos ＝f(x)，所以函数f(x)＝sin 是偶函数．
(3)因为x∈R，f(－x)＝－x·cos (－x)＝－x·cos x＝－f(x)，
所以f(x)＝x cos x是奇函数．
定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f等于( D )
A．－ B． C．－ D．
【解析】 f＝f＝f＝f＝f＝f＝sin ＝.
活学活用
若函数f(x)是以为周期的偶函数，且f＝1，则f＝__1__．
【解析】 因为函数f(x)是以为周期的偶函数，
所以f＝f＝f＝f＝1，
所以f＝1.
1．下列函数中，周期为的是( D )
A．y＝sin x B．y＝sin 2x
C．y＝cos D．y＝cos 4x
【解析】 y＝cos 4x的周期是.
2．函数f(x)＝( B )
A．是奇函数
B．是非奇非偶函数
C．是偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
【解析】 因为1＋sin x≠0，所以sin x≠－1，即x≠－＋2kπ，k∈Z，故f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数．
3．若函数y＝sin (x＋φ)是偶函数，则φ可以是( C )
A．0 B．π C． D．
【解析】 当φ＝时，y＝sin (x＋φ)＝cos x，此时函数是偶函数．
4．已知函数f(x)＝cos ，则f(x)的最小正周期是__4π__．
【解析】 由f(x)＝cos ，得T＝＝4π.
5．函数f(x)＝sin x＋cos 2x的一个周期是__2π__．(答案不唯一)
【解析】 因为f(x＋2π)＝sin (2π＋x)＋cos (2x＋4π)＝sin x＋cos 2x＝f(x)，所以2π是函数的一个周期．
5(共26张PPT)
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质
5．4.3 正切函数的性质与图象
[课程目标] 1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的
性质；
2.能利用正切函数的图象和性质解决有关问题．
知识点 正切函数y＝tan x的性质与图象
R
奇函数
[研读]正切函数无单调递减区间，在每一个单调区间内都是单调递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间．
【思辨】判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)正切函数的定义域和值域都是R．( )
(2)正切函数在整个定义域上是增函数．( )
(3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( )
(4)正切函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形．
( )
×
×
√
×
例1 (1)函数y＝ 的值域是( )
A．(－1，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(－1，＋∞)
B
【解析】 ∵－1≤cos x≤1，
且函数y＝tan x在[－1，1]上单调递增，
∴tan (－1)≤tan x≤tan 1，即－tan 1≤tan x≤tan 1.
C
2．求下列函数的定义域．
(1)y＝tan ；(2)y＝ln (tan x).
例2
C
B
例3 (1)函数y＝tan 的单调递增区间
是____________________________.
(2)函数y＝tan 的单调递减区间
是_______________________________.
函数y＝tan 的单调递减区间
是__________________________________．
例4 比较tan 与tan 的大小．
比较tan 1，tan 2，tan 3，tan 4的大小．
B
2．下列区间能使函数f(x)＝tan (x－1)单调递增的是( )
A．(－1，2) B．(0，2)
C．(0，3) D．(1，3)
B
3．函数f(x)＝cos ＋tan x为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
【解析】 因为f(x)＝sin x＋tan x，故选A.
4．函数y＝tan x在[0，α ]上的值域是[0， ]，则α＝______．
A正切函数的性质与图象
[课程目标] 1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质；2.能利用正切函数的图象和性质解决有关问题．
知识点 正切函数y＝tan x的性质与图象
y＝tan x
图象
定义域 ____
值域 __R__
周期 π
奇偶性 __奇函数__
单调性 在每一个区间__(k∈Z)__ 上都单调递增
对称 中心 __，k∈Z__
[研读]正切函数无单调递减区间，在每一个单调区间内都是单调递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)正切函数的定义域和值域都是R．( × )
(2)正切函数在整个定义域上是增函数．( × )
(3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( √ )
(4)正切函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形．( × )
【解析】 (1)正切函数的定义域是，值域为R．
(2)正切函数在每一个区间(k∈Z)上都单调递增，但在整个定义域上不单调．
(3)由图象可知，正切函数在定义域内无最大值和最小值．
(4)正切函数的图象是中心对称图形，不是轴对称图形．
(1)函数y＝的值域是( B )
A．(－1，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(－1，＋∞)
【解析】 因为－＜x＜且x≠0，所以－1＜tan x＜1且tan x≠0，
所以∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故选B.
(2)求下列函数的定义域．
①y＝；②y＝lg (－tan x).
解：①要使函数y＝有意义，需满足
所以该函数的定义域为
.
②因为－tan x>0，所以tan x<.
又因为tan x＝时，x＝＋kπ(k∈Z)，
根据正切函数图象，得kπ－＜x＜kπ＋(k∈Z)，
所以该函数的定义域是.
活学活用
1．函数y＝tan (cos x)的值域是( C )
A． B．
C．[－tan 1，tan 1] D．以上均不对
【解析】 ∵－1≤cos x≤1，且函数y＝tan x在[－1，1]上单调递增，∴tan (－1)≤tan x≤tan 1，即－tan 1≤tan x≤tan 1.
2．求下列函数的定义域．
(1)y＝tan ；(2)y＝ln (tan x).
解：(1)由6x＋≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z)，
故该函数的定义域为.
(2)由题意得
即
故该函数的定义域为(k∈Z).
关于函数y＝tan ，下列说法正确的是( C )
A．是奇函数
B．在区间上单调递减
C．为函数图象的一个对称中心
D．周期为π
【解析】 令f(x)＝tan .选项A中，f(－x)＝tan ＝－tan ≠－f(x)，所以函数y＝tan 不是奇函数，故选项A错误；选项B中，由正切函数的图象知，y＝tan 没有单调递减区间，故选项B错误；选项C中，因为f＝tan 0＝0，故为图象的一个对称中心，故选项C正确；选项D中，y＝tan 的周期T＝，故选项D错误．
活学活用
函数y＝3tan 2x的图象的对称中心为( B )
A．(k∈Z) B．(k∈Z)
C．(k∈Z) D．(kπ，0)(k∈Z)
【解析】 令2x＝(k∈Z)，得x＝(k∈Z)，则函数y＝3tan 2x的图象的对称中心为(k∈Z).
[规律方法]
与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性、对称性问题：
(1)一般地，函数y＝A tan (ωx＋φ)(ω>0)的周期为T＝，常常利用此公式来求周期．
(2)若函数y＝A tan (ωx＋φ)为奇函数，则φ＝(k∈Z)，否则为非奇非偶函数．
(3)正切曲线只有对称中心，没有对称轴．
(1)函数y＝tan 的单调递增区间是__，k∈Z__.
(2)函数y＝tan 的单调递减区间是__，k∈Z__.
【解析】 (1)令kπ－＜2x＋＜kπ＋，k∈Z，
解得－(2)y＝tan ＝－tan ，
由kπ－得2kπ－因为y＝tan 的单调递增区间是(k∈Z)，
所以函数y＝tan 的单调递减区间是(k∈Z).
活学活用
函数y＝tan 的单调递减区间是__(k∈Z)__．
【解析】 y＝tan ＝－tan .
由kπ－＜－＜kπ＋(k∈Z)，
得4kπ－＜x＜4kπ＋(k∈Z).
因为y＝tan 在(k∈Z)上单调递增，
所以y＝tan 在(k∈Z)上单调递减．
比较tan 与tan 的大小．
解：因为tan ＝－tan ，
tan ＝－tan .
又0＜＜＜，y＝tan x在上单调递增，
所以tan ＞tan ，所以－tan ＜－tan ，
即tan ＜tan .
活学活用
比较tan 1，tan 2，tan 3，tan 4的大小．
解：因为函数y＝tan x在上单调递增，且tan 1＝tan ，又<2<3<4<π＋1<，所以tan 21．函数y＝tan 的最小正周期是( B )
A．4π B．2π
C．π D．
【解析】 由T＝＝2π，故选B.
2．下列区间能使函数f(x)＝tan (x－1)单调递增的是( B )
A．(－1，2) B．(0，2)
C．(0，3) D．(1，3)
【解析】 由kπ－得kπ－即f(x)在上单调递增．
因为(0，2)，k∈Z，故选B.
3．函数f(x)＝cos ＋tan x为( A )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
【解析】 因为f＝sin x＋tan x，故选A.
4．函数y＝tan x在[0，α]上的值域是[0，]，则α＝____．
【解析】 因为y＝tan x在[0，α]上单调递增，则tan α＝，所以α＝.
5．不等式tan ≥的解集为____．
【解析】 由题可得kπ＋≤2x＋6
