(共30张PPT)
第五章 三角函数
5.5 三角恒等变换
5．5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
[课程目标] 1.能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式、
两角和与差的正弦公式，能由两角和与差的正余弦
公式推导出两角和与差的正切公式，了解它们之间
的内在联系；
2.能够利用两角和与差的正弦公式、余弦公式、正切
公式进行计算与求值．
知识点一 两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式
名称 公式 简记符号 使用条件
两角和
的余弦
公式 cos (α＋β)＝
__ __ C(α＋β) α，β是任意角
两角和
的正弦
公式 sin (α＋β)＝
_ ___ S(α＋β) α，β是任意角
两角差
的正弦
公式 sin (α－β)＝
__ __ S(α－β) α，β是任意角
cos αcos β－sin αsin β
sin αcos β＋cos αsin β
sin αcos β－cos αsin β
[研读]这三组公式都是从两角差的余弦公式推导得到的，注意公式之间的联系，记忆才会深刻牢固．
【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( )
(2)存在α，β∈R，使得sin (α－β)＝sin α－sin β成立.( )
(3)对于任意α，β∈R，sin (α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．
( )
(4)sin 78°cos 18°－cos 78°sin 18°＝ .( )
√
√
×
√
知识点二 两角和与差的正切公式
[研读]在两角和与差的正切公式中，角α，β，α＋β，α－β 均不等于kπ＋(k∈Z)，这是由正切函数的定义域决定的．
名称 公式 简记符号 使用条件
两角和
的正切
公式 tan (α＋β)＝
__ __ T(α＋β) α，β，α＋β ≠kπ＋(k∈Z)，且tan α·tan β≠1
两角差
的正切
公式 tan (α－β)＝
__ __ T(α－β) α，β，α－β ≠kπ＋(k∈Z)，且tan α·tan β ≠－1
【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)存在α，β∈R，使tan (α＋β)＝tan α＋tan β成立．( )
(2)对任意α，β∈R，tan (α＋β)＝ 都成立.( )
(3)tan 可以使用公式tan (α＋β)＝
求值．( )
(4) ＝tan 128°.( )
√
×
×
√
例1 求下列各式的值．
(1)sin 50°cos 170°－cos 50°sin 170°；
(2)sin 20°sin 40°－cos 20°cos 40°；
(3)tan 105°.
求下列各式的值．
(1)cos 345°；
(2)tan 15°＋tan 75°.
例2
例3
化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于____．
1
例4
A
2． 的值等于( )
A．tan 42° B．tan 3°
C．1 D．tan 24°
A
ABC
5．在△ABC中，若tan A，tan B是方程6x2－5x＋1＝0的两
根，则C＝____．第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
[课程目标] 1.能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式，能由两角和与差的正余弦公式推导出两角和与差的正切公式，了解它们之间的内在联系；2.能够利用两角和与差的正弦公式、余弦公式、正切公式进行计算与求值．
知识点一 两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式
名称 公式 简记符号 使用条件
两角和 的余弦 公式 cos (α＋β)＝__cos__αcos__β－sin____αsin____β__ C(α＋β) α，β是任意角
两角和 的正弦 公式 sin (α＋β)＝__sin__αcos__β＋cos____αsin____β__ S(α＋β) α，β是任意角
两角差 的正弦 公式 sin (α－β)＝__sin__αcos__β－cos____αsin____β__ S(α－β) α，β是任意角
[研读]这三组公式都是从两角差的余弦公式推导得到的，注意公式之间的联系，记忆才会深刻牢固．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( √ )
(2)存在α，β∈R，使得sin (α－β)＝sin α－sin β成立.( √ )
(3)对于任意α，β∈R，sin (α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( × )
(4)sin 78°cos 18°－cos 78°sin 18°＝.( √ )
【解析】 (2)如取α∈R，β＝0，等式成立．
(3)存在α，β∈R，使得sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立，如取α∈R，β＝0.
(4)sin 78°cos 18°－cos 78°sin 18°＝sin (78°－18°)＝sin 60°＝.
知识点二 两角和与差的正切公式
名称 公式 简记符号 使用条件
两角和 的正切 公式 tan (α＋β)＝ ____ T(α＋β) α，β，α＋β ≠kπ＋(k∈Z)，且tan α·tan β≠1
两角差 的正切 公式 tan (α－β)＝ ____ T(α－β) α，β，α－β ≠kπ＋(k∈Z)，且tan α·tan β ≠－1
[研读]在两角和与差的正切公式中，角α，β，α＋β，α－β 均不等于kπ＋(k∈Z)，这是由正切函数的定义域决定的．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)存在α，β∈R，使tan (α＋β)＝tan α＋tan β成立．( √ )
(2)对任意α，β∈R，tan (α＋β)＝都成立.( × )
(3)tan 可以使用公式tan (α＋β)＝ 求值．( × )
(4)＝tan 128°.( √ )
【解析】 (2)α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)，tan αtan β≠1.
(3)tan 没有意义．
求下列各式的值．
(1)sin 50°cos 170°－cos 50°sin 170°；
(2)sin 20°sin 40°－cos 20°cos 40°；
(3)tan 105°.
解： (1)sin 50°cos 170°－cos 50°sin 170°＝sin (50°－170°)
＝－sin 120°＝－.
(2)sin 20°sin 40°－cos 20°cos 40°＝－(cos 20°cos 40°－sin 20°·sin 40°)＝－cos (20°＋40°)＝－cos 60°＝－.
(3)tan 105°＝tan (60°＋45°)＝＝＝－2－.
活学活用
求下列各式的值．
(1)cos 345°；
(2)tan 15°＋tan 75°.
解：(1)cos 345°＝cos (360°－15°)＝cos 15°＝cos (45°－30°)
＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝.
(2)tan 15°＋tan 75°＝tan (45°－30°)＋tan (45°＋30°)
＝＋＝＋＝4.
已知sin α＝，cos β＝－，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin (α＋β)和sin (α－β)的值．
解：因为α为第一象限角，β为第二象限角，
sin α＝，cos β＝－，所以cos α＝，sin β＝，
所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝，
sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－.
活学活用
已知<β<α<，cos (α－β)＝，sin (α＋β)＝－，求cos 2α与cos 2β的值．
解：因为<β<α<，所以0<α－β<，π<α＋β<.
又cos (α－β)＝，sin (α＋β)＝－，
所以sin (α－β)＝＝，
cos(α＋β)＝－＝－.
所以cos2α＝cos [(α＋β)＋(α－β)]
＝cos (α＋β)cos (α－β)－sin (α＋β)sin (α－β)
＝×－×＝－，
cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝
cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β)
＝×＋×＝－.
已知＝3，tan (α－β)＝2，则tan (β－2α)＝____．
【解析】 由题意知＝＝3，
则tan α＝2.因为tan (α－β)＝2，所以tan (β－α)＝－2，
故tan (β－2α)＝tan [(β－α)－α]＝
＝＝.
活学活用
化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于__1__．
【解析】 原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 20°＋tan 10°)
＝tan 10°tan 20°＋tan (20°＋10°)(1－tan 20°tan 10°)
＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°＝1.
[规律方法]
将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的代换方法就是角的代换．常见的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]＝[(α＋β)－(β－α)]，＝－，α＋β＝(2α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)等．
已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角，求α＋β的值．
解：因为α和β均为钝角，sin α＝，sin β＝，
所以cos α＝－＝－，
cosβ＝－＝－.
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝－×－×＝.
由α和β均为钝角，得π＜α＋β＜2π，
所以α＋β＝.
活学活用
如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
求：(1)tan (α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．
解：由条件得cos α＝，cos β＝.
∵α，β为锐角，
∴sin α＝＝，sinβ＝＝.
因此tanα＝＝7，tan β＝＝.
(1)tan (α＋β)＝＝＝－3.
(2)tan (α＋2β)＝tan [β＋(α＋β)]＝
＝＝－1.
∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝.
[规律方法]
给值求角问题的解题策略：
(1)解答此类题目的步骤：第一步，确定角所在的范围；第二步，求角的某一个三角函数值；第三步，根据角的取值范围写出所求的角．至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内．
(2)选择求角的三角函数值的方法：若角的取值范围是，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围是，则选正弦函数；若角的取值范围是(0，π)，则选余弦函数．
1．在△ABC中，A＝ ，cos B＝ ，则sin C等于( A )
A． B．－
C． D．－
【解析】 由题意得，sin A＝cos A＝ ，sin B＝ ，
所以sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝ × ＋ × ＝ .
2．的值等于( A )
A．tan 42° B．tan 3°
C．1 D．tan 24°
【解析】 ∵tan 60°＝，∴原式＝＝
tan (60°－18°)＝tan 42°.
3． 下列式子结果为的有( ABC )
A．tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°
B．2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)
C．
D．
【解析】 对于A，利用正切的变形公式可得原式＝；对于B，原式＝2sin 60°＝；对于C，原式＝＝tan 60°＝；对于D，原式＝＝tan 30°＝，故选ABC.
4．若cos α＝－，sin β＝－，α∈，β∈，则sin (α＋β)的值为____，cos (α＋β)的值为____．
【解析】 ∵cos α＝－，α∈，
∴sin α＝＝.
∵sinβ＝－，β∈，∴cos β＝＝，
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝，cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.
5．在△ABC中，若tan A，tan B是方程6x2－5x＋1＝0的两根，则C＝____．
【解析】 由题意得tan A＋tan B＝，tan A tan B＝，
∴tan (A＋B)＝＝＝1.
又A＋B＋C＝π，∴tan C＝－tan (A＋B)＝－1，∴C＝.
7(共25张PPT)
第五章 三角函数
5．5 三角恒等变换
5．5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
[课程目标] 1.能由两角和的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的
正弦、余弦、正切公式；
2.能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换并能灵
活地将公式变形运用．
知识点 二倍角的正弦、余弦和正切公式
2sin αcos α
cos2α－sin2α
2cos2α－1
1－2sin2α
[研读]在两角和的正弦、余弦、正切公式中，令β＝α，即得二倍角的正弦、余弦、正切公式．
【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)二倍角的正弦、余弦公式的适用范围是任意角．( )
(2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( )
(3)对任意角α，总有tan 2α＝ .( )
(4) ( )
√
√
×
×
例1 求下列各式的值．
求下列各式的值．
例2
[规律方法]
(1)化简三角函数式的常用方法：
①切化弦；②异名化同名；③异角化同角；④高次降低次．
(2)化简三角函数式的常用技巧：
①特殊角的三角函数与特殊值的互化；
②对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公
因式的提取公因式后进行约分；
③对于二次根式，注意二倍角公式的逆用；
④利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等；
⑤利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等．
例3
[规律方法]
解决给值求值问题的方法：寻找已知式与未知式之间的联
系；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常
见角的变换和角之间的二倍关系．
1．计算cos275°－sin275°等于( )
C
A
D第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
[课程目标] 1.能由两角和的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式；2.能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．
知识点 二倍角的正弦、余弦和正切公式
名称 公式 简记 符号 使用条件
二倍角的 正弦公式 sin 2α＝__2sin__αcos__α__ S2α α是任意角
二倍角的 余弦公式 cos 2α＝__cos2α－sin2α__＝__2cos2α－1__ ＝__1－2sin2α__ C2α α是任意角
二倍角的 正切公式 tan2α＝____ T2α α≠kπ＋且α≠＋(k∈Z)
[研读]在两角和的正弦、余弦、正切公式中，令β＝α，即得二倍角的正弦、余弦、正切公式．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)二倍角的正弦、余弦公式的适用范围是任意角．( √ )
(2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( √ )
(3)对任意角α，总有tan 2α＝.( × )
(4)sin2－cos2＝.( × )
【解析】(1)二倍角的正弦、余弦公式中，角的取值范围是任意实数．
(2)取α＝kπ(k∈Z)，则等式成立．
(3)在二倍角的正切公式中，α≠kπ＋且α≠＋(k∈Z).
(4)sin2－cos2＝－＝－cos＝－.
求下列各式的值．
(1)2cos2930°－1；(2)；
(3)2sincos cos .
解：(1)2cos2930°－1＝cos (2×930°)＝cos (5×360°＋60°)
＝cos 60°＝.
(2)＝tan(2×75°)＝tan (180°－30°)＝－tan 30°＝－.
(3)2sin cos cos ＝sin cos
＝sin cos ＝sin ＝sin ＝.
活学活用
求下列各式的值．
(1)sin sin ；(2)cos275°－cos215°；
(3).
解：(1)sinsin ＝sin sin ＝sin cos ＝
sin ＝sin ＝.
(2)cos275°－cos215°＝cos2(90°－15°)－cos215°
＝sin215°－cos215°＝－cos(2×15°)＝－cos 30°＝－.
(3)＝×＝tan(2×255°)
＝tan 510°＝tan (360°＋150°)
＝tan 150°＝－.
化简：.
解：原式＝
＝
＝
＝.
活学活用
化简：(1)－；
(2).
解：(1)原式＝＝＝tan2θ.
(2)原式＝＝＝＝＝1.
[规律方法]
(1)化简三角函数式的常用方法：
①切化弦；②异名化同名；③异角化同角；④高次降低次．
(2)化简三角函数式的常用技巧：
①特殊角的三角函数与特殊值的互化；
②对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分；
③对于二次根式，注意二倍角公式的逆用；
④利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等；
⑤利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等．
已知cos ＝，≤α<，求cos 2α和sin 2α的值．
解：因为≤α<，所以≤α＋<，π≤2α<3π.
又因为cos ＝>0，
所以sin ＝－＝－，
所以cos2α＝sin ＝2sin cos ＝
2××＝－，
sin 2α＝－cos ＝1－2cos2＝1－2×＝.
活学活用
已知sin sin ＝，θ∈，求tan 4θ的值.
解：因为sin sin ＝sin ·sin
＝sin cos ＝sin ＝，
所以cos 2θ＝.因为θ∈，所以2θ∈(0，π)，则sin 2θ＝，
所以tan 2θ＝＝，
所以tan 4θ＝＝＝－4.
[规律方法]
解决给值求值问题的方法：寻找已知式与未知式之间的联系；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
1．计算cos275°－sin275°等于( C )
A． B．
C．－ D．
【解析】cos275°－sin275°＝cos150°＝－.
2．cos sin 等于( A )
A． B．
C． D．
【解析】 cos sin ＝×2cos sin
＝sin ＝sin ＝ .
3．的值是( D )
A．sin 2 B．－cos 2
C．－sin 2 D．－cos 2
【解析】 原式＝＝
＝－cos2.
4．＝____．
【解析】＝＝3tan (2×15°)＝3tan 30°＝.
5．已知函数f(x)＝2cos ，x∈R．
(1)求f(π)的值；
(2)若f＝，α∈，求f(2α)的值．
解：(1)f(π)＝2cos ＝－2cos ＝－2×＝－.
(2)因为f＝2cos ＝－2sin α＝，
所以sin α＝－.又α∈，
所以cos α＝＝＝，
所以sin2α＝2sin αcos α＝2××＝－，
cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝，
所以f(2α)＝2cos
＝2cos 2αcos ＋2sin 2αsin
＝2××＋2××＝.
5(共24张PPT)
第五章 三角函数
5.5 三角恒等变换
5．5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时 两角差的余弦公式
[课程目标] 1.了解两角差的余弦公式的推导过程；
2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利
用该公式进行求值、计算．
知识点 两角差的余弦公式
[研读]由C(α－β)可知，只要知道cos α，cos β，sin α，sin β 的值，就可以求得cos (α－β)的值．
公式 cos (α－β)＝
__ __
简记符号 C(α－β)
使用条件 α，β是任意角
cos αcos β＋sin αsin β
【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)cos (60°－20°)＝cos 60°－cos 20°. ( )
(2)存在某些实数α，β，能使cos (α－β)＝cos α－cos β成
立. ( )
(3)对任意α，β∈R，cos (α－β)＝cos αcos β＋sin α·sin β 都成
立． ( )
(4)cos 136°cos 16°＋sin 136°sin 16°＝－ . ( )
×
√
√
√
例1
C
sin 4°cos 20°＋sin 86°cos 70°等于( )
B
[规律方法]
利用公式C(α－β)求值的方法技巧：在利用两角差的余弦公
式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊
角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差)，再用
公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造
出两角差的余弦公式的结构形式，正确地使用公式或逆用公式
求值．
例2
[规律方法]
给值求值的解题策略：
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要
注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵
活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β； ②α＝ ；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)； ④2β＝(α＋β)－(α－β).
例3
[规律方法]
解答已知三角函数值求角这类题目，关键在于合理运用公
式并结合角的范围，对所求的解进行取舍，其关键环节有两
个：一是求出所求角的某种三角函数值，二是确定角的范围，
然后结合三角函数图象易求出角的值．
1．cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°等于( )
B
A
B
4．若sin αsin β＝1，则cos (α－β)的值为( )
A．0 B．1
C．±1 D．－1
B第1课时 两角差的余弦公式
[课程目标] 1.了解两角差的余弦公式的推导过程；2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．
知识点 两角差的余弦公式
公式 cos (α－β)＝__cos__αcos__β＋sin__αsin__β__
简记符号 C(α－β)
使用条件 α，β是任意角
[研读]由C(α－β)可知，只要知道cos α，cos β，sin α，sin β 的值，就可以求得cos (α－β)的值．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)cos (60°－20°)＝cos 60°－cos 20°.( × )
(2)存在某些实数α，β，能使cos (α－β)＝cos α－cos β成立.( √ )
(3)对任意α，β∈R，cos (α－β)＝cos αcos β＋sin α·sin β 都成立．( √ )
(4)cos 136°cos 16°＋sin 136°sin 16°＝－.( √ )
【解析】 (1)cos (60°－20°)＝cos 60°cos 20°＋sin 60°sin 20°.
(2)取α＝0，β＝时，等式成立．
cos 165°等于( C )
A．－
B．－
C．－
D．－
【解析】 cos 165°＝cos (180°－15°)＝－cos 15°
＝－cos (60°－45°)＝－cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45°＝－×－×＝－.
活学活用
sin 4°cos 20°＋sin 86°cos 70°等于( B )
A．cos 16° B．cos 66°
C． D．
【解析】 sin 4°cos 20°＋sin 86°cos 70°＝cos 86°cos 20°＋sin 86°·sin 20°＝cos (86°－20°)＝cos 66°.
[规律方法]
利用公式C(α－β)求值的方法技巧：在利用两角差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差)，再用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地使用公式或逆用公式求值．
若sin (π＋α)＝－，α是第二象限角，sin ＝－，β是第三象限角，则cos (α－β)的值是____．
【解析】 因为sin (π＋α)＝－sin α＝－，所以sin α＝.又α是第二象限角，所以cos α＝－.因为sin ＝cos β＝－，且β为第三象限角，所以sin β＝－，所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
活学活用
设cos ＝－，sin ＝，其中α∈，β∈，则cos ＝____．
【解析】 因为α∈，β∈，
所以α－∈，－β∈.
又因为cos ＝－，sin ＝，
所以sin ＝＝，
cos＝＝＝，
所以cos＝cos
＝cos cos ＋sin sin
＝－×＋×＝.
[规律方法]
给值求值的解题策略：
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β).
已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，则α－β的值是__－__．
【解析】 因为α，β均为锐角，
所以sin α＝，sin β＝，
所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×＝.
又因为sin α所以－<α－β<0，所以α－β＝－.
活学活用
已知cos (α－β)＝－，cos (α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，则角β的值是____．
【解析】 由α－β∈，且cos (α－β)＝－，
得sin (α－β)＝.
由α＋β∈，且cos (α＋β)＝，得sin (α＋β)＝－.
cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]
＝cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β)
＝×＋×＝－1.
又因为α＋β∈，α－β∈，所以2β∈，
所以2β＝π，则β＝.
[规律方法]
解答已知三角函数值求角这类题目，关键在于合理运用公式并结合角的范围，对所求的解进行取舍，其关键环节有两个：一是求出所求角的某种三角函数值，二是确定角的范围，然后结合三角函数图象易求出角的值．
1．cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°等于( B )
A．cos 100° B．
C． D．
【解析】 cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos (80°－20°)＝.
2．若α，β都是锐角，且cos α＝，sin β＝，则cos (α－β)＝( A )
A． B．
C．或－ D．或
【解析】 由α，β都是锐角，且cos α＝， sin β＝，
得sin α＝，cos β＝，
∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝.
3．已知sin －cos sin ＝cos cos ，则锐角θ等于( B )
A． B．
C． D．
【解析】 sin ＝cos cos ＋cos sin ＝cos cos ＋sin sin ＝cos ＝，因为θ为锐角，所以θ－＝，得θ＝.
4．若sin αsin β＝1，则cos (α－β)的值为( B )
A．0 B．1
C．±1 D．－1
【解析】 因为sin αsin β＝1，－1≤sin α≤1，
－1≤sin β≤1，
所以或
解得
于是cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1.
5．已知cos ＝，则cos α＋sin α的值为____．
【解析】 由cos ＝cos cos α＋sin sin α＝ cos α＋sin α＝.
5(共24张PPT)
第五章 三角函数
5．5 三角恒等变换
5．5.2 简单的三角恒等变换
第2课时 辅助角公式及三角函数公式的综合应用
[课程目标] 掌握辅助角公式，能利用三角恒等变换对三角函数式
进行化简、求值，并能进行一些简单的应用．
知识点 辅助角公式
【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)y＝sin x＋cos x的最大值为2.( )
(2)y＝ cos x＋sin x＝2sin .( )
(3)y＝3sin x－4cos x的最小值为－5.( )
(4)y＝sin x－ cos x的值域是 .( )
×
√
√
√
例1
2π
例2
例3 如图所示，四边形ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是一半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平 地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P 在 上，相邻两边CQ，CR分别落在正方形的边BC， CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值．
如图，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C，D为半圆上的点．
(1)请你确定点C的位置，使△ABC的周长最大，并说明理由；
(2)已知AD＝DC，设∠ABD＝θ，当θ为何值时，四边形ABCD的周长最大？并求出最大值．
C
B
3．函数f(x)＝sin2x＋sinx cos x＋1的最小正周期是( )
B
4．要把半径为R的半圆形木料截成长方形，则长方形的截面面
积的最大值是_______．
R2第2课时 辅助角公式及三角函数公式的综合应用
[课程目标] 掌握辅助角公式，能利用三角恒等变换对三角函数式进行化简、求值，并能进行一些简单的应用．
知识点 辅助角公式
1．y＝a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)，其中cos φ＝____，sin φ＝____，tan φ＝____.
2．y＝a sin x＋b cos x＝cos (x－φ)，其中sin φ＝____，cos φ＝____，tan φ＝____.
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)y＝sin x＋cos x的最大值为2.( × )
(2)y＝cos x＋sin x＝2sin .( √ )
(3)y＝3sin x－4cos x的最小值为－5.( √ )
(4)y＝sin x－cos x的值域是.( √ )
【解析】 (1)y＝sin x＋cos x＝sin ，最大值为.
(2)y＝cos x＋sin x＝2＝2sin .
(3)y＝3sin x－4cos x＝5＝5sin (x－θ)，其中sin θ＝，cos θ＝，
当x＝2kπ－＋θ，k∈Z时，函数取得最小值－5.
(4)y＝sin x－cos x＝sin (x－θ)，其中sin θ＝，cos θ＝，函数的值域是.
y＝3sin x＋3cos x的周期是__2π__，最大值是__6__．
【解析】 y＝3sin x＋3cos x＝3(sin x＋cos x)＝6＝6sin ，
所以函数的周期T＝2π，最大值为6.
活学活用
化简：sin ＋cos .
解：原式＝
＝
＝sin ＝sin .
已知函数f(x)＝2a sin ωx cos ωx＋2cos2ωx－(a>0，ω>0)的最大值为2，设x1，x2是函数f(x)的任意两个零点，|x1－x2|的最小值为.
(1)求a，ω的值；
(2)若f(α)＝，求sin的值．
解：(1)f(x)＝a sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin (2ωx＋φ)，
其中tan φ＝，由题意知 ＝2，a>0，则a＝1.
因为|x1－x2|的最小值为，所以f(x)的周期为π，
则＝π，解得ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝2sin .
由f(α)＝知，2sin ＝，
即sin ＝，
所以sin ＝sin ＝－cos
＝－1＋2sin2＝－1＋2×＝－.
活学活用
已知函数f(x)＝sin x(2cos x－sin x)＋cos2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若<α<，且f(α)＝－，求sin2α的值．
解：(1)因为f(x)＝sin x(2cos x－sin x)＋cos2x
＝sin2x－sin2x＋cos2x＝sin2x＋cos 2x＝sin ，
所以函数f(x)的周期是π.
(2)f(α)＝－，即sin ＝－，
则sin ＝－.
因为＜α＜，所以＜2α＋＜，
所以cos ＝－，
所以sin 2α＝sin
＝sin －cos
＝×－×＝.
如图所示，四边形ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是一半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在上，相邻两边CQ，CR分别落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值．
例3题图
例3题答图
解：如图所示，连接AP，设∠PAB＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP交AB于点M，则AM＝90cos θ，MP＝90sin θ，
所以PQ＝MB＝100－90cos θ，
PR＝MR－MP＝100－90sin θ，
所以S矩形PQCR＝PQ·PR＝(100－90cos θ)·(100－90sin θ)＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ.
令t＝sin θ＋cos θ，t∈[1，]，则sin θcos θ＝，
所以S矩形PQCR＝10 000－9 000t＋8 100×
＝4 050＋950.
故当t＝时，S矩形PQCR的最小值为950 m2；
当t＝时，S矩形PQCR的最大值为(14 050－9 000)m2.
活学活用
如图，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C，D为半圆上的点．
(1)请你确定点C的位置，使△ABC的周长最大，并说明理由；
(2)已知AD＝DC，设∠ABD＝θ，当θ为何值时，四边形ABCD的周长最大？并求出最大值．
活学活用图
活学活用答图
解：(1)如图，当C在半圆中点位置时， △ABC的周长最大．理由如下：
因为点C在半圆上，且AB是圆的直径，
所以∠ACB＝，即△ABC是直角三角形．
设BC＝a，AC＝b，∠ABC＝α，又AB＝2，则a＝2cos α，b＝2sin α，
△ABC的周长＝a＋b＋2＝2cos α＋2sin α＋2＝2(cos α＋sin α)＋2
＝2sin ＋2.
因为0<α<，所以<α＋<，
所以当α＋＝，即α＝时， △ABC的周长取得最大值2＋2，
此时C是半圆的中点．
(2)因为AD＝DC，所以∠ABD＝∠DBC＝θ，
所以AD＝DC＝AB sin θ＝2sin θ，CB＝AB cos 2θ＝2cos 2θ.
设四边形ABCD的周长为p，
则p＝AD＋DC＋CB＋AB
＝4sin θ＋2cos 2θ＋2＝4sin θ＋2(1－2sin2θ)＋2
＝5－4.
显然θ∈，所以当θ＝时，p取得最大值5.
1．sin x－cos x等于( C )
A．2sin
B．sin
C．2sin
D．sin
【解析】 sin x－cos x＝2＝2sin .
2．函数y＝sin cos x的最大值为( B )
A． B．
C．1 D．
【解析】 y＝sin cos x＝sin x cos cos x－
cos x sin cos x＝sin x cos x－cos2x＝sin2x－·＝sin 2x－－cos 2x＝sin －，
∴ymax＝－＝.
3．函数f(x)＝sin2x＋sinx cos x＋1的最小正周期是( B )
A．2π B．π
C． D．
【解析】 由题意得f(x)＝sin ＋，
所以最小正周期T＝π.
4．要把半径为R的半圆形木料截成长方形，则长方形的截面面积的最大值是__R2__．
【解析】 如图所示，设圆心为O，长方形的截面面积为S，∠AOB＝α，
则AB＝R sin α，OB＝R cos α，
S＝R sin α·2R cos α＝2R2sin αcos α＝R2sin 2α.
当sin 2α取到最大值，即sin 2α＝1时，长方形的截面面积最大．
此时α＝，长方形的截面面积的最大值为R2.
5．在△ABC中，若cos A＝，则sin2＋cos2A等于__－__．
【解析】 在△ABC中，＝－，所以sin2＋
cos2A＝sin2＋cos2A＝cos2＋cos2A＝＋2cos2A－1＝＋2×－1＝＋－1＝－.
7(共21张PPT)
第五章 三角函数
5．5 三角恒等变换
5．5.2 简单的三角恒等变换
第1课时 半角公式与三角恒等式的证明
[课程目标] 1.能由二倍角公式推导半角公式；
2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒
等变换的基本思想方法，能够证明三角恒等式．
知识点 半角公式
【思辨】
√
×
×
×
例1
2
例2
例3
即sin A＋sin C＋sin A cos C＋cos A sin C＝3sin B，
∴sin A＋sin C＋sin (A＋C)＝3sin B，
∴sin A＋sin C＋sin (π－B)＝3sin B，
即sin A＋sin C＋sin B＝3sin B，
∴sin A＋sin C＝2sin B．
C
A
D
2
－5
3
cos 2a=1-2sin2 a
2
c0s2=
2c0s2a-1
以a代替2a,以号代替a
cos a=
1-2sin2
O
cos a=
2c0s2
2
-1
2
a
sin
=
-cos o
a
1+cos o
2
cos
2
2
sin a
1-cos a
1-c0s
a
tan
2-
tan
1+cos a
sin a
2
1+cos a第1课时 半角公式与三角恒等式的证明
[课程目标] 1.能由二倍角公式推导半角公式；2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能够证明三角恒等式．
知识点 半角公式
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)tan ＝，只需满足α≠2kπ＋π(k∈Z).( √ )
(2) α∈R，sin ≠sin α.( × )
(3)sin 15°＝±.( × )
(4)＝tan 135°.( × )
【解析】 (2) α∈R，sin ＝sin α，如α＝2kπ(k∈Z).
(3)sin 15°＝.
(4)＝－tan 135°.
已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，则cos 的值是____．
【解析】 因为α为钝角，β为锐角，sin α＝，
sin β＝，所以cos α＝－，cos β＝，
所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×＝.
因为<α<π，且0<β<，所以0<α－β<π，
得0<<，
所以cos ＝＝＝.
活学活用
已知sin θ＝，<θ<3π，则sin ＝__－__，tan ＝__2__．
【解析】 因为sin θ＝，<θ<3π，
所以cos θ＝－＝－.又因为<<，
所以sin＝－＝－，tan ＝＝2.
已知α∈，化简.
解：＝.
因为α∈，所以∈，
所以原式＝＝－
＝－＝－
＝－sin .
活学活用
化简：.
解：原式＝＝
＝2sin αcos α＝sin 2α.
求证：tan －tan ＝.
证明：左边＝tan －tan ＝－
＝
＝＝
＝＝＝右边．
所以原等式成立．
活学活用
已知A，B，C为△ABC的三个内角，sin A cos2＋sinC cos2＝sinB，求证：sin A＋sin C＝2sin B.
证明：由sin A cos2＋sinC cos2＝sinB，
得sin A·＋sin C·＝sin B，
即sin A＋sin C＋sin A cos C＋cos A sin C＝3sin B，
∴sin A＋sin C＋sin (A＋C)＝3sin B，
∴sin A＋sin C＋sin (π－B)＝3sin B，
即sin A＋sin C＋sin B＝3sin B，
∴sin A＋sin C＝2sin B．
1．若锐角α满足cos α＝，则tan 等于( C )
A． B． C． D．
【解析】 因为α为锐角，所以
tan ＝＝＝.
2．若cos α＝，且α∈(0，π)，则cos 的值为( A )
A． B．－ C．± D．
【解析】 因为α∈(0，π)，所以∈，
所以cos ＝＝＝.
3．若<θ<π，则－＝( D )
A．2sin －cos B．cos －2sin
C．cos D．－cos
【解析】 ∵<θ<π，∴<<，
∴sin >cos >0.
∵1－sin θ＝sin2＋cos2－2sincos ＝，
(1－cos θ)＝sin2，
∴－＝－＝sin－cos －sin ＝－cos .
4．已知sin －cos ＝－，450°<α<540°，则tan 的值为__2__.
【解析】 由题意得＝，即1－sin α＝，∴sin α＝.∵450°<α<540°，∴cos α＝－，
∴tan ＝＝＝2.
5．函数f(x)＝4sin ＋cos x的最大值为__3__，最小值为__－5__．
【解析】 f(x)＝4sin ＋cos x＝4sin ＋1－2sin2＝－2＋3，当sin ＝－1时，ymin＝－5；当sin ＝1时，ymax＝3.
5
