(共21张PPT)
第五章 三角函数
5．6 函数y＝A sin (ωx＋φ)
5．6.2 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
第2课时 函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质
[课程目标] 掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象和性质，并能解决
有关问题．
知识点 函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的有关性质
R
【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)函数y＝sin (ωx＋φ)(ω≠0)的值域为 .( )
(2)函数y＝A sin (ωx＋φ)，x∈R的最大值为A.( )
(3)函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象既是中心对称图形也是轴对称图形．( )
(4)函数y＝ 的图象的相邻对称轴之间的距离
是 .( )
[研读]函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质受参数A，ω，φ的取值和符号的影响．
√
×
√
√
例1
B
[规律方法]
给出y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的
方法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第
一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第
一零点”)求得φ或选取最值点求得φ.
已知函数f(x)＝
的图象如图所示，则函数f(x)图象的对称中心的坐标可以为
_____________．
(答案不唯一)
例2 已知函数 .求：
(1)f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)f(x)图象的对称轴方程和对称中心；
(3)f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合．
设函数f(x)＝2sin ，若对任意x∈R都有
f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为____．
【解析】 由题意得|x1－x2|的最小值为函数的半个周期，即为2.
2
1．若函数y＝A sin (ωx＋φ)＋1(A>0，ω>0)的最小值为－3，
则A等于( )
A．5 B．－5
C．4 D．－4
【解析】 依题意可知，A＝4.
C
2．已知函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象如图所示，
f＝ ，则f(0)＝( )
C
3．若函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的图象如图
所示，则下列有关f(x)性质的描述正确的是( )
B第2课时 函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质
[课程目标] 掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象和性质，并能解决有关问题．
知识点 函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的有关性质
定义域 __R__
值域 __[－A，A]__
周期 ____
对称中心 __(k∈Z)__
对称轴 x＝＋(k∈Z)
奇偶性 当φ＝__kπ(k∈Z)__时是奇函数 当φ＝__kπ＋(k∈Z)__时是偶函数
单调性 由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递增区间 由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递减区间
[研读]函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质受参数A，ω，φ的取值和符号的影响．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)函数y＝sin (ωx＋φ)(ω≠0)的值域为[－，].( √ )
(2)函数y＝A sin (ωx＋φ)，x∈R的最大值为A.( × )
(3)函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象既是中心对称图形也是轴对称图形．( √ )
(4)函数y＝sin 的图象的相邻对称轴之间的距离是.( √ )
函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象如图所示，则f的值为( B )
A． B．1
C． D．
【解析】 根据图象可得A＝2，＝－＝，即T＝π，得ω＝＝2，所以y＝2sin (2x＋φ)，
又f(x)的图象过点，所以2＝2sin ，
即2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ＋，k∈Z，
又因为|φ|<，所以φ＝，f(x)＝2sin ，
所以f＝2sin ＝2sin ＝1.
[规律方法]
给出y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最值点求得φ.
活学活用
已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B的图象如图所示，则函数f(x)图象的对称中心的坐标可以为____．(答案不唯一)
【解析】 由题图可知A＝＝2，B＝＝1，T＝2＝π，所以ω＝2，故f(x)＝2sin (2x＋φ)＋1.
由×2＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，且|φ|<，得φ＝，
故f(x)＝2sin ＋1.
令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，当k＝0时，x＝－.
所以函数f(x)图象的一个对称中心的坐标可以为.
已知函数f(x)＝sin ＋.求：
(1)f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)f(x)图象的对称轴方程和对称中心；
(3)f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合．
解：(1)函数f(x)的周期为T＝＝π，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
所以f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).
令2x＋＝kπ(k∈Z)，则x＝－(k∈Z)，
所以f(x)图象的对称中心为(k∈Z).
(3)当sin ＝－1时，f(x)取得最小值，
即2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，
所以x＝－＋kπ(k∈Z)，所以f(x)min＝×(－1)＋＝，
所以f(x)的最小值为，此时x的取值集合是.
活学活用
设函数f(x)＝2sin ，若对任意x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为__2__．
【解析】 由题意得|x1－x2|的最小值为函数的半个周期，即为2.
1．若函数y＝A sin (ωx＋φ)＋1(A>0，ω>0)的最小值为－3，则A等于( C )
A．5 B．－5 C．4 D．－4
【解析】 依题意可知，A＝4.
2．已知函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象如图所示， f＝－，则f(0)＝( C )
A．－ B．－ C． D．
【解析】 由题图可知函数f(x)的周期为，故ω＝3.将代入解析式，得π＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
所以φ＝－＋2(k－1)π(k∈Z).令φ＝－，代入解析式，
得f(x)＝A cos ，
又f＝－A cos ＝－，故A＝.
所以f(0)＝cos ＝cos ＝，故选C.
3．若函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，则下列有关f(x)性质的描述正确的是( B )
A．(k∈Z)为其单调递减区间
B．f(x)的图象向左平移个单位长度后对应的函数为偶函数
C．φ＝
D．x＝＋kπ(k∈Z)为其图象的对称轴方程
【解析】 由题图可知，函数的最小值为－1，∴A＝1.
∵＝－＝，∴T＝π，∴ω＝＝2，
∴f(x)＝sin (2x＋φ).又函数图象过点，
∴sin ＝－1.∵0<φ<π，∴φ＝，
∴f(x)＝sin ，
其单调递减区间为，k∈Z，
对称轴方程为x＝＋(k∈Z),
f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的解析式为g(x)＝cos 2x，是偶函数．
故选B.
4．函数f(x)＝sin 的图象的对称轴方程是__x＝kπ＋(k∈Z)__．
【解析】 由x－＝kπ＋(k∈Z)，得
x＝kπ＋(k∈Z)为函数f(x)图象的对称轴方程．
5．函数f(x)＝sin 的单调递减区间是__，k∈Z__．
【解析】 由2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，得＋≤x≤＋，k∈Z．所以函数f(x)的单调递减区间是，k∈Z．
5(共28张PPT)
第五章 三角函数
5.6 函数y＝A sin (ωx＋φ)
5．6.1 匀速圆周运动的数学模型
5．6.2 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
第1课时 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
[课程目标] 1.会用“五点法”作出函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象；
2.理解A，ω，φ对y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响；
3.掌握y＝sin x与y＝A sin (ωx＋φ)图象间的变换关
系，并能通过图象变换作出函数y＝A sin (ωx＋φ)
的图象．
知识点 A，ω，φ对y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
1．φ对函数y＝sin (x＋φ)，x∈R图象的影响
2．ω(ω＞0)对y＝sin (ωx＋φ)图象的影响
左
右
缩短
伸长
3．A(A＞0)对y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
[研读]A影响y轴方向上的伸缩，ω影响周期，φ影响x轴方向上的平移．
伸长
缩短
【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)由函数y＝sin 的图象得到y＝sin x的图象，必须向左平移 个单位长度．( )
(2)把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝sin 3x的图象．( )
(3)利用图象变换作图时，“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度是一致的．( )
(4)函数y＝sin 的图象向右平移 个单位长度后所得
图象与函数y＝－cos x重合．( )
×
×
×
√
例1
已知函数f(x)＝3sin ，x∈R．
(1)列表并画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(2)将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？
[规律方法]
用“五点法”作函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)图象的步骤．
第一步：列表：
第二步：在同一坐标系中描出各点；
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
例2 函数y＝sin 的图象是由y＝sin 3x的图象经过怎
样的变换得到的？
C
[规律方法]
(1)已知两函数解析式，判断其图象间的平移关系时，要将异名
三角函数化为同名三角函数；
(2)若x的系数不为1，应提取系数确定平移的单位和方向，方向
遵循左加右减．
例3
A
【迁移探究】说明y＝2sin ＋1的图象是由y＝sin x 的
图象经过怎样变换得到的．
[规律方法]
由 函 数 y ＝ sin x的图象通过变换得到函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤：
D
B
A
4．将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
(纵坐标不变)，得到____________的图象．
y＝sin 4x第1课时 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
[课程目标] 1.会用“五点法”作出函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象；2.理解A，ω，φ对y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响；3.掌握y＝sin x与y＝A sin (ωx＋φ)图象间的变换关系，并能通过图象变换作出函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象．
知识点 A，ω，φ对y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
1．φ对函数y＝sin (x＋φ)，x∈R图象的影响
2．ω(ω＞0)对y＝sin (ωx＋φ)图象的影响
3．A(A＞0)对y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
[研读]A影响y轴方向上的伸缩，ω影响周期，φ影响x轴方向上的平移．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)由函数y＝sin 的图象得到y＝sin x的图象，必须向左平移个单位长度．( × )
(2)把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝sin 3x的图象．( × )
(3)利用图象变换作图时，“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度是一致的．( × )
(4)函数y＝sin 的图象向右平移个单位长度后所得图象与函数y＝－cos x重合．( √ )
【解析】 (1)由函数y＝sin 的图象得到y＝sin x的图象，可以向右平移个单位长度．
(2)把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝sin x的图象．
(3)利用图象变换作图时，“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度不一定是一致的．当ω＝1时，是一致的，当ω≠1时，是不一致的．
(4)函数y＝sin 的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数是y＝sin .因为y＝sin ＝－cos x，所以此说法正确．
用“五点法”作出函数y＝sin 在一个周期上的简图．
解：函数y＝sin 的周期T＝6π.列表：
x－ 0 π 2π
x π 4π 7π
y 0 0 － 0
描点、连线，函数y＝sin 在一个周期[π，7π]上的图象如图所示．
活学活用
已知函数f(x)＝3sin ，x∈R．
(1)列表并画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(2)将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？
解：(1)函数f(x)的周期T＝＝4π.
列表如下：
x－ 0 π 2π
x
3sin 0 3 0 －3 0
描点、连线，得到一个周期的简图．图象如下：
(2)先把y＝sin x的图象向右平移个单位长度，然后把所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变)，得到f(x)的图象．
[规律方法]
用“五点法”作函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)图象的步骤．
第一步：列表：
ωx＋φ 0 π 2π
x － － － － －
f(x) 0 A 0 －A 0
第二步：在同一坐标系中描出各点；
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
函数y＝sin 的图象是由y＝sin 3x的图象经过怎样的变换得到的？
解：y＝sin ＝sin ，所以y＝sin 的图象可以看作是把y＝sin 3x图象上所有点向右平移个单位长度得到的．
活学活用
若要得到y＝cos 的图象，只要将y＝sin 2x的图象( C )
A．向左平移 个单位长度
B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度
D．向右平移 个单位长度
【解析】 y＝sin 2x＝cos ＝cos ，又y＝cos ＝cos ，所以将y＝sin 2x的图象上所有点向左平移个单位长度，即可得到函数y＝cos 的图象．
[规律方法]
(1)已知两函数解析式，判断其图象间的平移关系时，要将异名三角函数化为同名三角函数；
(2)若x的系数不为1，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减．
将函数y＝sin 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)而得到的函数解析式为__y＝sin____．
【解析】 将函数y＝sin 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，则周期变为原来的，所以得到的函数解析式为y＝sin .
活学活用
为了得到函数g(x)＝cos 的图象，只需将函数f(x)＝sin 图象上所有点的( A )
A．横坐标缩短到原来的
B．横坐标伸长到原来的倍
C．横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度
D．横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度
【解析】 由题可得f(x)＝sin ＝sin ＝cos ，故只需将其图象上所有点的横坐标缩短到原来的，即可得到函数g(x)＝cos 的图象，故选A.
【迁移探究】说明y＝2sin ＋1的图象是由y＝sin x 的图象经过怎样变换得到的．
解：方法一(先伸缩后平移)：将y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象；将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin 的图象；将y＝sin 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y＝2sin 的图象；再将y＝2sin 的图象向上平移1个单位长度，得到函数y＝2sin ＋1的图象．
方法二(先平移后伸缩)：将y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin 的图象；将y＝sin 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin 的图象；将y＝sin 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y＝2sin 的图象；再将y＝2sin 的图象向上平移1个单位长度，得到函数y＝2sin ＋1的图象．
[规律方法]
由函数y＝sin x的图象通过变换得到函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤：
1．将函数y＝sin 的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数是( D )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin x
【解析】 将函数y＝sin 的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数是y＝sin x．
2．将函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)，则所得图象对应的函数为( B )
A．y＝sin x
B．y＝sin x
C．y＝sin x
D．y＝sin x
【解析】 将函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，则所得图象对应的函数是y＝sin x．
3．已知函数f(x)＝cos (ω＞0)的相邻两个零点的距离为，要得到y＝f(x)的图象，只需把y＝cos ωx的图象( A )
A．向右平移个单位
B．向左平移个单位
C．向右平移个单位
D．向左平移个单位
【解析】 由已知得＝2×，故ω＝2，y＝cos 2x向右平移个单位可得y＝cos ＝cos 的图象．
4．将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到__y＝sin__4x__的图象．
【解析】 将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin 4x的图象．
5．将函数y＝sin 的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，则所得的图象对应的函数解析式是__y＝sin____．
【解析】 y＝sin 的图象向右平移个单位长度得到y＝sin ＝sin 的图象，再将y＝sin 的图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)得到y＝sin 的图象，故所得的图象对应的函数解析式是y＝sin .
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