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第五章 三角函数
5.7 三角函数的应用
[课程目标] 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题；
2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模
型．
知识点一 三角函数的应用
1．三角函数模型的作用
三角函数作为描述现实世界中_____________的一种数学模
型，可以用来研究很多问题，在刻画___________规律、预
测其未来等方面发挥重要作用．
2．用函数模型解决实际问题的一般步骤：
收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模
型―→检验．
周期现象
周期变化
知识点二 函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)中参数的物理
意义
A
例1电流强度I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的关系式是I＝A sin (ωt＋φ) .
(1)若I＝A sin (ωt＋φ)在一个周期内的图象如图所示，试根据图象写出I＝A sin (ωt＋φ)的解析式；
(2)为了使I＝A sin (ωt＋φ)中的t在任意一个 s的时间段内电流强度I能同时取得最大值与最小值，那么正整数ω的最小值是多少？
[规律方法]
三角函数处理物理学问题的策略：
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共
同的特点是具有周期性；
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等
概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
C
例2 某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：时)的函数，下面是水深数据：
根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数模型y＝A sin ωt＋B的图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出y＝A sin ωt＋B的解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)
通常情况下，同一地区一天的气温随时间变化的曲线接近于函数f(t)＝A sin (ωt＋φ)＋b的图象.2020年12月下旬某地区连续几天最高气温都出现在14时，最高气温为14℃；最低气温出现在凌晨2时，最低气温为零下2℃.
(1)请推理该地区该时段的气温函数f(t)＝A sin (ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，t∈[0，24))的解析式；
(2)23日上午9时某高中将举行阶段性考试，如果此时气温低于10℃(不考虑室内外的温差)，教师就要开空调，请问开始考试时应该开空调吗？
B
2．智能主动降噪耳机的工作原理是：通过耳机两端的噪声采
集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相
等的反向的波抵消噪音(如图).已知某噪音的声波曲线y＝A
sin (ωx＋φ) 的振幅为1，周期为2π，
初相为0，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线
为( )
A．y＝sin x
B．y＝cos x
C．y＝－sin x
D．y＝－cos x
C
3．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速
旋转，12秒旋转一周．已知当时间t＝0时，点A的坐标是
，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：
秒)的函数的单调递增区间是( )
A．[0，1]
B．[1，7]
C．[7，12]
D．[0，1]和[7，12]
D三角函数的应用
[课程目标] 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题；2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
知识点一 三角函数的应用
1．三角函数模型的作用
三角函数作为描述现实世界中__周期现象__的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画__周期变化__规律、预测其未来等方面发挥重要作用．
2．用函数模型解决实际问题的一般步骤：
收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验．
知识点二 函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)中参数的物理意义
电流强度I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的关系式是I＝A sin (ωt＋φ).
(1)若I＝A sin (ωt＋φ)在一个周期内的图象如图所示，试根据图象写出I＝A sin (ωt＋φ)的解析式；
(2)为了使I＝A sin (ωt＋φ)中的t在任意一个s的时间段内电流强度I能同时取得最大值与最小值，那么正整数ω的最小值是多少？
解：(1)由图象知A＝300.
因为T＝－＝，所以ω＝＝100π，
所以I＝300sin (100πt＋φ).
将代入解析式，得－＋φ＝2kπ，k∈Z，
所以φ＝＋2kπ，k∈Z．
因为|φ|<，所以φ＝，
所以I＝300sin .
(2)由题意，知≤，所以ω≥200π，
所以正整数ω的最小值为629.
[规律方法]
三角函数处理物理学问题的策略：
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性；
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
活学活用
如图所示，单摆离开平衡位置O的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s＝6sin ，则单摆在摆动时，从最右边到最左边的时间为( C )
A．2 s
B．1 s
C．s
D．s
【解析】 由题意知周期T＝＝1(s)，从最右边到最左边的时间是半个周期，为s.
某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：时)的函数，下面是水深数据：
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数模型y＝A sin ωt＋B的图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出y＝A sin ωt＋B的解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)
解：(1)从拟合的曲线可知，函数y＝A sin ωt＋B的一个周期为12小时，因此ω＝＝.
又ymin＝7，ymax＝13，
所以A＝(ymax－ymin)＝3，B＝(ymax＋ymin)＝10，
所以此函数的解析式为y＝3sin t＋10 (0≤t≤24).
(2)由题意，得水深y≥4.5＋7，
即y＝3sin t＋10≥11.5，t∈[0，24]，
所以sin t≥，t∈，k＝0，1，
所以t∈[1，5]或t∈[13，17]，
所以该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港．
若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时.
活学活用
通常情况下，同一地区一天的气温随时间变化的曲线接近于函数f(t)＝A sin (ωt＋φ)＋b的图象.2020年12月下旬某地区连续几天最高气温都出现在14时，最高气温为14℃；最低气温出现在凌晨2时，最低气温为零下2℃.
(1)请推理该地区该时段的气温函数f(t)＝A sin (ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，t∈[0，24))的解析式；
(2)23日上午9时某高中将举行阶段性考试，如果此时气温低于10℃(不考虑室内外的温差)，教师就要开空调，请问开始考试时应该开空调吗？
解：(1)题意得，A＝×[14－(－2)]＝8，b＝×[14＋(－2)]＝6，
由T＝24得ω＝＝，
所以f(t)＝8sin ＋6.
又 f(2)＝8sin ＋6＝－2，
即sin ＝－1，故＋φ＝－＋2kπ，k∈Z．
又|φ|<π，所以φ＝－，
所以函数解析式为f(t)＝8sin ＋6.
(2)当t＝9时，y＝8sin ＋6<8sin ＋6＝10，气温低于10℃，
满足开空调的条件，所以应该开空调．
1．函数y＝sin 的周期、振幅、初相分别是( B )
A．3π，，
B．6π，，
C．3π，3，－
D．6π，2，
【解析】 振幅A＝，周期T＝6π，初相φ＝.
2．智能主动降噪耳机的工作原理是：通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向的波抵消噪音(如图).已知某噪音的声波曲线y＝A sin (ωx＋φ)的振幅为1，周期为2π，初相为0，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为( C )
A．y＝sin x
B．y＝cos x
C．y＝－sin x
D．y＝－cos x
【解析】 由某噪音的声波曲线y＝A sin (ωx＋φ)的振幅为1，周期为2π，初相为0，知声波曲线：y＝sin x，通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为y＝－sin x．
3．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知当时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( D )
A．[0，1]
B．[1，7]
C．[7，12]
D．[0，1]和[7，12]
【解析】 由已知可得该函数的周期T＝12，∴ω＝＝.
又∵当t＝0时，A，∴y＝sin ，t∈[0，12].
可解得函数的单调递增区间是[0，1]和[7，12].
4．电流I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的关系式是I＝3sin ，则当t＝时，电流为____A．
【解析】 I＝3sin ＝3sin ＝3cos ＝.
5．国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝A sin ＋60(美元)(A>0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150天时达到最低油价，则ω的最小值为____．
【解析】 因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：
P＝A sin ＋60，最高油价80美元，
所以A＝20.当t＝150(天)时达到最低油价，
即sin ＝－1，
此时150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z．
因为ω>0，所以令k＝1，
得150ωπ＋＝2π－，解得ω＝，
故ω的最小值为.
6
