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第一章 集合与常用逻辑用语
1.2 集合间的基本关系
[课程目标] 1.理解集合之间的包含与相等的含义，能识别出集合
的子集，在具体情境中，了解空集的含义；
2.能使用Venn图表达集合间的关系，体会图形对理解
抽象概念的作用．
知识点一 子集、真子集及集合相等的概念
类别 文字语言 图形语言 符号表示
子集 集合A中____________元素都是集合B中的元素，就称集合____为集合____的子集 ______
或________
真子集 如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集 __________
或_________
集合
相等 如果集合A是集合B的________(A B)，且集合B是集合A的_______(B A)，则称集合A和集合B相等 __________
A B
任意一个
A
B
B A
子集
子集
A＝B
[研读] “A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.
【思辨】判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)若a∈A，则{a} A. ( )
(2)若A B或B A，则A＝B. ( )
(3)如果集合B A，那么若元素a不属于A，则必不属于
B. ( )
(4)已知集合M＝{长方形}，N＝{正方形}，则有N M.
( )
√
×
√
√
【解析】 (1)根据子集的含义知，若a∈A，则{a} A.
(2)根据集合相等的概念知，当A B且B A时，A＝B.
(3)因为B是A的子集，所以不属于A的元素一定不属于B.
(4)正方形是长方形的特殊情况，所以N M.
知识点二 空集
[研读] 不能把“A B”理解为“A是B中部分元素组成的
集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B.
定义 我们把______________的集合叫做空集
记法
规定 空集是任何集合的_________，即 A
特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，
(2)若A≠ ，则 _______A
不含任何元素
子集
【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)空集没有子集．( )
(2)空集是任何集合的真子集．( )
(3) ∈{0}．( )
(4)集合{x|x<3且x>4}是空集．( )
(5)若A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集．( )
×
×
×
√
√
【解析】 (1)空集的子集是它本身．
(2)空集是空集的子集，但不是真子集．
(3) {0}．
(4)集合{x|x<3且x>4}中没有元素．
(5)显然集合A中的元素都是集合C中的元素，所以集合A是集合C的子集．
例1 (1)在以下写法中，正确的个数为( )
①0＝{0}； ②0∈{0}； ③0 {0}； ④0＝ ； ⑤0∈ ；
⑥0 ； ⑦ ＝{0} ；⑧ ∈{0}； ⑨ {0}．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
B
(2)用适当的符号填空．
①a____{a，b，c}；
②0____{x|x2＝0}；
③{0，1}____N；
④{0}____{x|x2＝x}；
⑤ ____ {x∈R|x2＋1＝0}；
⑥{2，1}____{x|x2－3x＋2＝0}．
∈
∈
＝
＝
[规律方法]
判断集合间关系的常用方法
1．列举观察法：当集合中元素较少时，可列出集合中的全部
元素，通过定义得出集合之间的关系．
2．集合元素特征法：首先确定集合的代表元素，弄清集合元
素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．一般地，设
A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A B；
②若由q(x)可推出p(x)，则B A；③若p(x)，q(x)可互相推
出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，
则集合A，B无包含关系．
3．数形结合法：利用Venn图、数轴和平面直角坐标系等图示
形象直观地判断集合间的关系．一般地，判断不等式的解
集之间的关系，适合画出数轴．
能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是( )
【解析】 解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，
易得N?M，其对应的Venn图如选项B所示．
B
例2 已知P＝ ，Q＝{x|x＝4m±1，
m∈Z}，求证：P＝Q.
证明：一方面：任取x∈P，则存在m∈Z使得x＝2m＋1，
当m＝2k(k∈Z)时，x＝4k＋1∈Q；
当m＝2k－1(k∈Z)时，x＝4k－1∈Q，
从而x∈Q，所以P Q.
另一方面：任取x∈Q，当x＝4m＋1，m∈Z时，x＝2(2m)＋1∈P；
当x＝4m－1，m∈Z时，x＝2(2m－1)＋1∈P，从而x∈P，
所以Q P.综上可得：P＝Q.
例3 设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．
解：由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，
解方程得x＝－4或x＝－1或x＝4.
故集合A＝{－4，－1，4}．
由0个元素构成的子集为： ；
由1个元素构成的子集为：{－4}，{－1}，{4}；
由2个元素构成的子集为：{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}；
由3个元素构成的子集为：{－4，－1，4}．
因此集合A的子集为： ，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，
{－4，4}，{－1，4}，{－4，－1，4}．
真子集为： ，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，
{－1，4}.
[规律方法]
1．集合子集的确定问题．
(1)确定所求集合．
(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按
元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合．
(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．
2．与子集、真子集个数有关的三个结论．
假设集合A中含有n个元素，则有：
(1)A的子集的个数为2n.
(2)A的真子集的个数为2n－1.
(3)A的非空真子集的个数为2n－2.
已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A且a≠b}，
则B的子集个数是( )
A．4 B．8
C．16 D．15
【解析】 由B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A且a≠b}，
得B＝{3，4，5}，所以B的子集有： ，{3}，{4}，{5}，{3，4}，
{3，5}，{4，5}，{3，4，5}，共8个．
B
【迁移探究】已知非空集合P满足：①P {1, 2, 3, 4, 5} ，
②若a∈P，则(6 –a )∈P.符合上述条件的非空集合P有多少个？并写出这些集合．
例4 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}， 若A B，求实数m的取值范围．
[规律方法]
由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
(1)不能忽视集合为 的情形．
(2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．
(3)对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．
【迁移探究1】 本例中若将“A B”改为“B A”，其他条件不变，求m的取值范围．
【迁移探究2】 本例中若将“A＝{x|－2≤x≤5}”改为
“A＝{x|x＜－2或x＞5}”，若B A，求实数m的取值范围．
已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}．若A是B的真子集，
则a的取值范围是____________；若B是A的子集，则a的取值
范围是____________．
【解析】 若A是B的真子集，即A B，则a>2，
即a的取值范围是{a|a＞2}．
若B是A的子集，即B A，则a≤2，即a的取值范围是{a|a≤2}．
{a|a＞2}
{a|a≤2}
1．若集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0，1，2}，则P与T的关
系为( )
A．P＝T B．P T
C．P T D．P T
【解析】 由x2－1＝0，得x＝±1，所以P＝{－1，1}．因此
P T.故选D.
D
2．若集合A＝{－1，0，1}，则A的子集中含有元素0的子集共
有( )
A．2个 B．4个
C．6个 D．8个
【解析】 集合A含有0的子集分别是{0}，
{－1，0}，{0，1}，{－1，0，1}，共4个．故选B.
B
3．下列说法中正确的是( )
①若A B，则A B； ②若A B，则A B；
③若A＝B，则A B； ④若A B，则A＝B.
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③④
C
【解析】 ②不正确，如{1，2} {1，2}，但{1，2} {1，2}
不成立；④不正确，如{1} {1，2}，但二者不相等．
①③正确．故选C.
4．集合A＝{x|0≤x<4，且x∈N}的真子集的个数是( )
A．16 B．8
C．15 D．4
【解析】 A＝{x|0≤x<4，且x∈N}＝{0，1，2，3}，
故其真子集有24－1＝15(个).
5．设集合A＝{x|－1
取值范围为________．
【解析】 画出数轴可得a≥3.
C
a≥3集合间的基本关系
[课程目标] 1.理解集合之间的包含与相等的含义，能识别出集合的子集，在具体情境中，了解空集的含义；2.能使用Venn图表达集合间的关系，体会图形对理解抽象概念的作用．
知识点一 子集、真子集及集合相等的概念
类别 文字语言 图形语言 符号表示
子集 集合A中__任意一个__元素都是集合B中的元素，就称集合__A__为集合__B__的子集 __A B__ 或__B A__
真子集 如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集 __AB__ 或__BA__
集合 相等 如果集合A是集合B的__子集__(A B)，且集合B是集合A的__子集__(B A)，则称集合A和集合B相等 __A＝B__
[研读] “A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)若a∈A，则{a} A.( √ )
(2)若A B或B A，则A＝B.( × )
(3)如果集合B A，那么若元素a不属于A，则必不属于B.( √ )
(4)已知集合M＝{长方形}，N＝{正方形}，则有N M.( √ )
【解析】 (1)根据子集的含义知，若a∈A，则{a} A.
(2)根据集合相等的概念知，当A B且B A时，A＝B.
(3)因为B是A的子集，所以不属于A的元素一定不属于B.
(4)正方形是长方形的特殊情况，所以N M.
知识点二 空集
定义 我们把__不含任何元素__的集合叫做空集
记法
规定 空集是任何集合的__子集__，即 A
特性 (1)空集只有一个子集，即它本身， (2)若A≠ ，则 ____A
[研读] 不能把“A B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B.
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)空集没有子集．( × )
(2)空集是任何集合的真子集．( × )
(3) ∈{0}．( × )
(4)集合{x|x<3且x>4}是空集．( √ )
(5)若A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集．( √ )
【解析】 (1)空集的子集是它本身．
(2)空集是空集的子集，但不是真子集．
(3) {0}．
(4)集合{x|x<3且x>4}中没有元素．
(5)显然集合A中的元素都是集合C中的元素，所以集合A是集合C的子集．
(1)在以下写法中，正确的个数为( B )
①0＝{0}；②0∈{0}；③0 {0}；④0＝ ； ⑤0∈ ；
⑥0 ；⑦ ＝{0} ；⑧ ∈{0}；⑨ {0}．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
(2)用适当的符号填空．
①a__∈__{a，b，c}； ②0__∈__{x|x2＝0}；
③{0，1}____N； ④{0}____{x|x2＝x}；
⑤ __＝__ {x∈R|x2＋1＝0}；
⑥{2，1}__＝__{x|x2－3x＋2＝0}．
[规律方法]
判断集合间关系的常用方法
1．列举观察法：当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系．
2．集合元素特征法：首先确定集合的代表元素，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A B；②若由q(x)可推出p(x)，则B A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系．
3．数形结合法：利用Venn图、数轴和平面直角坐标系等图示形象直观地判断集合间的关系．一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴．
活学活用
能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是( B )
A. B. C. D.
【解析】 解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示．
已知P＝，Q＝{x|x＝4m±1，m∈Z}，求证：P＝Q.
证明：一方面：任取x∈P，则存在m∈Z使得x＝2m＋1，
当m＝2k(k∈Z)时，x＝4k＋1∈Q；
当m＝2k－1(k∈Z)时，x＝4k－1∈Q，
从而x∈Q，所以P Q.
另一方面：任取x∈Q，当x＝4m＋1，m∈Z时，
x＝2(2m)＋1∈P；
当x＝4m－1，m∈Z时，x＝2(2m－1)＋1∈P，从而x∈P，所以Q P.
综上可得：P＝Q.
活学活用
设集合M＝，N＝，P＝，
请探求集合M，N，P之间的关系．
解：由x0∈M x0＝＝＝－∈N MN.
任取x0∈N x0＝－＝＝＝＋∈P N P.
任取x0∈P x0＝＋＝＝＝－∈N P N.
综上可得：MN＝P.
设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．
解：由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，
解方程得x＝－4或x＝－1或x＝4.
故集合A＝{－4，－1，4}．
由0个元素构成的子集为： ；
由1个元素构成的子集为：{－4}，{－1}，{4}；
由2个元素构成的子集为：{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}；
由3个元素构成的子集为：{－4，－1，4}．
因此集合A的子集为： ，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}，{－4，－1，4}．
真子集为： ，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}.
[规律方法]
1．集合子集的确定问题．
(1)确定所求集合．
(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合．
(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．
2．与子集、真子集个数有关的三个结论．
假设集合A中含有n个元素，则有：
(1)A的子集的个数为2n.
(2)A的真子集的个数为2n－1.
(3)A的非空真子集的个数为2n－2.
活学活用
已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A且a≠b}，则B的子集个数是( B )
A．4 B．8 C．16 D．15
【解析】 由B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A且a≠b}，得B＝{3，4，5}，所以B的子集有： ，{3}，{4}，{5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，{3，4，5}，共8个．
【迁移探究】已知非空集合P满足：①P ，②若a∈P，则∈P.符合上述条件的非空集合P有多少个？并写出这些集合．
解：符合条件的非空集合P有7个，分别为，，，，，，.
已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，若A B，求实数m的取值范围．
解：因为A B，
所以解得故3≤m≤4.
所以实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}．
[规律方法]
由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
(1)不能忽视集合为 的情形．
(2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．
(3)对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．
【迁移探究1】 本例中若将“A B”改为“B A”，其他条件不变，求m的取值范围．
解：(1)当B＝ 时，m－6＞2m－1，即m＜－5.
(2)当B≠ 时，由得即m∈ .
故实数m的取值范围是{m|m＜－5}．
【迁移探究2】 本例中若将“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|x＜－2或x＞5}”，若B A，求实数m的取值范围．
解：(1)当B＝ 时，m－6＞2m－1，即m＜－5.
(2)当B≠ 时，由或
得或即m＞11或－5≤m＜－.
综上，实数m的取值范围是.
活学活用
已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}．若A是B的真子集，则a的取值范围是__{a|a＞2}__；若B是A的子集，则a的取值范围是__{a|a≤2}__．
【解析】 若A是B的真子集，即AB，则a>2，
即a的取值范围是{a|a＞2}．
若B是A的子集，即B A，则a≤2，即a的取值范围是{a|a≤2}．
1．若集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0，1，2}，则P与T的关系为( D )
A．P＝T B．PT
C．P T D．PT
【解析】 由x2－1＝0，得x＝±1，所以P＝{－1，1}．因此PT.故选D.
2．若集合A＝{－1，0，1}，则A的子集中含有元素0的子集共有( B )
A．2个 B．4个
C．6个 D．8个
【解析】 集合A含有0的子集分别是{0}，{－1，0}，{0，1}，{－1，0，1}，共4个．故选B.
3．下列说法中正确的是( C )
①若AB，则A B；②若A B，则AB；
③若A＝B，则A B；④若A B，则A＝B.
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③④
【解析】 ②不正确，如{1，2} {1，2}，但{1，2}{1，2}不成立；④不正确，如{1} {1，2}，但二者不相等．①③正确．故选C.
4．集合A＝{x|0≤x<4，且x∈N}的真子集的个数是( C )
A．16 B．8
C．15 D．4
【解析】 A＝{x|0≤x<4，且x∈N}＝{0，1，2，3}，故其真子集有24－1＝15(个).
5．设集合A＝{x|－1【解析】 画出数轴可得a≥3.
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