第1课时 集合的交集、并集
[课程目标] 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集；2.能使用Venn图表达集合间的关系及运算，体会直观图形对理解抽象概念的作用；3.能够利用集合并集与交集的性质解决简单的参数问题．
知识点一 集合的并集
并集的三种语言表示：
① 文字语言：由所有属于集合A__或__属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的__并集__．
② 符号语言：A∪B＝__{x|x∈A，或x∈B}__．
③ 图形语言：如图所示．
[研读](1)两个集合的并集实质上是将这两个集合的元素并在一起组成一个集合，重复的元素只算一次．
(2)对“或”的理解：“x∈A，或x∈B”包含三种情况：x∈A，但x B；x A，但x∈B；x∈A，且x∈B.Venn图表示如下：
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)集合A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．( √ )
(2)A∪ ＝ .( × )
(3)A∪B＝B∪A.( √ )
(4)(A∪B)∪C＝A∪(B∪C).( √ )
(5)若A B，则A∪B＝B.( √ )
【解析】 (1) 当集合A与集合B没有公共元素时，A∪B的元素个数等于集合A与集合B的元素个数和；当集合A与集合B有公共元素时，A∪B的元素个数小于集合A与集合B的元素个数和．
(2)由并集的定义知A∪ ＝A.
(3)(4)由并集的定义知等式成立．
(5)根据Venn图可知A∪B＝B.
知识点二 集合的交集
交集的三种语言表示：
①文字语言：由所有属于集合A__且__属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的__交集__．
②符号语言：A∩B＝__{x|x∈A，且x∈B}__．
③图形语言：如图所示．
[研读](1)两个集合的交集实质上是由这两个集合的相同元素组成的集合．
(2)集合A与B的交集的三种情况用Venn图表示如下：
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)当集合A与B没有公共元素时，则说集合A与B没有交集．( × )
(2)A∩ ＝ .( √ )
(3)A∩B＝B∩A.( √ )
(4)(A∩B)∩C＝A∩(B∩C).( √ )
(5)若A B，则A∩B＝A.( √ )
(6)若A∩B＝A∪B，则A＝B.( √ )
【解析】 (1)当集合A与B没有公共元素时，集合A与B的交集为 ，即A∩B＝ .
(2)(3)(4)由交集的定义知等式成立．
(5)根据Venn图可知A∩B＝A.
(6)若A B，则A∩B＝A，因为A∩B＝A∪B，所以A＝A∪B，则有A B，所以A＝B.
若集合A＝{－1，0，3，4，5}，B＝{1，2，4}，则集合A∪B＝__{－1，0，1，2，3，4，5}__．
【解析】 根据并集的定义知A∪B＝{－1，0，1，2，3，4，5}．
活学活用
已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)·(x－3)＝0}，则集合A∪B等于( C )
A．{－1，2，3} B．{－1，－2，3}
C．{1，－2，3} D．{1，－2，－3}
【解析】 化简集合A，B，得A＝{1，－2}，B＝{－2，3}，所以A∪B＝{1，－2，3}．
已知A＝{x|x≤－2，或x>5}，B＝{x|1
1}__．
【解析】 将x≤－2或x>5及1由并集的定义可知图中阴影部分即为所求，
所以A∪B＝{x|x≤－2，或x>1}．
[规律方法]
此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合．若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．
活学活用
设集合A＝{m|m－2>0}，B＝{m|－1≤m<5}，则A∪B＝__{m|m≥－1}__．
【解析】 A＝{m|m－2>0}＝{m|m>2}，将集合A，B表示在数轴上，如图所示，由图可知A∪B＝{m|m≥－1}．
已知A＝{2，4，6，8，10}，B＝{3，5，8，12}，C＝{6，8}，则A∩B＝____；A∩(B∩C)＝____．
【解析】 依题意，有A∩B＝∩＝；
B∩C＝，所以A∩(B∩C)＝∩＝.
活学活用
设集合A＝{4，5，6，8}，集合B＝{3，5，7，8，9}，则A∩B＝__{5，8}__；(A∪B)∩(A∩B)＝__{5，8}__．
【解析】 A∩B＝{5，8}；A∪B＝{3，4，5，6，7，8，9}，
所以(A∪B)∩(A∩B)＝{5，8}．
已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|≤4，x∈Z}，则A∩B等于( D )
A．(0，2) B．[0，2]
C．{0，2} D．{0，1，2}
【解析】 因为|x|≤2，所以－2≤x≤2，即A＝{x|－2≤x≤2}．因为≤4.所以0≤x≤16.
又因为x∈Z，所以B＝{0，1，2，3，…，16}，
所以A∩B＝{0，1，2}．
[规律方法]
求两个集合交集的一般方法：
(1)明确集合中的元素．
(2)元素个数有限时，利用定义或Venn图求解，元素个数无限时，借助数轴求解．
(3)当所给集合中有一个不确定时，要注意分类讨论，分类的标准取决于已知集合．
活学活用
已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N为( D )
A．x＝3，y＝－1 B．{(3，1)}
C．{3，－1} D．{(3，－1)}
【解析】 若(x，y)∈M∩N，则(x，y)满足 从而有M∩N＝{(3，－1)}．
若A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∩B＝B，则由实数a组成的集合C＝____．
【解析】 由A＝{x|x2－2x－3＝0}，得A＝{－1，3}.因为A∩B＝B，所以B A.当B≠ 时，有B＝{－1}或B＝{3}．当B＝{－1}时，由a×(－1)－2＝0，得a＝－2；当B＝{3}时，由a×3－2＝0，得a＝.
当B＝ 时，方程ax－2＝0无解，得a＝0.故由实数a组成的集合C＝.
[规律方法]
1．在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交集、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A A B，A∪B＝B A B等，解答时应灵活处理．
2．当集合B A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时要考虑B＝ 的情况，切不可漏掉．
【迁移探究1】 本例中将集合A，B改为A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}．将“A∩B＝B”改为“A∪B＝A”，求a的值．
解：因为A＝{1，2}，A∪B＝A，所以B A，
所以B＝ 或B＝{1}或B＝{2}或B＝{1，2}．
当B＝ 时，Δ<0，a不存在；
当B＝{1}时，得a＝2；
当B＝{2}时，a不存在；
当B＝{1，2}时，得a＝3.
综上所述，a＝2或a＝3.
【迁移探究2】已知集合A＝，集合B＝，若A∪B＝B，则实数m的取值范围为__m≥－1__．
【解析】 由A∪B＝B可得A B，
当2m＋1≥m＋2，即m≥1时，B＝R，显然满足A B；
当2m＋1－1≤m<1，
综上，m≥－1.
活学活用
已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋1}，B＝{x|－2≤x≤3}，若A∩B＝A，求实数a的取值范围．
解：因为A∩B＝A，所以A B.
当A＝ 时，2a>a＋1，即a>1，满足A B.
当A≠ 时，2a≤a＋1，即a≤1时，由图可知，解得－1≤a≤2，
又a≤1，所以－1≤a≤1.
综上可知，实数a的取值范围是{a|a≥－1}．
1．设集合X＝，Y＝{y∈Z|－1≤y≤3}，则X∩Y等于( B )
A． B．
C． D．
【解析】 因为X＝，Y＝，所以X∩Y＝.
2．满足条件M∪{0}＝{－1，0，1}的集合M的个数是( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 由已知得M＝{－1，1}或M＝{－1，0，1}，共2个．故选B.
3．已知集合M＝{2，a2－3a＋5，5}，N＝{1，a2－6a＋10，3}，M∩N＝{2，3}，则a等于( C )
A．1或2 B．2或4
C．2 D．1
【解析】 依题意，得a2－3a＋5＝3且a2－6a＋10＝2，这两个方程的公共根是2.故选C.
4．若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1，或x>4}，则A∩B＝__{x|－2≤x<－1}__．
【解析】 如图所示，A∩B＝{x|－2≤x<－1}．
5．已知集合P＝{x|－1≤x≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围为__{a|－1≤a≤1}__．
【解析】 由P∪M＝P得M P.又M＝{a}，P＝{x|－1≤x≤1}，所以a的取值范围为{a|－1≤a≤1}．
6．已知A＝{x|x2－px＋15＝0}，B＝{x|x2－ax－b＝0}，且A∪B＝{2，3，5}，A∩B＝{3}，求p，a，b的值．
解：由A∩B＝{3}得3∈A，从而p＝8，A＝{3，5}．
由A∪B＝{2，3，5}，可得B＝{2，3}，从而有a＝5，b＝－6.
7第2课时 集合的全集、补集
[课程目标] 1.理解全集和补集的含义，会求给定子集的补集；2.能够利用集合的补集的性质解决简单的参数问题．
知识点一 全集
1．定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的__所有元素__，那么就称这个集合为全集．
2．记法：全集通常记作__U__．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)全集一定包括任何一个元素．( × )
(2)只有实数集R才可以作为全集．( × )
(3)为了研究集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{1，2，3}，C＝{1，3，5}之间的关系，要从中选一个集合作为全集，这个集合是A.( √ )
【解析】 (1)全集仅包含我们研究问题所涉及的全部元素，而非任何元素．
(2)研究的问题并不一定是实数集，也有可能为整数集、自然数集或有理数集等．
(3)根据全集的定义知应选集合A作为全集．
知识点二 补集
文字语言 对于一个集合A，由全集U中__不属于集合A__的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作__ UA__
符号语言 UA＝__{x|x∈U，且x A}__
图形语言
[研读] UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．补集是相对于全集而言的，全集不同，补集也不同，即集合A在不同的全集中所求得的补集是不同的．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)一个集合的补集一定含有元素．( × )
(2)集合 AC与集合 BC相等．( × )
(3)( UA)∪A＝U.( √ )
(4)( UA)∩A＝ .( √ )
(5) U ＝U.( √ )
【解析】 (1)因为全集的补集是空集，即 UU＝ ，所以这个说法错误．
(2)当A＝B时，二者相等，否则不相等．
根据补集的定义知，(3)(4)(5)中等式成立．
若全集M＝{－1，0，1，2，3}，N＝{x|x2＝1，x∈Z}，则 MN等于( B )
A． B．{0，2，3}
C．{－1，1} D．{0，1，2，3}
【解析】 因为M＝{－1，0，1，2，3}，N＝{x|x2＝1，x∈Z}＝{－1，1}，根据补集的定义，得 MN＝{0，2，3}．
活学活用
已知全集U＝{a，b，c，d，e}，集合A＝{b，c，d}，B＝{c，e}，则( UA)∪B等于( C )
A．{b，c，e} B．{c，d，e}
C．{a，c，e} D．{a，c，d，e}
【解析】 由U＝{a，b，c，d，e}，A＝{b，c，d}，得 UA＝{a，e}，又B＝{c，e}，所以( UA)∪B＝{a，c，e}．
若集合S＝，AS，BS，且A∩B＝，( SB)∩A＝，( SA)∩( SB)＝，求集合A和B.
解：由题意利用Venn图可得：A＝，B＝.
活学活用
已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{3，4，5}，B＝{4，7，8}，求A∩B，A∪B，∩，A∩，∪B.
解：A∩B＝{4}，A∪B＝{3，4，5，7，8}，
又 UA＝{1，2，6，7，8}， UB＝{1，2，3，5，6}，
所以( UA)∩( UB)＝{1，2，6}，A∩( UB)＝{3，5}，
( UA)∪B＝{1，2，4，6，7，8}．
[规律方法]
解答此类问题的关键在于准确使用Venn图表示集合，并熟悉几种常见运算的对应图形，此外，还要熟悉集合的基本运算．
若全集U＝{2，4，a2－a＋1}，A＝{a＋4，4}， UA＝{7}，则实数a＝__－2__．
【解析】 因为 UA＝{7}，所以7∈U且7 A，所以a2－a＋1＝7，解得a＝－2或a＝3.当a＝3时，A＝{4，7}，与7 A矛盾，当a＝－2时满足题意，所以a＝－2.
活学活用
设U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若 UA＝{1，2}，则实数m＝__－3__．
【解析】 因为U＝{0，1，2，3}， UA＝{1，2}，所以A＝{0，3}．所以0，3是方程x2＋mx＝0的两根，所以m＝－3.
已知集合A＝{x|x>a2＋1或x2}__．
解：∵(a2＋1)－a＝＋>0，∴a2＋1>a恒成立．先考虑A∩B＝ 时实数a的取值范围，
由A∩B＝ 可得： a≤－或≤a≤2.所以当A∩B≠ 时，实数a的取值范围为{a|－2}．
活学活用
已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0，x∈R}，B＝{x|x<0，x∈R}，若A∩B≠ ，求实数m的取值范围．
解：设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}，
解得U＝.
若A∩B＝ ，则方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根均非负，
则有解得m≥.
∵关于U的补集为{m|m≤－1}，
∴实数m的取值范围为{m|m≤－1}．
[规律方法]
在求解含参的不等式和方程等问题时，如果问题的正面包含较多的情况，我们可以考虑补集的思想，定义一个全集，然后再从全集中求出问题的反面，进而通过取补集，使得原问题得解．
设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2【解析】 由已知得A＝{x|x≥－m}，得 UA＝{x|x<－m}．因为B＝{x|－2【迁移探究1】 将本例条件“( UA)∩B＝ ”改为“( UA)∩B≠ ”，其他条件不变，则m的取值范围是__{m|m<2}__．
【解析】 由已知得A＝{x|x≥－m}，所以 UA＝{x|x<－m}，又( UA)∩B≠ ，所以－m>－2，解得m<2.所以m的取值范围是{m|m<2}．
【迁移探究2】 将本例条件“( UA)∩B＝ ”改为“( UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围是__{m|m≥2}__．
【解析】 由已知得A＝{x|x≥－m}， UB＝{x|x≤－2或x≥4}.又( UB)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2.所以m的取值范围是{m|m≥2}．
[规律方法]
由集合的补集求解参数的问题．
(1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合相关知识求解．
(2)如果所给集合是无限集，与集合的交集、并集、补集运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解．
活学活用
已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|m＜x＜m＋9}，若( RA)∩B＝B，则实数m的取值范围是__{m|m≤－11或m≥3}__．
【解析】 RA＝{x|x≤－2或x≥3}，由( RA)∩B＝B，得B ( RA)，∴m＋9≤－2或m≥3.故m的取值范围是{m|m≤－11或m≥3}.
1．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤2x＋1<9}，则 UA＝( D )
A． {x|x<0或x>4} B． {x|x≤0或x>4}
C． {x|x≤0或x≥4} D．{x|x<0或x≥4}
【解析】 因为U＝R，A＝{x|0≤x<4}，
所以 UA＝{x|x<0或x≥4}．
2．已知全集U＝M∪N＝{1，2，3，4，5}，M∩( UN)＝{2，4}，则N＝( B )
A．{1，2，3} B．{1，3，5}
C．{1，4，5} D．{2，3，4}
【解析】 因为M∩( UN)＝{2，4}，所以元素2，4是 UN中的元素，即2，4一定不是N中的元素，故选项A，C，D错误．故选B.
3．已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则 UA＝( A )
A．{x|x<－3或x＝5}
B．{x|x<－3}
C．{x|－3D．{x|x<5}
【解析】 将集合U和集合A分别表示在数轴上(图略)，由补集的定义可知 UA＝{x|x<－3或x＝5}．
4．已知全集U＝{2，5，8}，且 UA＝{2}，则集合A的真子集有__3__个．
【解析】 因为U＝{2，5，8}， UA＝{2}，所以A＝{5，8}，A的真子集为{5}，{8}， ，共3个．
5．设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}， UA＝{x|x>4或x<3}，则a＋b＝__7__．
【解析】 因为 UA＝{x|x>4或x<3}，所以A＝{x|3≤x≤4}，所以a＝3，b＝4，所以a＋b＝7.
6．某班举行数、理、化三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中只参加数学、物理两科的有10人，只参加物理、化学两科的有7人，只参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，则全班共有__43__人．
【解析】 设参加数、理、化三科竞赛的人组成集合A，B，C，如图所示，则全班人数为2＋4＋5＋10＋7＋11＋4＝43.
5(共24张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1．3 集合的基本运算
第2课时 集合的全集、补集
[课程目标] 1.理解全集和补集的含义，会求给定子集的补集；
2.能够利用集合的补集的性质解决简单的参数问题．
知识点一 全集
1．定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的___________，
那么就称这个集合为全集．
2．记法：全集通常记作____．
所有元素
U
【思辨】判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)全集一定包括任何一个元素．( )
(2)只有实数集R才可以作为全集．( )
(3)为了研究集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{1，2，3}，
C＝{1，3，5}之间的关系，要从中选一个集合作为全集，
这个集合是A.( )
【解析】 (1)全集仅包含我们研究问题所涉及的全部元素，而非任何元素．
(2)研究的问题并不一定是实数集，也有可能为整数集、自然数集或有理数集等．
(3)根据全集的定义知应选集合A作为全集．
×
√
×
知识点二 补集
[研读] UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．补集是相对于全集而言的，全集不同，补集也不同，即集合A在不同的全集中所求得的补集是不同的．
文字语言 对于一个集合A，由全集U中__ __的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作________
符号语言 UA＝_______________________
图形语言
UA
{x|x∈U，且x A}
不属于集合A
【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)一个集合的补集一定含有元素．( )
(2)集合 AC与集合 BC相等．( )
(3)( UA)∪A＝U.( )
(4)( UA)∩A＝ .( )
(5) U ＝U.( )
【解析】 (1)因为全集的补集是空集，即 UU＝ ，所以这个说法错误．
(2)当A＝B时，二者相等，否则不相等．
根据补集的定义知，(3)(4)(5)中等式成立．
×
×
√
√
√
例1 若全集M＝{－1，0，1，2，3}，N＝{x|x2＝1，x∈Z}，则 MN等于( )
A． B．{0，2，3}
C．{－1，1} D．{0，1，2，3}
【解析】 因为M＝{－1，0，1，2，3}，N＝{x|x2＝1，x∈Z}
＝{－1，1}，根据补集的定义，得 MN＝{0，2，3}．
B
已知全集U＝{a，b，c，d，e}，集合A＝{b，c，d}，
B＝{c，e}，则( UA)∪B等于( )
A．{b，c，e}
B．{c，d，e}
C．{a，c，e}
D．{a，c，d，e}
【解析】 由U＝{a，b，c，d，e}，A＝{b，c，d}，
得 UA＝{a，e}，又B＝{c，e}，所以( UA)∪B＝{a，c，e}．
C
例2
解：A∩B＝{4}，A∪B＝{3，4，5，7，8}，
又 UA＝{1，2，6，7，8}， UB＝{1，2，3，5，6}，
所以( UA)∩( UB)＝{1，2，6}，A∩( UB)＝{3，5}，
( UA)∪B＝{1，2，4，6，7，8}．
[规律方法]
解答此类问题的关键在于准确使用Venn图表示集合，并熟悉几种常见运算的对应图形，此外，还要熟悉集合的基本运算．
例3 若全集U＝{2，4，a2－a＋1}，A＝{a＋4，4}， UA＝{7}，则实数a＝________．
【解析】 因为 UA＝{7}，
所以7∈U且7 A，
所以a2－a＋1＝7，
解得a＝－2或a＝3.
当a＝3时，A＝{4，7}，与7 A矛盾，
当a＝－2时满足题意，所以a＝－2.
－2
设U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若 UA＝{1，2}，
则实数m＝______．
【解析】 因为U＝{0，1，2，3}， UA＝{1，2}，
所以A＝{0，3}．
所以0，3是方程x2＋mx＝0的两根，
所以m＝－3.
－3
例4 已知集合A＝{x|x>a2＋1或x已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0，x∈R}，B＝{x|x<0，x∈R}，若A∩B≠ ，求实数m的取值范围．
[规律方法]
在求解含参的不等式和方程等问题时，如果问题的正面包含较多的情况，我们可以考虑补集的思想，定义一个全集，然后再从全集中求出问题的反面，进而通过取补集，使得原问题得解．
例5 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2且( UA)∩B＝ ，则实数m的取值范围是______________．
【解析】 由已知得A＝{x|x≥－m}，得 UA＝{x|x<－m}．
因为B＝{x|－2所以－m≤－2，即m≥2，
所以m的取值范围是{m|m≥2}．
{m|m≥2}
【迁移探究1】 将本例条件“( UA)∩B＝ ”改为“( UA)∩B≠ ” 其他条件不变，则m的取值范围是____________．
【解析】 由已知得A＝{x|x≥－m}，所以 UA＝{x|x<－m}，
又( UA)∩B≠ ，所以－m>－2，解得m<2.
所以m的取值范围是{m|m<2}．
【迁移探究2】 将本例条件“( UA)∩B＝ ”改为“( UB)∪A＝R” 其他条件不变，则m的取值范围是___________．
【解析】 由已知得A＝{x|x≥－m}， UB＝{x|x≤－2或x≥4}.
又( UB)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2.
所以m的取值范围是{m|m≥2}．
{m|m<2}
{m|m≥2}
[规律方法]
由集合的补集求解参数的问题．
(1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集
定义并结合相关知识求解．
(2)如果所给集合是无限集，与集合的交集、并集、补集运算有
关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解．
已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|m＜x＜m＋9}，若( RA)∩B＝B，则实数m的取值范围是______________________．
【解析】 RA＝{x|x≤－2或x≥3}，
由( RA)∩B＝B，得B ( RA)，
∴m＋9≤－2或m≥3.
故m的取值范围是{m|m≤－11或m≥3}.
{m|m≤－11或m≥3}
1．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤2x＋1<9}，则 UA＝( )
A． {x|x<0或x>4}
B． {x|x≤0或x>4}
C． {x|x≤0或x≥4}
D．{x|x<0或x≥4}
【解析】 因为U＝R，A＝{x|0≤x<4}，
所以 UA＝{x|x<0或x≥4}．
D
2．已知全集U＝M∪N＝{1，2，3，4，5}，M∩( UN)＝{2，4}，
则N＝( )
A．{1，2，3} B．{1，3，5}
C．{1，4，5} D．{2，3，4}
【解析】 因为M∩( UN)＝{2，4}，
所以元素2，4是 UN中的元素，
即2，4一定不是N中的元素，
故选项A，C，D错误．
故选B.
B
3．已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则 UA＝( )
A．{x|x<－3或x＝5}
B．{x|x<－3}
C．{x|－3D．{x|x<5}
【解析】 将集合U和集合A分别表示在数轴上(图略)，
由补集的定义可知 UA＝{x|x<－3或x＝5}．
A
4．已知全集U＝{2，5，8}，且 UA＝{2}，则集合A的真子集
有____个．
【解析】 因为U＝{2，5，8}， UA＝{2}，
所以A＝{5，8}，A的真子集为{5}，{8}， ，共3个．
5．设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}， UA＝{x|x>4或x<3}，
则a＋b＝____．
【解析】 因为 UA＝{x|x>4或x<3}，所以A＝{x|3≤x≤4}，
所以a＝3，b＝4，
所以a＋b＝7.
3
7
6．某班举行数、理、化三科竞赛，每人至少参加一科，已知
参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化
学竞赛的有27人，其中只参加数学、物理两科的有10人，
只参加物理、化学两科的有7人，只参加数学、化学两科的
有11人，而参加数、理、化三科的有4人，则全班共
有____人．
【解析】 设参加数、理、化三科竞赛
的人组成集合A，B，C，如图所示，则
全班人数为2＋4＋5＋10＋7＋11＋4＝43.
43(共30张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.3 集合的基本运算
第1课时 集合的交集、并集
[课程目标] 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单
集合的并集和交集；
2.能使用Venn图表达集合间的关系及运算，体会直观
图形对理解抽象概念的作用；
3.能够利用集合并集与交集的性质解决简单的参数
问题．
知识点一 集合的并集
并集的三种语言表示：
① 文字语言：由所有属于集合A____属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的________．
② 符号语言：A∪B＝____________________．
或
并集
{x|x∈A，或x∈B}
③ 图形语言：如图所示．
[研读](1)两个集合的并集实质上是将这两个集合的元素并在一起组成一个集合，重复的元素只算一次．
(2)对“或”的理解：“x∈A，或x∈B”包含三种情况： x∈A，但x B；x A，但x∈B；x∈A，且x∈B.Venn图表示 如下：
【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)集合A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数
和．( )
(2)A∪ ＝ .( )
(3)A∪B＝B∪A.( )
(4)(A∪B)∪C＝A∪(B∪C).( )
(5)若A B，则A∪B＝B.( )
√
×
√
√
√
【解析】 (1) 当集合A与集合B没有公共元素时，A∪B的元素个数等于集合A与集合B的元素个数和；当集合A与集合B有公共元素时，A∪B的元素个数小于集合A与集合B的元素个数和．
(2)由并集的定义知A∪ ＝A.
(3)(4)由并集的定义知等式成立．
(5)根据Venn图可知A∪B＝B.
知识点二 集合的交集
交集的三种语言表示：
①文字语言：由所有属于集合A____属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的_________．
②符号语言：A∩B＝_____________________．
③图形语言：如图所示．
且
交集
{x|x∈A，且x∈B}
[研读](1)两个集合的交集实质上是由这两个集合的相同元素组成的集合．
(2)集合A与B的交集的三种情况用Venn图表示如下：
【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)当集合A与B没有公共元素时，则说集合A与B没有交集．
( )
(2)A∩ ＝ .( )
(3)A∩B＝B∩A.( )
(4)(A∩B)∩C＝A∩(B∩C).( )
(5)若A B，则A∩B＝A.( )
(6)若A∩B＝A∪B，则A＝B.( )
×
√
√
√
√
√
【解析】 (1)当集合A与B没有公共元素时，集合A与B的交集 为 ，即A∩B＝ .
(2)(3)(4)由交集的定义知等式成立．
(5)根据Venn图可知A∩B＝A.
(6)若A B，则A∩B＝A，因为A∩B＝A∪B，所以A＝A∪B，则有A B，所以A＝B.
例1 若集合A＝{－1，0，3，4，5}，B＝{1，2，4}，则集合A∪B＝____________________________．
【解析】根据并集的定义知A∪B＝{－1，0，1，2，3，4，5}．
{－1，0，1，2，3，4，5}
已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)·(x－3)＝0}，则集合A∪B等于( )
A．{－1，2，3}
B．{－1，－2，3}
C．{1，－2，3}
D．{1，－2，－3}
【解析】 化简集合A，B，得A＝{1，－2}，B＝{－2，3}，所以A∪B＝{1，－2，3}．
C
例2 已知A＝{x|x≤－2，或x>5}，B＝{x|1则A∪B＝____________________．
【解析】 将x≤－2或x>5及1由并集的定义可知图中阴影部分即为所求，
所以A∪B＝{x|x≤－2，或x>1}．
{x|x≤－2，或x>1}
[规律方法]
此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合．若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．
设集合A＝{m|m－2>0}，B＝{m|－1≤m<5}，则A∪B＝________________．
【解析】 A＝{m|m－2>0}＝{m|m>2}，将集合A，B表示在数轴上，如图所示，由图可知A∪B＝{m|m≥－1}．
{m|m≥－1}
例3 已知A＝{2，4，6，8，10}，B＝{3，5，8，12}， C＝{6，8}，则A∩B＝______；A∩(B∩C)＝______．
设集合A＝{4，5，6，8}，集合B＝{3，5，7，8，9}，
则A∩B＝__________；(A∪B)∩(A∩B)＝__________．
【解析】 A∩B＝{5，8}；A∪B＝{3，4，5，6，7，8，9}，
所以(A∪B)∩(A∩B)＝{5，8}．
{5，8}
{5，8}
例4 已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x| ≤4，x∈Z}，
则A∩B等于( )
A．(0，2) B．[0，2]
C．{0，2} D．{0，1，2}
D
【解析】 因为|x|≤2，所以－2≤x≤2，
即A＝{x|－2≤x≤2}．
因为 ≤4.所以0≤x≤16.
又因为x∈Z，所以B＝{0，1，2，3，…，16}，
所以A∩B＝{0，1，2}．
[规律方法]
求两个集合交集的一般方法：
(1)明确集合中的元素．
(2)元素个数有限时，利用定义或Venn图求解，元素个数无限
时，借助数轴求解．
(3)当所给集合中有一个不确定时，要注意分类讨论，分类的标
准取决于已知集合．
已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N为( )
A．x＝3，y＝－1 B．{(3，1)}
C．{3，－1} D．{(3，－1)}
D
例5 若A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∩B＝B，
则由实数a组成的集合C＝________________．
[规律方法]
1．在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到
A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交集、
并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝
A A B，A∪B＝B A B等，解答时应灵活处理．
2．当集合B A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不
确定，运算时要考虑B＝ 的情况，切不可漏掉．
【迁移探究1】 本例中将集合A，B改为A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}．将“A∩B＝B”改为“A∪B＝A”，求a的值．
【迁移探究2】已知集合A＝ ，
集合B＝ ，若A∪B＝B，
则实数m的取值范围为______________．
m≥－1
已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋1}，B＝{x|－2≤x≤3}，若A∩B＝A，求实数a的取值范围．
解：因为A∩B＝A，所以A B.
当A＝ 时，2a>a＋1，即a>1，满足A B.
当A≠ 时，2a≤a＋1，即a≤1时，
由图可知 ，解得－1≤a≤2，
又a≤1，所以－1≤a≤1.
综上可知，实数a的取值范围是{a|a≥－1}．
1．设集合X＝ ，Y＝{y∈Z|－1≤y≤3}，
则X∩Y等于( )
B
2．满足条件M∪{0}＝{－1，0，1}的集合M的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 由已知得M＝{－1，1}或M＝{－1，0，1}，
共2个．故选B.
3．已知集合M＝{2，a2－3a＋5，5}，N＝{1，a2－6a＋10，3}，
M∩N＝{2，3}，则a等于( )
A．1或2 B．2或4
C．2 D．1
【解析】 依题意，得a2－3a＋5＝3且a2－6a＋10＝2，这两
个方程的公共根是2.故选C.
B
C
4．若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1，或x>4}，
则A∩B＝___________________．
5．已知集合P＝{x|－1≤x≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取
值范围为________________．
【解析】 由P∪M＝P得M P.又M＝{a}，P＝{x|－1≤x≤1}，
所以a的取值范围为{a|－1≤a≤1}．
【解析】 如图所示，A∩B＝{x|－2≤x<－1}．
{x|－2≤x<－1}
{a|－1≤a≤1}
6．已知A＝{x|x2－px＋15＝0}，B＝{x|x2－ax－b＝0}，
且A∪B＝{2，3，5}，A∩B＝{3}，求p，a，b的值．
解：由A∩B＝{3}得3∈A，从而p＝8，A＝{3，5}．
由A∪B＝{2，3，5}，可得B＝{2，3}，
从而有a＝5，b＝－6.