充要条件
[课程目标] 1.理解充分条件、必要条件的概念，理解充要条件的意义，了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系；2.能通过充分性、必要性解决简单的问题；3.能对充分条件进行证明．
知识点 充分、必要条件与充要条件
1．充分条件、必要条件
“若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出 关系 p__ __q p__ /__q
条件 关系 p是q的__充分条件__， q是p的__必要条件__ p不是q的__充分条件__， q不是p的__必要条件__
定理 关系 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的充分条件； 一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的必要条件
2．充要条件：如果既有p q，又有q p，就记作__p q__．此时，我们说p是q的__充分必要条件__，简称为__充要条件__．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p q，那么p与q__互为充要条件__．
[研读](1)“p是q的充分条件”的等价说法有：
①“若p，则q”为真；②p q；③q是p的必要条件．
(2)“p是q的必要条件”的等价说法：
①“若q，则p”为真；②q p；③q是p的充分条件．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)“x＝y”是“x2＝y2”的充分条件．( √ )
(2)“ab＝0”是“b＝0”的必要条件．( √ )
(3)“x2>1”是“x>1”的充分条件．( × )
(4)“x＝1或x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的必要不充分条件.( × )
(5)已知p：x>0，y>0，q：xy<0.则p是q的既不充分又不必要条件．( √ )
(6)已知p：x＝0，y＝0，q：x2＋y2＝0.则p是q的充要条件．( √ )
【解析】 (1)由x＝y可以推出x2＝y2，则“x＝y”是“x2＝y2”的充分条件．
(2)当ab＝0时，不一定有b＝0，但b＝0时，一定有ab＝0，所以“ab＝0”是“b＝0”的必要条件．
(3)当x2>1时，x>1不一定成立，如(－2)2>1，但－2<1；当x>1时，可得x2>1.所以“x2>1”是“x>1”的必要条件．
(4)当x2－3x＋2＝0时，可得x＝1或x＝2；当x＝1或x＝2时，可推出x2－3x＋2＝0，所以“x＝1或x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充要条件．
(5)因为x>0，y>0 / xy<0，xy<0 / x>0，y>0，所以p是q的既不充分也不必要条件．
(6)因为x＝0，y＝0 x2＋y2＝0，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件；又x2＋y2＝0 x＝0，y＝0，所以q是p的充分条件，p是q的必要条件，所以p是q的充要条件．
下列各题中，分别指出p是q的什么条件．
(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
(3)p：A B，q：A∩B＝A;
(4)p：a是自然数；q：a是正数.
解：(1)因为两个三角形相似 / 两个三角形全等，但两个三角形全等 两个三角形相似， 所以p是q的必要不充分条件.
(2)因为矩形的对角线相等，所以p q，而对角线相等的四边形不一定是矩形，所以q / p，所以p是q的充分不必要条件.
(3)因为p q，且q p，所以p是q的充要条件.
(4)0是自然数，但0不是正数，故p / q；又是正数，但不是自然数，故q / p．故p是q的既不充分也不必要条件．
[规律方法]
充分条件、必要条件的判定方法
(1)定义法：直接判断p q和q p是否成立，然后得结论．
(2)集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个集合具有包含关系，则小范围 大范围，大范围 / 小范围．
(3)传递法：已知p1 p2 p3 … pn，则p1 pn.
活学活用
下列各题中，p是q的什么条件？
(1) p：ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，q：a>－1；
(2) p：1－x<2x－8，q：x－3>2；
(3) p：A∪B＝A，q：A∩B＝B；
(4) p：x>2，y>2，q：x＋y>4.
解：(1)由ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，知Δ＝22－4×a×(－1)>0且a≠0，得a>－1且a≠0，即p / q；反之，取a＝0，则方程ax2＋2x－1＝0只有一个实数根，即q / p，所以p是q的既不充分也不必要条件．
(2)易知p：x>3，q：x>5，所以p是q的必要不充分条件．
(3)因为A∪B＝A A∩B＝B，所以p是q的充要条件．
(4)p q，但q / p，所以p是q的充分不必要条件．
已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．
证明：充分性：因为a＋b＝1，
所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝＝0.
必要性：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝＝0，
所以a＋b＝1或a2－ab＋b2＝0.
又因为a2－ab＋b2＝>0，
所以a＋b＝1.
综上可得，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．
[规律方法]
证明充要条件一般分为两个步骤，即证明充分性和必要性这两个方面．其中充分性就是要证明条件 结论，必要性就是证明结论 条件．所以在证明之前，一定要先分清楚哪个是条件，那个是结论．
活学活用
求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正一负根的充要条件是ac<0；
证明：充分性：ac<0 x1x2<0；
必要性：ax2＋bx＋c＝0有一正一负根，则x1x2＝<0 ac<0.
综上可得，ax2＋bx＋c＝0有一正一负根的充要条件是ac<0.
已知p：－3≤x≤1，q：1－a≤x≤1＋a，且q是p的必要不充分条件，则a的取值范围是( C )
A．{a|a>4} B．{a|a≤0}
C．{a|a≥4} D．{a|a<0}
【解析】 因为q是p的必要不充分条件，即p q，但q / p，
所以或解得a≥4.故选C.
[规律方法]
利用充分、必要条件求参数的思路：根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．
【迁移探究1】 若将本例中“q是p的必要不充分条件”改为“q是p的充分不必要条件”，其他条件不变，则a的取值范围是__a≤0__．
【解析】 因为q是p的充分不必要条件，即q p，但p / q，
所以或解得a≤0.
【迁移探究2】 本例中，是否存在实数a，使q是p的充要条件？若存在，求出a；若不存在，请说明理由．
解：若q是p的充要条件，则有方程组无解，所以，不存在实数a，使q是p的充要条件．
活学活用
1．已知P＝，Q＝{x|(x＋1)(x＋a)>0}，若x∈Q是x∈P的充分条件，求实数a的取值范围．
解：∵P＝{x|x<－1，或x>3}，Q＝{x|(x＋1)·(x＋a)>0}，
由x∈Q是x∈P的充分条件 Q P －a≥3 a≤－3.
2．已知P＝，Q＝{x|(x＋1)(x＋a)>0}，若x∈P是x∈Q的充分条件，求实数a的取值范围．
解：P＝ RP＝{x|－1≤x≤3}，
Q＝ RQ＝{x|(x＋1)(x＋a)≤0}．
由x∈P是x∈Q的充分条件 P Q RQ RP －3≤a≤1.
1．下列四个命题中，真命题是( C )
A．两个无理数的和还是无理数
B．若a2＝b2，则a＝b
C．正方形的四边相等
D．菱形的对角线相等
【解析】 两个无理数的和不一定是无理数，如(1－)＋＝1；若a2＝b2，则a＝±b；正方形的四边相等；菱形的对角线互相垂直．
2．若a，b∈R，则a＞b＞0是a2＞b2的( A )
A． 充分不必要条件
B． 必要不充分条件
C． 充要条件
D． 既不充分也不必要条件
【解析】 由a＞b＞0可推出a2＞b2；但由a2＞b2无法推出a＞b＞0，如a＝－2，b＝1，即a＞b＞0是a2＞b2的充分不必要条件．
3．p：四边形ABCD是菱形，q：四边形ABCD是矩形，则p是q的( D )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 菱形不一定是矩形，矩形也不一定是菱形．故选D.
4．设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是( A )
A．x>1 B．x<1
C．x>3 D．x<3
【解析】 x>2 x>1，但x>1 / x>2.故选A.
5．A，B是两个非空集合，由A B可以推得的结论是__②⑤__．(填序号)
①A＝B；②A∩B＝A；③A∩B＝B；④A∪B＝A；
⑤(A∪B) (A∩B).
【解析】 由Venn图知②⑤正确．
6．求证：方程x2－2(a－b)x＋c＝0有两个相等实数根的充要条件是c＝(a－b)2.
证明：充分性：若c＝(a－b)2，
则x2－2(a－b)x＋c＝0化为x2－2(a－b)x＋(a－b)2＝0，
即[x－(a－b)]2＝0，所以x1＝x2＝a－b，所以方程有两个相等实数根．
必要性：因为方程x2－2(a－b)x＋c＝0有两个相等实数根，
所以Δ＝[－2(a－b)]2－4c＝0，
整理得c＝(a－b)2.
所以，c＝(a－b)2是方程x2－2(a－b)x＋c＝0有两个相等实数根的充要条件．
6(共25张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1．4 充分条件与必要条件
1．4.1 充分条件与必要条件
1．4.2 充要条件
[课程目标] 1.理解充分条件、必要条件的概念，理解充要条件的
意义，了解充分条件与判定定理，必要条件与性质
定理的关系；
2.能通过充分性、必要性解决简单的问题；
3.能对充分条件进行证明．
知识点 充分、必要条件与充要条件
1．充分条件、必要条件
“若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p____q p____q
条件
关系 p是q的__ __，
q是p的__ __ p不是q的__ __，
q不是p的__ __
定理
关系 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的充分条件；
一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的必要条件
充分条件
必要条件
充分条件
必要条件
2．充要条件：如果既有p q，又有q p，就记作________．
此时，我们说p是q的____________________，简称
为____________．显然，如果p是q的充要条件，那么q也
是p的充要条件．概括地说，如果p q，那么p与q
______________________．
[研读](1)“p是q的充分条件”的等价说法有：
①“若p，则q”为真；②p q；③q是p的必要条件．
(2)“p是q的必要条件”的等价说法：
①“若q，则p”为真；②q p；③q是p的充分条件．
p q
充分必要条件
充要条件
互为充要条件
【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)“x＝y”是“x2＝y2”的充分条件．( )
(2)“ab＝0”是“b＝0”的必要条件．( )
(3)“x2>1”是“x>1”的充分条件．( )
(4)“x＝1或x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的必要不充分条件.( )
(5)已知p：x>0，y>0，q：xy<0.则p是q的既不充分又不必要条件．( )
(6)已知p：x＝0，y＝0，q：x2＋y2＝0.则p是q的充要条件．
( )
√
√
×
×
√
√
【解析】 (1)由x＝y可以推出x2＝y2，则“x＝y”是“x2＝y2”的充分条件．
(2)当ab＝0时，不一定有b＝0，但b＝0时，一定有ab＝0，所以“ab＝0”是“b＝0”的必要条件．
(3)当x2>1时，x>1不一定成立，如(－2)2>1，但－2<1；当x>1时，可得x2>1.所以“x2>1”是“x>1”的必要条件．
(4)当x2－3x＋2＝0时，可得x＝1或x＝2；当x＝1或x＝2时，可推出x2－3x＋2＝0，所以“x＝1或x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充要条件．
(5)因为x>0，y>0 xy<0，xy<0 x>0，y>0，所以p是q的
既不充分也不必要条件．
(6)因为x＝0，y＝0 x2＋y2＝0，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件；又x2＋y2＝0 x＝0，y＝0，所以q是p的充分条
件，p是q的必要条件，所以p是q的充要条件．
例1 下列各题中，分别指出p是q的什么条件．
(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
(3)p：A B，q：A∩B＝A;
(4)p：a是自然数；q：a是正数.
[规律方法]
充分条件、必要条件的判定方法
(1)定义法：直接判断p q和q p是否成立，然后得结论．
(2)集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研
究，若两个集合具有包含关系，则小范围 大范围，大范
围 小范围．
(3)传递法：已知p1 p2 p3 … pn，则p1 pn.
下列各题中，p是q的什么条件？
(1) p：ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，q：a>－1；
(2) p：1－x<2x－8，q：x－3>2；
(3) p：A∪B＝A，q：A∩B＝B；
(4) p：x>2，y>2，q：x＋y>4.
解：(1)由ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，
知Δ＝22－4×a×(－1)>0且a≠0，得a>－1且a≠0，即p q；
反之，取a＝0，则方程ax2＋2x－1＝0只有一个实数根，
即q p，所以p是q的既不充分也不必要条件．
(2)易知p：x>3，q：x>5，所以p是q的必要不充分条件．
(3)因为A∪B＝A A∩B＝B，所以p是q的充要条件．
(4)p q，但q p，所以p是q的充分不必要条件．
例2 已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．
[规律方法]
证明充要条件一般分为两个步骤，即证明充分性和必要性这两个方面．其中充分性就是要证明条件 结论，必要性就是证明结论 条件．所以在证明之前，一定要先分清楚哪个是条件，那个是结论．
求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正一负根的充要条件是ac<0；
例3 已知p：－3≤x≤1，q：1－a≤x≤1＋a，且q是p的必要不充分条件，则a的取值范围是( )
A．{a|a>4} B．{a|a≤0}
C．{a|a≥4} D．{a|a<0}
C
[规律方法]
利用充分、必要条件求参数的思路：根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．
【迁移探究1】 若将本例中“q是p的必要不充分条件”改为
“q是p的充分不必要条件”，其他条件不变，则a的取值范围
是_______．
a≤0
【迁移探究2】 本例中，是否存在实数a，使q是p的充要条
件？若存在，求出a；若不存在，请说明理由．
1．已知P＝ ，Q＝{x|(x＋1)(x＋a)>0}，
若x∈Q是x∈P的充分条件，求实数a的取值范围．
1．下列四个命题中，真命题是( )
A．两个无理数的和还是无理数
B．若a2＝b2，则a＝b
C．正方形的四边相等
D．菱形的对角线相等
C
2．若a，b∈R，则a＞b＞0是a2＞b2的( )
A． 充分不必要条件
B． 必要不充分条件
C． 充要条件
D． 既不充分也不必要条件
【解析】 由a＞b＞0可推出a2＞b2；
但由a2＞b2无法推出a＞b＞0，
如a＝－2，b＝1，即a＞b＞0是a2＞b2的充分不必要条件．
A
3．p：四边形ABCD是菱形，q：四边形ABCD是矩形，
则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 菱形不一定是矩形，矩形也不一定是菱形．故选D.
4．设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是( )
A．x>1 B．x<1
C．x>3 D．x<3
D
A
【解析】 x>2 x>1，但x>1 x>2.故选A.
5．A，B是两个非空集合，由A B可以推得的结论是______．
(填序号)
①A＝B；
②A∩B＝A；
③A∩B＝B；
④A∪B＝A；
⑤(A∪B) (A∩B).
【解析】 由Venn图知②⑤正确．
②⑤
6．求证：方程x2－2(a－b)x＋c＝0有两个相等实数根的充要条
件是c＝(a－b)2.
证明：充分性：若c＝(a－b)2，
则x2－2(a－b)x＋c＝0化为x2－2(a－b)x＋(a－b)2＝0，
即[x－(a－b)]2＝0，所以x1＝x2＝a－b，
所以方程有两个相等实数根．
必要性：因为方程x2－2(a－b)x＋c＝0有两个相等实数根，
所以Δ＝[－2(a－b)]2－4c＝0，
整理得c＝(a－b)2.
所以，c＝(a－b)2是方程x2－2(a－b)x＋c＝0有两个相等实
数根的充要条件．
