全称量词与存在量词
[课程目标] 1.理解全称量词、全称量词命题的定义，理解存在量词、存在量词命题的定义；2.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．
知识点一 全称量词
1．短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“__ __”表示，含有全称量词的命题，叫做__全称量词命题__．
2．将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，… 表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为__ x∈M，p(x)__．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)所有实数都有平方根．( × )
(2)“有的质数是奇数”是全称量词命题．( × )
(3)“三角形内角和等于180°”是全称量词命题．( √ )
(4)“对于任意实数x，2x＋1是奇数”是全称量词命题．( √ )
【解析】 (1)负数没有平方根．
(2)“所有质数是奇数”才是全称量词命题．
(3)“三角形内角和等于180°”即“所有的三角形内角和等于180°”．
(4)根据全称量词命题的概念知，该说法正确．
知识点二 存在量词
1．短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“__ __”表示．含有存在量词的命题，叫做__存在量词命题__．
2．存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为__ x∈M，p(x)__．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)有一个实数x，使x2＋2x＋＝0.( × )
(2)函数y＝－2x＋3的图象上有些点在第三象限．
( × )
(3)有些整数只有两个正因数．( √ )
(4)“至少有一个偶数是质数”是存在量词命题且是真命题．( √ )
【解析】 (1)由于 x∈R，x2＋2x＋＝(x＋1)2＋≥>0，因此使x2＋2x＋＝0的实数x不存在．所以存在量词命题“有一个实数x，使x2＋2x＋＝0”是假命题．
(2)作出函数y＝－2x＋3的图象，知其经过第一、二、四象限．
(3)由于存在整数只有两个正因数的情况，如3有正因数3和1，所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．
(4)因为偶数2是质数，所有“至少有一个偶数是质数”是存在量词命题且是真命题．
将下列命题用量词符号“ ”或“ ”表示．
(1)自然数的平方大于零；
(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<1)至少存在一个负根；
(3)两个无理数的和是无理数；
(4)存在两个相似三角形不全等．
解：(1)该命题省略了全称量词“任意一个”，因此可用符号表示为： x∈N，x2>0.
(2)用符号表示为： x<0，ax2＋2x＋1＝0(a<1).
(3)用符号表示为： a，b∈{无理数}，a＋b∈{无理数}．
(4)用符号表示为： △ABC∽△A′B′C′，△ABC≌△A′B′C′不成立．
判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
(1)梯形的对角线相等；
(2)存在一个四边形有外接圆；
(3)所有的正方形都是矩形；
(4)凸多边形的外角和等于360°.
解：(1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，故为全称量词命题．
(2)命题为存在量词命题．
(3)命题为全称量词命题．
(4)命题可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题．
[规律方法]
1．判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤：
2．同一个全称量词命题或存在量词命题，可能有不同的表述方法，现列表总结如下，在实际应用中可以灵活选择：
命题 全称量词命题 “ x∈A，p(x)” 存在量词命题 “ x∈A，p(x)”
表 述 方 法 ①所有的x∈A， p(x)成立； ②对一切x∈A， p(x)成立； ③对每一个x∈A， p(x)成立； ④任意一个x∈A， p(x)成立； ⑤凡x∈A，都有 p(x)成立 ①存在x∈A，使 p(x)成立； ②至少有一个x∈A，使p(x)成立； ③对有些x∈A， p(x)成立； ④对某个x∈A， p(x)成立； ⑤有一个x∈A，使 p(x)成立
活学活用
判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“ ”或“ ”表示出来．
(1)任何一个实数除以1，仍等于这个实数；
(2)有一个奇数不能被3整除；
(3)每个三角形至少有两个锐角；
(4)存在负数x，使得>2.
解：(1)全称量词命题， x∈R，＝x.
(2)存在量词命题， x∈{x|x＝2k－1，k∈Z}，不是整数．
(3)全称量词命题， x∈{三角形}，x至少有两个锐角．
(4)存在量词命题， x<0，>2.
判断下列命题的真假：
(1) x∈R，x2－x＋1>；
(2)每一条线段的长度都能用正有理数表示；
(3)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立；
(4)存在x，y∈R，＋＝.
解：(1)真命题，因为x2－x＋1＝＋≥>，所以x2－x＋1>恒成立．
(2)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不是正有理数．
(3)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31<0，所以无实数解．
(4)真命题，如x＝，y＝，使＋＝成立．
[规律方法]
(1)全称量词命题真假的判断．
①要判定全称量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；要判定全称量词命题“ x∈M，p(x)”是假命题，只需找到M中的一个元素x0，使得p(x0)不成立即可．
②图表表示
(2)存在量词命题真假的判断．
①要判定存在量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题是假命题，即对于 x∈M，p(x)都不成立．
②图表表示．
活学活用
判断下列命题的真假：
(1) x∈R，x2＋2>0；
(2) x∈N，x2≥1；
(3) x∈Z，x3<1；
(4) x∈Q，x2＝3.
解：(1)真命题， x∈R，x2＋2≥2>0.
(2)假命题，如x＝0时，x2＝0<1.
(3)真命题，如x＝0时，x3＝0<1.
(4)假命题，因为当且仅当x＝±时，x2＝3.
已知y＝3ax2＋6x－1(a∈R).
(1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有y≤0；
(2)如果对任意x∈R，函数y＝3ax2＋6x－1(a∈R)的图象恒在直线y＝4x的下方，求实数a的取值范围．
解：(1)证明：当a＝－3时，y＝－9x2＋6x－1.
因为Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0，且二次项系数小于零，
所以对任意x∈R，都有y≤0.
(2)因为对任意x∈R，函数y＝3ax2＋6x－1(a∈R)的图象恒在直线y＝4x的下方，
所以3ax2＋6x－1≤4x恒成立，即3ax2＋2x－1≤0恒成立，
所以函数y＝3ax2＋2x－1的图象与x轴最多只有一个公共点，
所以即解得a≤－.
当a＝0时，显然不合题意．
综上可知，a的取值范围为a≤－.
[规律方法]
(1)对任意的实数x，a≥y恒成立，只需a≥ymax；若存在一个实数x0，使a≥y成立，只需a≥ymin.
(2)解决有关恒成立问题的方法：一是转化为二次函数，利用数形结合求解；二是利用分离参数法求解．
活学活用
若命题“ x∈R，x2－2ax＋2≥a－a2”是真命题，求实数a的取值范围．
解：因为对任意x∈R，x2－2ax＋2≥a－a2恒成立，
所以a－a2小于或等于y＝x2－2ax＋2的最小值．
因为y＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2，
所以当x＝a时，函数的最小值为2－a2，
所以2－a2≥a－a2，
解得a≤2.
1．下列命题是“ x∈R，x2>3”的另一种表述方法的是( C )
A．有一个x∈R，使得x2>3
B．对有些x∈R，使得x2>3
C．任意一个x∈R，使得x2>3
D．至少有一个x∈R，使得x2>3
【解析】 “ x∈R，x2>3”是全称量词命题，改写时应使用全称量词．
2．下列命题中全称量词命题的个数是( C )
①任意一个奇数都是整数；
②有的三角形的一个内角为45°；
③四边形的内角和是360°.
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 ①和③是全称量词命题．
3．下列命题中，不属于全称量词命题的是( D )
A．任何一个实数乘0都等于0
B．自然数都是正整数
C．不重合的两条直线，不平行就相交
D．一定存在没有最大值的二次函数
【解析】 “一定存在没有最大值的二次函数”不是全称量词命题．
4．下列存在量词命题是假命题的是( B )
A．存在x∈Q，使2x－x3＝0
B．存在x∈R，使x2＋3x＋3＝0
C．至少存在一个实数既是2的倍数，又是3的倍数
D．有的有理数没有倒数
【解析】 “存在x∈R，使x2＋3x＋3＝0”是假命题，因为Δ＝32－4×3＝－3<0，所以方程x2＋3x＋3＝0没有实数根．
5．若“任意的x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≥0”是真命题，则a的取值范围是__a≤1__．
【解析】 x2－a≥0，即a≤x2.因为x∈{x|1≤x≤2}时，上式恒成立，而1≤x2≤4，所以a≤1.
8全称量词命题和存在量词命题的否定
[课程目标] 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律；2.正确地对含有一个量词的命题进行否定．
知识点 含有一个量词的命题的否定
[研读]全称量词命题的否定与全称量词命题的真假性相反，存在量词命题的否定与存在量词命题的真假性相反．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)“所有的矩形都是平行四边形”的否定是“所有的矩形都不是平行四边形”．( × )
(2)“所有偶数都能被4整除”的否定是“有些偶数不能被4整除”．( √ )
(3)“ x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是“ x∈R，x2－2x＋1<0”.( √ )
(4)“存在一个质数不是奇数”的否定是“所有质数都是奇数”．( √ )
(5) 的真假性相反．( √ )
【解析】 (1)“所有的矩形都是平行四边形”的否定是“有些矩形不是平行四边形”．
根据含有一个量词的命题的否定结论可知，(2)(3)(4)正确．
(5)存在量词命题p与其否定p一真一假．
写出下列全称量词命题的否定，并判断该否定的真假．
(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；
(2)p：每一个四边形的四个顶点共圆；
(3)p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于1.
解：(1) p：存在一个能被3整除的整数不是奇数．是真命题．
(2) p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．是真命题．
(3) p：存在x∈Z，x2的个位数字等于1.是真命题．
[规律方法]
(1)全称量词命题的否定：将全称量词变为存在量词，再否定它的结论，全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2)对省略全称量词的全称量词命题要补回全称量词再否定．解题中若遇到省略“所有”“任何”“任意”等量词的简化形式，这时则应先将命题写成完整形式，再依据法则写出其否定形式．
活学活用
写出下列命题的否定．
(1)三个给定产品都是次品；
(2)数列1，2，3，4，5中的每一项都是偶数；
(3)任意a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4)所有可以被2整除的整数，其末位数字是0.
解：(1)三个给定产品中至少有一个不是次品．
(2)数列1，2，3，4，5中至少有一项不是偶数．
(3)存在a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．
(4)存在能被2整除的整数，其末位数字不是0.
写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假．
(1)p： x∈R，2x＋5≥0；
(2)p： x∈R，x2－3x＋<0；
(3)p：有些分数不是有理数．
解：(1) p： x∈R，2x＋5<0，p为假命题．
(2)p： x∈R，x2－3x＋≥0.因为x2－3x＋＝≥0，所以p为真命题．
(3) p：一切分数都是有理数，p为真命题．
[规律方法]
(1)存在量词命题的否定：将存在量词变为全称量词，再否定它的结论，存在量词命题的否定是全称量词命题．
(2)对省略存在量词的存在量词命题要补回存在量词再否定．解题中若遇到省略“有一些”“有一个”“存在”等量词的简化形式，这时则应先将命题写成完整形式，再依据法则写出其否定形式．
活学活用
判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．
(1)p：有一个奇数不能被3整除；
(2)p：有些三角形的三个内角都是60°；
(3)p：有的一元二次方程有实数根．
解：(1)p是真命题，如5不能被3整除．
p：任意一个奇数都能被3整除．
(2)p是真命题，等边三角形的三个内角都为60°.
p：任意三角形的三个内角不都为60°.
(3)p是真命题，如方程x2－2x＋1＝0有实根x1＝x2＝1.
p：所有的一元二次方程都没有实数根．
已知集合A＝，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围．
解：由于命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，所以B A.
当B≠ 时，则解得2≤m≤3.
当B＝ 时，则m＋1>2m－1，解得m<2.
综上，m的取值范围是m≤3.
活学活用
已知命题p：存在x>a，使得2x＋a<3是假命题，求实数a的取值范围．
解：由题意，p：对任意x>a，都有2x＋a≥3是真命题，
等价于：对任意x>a，不等式2x＋a≥3恒成立，
从而有2a＋a≥3，即a≥1.
已知命题p： x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≥0，q： x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若p和q都是真命题，求实数a的取值范围．
解：p和q都是真命题
a≤－2或a＝1.
1．下列命题中，真命题的个数是( B )
①存在实数x，使x2＋2<0；
②面积等于1的三角形都全等；
③有些三角形是钝角三角形．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 因为x2≥0，所以x2＋2＞0，故①是假命题；面积相等的三角形不一定全等，所以②是假命题；显然③是真命题．
2．命题“ x∈R，使得x2＋2x<0”的否定是( C )
A． x∈R，使得x2＋2x≥0
B． x∈R，使得x2＋2x>0
C． x∈R，都有x2＋2x≥0
D． x∈R，都有x2＋2x<0
【解析】 因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以，命题“ x∈R，使得x2＋2x＜0”的否定是： x∈R，都有x2＋2x≥0.故选C.
3．已知命题p：存在a∈{x|x<0}，a2－2a－1>0，那么命题p的否定是( D )
A．存在a∈{x|x>0}，a2－2a－1≤0
B．存在a∈{x|x<0}，a2－2a－1≤0
C．对任意a∈{x|x>0}，a2－2a－1≤0
D．对任意a∈{x|x<0}，a2－2a－1≤0
4．全称量词命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是( C )
A．所有能被5整除的整数都不是奇数
B．所有奇数都不能被5整除
C．存在一个能被5整除的整数不是奇数
D．存在一个奇数，不能被5整除
【解析】 全称量词命题的否定是存在量词命题，而A，B是全称量词命题，所以A，B错．因为“所有能被5整除的整数”的否定是“存在一个能被5整除的整数”，所以D错，C正确，故选C.
5．已知命题p： x∈R，2x2－3a>0，若 p是真命题，则实数a的取值范围是__a≥0__．
【解析】 p： x∈R，2x2－3a≤0，所以3a大于或等于2x2的最小值，即a≥0.
6．已知命题p：“ x∈R，ax2＋2x＋1≠0”的否定为真命题，则实数a的取值范围．
解：p： x∈R，ax2＋2x＋1＝0为真命题 方程ax2＋2x＋1＝0有解，
当a＝0时，显然有解；
当a≠0时，则
综上可得a≤1.
5(共19张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1．5 全称量词与存在量词
1．5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
[课程目标] 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在
形式上的变化规律；
2.正确地对含有一个量词的命题进行否定．
知识点 含有一个量词的命题的否定
存在量词命题
全称量词命题
[研读]全称量词命题的否定与全称量词命题的真假性相 反，存在量词命题的否定与存在量词命题的真假性相反．
【思辨】判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)“所有的矩形都是平行四边形”的否定是“所有的矩形都不是
平行四边形”．( )
(2)“所有偶数都能被4整除”的否定是“有些偶数不能被4整除”．( )
(3)“ x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是“ x∈R，x2－2x＋1<0”.
( )
√
×
√
(4)“存在一个质数不是奇数”的否定是“所有质数都是奇数”
( )
(5) 的真假性相反．
( )
【解析】 (1)“所有的矩形都是平行四边形”的否定是“有些矩形不是平行四边形”．
根据含有一个量词的命题的否定结论可知，(2)(3)(4)正确．
(5)存在量词命题p与其否定 p一真一假．
√
√
例1 写出下列全称量词命题的否定，并判断该否定的真假．
(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；
(2)p：每一个四边形的四个顶点共圆；
(3)p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于1.
解：(1) p：存在一个能被3整除的整数不是奇数．是真命题．
(2) p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．是真命题．
(3) p：存在x∈Z，x2的个位数字等于1.是真命题．
[规律方法]
(1)全称量词命题的否定：将全称量词变为存在量词，再
否定它的结论，全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2)对省略全称量词的全称量词命题要补回全称量词再否
定．解题中若遇到省略“所有”“任何”“任意”等量词的简化形
式，这时则应先将命题写成完整形式，再依据法则写出其否定
形式．
写出下列命题的否定．
(1)三个给定产品都是次品；
(2)数列1，2，3，4，5中的每一项都是偶数；
(3)任意a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4)所有可以被2整除的整数，其末位数字是0.
解：(1)三个给定产品中至少有一个不是次品．
(2)数列1，2，3，4，5中至少有一项不是偶数．
(3)存在a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．
(4)存在能被2整除的整数，其末位数字不是0.
例2 写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假．
(1)p： x∈R，2x＋5≥0；
(2)p： x∈R，x2－3x＋ <0；
(3)p：有些分数不是有理数．
[规律方法]
(1)存在量词命题的否定：将存在量词变为全称量词，再
否定它的结论，存在量词命题的否定是全称量词命题．
(2)对省略存在量词的存在量词命题要补回存在量词再否
定．解题中若遇到省略“有一些”“有一个”“存在”等量词的简化
形式，这时则应先将命题写成完整形式，再依据法则写出其否
定形式．
判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．
(1)p：有一个奇数不能被3整除；
(2)p：有些三角形的三个内角都是60°；
(3)p：有的一元二次方程有实数根．
例3 已知集合A＝ ，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，
若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围．
已知命题p：存在x>a，使得2x＋a<3是假命题，求实数a的取值范围．
解：由题意， p：对任意x>a，都有2x＋a≥3是真命题，
等价于：对任意x>a，不等式2x＋a≥3恒成立，
从而有2a＋a≥3，即a≥1.
例4 已知命题p： x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≥0，q： x∈R，
x2＋2ax＋2－a＝0，若p和q都是真命题，求实数a的取值范围．
1．下列命题中，真命题的个数是( )
①存在实数x，使x2＋2<0；
②面积等于1的三角形都全等；
③有些三角形是钝角三角形．
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 因为x2≥0，所以x2＋2＞0，故①是假命题；面积
相等的三角形不一定全等，所以②是假命题；显然③是真
命题．
B
2．命题“ x∈R，使得x2＋2x<0”的否定是( )
A． x∈R，使得x2＋2x≥0
B． x∈R，使得x2＋2x>0
C． x∈R，都有x2＋2x≥0
D． x∈R，都有x2＋2x<0
【解析】 因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以，命题“ x∈R，使得x2＋2x＜0”的否定是： x∈R，
都有x2＋2x≥0.故选C.
C
3．已知命题p：存在a∈{x|x<0}，a2－2a－1>0，那么命题p的
否定是( )
A．存在a∈{x|x>0}，a2－2a－1≤0
B．存在a∈{x|x<0}，a2－2a－1≤0
C．对任意a∈{x|x>0}，a2－2a－1≤0
D．对任意a∈{x|x<0}，a2－2a－1≤0
D
4．全称量词命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定
是( )
A．所有能被5整除的整数都不是奇数
B．所有奇数都不能被5整除
C．存在一个能被5整除的整数不是奇数
D．存在一个奇数，不能被5整除
【解析】 全称量词命题的否定是存在量词命题，而A，B
是全称量词命题，所以A，B错．因为“所有能被5整除的整
数”的否定是“存在一个能被5整除的整数”，所以D错，C正
确，故选C.
C
5．已知命题p： x∈R，2x2－3a>0，若 p是真命题，则实数
a的取值范围是_________．
6．已知命题p：“ x∈R，ax2＋2x＋1≠0”的否定为真命题，
则实数a的取值范围．
a≥0(共28张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1．5 全称量词与存在量词
1．5.1 全称量词与存在量词
[课程目标] 1.理解全称量词、全称量词命题的定义，理解存在量
词、存在量词命题的定义；
2.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命
题，并会判断它们的真假．
知识点一 全称量词
1．短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用
符号“____”表示，含有全称量词的命题，叫做
__________________．
2．将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，… 表示，变量x的取
值范围用M表示．那么，全称量词命题“对M中任意一个x，
p(x)成立”可用符号简记为___________________．
全称量词命题
x∈M，p(x)
【思辨】判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)所有实数都有平方根．( )
(2)“有的质数是奇数”是全称量词命题．( )
(3)“三角形内角和等于180°”是全称量词命题．( )
(4)“对于任意实数x，2x＋1是奇数”是全称量词命题．( )
【解析】 (1)负数没有平方根．
(2)“所有质数是奇数”才是全称量词命题．
(3)“三角形内角和等于180°”即“所有的三角形内角和等于180°”．
(4)根据全称量词命题的概念知，该说法正确．
×
×
√
√
知识点二 存在量词
1．短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量
词，并用符号“____”表示．含有存在量词的命题，叫做
________________．
2．存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记
为__________________．
存在量词命题
x∈M，p(x)
【思辨】判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)有一个实数x，使x2＋2x＋＝0.( )
(2)函数y＝－2x＋3的图象上有些点在第三象限．( )
(3)有些整数只有两个正因数．( )
(4)“至少有一个偶数是质数”是存在量词命题且是真命题．
( )
×
×
√
√
例1 将下列命题用量词符号“ ”或“ ”表示．
(1)自然数的平方大于零；
(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<1)至少存在一个负根；
(3)两个无理数的和是无理数；
(4)存在两个相似三角形不全等．
解：(1)该命题省略了全称量词“任意一个”，
因此可用符号表示为： x∈N，x2>0.
(2)用符号表示为： x<0，ax2＋2x＋1＝0(a<1).
(3)用符号表示为： a，b∈{无理数}，a＋b∈{无理数}．
(4)用符号表示为： △ABC∽△A′B′C′，
△ABC≌△A′B′C′不成立．
例2 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
(1)梯形的对角线相等； (2)存在一个四边形有外接圆；
(3)所有的正方形都是矩形； (4)凸多边形的外角和等于360°.
解：(1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，
故为全称量词命题．
(2)命题为存在量词命题．
(3)命题为全称量词命题．
(4)命题可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，
故为全称量词命题．
[规律方法]
1．判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤：
2．同一个全称量词命题或存在量词命题，可能有不同的表述
方法，现列表总结如下，在实际应用中可以灵活选择：
判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“ ”或“ ”表示出来．
(1)任何一个实数除以1，仍等于这个实数；
(2)有一个奇数不能被3整除；
(3)每个三角形至少有两个锐角；
(4)存在负数x，使得 >2.
例3 判断下列命题的真假：
[规律方法]
(1)全称量词命题真假的判断．
①要判定全称量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，需要对集
合M中每个元素x，证明p(x)成立；要判定全称量词命题
“ x∈M，p(x)”是假命题，只需找到M中的一个元素x0，使
得p(x0)不成立即可．
②图表表示
(2)存在量词命题真假的判断．
①要判定存在量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，只需在集
合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，
使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题是假命
题，即对于 x∈M，p(x)都不成立．
②图表表示．
判断下列命题的真假：
(1) x∈R，x2＋2>0； (2) x∈N，x2≥1；
(3) x∈Z，x3<1； (4) x∈Q，x2＝3.
例4 已知y＝3ax2＋6x－1(a∈R).
(1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有y≤0；
(2)如果对任意x∈R，函数y＝3ax2＋6x－1(a∈R)的图象恒在直线y＝4x的下方，求实数a的取值范围．
解：(1)证明：当a＝－3时，y＝－9x2＋6x－1.
因为Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0，
且二次项系数小于零，
所以对任意x∈R，都有y≤0.
[规律方法]
(1)对任意的实数x，a≥y恒成立，只需a≥ymax；若存在一个实数x0，使a≥y成立，只需a≥ymin.
(2)解决有关恒成立问题的方法：一是转化为二次函数，利用数形结合求解；二是利用分离参数法求解．
若命题“ x∈R，x2－2ax＋2≥a－a2”是真命题，求实数a的取值范围．
解：因为对任意x∈R，x2－2ax＋2≥a－a2恒成立，
所以a－a2小于或等于y＝x2－2ax＋2的最小值．
因为y＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2，
所以当x＝a时，函数的最小值为2－a2，
所以2－a2≥a－a2，
解得a≤2.
1．下列命题是“ x∈R，x2>3”的另一种表述方法的是( )
A．有一个x∈R，使得x2>3
B．对有些x∈R，使得x2>3
C．任意一个x∈R，使得x2>3
D．至少有一个x∈R，使得x2>3
【解析】 “ x∈R，x2>3”是全称量词命题，改写时应使用
全称量词．
C
2．下列命题中全称量词命题的个数是( )
①任意一个奇数都是整数；
②有的三角形的一个内角为45°；
③四边形的内角和是360°.
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 ①和③是全称量词命题．
C
3．下列命题中，不属于全称量词命题的是( )
A．任何一个实数乘0都等于0
B．自然数都是正整数
C．不重合的两条直线，不平行就相交
D．一定存在没有最大值的二次函数
【解析】 “一定存在没有最大值的二次函数”不是全称量词
命题．
D
4．下列存在量词命题是假命题的是( )
A．存在x∈Q，使2x－x3＝0
B．存在x∈R，使x2＋3x＋3＝0
C．至少存在一个实数既是2的倍数，又是3的倍数
D．有的有理数没有倒数
【解析】 “存在x∈R，使x2＋3x＋3＝0”是假命题，
因为Δ＝32－4×3＝－3<0，
所以方程x2＋3x＋3＝0没有实数根．
B
5．若“任意的x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≥0”是真命题，则a的取值范
围是________．
【解析】 x2－a≥0，即a≤x2.因为x∈{x|1≤x≤2}时，
上式恒成立，而1≤x2≤4，所以a≤1.
a≤1
