(共22张PPT)
9.1 分式及其基本性质
第9章 分 式
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第1课时 分式
知识要点
1.分式的概念
2.分式有意义的条件
3.分式的值为零的条件
4.用分式表示数量
新知导入
填一填：回顾所学知识，完成下面内容.
（2）把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱体中，水面高度为______cm；把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，水面高度为______.
（1）一个长方形的面积为10 cm2，长为7 cm，则宽为______；长方形的面积为S，长为a，则宽为______.
7
10
a
S
课程讲授
1
分式的概念
问题1.1：观察我们刚刚填入的一组内容，试着发现它们的特点.
中的内容为分数
中的内容既不是整式也不是单项式
课程讲授
1
分式的概念
问题1.2：想一想 与 和分数有什么相同点和不同点.
分母中是否含有字母
形式上都是 ，分子和分母都是整式
A
B
相同点：
不同点：
课程讲授
1
分式的概念
问题1.2：试着归纳出 与 这类和分数有着相似之处的试着的定义.
分数的形式
分母部分含有字母
定义：一般地，用a，b表示两个整式，并且b中含有字母，那么式子 叫做分式.其中a叫做分式的分子，b叫做分式的分母.对于任意一个分式，分母不能为零.
课程讲授
1
分式的概念
分式是两个整式相除的商，正如分数可看成两个整数相除的商一样.
分式和整式统称为有理式，即
课程讲授
1
分式的概念
B
练一练：下列式子中，是分式的是（ ）
A.
B.
C.
D.
课程讲授
2
分式有意义的条件
问题1：回顾分数有意义的条件，想一想分式在满足什么条件下具有意义.
分数有意义的条件：分母不为零
被除数
除数
≠0
分式有意义的条件：分母（B）不为零，即B≠0
课程讲授
2
分式有意义的条件
例 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义
（1） ; （2） ;
（3） ； （4） .
解 要使得分式有意义，则分母3x≠0，即x≠0
解 要使得分式有意义，则分母x-1≠0，即x≠1
解 要使得分式有意义，则分母2a-1≠0，即a≠
2
1
解 要使得分式有意义，则分母x-y≠0，即x≠y
课程讲授
2
分式有意义的条件
练一练：要使分式 有意义，则x的取值应满足（ ）
A.x=-2
B.x≠2
C.x＞-2
D.x≠-2
D
课程讲授
问题1：分数在满足分母不为零的条件下具有意义，那么分式在什么条件下取值为零呢？
分数为零的条件：分子为零
被除数
除数
≠0
分式为零的条件：分子（A）为零，即A=0
3
分式的值为零的条件
课程讲授
C
练一练：若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A.2或-1
B.0
C.2
D.-1
3
分式的值为零的条件
课程讲授
问题2：回顾整数的除法，想一想分式在什么条件下取值为正呢？ 在什么条件下取值为负呢？
被除数
除数
≠0
分式的值为正的条件：分子（A）和分母（B）同号，即AB>0
3
分式的值为零的条件
分式的值为负的条件：分子（A）和分母（B）异号，即AB<0
课程讲授
3
分式的值为零的条件
练一练：
(1)当x为何值时，分式 的值为正？
(2)当x为何值时，分式 的值为负？
解 要使得分式的值为正，-x+5>0，即x<5.
解 x2>0，x2+5>0，即对与任意实数x，分式的值恒为负.
课程讲授
问题：有两块稻田，其中一块有m公顷，另一块有n公顷，如果两块稻田每公顷产稻谷x kg和y kg，那么这两块稻田平均每公顷产稻谷的千克数为 .
4
用分式表示数量
随堂练习
1.当x取什么值时，分式 无意义（ ）
A.
B.
C.x=0
D.x=1
A
随堂练习
A
2.分式 的值为零，则x的值为（ ）
A.3
B.-3
C.±3
D.任意实数
随堂练习
①③④
3.下列各式：
① ;② ;③ ;④ ，
其中是分式的是__________（填序号）.
x≠±1
4.分式 有意义时，x应满足__________.
5.当a=-3，b=2时，分式 的值为__________.
2
随堂练习
6.下列分式中,x取何值时，分式有意义？
（1） ; （2） ;
（3） ； （4） .
解: 要使得分式有意义，则分母x+2≠0，即x≠-2
解: 要使得分式有意义，则分母x+1≠0且x-2≠0且，即x≠-1且x≠2
解: 已知对应任意实数x有x2+2>0,故x取任意实数此分式都有意义
解: 已知对应任意实数x有绝对值大于等于零,故x取任意实数此分式都有意义
随堂练习
解：由x=-4时，原分式无意义，
得-4+a=0，即a=4.
由x=2时，分式的值为零，
得2-b=0，即b=2.
所以a-b=4-2=2.
7.已知x=-4时，分式 无意义，x=2时分式的值为零，求a-b的值.
课堂小结
分式
定义
分式的值为零的条件
分式有意义的条件
一般地，如果a，b表示两个整式，并且b中含有字母，那么式子 叫做分式.其中a叫做分式的分子，b叫做分式的分母
分式有意义的条件：
分母（B）不为零，即B≠0
分式为零的条件：
分子（A）为零，即A=0
用分式表示数量(共19张PPT)
9.1 分式及其基本性质
第9章 分 式
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第2课时 分式的基本性质
知识要点
1.分式的基本性质
2.约分
3.最简分式
新知导入
填一填：回顾所学知识，完成下面内容.
分数的基本性质:
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个_________的数，分数的值不变.
不等于零
2
3
课程讲授
1
分式的基本性质
问题1：类比分数的基本性质，试着猜想分式会有哪些基本性质？
分子分母同时扩大C(C≠0)
分子分母同时缩小C(C≠0)
分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 ______的整式，分式的值_____.
课程讲授
1
分式的基本性质
不变
不等于0
课程讲授
1
分式的基本性质
例 填空：
x2
2ab-b2
a
2x
提示：根据分子（或分母）的变化来确定分母（或分子）的变化.
课程讲授
1
分式的基本性质
练一练：分式 可变形为（ ）
A.
B.
C.
D.
D
课程讲授
2
约分
问题1：类比分数的约分，以上一个例题为出发点，试着猜想分式要如何进行约分？
2x
x2
·x
·x
·3x2
·3x2
定义： 根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分．
课程讲授
2
约分
例 约分：
提示：先找出分子和分母的公因式，约分的结果要彻底.
解：
课程讲授
2
约分
解：
20xy4
16x2y3
=
4xy3·5y
4xy3·4x
=
5y
4x
解：
练一练：约分：
（1） （2）
20xy4
16x2y3
x2-4
xy+2y
x2-4
xy+2y
=
(x+2)(x-2)
y(x+2)
x-2
y
=
课程讲授
2
约分
归纳：约分时若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式.
课程讲授
3
最简分式
问题：在化简分式 时，小颖和小明的做法出现了分歧：
小颖：
小明：
定义：分子与分母只有公因式1的分式，叫做最简分式．
你对他们俩的解法有何看法？说说看！
约分要彻底, 使分子、分母没有公因式.
约分通常是把分式化为最简分式或整式.
课程讲授
3
最简分式
练一练：下列分式中是最简分式的是（ ）
A.
B.
C.
D.
判断一个分式是不是最简分式，要严格按照定义来判断，就是看分子、分母有没有公因式.分子或分母是多项式时，要先把分子、分母因式分解.
B
随堂练习
1.如果把 的x与y都扩大10倍，那么这个分式的值（ ）
A.不变
B.扩大50倍
C.扩大10倍
D.缩小到原来的
A
随堂练习
2.下列各式变形正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
C
随堂练习
3.在分式 , , , 中，是最简分式的个数有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
随堂练习
解：
4.约分
随堂练习
5.先化简，再求值： ,其中x+4y= .
=2x+4y
=-4
解：原式=
(x+4y)(x-4y)
2(x-4y)
课堂小结
分式的
基本性质
内容
分式的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于0的数，分式的值不变.
约分
把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分．
注意
(1)分子分母同时进行；
(2)分子分母只能同乘或同除，不能进行同加或同减；
(3)分子分母只能同乘或同除同一个整式；
(4)除式是不等于零的整式
最简分式
分子与分母只有公因式1的分式，叫做最简分式．(共23张PPT)
9.2 分式的运算
9.2.1 分式的乘除
第9章 分 式
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
知识要点
1.分式的乘法
2.分式的除法
3.分式的乘方
4.分式乘除法的实际应用
新知导入
想一想：
（1）一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为b,当容器内的水占容积的 时,水高多少
长方体容器的高为 ,
水高为
（2）大拖拉机m天耕地a hm2,小拖拉机n天耕地b hm2,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍
大拖拉机的工作效率是 hm2/天,小拖拉机的工作效率是 hm2/天,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的 倍.
课程讲授
1
分式的乘法
问题1：回顾分数的乘法法则，试着求出下式的结果，并试着总结出分式的乘法法则.
ac
bd
分式的乘法法则：
两个分式相乘，用___________作积的分子，用___________作为积的分母.
分子的积
分母的积
课程讲授
1
分式的乘法
例1 计算：（1） （2）
解：（1）原式
归纳：按照分式的乘法法则进行分式乘法运算，如果运算结果不是最简分式，一定要进行约分，使运算结果化成最简分式.
（2）原式=
课程讲授
1
分式的乘法
例2 计算：
解：原式=
归纳：分子、分母是多项式时 ，通常先分解因式，再约分.
课程讲授
1
分式的乘法
C
练一练：计算 的结果是（ ）
A.ax
B.bx
C.xb
D.
课程讲授
2
分式的除法
问题1：回顾分数的除法法则，试着求出下式的结果，并试着总结出分式的除法法则。
分式的除法法则：
两个分式相除，把除式的分子、分母__________后，与被除式______.
相乘
颠倒位置
c
a
b
d
ad
bc
课程讲授
2
分式的除法
例1 计算：（1）
解：原式
归纳：按照分式的除法法则进行分式乘法运算，如果运算结果不是最简分式，一定要进行约分，使运算结果化成最简分式.
课程讲授
2
分式的除法
例 （2）
解：原式
课程讲授
2
分式的除法
练一练：计算 等于（ ）
A.
B.
C.
D.
C
课程讲授
3
分式的乘方
问题1：怎样计算 ？
分式乘方的法则：
分式乘方就是把分子、分母______________.
这就是说，分式的乘方 可以转化为积的乘方
分别乘方
课程讲授
练一练：计算 的结果为（ ）
A. B.
C. D.
D
3
分式的乘方
课程讲授
4
分式乘除法的实际应用
例1 “丰收1号”小麦的试验田是边长为am的正方形减去一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg.
（1）哪种小麦的单位面
积产量高？
（2）高的单位面积产量
是低的单位面积产量的
多少倍？
1m
am
（a－1）m
课程讲授
4
分式乘除法的实际应用
1m
am
（a－1）m
解：（1）“丰收1号”小麦的试验田面积是（a 2-1）m2，单位面积产量是 kg/m2；
“丰收2号”小麦的试验田面积是（a－1）2m2，
单位面积产量是 kg/m2.
∵a>1, 0＜（a－1）2, a 2-1>0，
由图可得（a－1）2＜ a 2-1.
∴
∴“丰收2号”小麦的单位面积产量高.
课程讲授
4
分式乘除法的实际应用
1m
am
（a－1）m
所以 “丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的 倍.
（2）
课程讲授
练一练：由甲地到乙地的一条铁路全长为s km，火车全程运行时间为a h；由甲地到乙地的公路全长为这条铁路全长的m倍，汽车全程运行时间为b h，那么火车的速度是汽车速度的________倍.
4
分式乘除法的实际应用
a
bm
随堂练习
D
1.计算 的结果是（ ）
A.
B.
C.
D.
随堂练习
A
2.化简 的结果是（ ）
A.m
B.
C.m-1
D.
随堂练习
B
3.若式子 有意义，则x的取值范围是（ ）
A.x≠1
B.x≠0且x≠1
C.x≠-2且x≠1
D.x≠-2且x≠0且x≠1
随堂练习
4.甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修（a2-4）米，乙工程队每天修（a-2）2米（其中a＞2），则甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的________倍.
3a-6
2a+4
随堂练习
解：（1）原式
（2）原式
5.计算：
(1) (2)
课堂小结
分式的乘除
乘法运算
两个分式相乘，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母.
除法运算
两个分式相除，将除式的分子、分母位置颠倒后，与被除式相乘.
分式的乘除法的实际应用
乘方运算
分式乘方就是把分子、分母分别乘方.(共16张PPT)
9.2.2 分式的加减
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第1课时 分式的通分
第9章 分 式
9.2 分式的运算
知识要点
1.最简公分母
2.通分
新知导入
填一填：回顾所学知识，完成下面内容.
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个
________________,分式的值_______.
（2）什么叫约分？
根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分.
不等于零的整式
不变
课程讲授
1
最简公分母
问题1：找出下面分式最简公分母：
最小公倍数
最简公分母
最高次幂
单独字母
定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母.
课程讲授
1
最简公分母
求最简公分母时应注意：
（1）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；
（2）当分母是多项式时，一般应先分解因式.
课程讲授
练一练：分式 的最简公分母是（ ）
A.6xy2
B.24xy2
C.12xy2
D.12xy
1
最简公分母
C
课程讲授
练一练：写出下列各组分式的最简公分母：
（1）
（2）
1
最简公分母
解：最简公分母是 12a3bc.
解：最简公分母是 x2-1.
课程讲授
2
通分
定义： 化异分母分式为同分母分式的过程，叫做分式的通分.
与分数类似，在计算异分母分式的加减是，要利用分式的基本性质，先把分母不相同的分式化成分母相同的分式，再进行加减.
课程讲授
1
通分
例 通分：
(1) ， ； (2) ， .
解：最简公分母是2a2b2c
-
解：最简公分母是(x+5)(x-5)
课程讲授
练一练：把下列各组分式通分：
（1）
解：最简公分母是 12ab.
1
通分
课程讲授
练一练：把下列各组分式通分：
（2）
解：最简公分母是 x(x+y)(x-y).
1
通分
随堂练习
1.分式 的分母经过通分后变成 2（a-b）2（a+b），那么分子应变为（ ）
A. 6a（a-b）2（a+b）
B. 2（a-b）
C. 6a（a-b）
D. 6a（a+b）
C
随堂练习
2.将分式 通分 ，分子所乘的单项式依次为 ， ， .
3c3
2ac2
6a2b
随堂练习
3.将分式 通分后 ，各分式的分子的和为 .
6a+3
随堂练习
4.通分:
解：最简公分母是（a+b）（a-b）.
课堂小结
分式的加减
最简公分母
通分
化异分母分式为同分母的分式的过程.
取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母(共20张PPT)
9.2.2 分式的加减
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第2课时 分式的加减
第9章 分 式
9.2 分式的运算
知识要点
1.同分母分式的加减
2.异分母分式的加减
新知导入
想一想：
1.同分母分数的加减法则是什么吗？
1
2.计算：
2
同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减.
课程讲授
1
同分母分式的加减
问题1：回顾同分母分数的加减法运算法则，试着求出下式的结果，并试着总结出同分母分式的加减运算法则.
1
5
5
3
分子相加
分母不变
分子相减
分母不变
a-b
c
c
a+b
课程讲授
1
同分母分式的加减
同分母分式加减法运算法则：
同分母的分式相加减，分母_____，分子_______.
不变
相加减
课程讲授
1
同分母分式的加减
例 计算：
解：（1）原式=
（2）原式
把分子相加减是把各个分式的“分子的整体”相加减，即各个分子都要用括号括起来
课程讲授
1
同分母分式的加减
A
练一练：化简 的结果是（ ）
A.m+3
B.m-3
C.
D.
课程讲授
问题1：回顾异分母分数的加减法运算法则，试着求出下式的结果，并试着总结出异分母分式的加减运算法则.
1
5
3
ad-bc
cd
ad+bc
2
异分母分式的加减
2
2
3
通分
通分
cd
cd
cd
cd
cd
ad
bc
ad
bc
课程讲授
2
异分母分式的加减
异分母分式加减法运算法则：
异分母分式相加减，先_____，变为_______的分式后再加减.
通分
同分母
课程讲授
2
异分母分式的加减
例1 计算：
(2)
解:
课程讲授
2
异分母分式的加减
例1 计算：
解:
课程讲授
2
异分母分式的加减
D
练一练：计算 的结果是（ ）
A.a+b
B.
C.
D.
课程讲授
2
异分母分式的加减
例2 小刚家和小丽家到学校的路程都是3km，其中小丽走的是平路，骑车速度2v km/h．小刚需要走1km的上坡路、2km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为v km/h，在下坡路上的骑车速度为3v km/h．那么：
（1）小刚从家到学校需要多长时间？
（2）小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间．
课程讲授
2
异分母分式的加减
解：（1）小刚从家到学校需要
（2）小丽从家到学校需要
小丽比小刚在路上花费时间少
因为 所以小丽在路上花费的时间少.
随堂练习
1.计算:
随堂练习
2.已知 ，则 的值是（ ）
A. B. C.3 D.-3
3.对于任意的x值都有 ，则M，N的值为（ ）
A.M=1，N=3 B.M=-1，N=3
C.M=2，N=4 D.M=1，N=4
C
B
随堂练习
4.已知x为整数，且 为整数，则符合条件的x的个数有_______个.
4
随堂练习
5.计算:
解：(1)原式=
(2)原式=
课堂小结
分式的加减
同分母分式的加减
异分母分式的加减
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式后再加减.
同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减.(共20张PPT)
9.2.2 分式的加减
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第3课时 分式的混合运算
第9章 分 式
9.2 分式的运算
知识要点
1.分式的混合运算
2.分式的化简求值
新知导入
填一填：回顾所学知识，完成下面内容.
分数的混合运算法则
先算_____，再算_____，最后算_____，有括号的先算__________.
括号里面的
乘除
乘方
加减
63
76
课程讲授
1
分式的混合运算
问题1：根据分数的混合运算法则以及我们前面学习国的分式相关运算法则，试着归纳出分式的混合运算规律.
①计算乘方运算
②计算乘除运算
③计算加减运算
分式的混合运算法则：
先算_____，再算_____，最后算_____，有括号的先算__________.
括号里面的
乘除
乘方
加减
1
分式的混合运算
课程讲授
课程讲授
1
分式的混合运算
例1 计算：
提示：(1)当式子中出现整式时，把整式看成整体，并把分母看做“1”
(2)分子或分母是多项式的先因式分解，不能分解的要视为整体
课程讲授
1
分式的混合运算
解：原式
课程讲授
1
分式的混合运算
解：原式
课程讲授
1
分式的混合运算
练一练：化简 的结果是（ ）
A.
B.
C.
D.y
B
课程讲授
1
分式的混合运算
分式的混合运算
（1）进行混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左往右的方向，先算乘方，再算乘除，后算加减；
（2）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算.
课程讲授
2
分式的化简求值
例2 先化简： ，当b=3时，再从-2
的范围内选取一个合适的整数a代入求值.
提示：(1)当式子中出现整式时，把整式看成整体，并把分母看做“1”
(2)分子或分母是多项式的先因式分解，不能分解的要视为整体
课程讲授
2
分式的化简求值
解：原式=
在-2当a取0时，原式的值是 ；
当a取1时，原式的值是 .
课程讲授
2
分式的化简求值
练一练：如果a+b=2，那么 的值是（ ）
A.2
B.-2
C.
D.
A
课程讲授
2
分式的化简求值
例3 已知 ，求 的值.
提示：先通分，然后利用已知将x用含y的式子表示出来，代入通分后的式子，化简求值.
解：原式=
因为 ，即x=2y，
所以，原式=
课程讲授
2
分式的化简求值
D
练一练：若 ,则w=（ ）
A.a+2(a≠-2)
B.-a+2(a≠2)
C.a-2(a≠2)
D.-a-2(a≠±2)
随堂练习
C
1.化简 的结果为（ ）
A.
B.
C.
D.
3.化简 的结果是（ ）
A. B.
C. D.
随堂练习
2.计算 的结果是（ ）
A.-x2 B.-1 C.x2 D.1
D
C
4. 化简 的结果是 .
5. 化简 的结果是 .
随堂练习
6.如果实数x,y满足方程组，
那么式子 的值为_____.
x+3y=0
2x+3y=3，
1
随堂练习
7.计算
解：原式=
a-1
1
解：原式=
y-3
y2+3y
课堂小结
分式的混合运算
运算法则
先乘方，再乘除，后加减.如果有括号，先进行的括号里的运算.
注意
计算结果要化为最简分式或整式．(共26张PPT)
9.3 分式方程
第9章 分 式
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第1课时 分式方程及其解法
知识要点
1.分式方程的概念
2.分式方程的解法
3.分式方程的增根
新知导入
想一想：回顾所学知识，完成下面内容.
一艘轮船在静水中的最大航行速度为30km/h，它以最大航行速度沿江顺流航行90km所用的时间，与以最大航行速度逆流航行60km所用的时间相等，江水的流速为多少？
如果设江水的流速为vkm/h，
则轮船顺流航行90km所用的时间为______h，
逆流航行60km所用的时间为______h，
根据已知条件我们可以得到如下的等量关系：________________
90
30+v
30-v
60
90
30+v
30-v
60
=
课程讲授
1
分式方程的概念
问题1： 甲、乙两地相距1400 km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9 h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍．
（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
等量关系：①乘高铁列车=乘特快列车-9，
②高铁列车的平均行驶速度=特快列车的平均速度×2.8倍；
课程讲授
1
分式方程的概念
问题1： （2）如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，那么x满足怎样的方程；
（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh．那么y满足怎样的方程．
课程讲授
1
分式方程的概念
问题2：根据我们得到的等量关系，我们获得了一个新的方程，观察这个方程，试着找出它的特点.
方程中含有分式
分母含有未知数
我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中
定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
课程讲授
D
1
分式方程的概念
练一练：下列各项属于分式方程的是（ ）
A.
B.
C.
D.
课程讲授
2
分式方程的解法
问题1：我们学习过整式方程的解法，试着解这个分式方程.
①转化为整式方程——
根据等式的性质，等式两边同时乘以最简公分母——
②得到整式方程，解方程——
（30+v）（30-v）
去分母
90（30-v）=60（30+v）
③检验所得结果是否正确——
将结果代入方程后，等号两边是否相等
v=6
课程讲授
2
分式方程的解法
解：方程①两边同乘（30+x)(30-x)，得
90（30-x)=60(30+x)，
解得 x=6.
检验：将x=6代入原分式方程中，左边= =右边，
因此x=6是原分式方程的根.
课程讲授
2
分式方程的解法
例 解方程
解： 方程两边乘x(x-2),得
x=3（x-2）.
解得
x=3.
检验：将x=3代入原方程，得左边=1，右边=1，左边=右边
所以，x=3是原分式方程的根.
课程讲授
2
分式方程的解法
归纳：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母” 即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.
课程讲授
2
分式方程的解法
练一练：解分式方程 时，去分母后变形为（ ）
A.2+(x+2)=3
B.2-(x+2)=3(1-x)
C.2-x+2=3(x-1)
D.2-(x+2)=3(x-1)
D
课程讲授
A
2
分式方程的解法
练一练：分式方程 的根是（ ）
A.x=1
B.x=-1
C.x=3
D.x=-3
课程讲授
3
分式方程的增根
问题1：根据分式方程的一般解法解下面的分式方程，运用所学知识检验所得结果是否是原分式方程的根.
根据等式的性质，等式两边同时乘以最简公分母——
（x-5）（x+5）
转化为整式方程——
解这个整式方程——
x+5=10
x=5
检验所得结果是否正确——
代入x=5后原分式方程的分母为0，相应分式无意义
5-5=0
25-25=0
此分式方程无解
x=5是整式方程x+5=10的解
课程讲授
3
分式方程的增根
分式方程根的检验：
将整式方程的解代入___________，如果__________的值______，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
不为0
最简公分母
最简公分母
课程讲授
3
分式方程的增根
例 解方程：
解： 方程两边都乘2x,得
960-600=90x.
解得
x=4.
经检验，x=4是原方程的根.
课程讲授
3
分式方程的增根
例 解方程
解： 方程两边都乘(x-1)(x+2),得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.
解得
x=1.
经检验，x=1是原分式方程的增根.
所以，原分式方程无解.
课程讲授
C
3
分式方程的增根
练一练：关于x的方程 有增根，则增根是（ ）
A.1
B.-1
C.±1
D.0
课程讲授
3
分式方程的增根
解分式方程的一般步骤：
分式方程
去分母
整式方程
检验
解整式方程
目标
最简公分母为0
最简公分母不为0
x=a是原分式方程的解
x=a不是原分式方程的解
x=a
1.有下列关于x，y的方程：
① ;
② ;
③ ;
④ ，
其中分式方程的个数有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
随堂练习
B
随堂练习
2.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣x个物件，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
B
随堂练习
3.某市为处理污水，需要铺设一条长为5000m的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设20m，结果提前15天完成务．设原计划每天铺设管道x m，则可得方程 _______________.
随堂练习
D
4.分式方程 的解是（ ）
A.1或-1 B.-1
C.0 D.1
5.分式方程 的解为（ ）
A.x=1
B.x=-1
C.无解
D.x=-2
A
随堂练习
6.关于x的方程 有增根，则m的值是（ ）
A.-5 B.5 C.-7 D.2
A
C
7.若关于x的方程 的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A.m＜6 B.m＞6
C.m＜6且m≠0 D.m＞6且m≠8
随堂练习
8.解方程
解：去分母，得(x-2)(x-3)-3(x+3)=x2-9
解得x=
4
3
经检验，x= 是原方程的根.
4
3
课堂小结
分式方程
概 念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
分式方程的解法
去分母，方程左右两边同时乘以最简公分母
解整式方程
检验所的结果是否为原分式方程的根(共20张PPT)
9.3 分式方程
第9章 分 式
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第2课时 分式方程的应用
知识要点
分式方程的应用
新知导入
想一想：回顾所学知识，完成下面内容.
分式方程
去分母
_____方程
检验
解这个方程
目标
最简公分母_____
最简公分母______
x=a是原分式方程的解
x=a不是原分式方程的解
x=a
整式
为0
不为0
课程讲授
1
分式方程的应用
分析：甲队1个月完成总工程的 ，设乙队单独施工1个月能完成总工程的 ，那么甲队半个月就能完成总工程的______，乙队半个月就能完成总工程的______，两队半个月完成总工程的________.
例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？
1
6
1
2x
+
1
2x
1
6
课程讲授
方程两边都乘以6x,得
解得 x=1.
解：设乙队单独施工1个月能完成这项工程的 .记工作总量为1，根据工程的实际进度得
1
x
2x+x+3=6x
1
6
1
2x
+
1
3
+
=1
经检验，x=1是原分式方程的根.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队1个月才完成全部任务的 ，所以乙队的施工速度快.
1
分式方程的应用
课程讲授
1
分式方程的应用
练一练：某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
A
课程讲授
1
分式方程的应用
例2 某次列车平均提速v km/h,用相同的时间，小轿车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km,提速前列车的平均速度为多少？
分析：这里的字母v，s表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x km/h，那么提速前列车行驶s km所用的时间为______h，提速后列车的平均速度为______km/h，提速后列车运行（s+50）km所用的时间为_____h.
x
s
（x+v）
x+v
s+50
课程讲授
1
分式方程的应用
解：提速前列车的平均速度为xkm/h，那么提速前列车行驶skm所用的时间为 h,提速后列车的平均速度为（x+v）km/h，提速后列车运行（s+50）km所用的时间为 h.
x
s
x+v
s+50
根据行驶时间的等量关系，得
x
s
=
x+v
s+50
解得 .
x=
sv
50
经检验， 是原方程的根.
sv
50
答：提速前列车的平均速度为 km/h.
sv
50
课程讲授
1
分式方程的应用
列分式方程解决实际问题的一般步骤：
审清题意
设未知数
找等量关系
列出分式方程
解分式方程
验根
是否是原分式方程的根
是否符合题意
书写答题过程
参见解分式方程的一般步骤
课程讲授
1
分式方程的应用
练一练：某次列车平均提速v km/h，用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶60 km.设提速前列车的平均速度为x km/h，则列方程是（ ）
A. B.
C. D.
A
课程讲授
1
分式方程的应用
例3 某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每吨水费上涨1/3,小丽家去年12月的水费是15元,今年7月的水费是30元.已知今年7月的用水量比去年12月的用水量多5m3,求该市今年居民用水的价格
分析：此题的主要等量关系是：
小丽家今年7月的用水量－小丽家去年12月的用水量=5m3.
课程讲授
1
分式方程的应用
解：设该市去年居民用水的价格为x元/m3,则今年的水价为 元/m3,根据题意，得
解得
经检验， 是原方程的根.
答：该市今年居民用水的价格为2元/m3.
课程讲授
1
分式方程的应用
常见实际问题中的基本关系：
行程问题： 路程=速度×时间以及它的两个变式； 工程问题： 工作量=工时×工效以及它的两个变式； （注：工程问题中常把总工程量看作单位1）
利润问题： 销售利润=销售收入一成本；
利润率=利润÷进价。
随堂练习
1.甲、乙两船从相距300 km的A，B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180 km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6 km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为x km/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
A
随堂练习
2.某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420 km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2 h，那么汽车原来的平均速度为（ ）
A.70 km/h B.65 km/h
C.75 km/h D.80 km/h
A
随堂练习
3.“绿水青山就是金山银山”.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务.设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
B
随堂练习
4.陶瓷的发展史是中华文明史的一个重要组成部分，中国作为四大文明古国之一，为人类社会的进步和发展做出了卓越的贡献，其中陶瓷的发明和发展更具有独特的意义.景德镇某陶瓷厂接到制作480件陶瓷的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多60%，结果提前10天完成任务，原来每天制作__________件.
18
随堂练习
5.为了美化环境，某地政府计划对辖区内60 km2的土地进行绿化.为了尽快完成任务，实际平均每月的绿化面积是原计划的1.5倍，结果提前2个月完成任务，求原计划平均每月的绿化面积.
解：设原计划平均每月的绿化面积为xkm2,实际平均每月的绿化面积是1.5xkm2
解得x=10. 经检验，x=10是原方程的解，
答：原计划平均每月的绿化面积为10 km2.
由题意得，
=2
60
60
-
1.5x
x
随堂练习
6.一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1小时到达.已知A、B两地相距80千米，水流速度是2千米/小时，求轮船在静水中的速度.
x=－18（不合题意，舍去），
解：设船在静水中的速度为x千米/小时,根据题意得
解得 x=±18.
经检验，x=18是原方程的根.
答：船在静水中的速度为18千米/小时.
方程两边同乘（x-2)(x+2)得
80x+160 －80x+160=x2 －4.
课堂小结
分式方程的应用
常见类型
行程问题、工程问题、数字问题、顺逆问题、利润问题等
一般解题步骤
审清题意
找等量关系
列出分式方程
解分式方程
验根
书写答题过程