南京市2012-2013学年度第一学期期末调研高一数学试卷

南京市2012－2013学年度第一学期期末调研试卷
高一数学 2013.01
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为100分，考试时间为100分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答卷纸的密封线内．试题的答案写在答卷纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答卷纸．
一、填空题：本大题共14小题,每小题3分,共42分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．
1．已知集合A＝{0，2}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝ ▲ ．
2．计算：sin(－)＝ ▲ ．
3．函数f(x)＝lgx＋的定义域是 ▲ ．
4．已知角(的终边经过点P(－3，4)，则sin(－2cos(的值是 ▲ ．
5．计算：2lg5＋lg4＝ ▲ ．
6．已知向量a，b满足：|a|＝1，|b|＝2，a((a＋b)＝2，则a与b的夹角是 ▲ ．
7．已知a＝log32,b＝log45,c＝log30.3，则a，b，c的大小关系是 ▲ （用“＜”连接）．
8．函数y＝Asin((x＋()(A＞0，(＞0，|(|＜()的图象如右图所示，
则该函数的解析式为y＝ ▲ ．
9．已知向量e1和e2为两个不共线的向量，a＝e1＋e2，b＝2e1－e2，c＝e1＋2e2，
以a，b为基底表示c，则c＝ ▲ ．
10．给出下列四个函数：①y＝tanx；②y＝－x3；③y＝∣x2－1∣；④y＝－sinx．
其中既是奇函数，又在区间(0，1)上为单调递减的函数是 ▲ ．
(写出所有满足条件的函数的序号)
11．已知(为第三象限角，且＋＝2，则的值为 ▲ ．
12．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实数根，
则实数k的取值范围是 ▲ ．
13．定义＝ad－bc．已知函数f(x)＝，x∈[－，] ，
若f(x)的最大值与最小值的和为，则实数m的值是 ▲ ．
14．已知函数f(x)＝a(x＋a)(x－2a＋1)，g(x)＝2x－4满足条件：对任意x∈R，“f(x)＜0”与“g(x)＜0”中至少有一个成立，则实数a的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共58分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分8分）
设x，y∈R，向量a＝(x，2)，b＝(4，y)，c＝(1，－2)，且a(c，b∥c．
（1）求x，y的值；
（2）求∣a＋b∣的值．
16．（本小题满分10分）
已知2sin2(＋5cos(－()＝4．求下列各式的值：
（1）sin(＋()；
（2）tan((－( )．
17．（本小题满分10分）
经市场调查，某农产品在过去20天的日销售量和价格均为销售时间t（天）的函数，
且日销售量近似地满足f(t)＝－2t＋70（1≤t≤20，t∈N），前10天价格近似地满足
g(t)＝t＋10（1≤t≤10，t∈N），后10天价格近似地满足g(t)＝15（11≤t≤20，t∈N）．
（1）写出该农产品的日销售额S关于时间t的函数关系；
（2）求日销售额S的最大值．
18．（本小题满分10分）
已知函数f(x)＝2sin(2x－)．
（1）求f(x)的最小值及f(x)取到最小值时自变量x的集合；
（2）指出函数y＝f(x)的图象可以由y＝sinx的图象经过哪些变换得到；
（3）当x∈[0，m]时，函数y＝f(x)的值域为[－ ，2]，求实数m的取值范围．
19．（本小题满分10分）
如图，在△ABC中，已知CA＝2，CB＝3，(ACB＝60(，CH为AB边上的高．
（1）求·；
（2）设＝m＋n，其中m，n∈R，求m，n的值．
20．（本小题满分10分）
已知函数f(x)=x2－4－k|x－2|．
（1）若函数y＝f(x)为偶函数，求k的值；
（2）求函数y＝f(x)在区间[0，4]上的最大值；
（3）若函数y＝f(x)有且仅有一个零点，求实数k的取值范围．
南京市2012－2013学年度第一学期期末调研试卷
高一数学参考答案及评分标准 2013.01
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．
1．{2} 2．－ 3．{x∣x＞0，且x≠2} 4．2 5．2
6．60( 7．c＜a＜b 8．2sin(2x＋) 9． a－b 10．②④
11． 12．(0，1) 13．－1 14．(－2，0)
二、解答题：本大题共6小题，共58分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解 （1）由a(c，得a·c＝0．
即x(1＋2((－2)＝0，所以x＝4． …………………………………………2分
由b∥c，得4((－2)－y(1＝0，
所以y＝－8． ………………………………………………………………4分
（2）因为a＝(4，2)，b＝(4，－8)，
所以a＋b＝(8，－6)， ……………………………………………………6分
所以∣a＋b∣＝＝10． ……………………………………8分
16．解（1）由条件得2(1－cos2()＋5cos(＝4，
即2cos2(－5cos(＋2＝0． …………………………………………………2分
所以(2cos(－1)(cos(－2)＝0．
因为cos(≠2，所以cos(＝．
所以sin(＋()＝cos(＝． …………………………………………………5分
（2）cos(＝＞0，所以(为第一象限或第四象限角．
①当(为第一象限角，sin(＝＝，
tan((－()＝－tan(＝－＝－； ………………………………………8分
②当(为第四象限角，sin(＝－＝－，
tan((－()＝－tan(＝－＝． …………………………………………10分
17．解（1）根据题意，得S＝ ………………5分
（2）①当1≤t≤10，t∈N时，S＝－(t－)2＋，
所以当t＝7或8时，S的最大值为756； ………………………………7分
②当11≤t≤20，t∈N时，S＝－30t＋1050为减函数，
所以当t＝11时，S的最大值为720．
因为756＞720，
所以当t＝7或8时，日销售额S有最大值756． …………………………10分
18．解 （1）ymin＝－2．
此时2x－＝2k(－，即x＝k(－，k∈Z，
即此时自变量x的集合是{x∣x＝k(－，k∈Z}． ………………………3分
（2）把y＝sinx图象向右平移，得到函数y＝sin(x－)的图象；
再把函数y＝sin(x－)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，
得到函数y＝sin(2x－)的图象；
最后再把函数y＝sin(2x－)的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，
得到函数y＝2sin(2x－)的图象． ………………………6分
（3）如图，因为当x∈[0，m]时，y取到最大值2，所以m≥． ……………………8分
又函数y＝f(x)在[ ，]上是单调减函数，
故m的最大值为[ ，]内使函数值为－的值．
令2sin(2x－)＝－， 得x＝．
所以m的取值范围是[，]．……………………10分
19．解（1）设＝a，＝b，因为＝－＝a－b，
所以(＝(a－b)((－a)＝－a2＋a·b＝－9＋3(2(cos60(＝－6． ……………3分
（2）因为A，H，B三点共线，
所以设＝(＝((a－b)，
所以 ＝＋＝b＋((a－b)＝(a＋(1－() b． ………………………6分
因为(，所以(＝0．
所以[(a＋(1－() b] ( (a－b)＝0．
即(a2－(1－() b2＋(1－2()a(b＝0．
因为a2＝9，b2＝4，a(b＝3，代入上式，解得(＝．
所以 ＝a＋b，即m＝，n＝． ……………………………10分
20．解（1）因为y＝f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，
　　　　解得k＝0，
经检验k＝0符合题意． ……………………………2分
（2）方法一：
当x∈[0，2]时，f(x)＝x2＋kx－2k－4，对称轴方程为x＝－，
①当－≤1时，即k≥－2，则f(x)max＝f(2)＝0；
②当－＞1时，即k＜－2，则f(x)max＝f(0)＝－2k－4； ………………………3分
当x∈[2，4]时，f(x)＝x2－kx＋2k－4，对称轴方程为x＝，
①当＜3时，即k＜6，则f(x)max＝f(4)＝12－2k；
②当≥3时，即k≥6，则f(x)max＝f(2)＝0； ……………………………4分
因为当k≥6时，f(x)max＝f(2)＝0；
当－2≤k＜6时，因为f(4)＞0，所以f (x)max＝12－2k；
当k＜－2时，f(4)＞f(0)，所以f (x)max＝12－2k，
综上，当k＜6时，所求最大值为12－2k；
当k≥6时，所求最大值为0．……………………………6分
方法二：当x∈[0，4]时，f(x)＝
因为y＝f(x)在区间[0，4]上图象由两段抛物线段组成，且这两个抛物线开口均向上，
所以其最大值只可能是f(0)、 f(2)、 f(4)其中之一． ……………………………4分
又f(0)＝－2k－4， f(2)＝0， f(4)＝12－2k，
显然f(4)＞f(0)，
所以当k＜6时，所求最大值为f(4)＝12－2k；
当k≥6时，所求最大值为f(2)＝0．……………………………6分
（3）由题意，方程x2－4－k|x－2|＝0有且仅有一个解，
显然，x＝2已是该方程的解． ……………………………8分
当x≥2时，方程变为(x－2)( x＋2－k)＝0；
当x＜2时，方程变为(x－2)( x＋2＋k)＝0．
从而关于x的方程x＋2－k＝0(x≥2)有且仅有一个等于2的解或无解，
且x＋2＋k＝0(x＜2) 无解．
又x＝2时，k＝4，此时x＝－6也是方程的解，不合题意．
所以关于x的方程x＋2－k＝0(x≥2)无解，且x＋2＋k＝0(x<2) 无解．
所以k＜4且k≤－4．
所以k≤－4，即实数k的取值范围为(－∞，－4]. ………………………10分