因式分解
1．下列从左到右的变形是因式分解的是(D)
A．(x－a)(x＋a)＝x2－a2
B．4a2＋4a＋1＝4a(a＋1)＋1
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
D．x2－4y2＝(x－2y)(x＋2y)
2．下列各选项中因式分解正确的是(D)
A．x2－1＝(x－1)2
B．a3－2a2＋a＝a2(a－2)
C．－2y2＋4y＝－2y(y＋2)
D．m2n－2mn＋n＝n(m－1)2
3．(2021·菏泽东明县期末)已知x－y＝2，xy＝3，则xy2－x2y的值为(C)
A．5 B．6 C．－6 D．12
4．下列因式分解正确的是(C)
A．a(a－b)－b(a－b)＝(a－b)(a＋b)
B．a2－9b2＝(a－3b)2
C．a2＋4ab＋4b2＝(a＋2b)2
D．a2－ab＋a＝a(a－b)
5．已知a－b＝2，则a2－b2－4b的值为(B)
A．2 B．4 C．6 D．8
6．若4x2＋(k－1)x＋9能用完全平方公式因式分解，则k的值为(D)
A．±6 B．±12
C．－13或11 D．13或－11
7．(2021·泸州中考)分解因式：4－4m2＝__4(1＋m)(1－m)__．
8．(2021·菏泽中考)因式分解－a3＋2a2－a＝__－a(a－1)2__．
9．若x2＋ax＋4＝(x－2)2，则a＝__－4__．
10．若a＋b＝2，ab＝2，则a3b＋a2b2＋ab3的值是__4__．
11．(2021·北京期中)将下列各式因式分解：
(1)a4－16；
(2)－mp2＋4mp－4m；
(3)(x－3)x2＋9(3－x)；
(4)(m2＋2m)2＋2(m2＋2m)＋1.
【解析】(1)原式＝(a2＋4)(a2－4)
＝(a2＋4)(a＋2)(a－2)；
(2)原式＝－m(p2－4p＋4)＝－m(p－2)2；
(3)原式＝(x－3)x2－9(x－3)＝(x－3)(x2－9)＝(x－3)(x＋3)(x－3)＝(x－3)2(x＋3)；
(4)原式＝(m2＋2m＋1)2＝[(m＋1)2]2＝(m＋1)4.
12．已知b2－4b＋a2＋10a＋29＝0，求3a＋的值．
【解析】b2－4b＋a2＋10a＋29＝b2－4b＋4＋a2＋10a＋25＝(b－2)2＋(a＋5)2＝0，
所以b＝2，a＝－5.
所以3a＋＝3×(－5)＋12 022＝－14.
13．如图，你能用若干个边长为a的小正方形与长、宽分别为a，b的小长方形拼成一个长方形ABCD吗？若能，请画出示意图，再写出表示长方形ABCD面积的一个多项式，并将其因式分解．
【解析】(答案不唯一)比如拼成如图的大长方形：
则拼出大长方形的面积为：a2＋3ab＝a(a＋3b).
14．先阅读下列材料，再解答下列问题：
分解因式：(a＋b)2－2(a＋b)＋1，将a＋b看成整体，设M＝a＋b，则原式＝M2－2M＋1＝(M－1)2，再将M换元，得原式＝(a＋b－1)2，
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你仿照上面的方法
将下列式子进行因式分解：
(1)(3a＋2b)2－(2a＋3b)2；
(2)(n2＋3n＋2)(n2＋3n)＋1.
【解析】(1)(3a＋2b)2－(2a＋3b)2＝[(3a＋2b)＋(2a＋3b)][(3a＋2b)－(2a＋3b)]＝(5a＋5b)(a－b)＝5(a＋b)(a－b)；
(2)设M＝n2＋3n，则原式＝(M＋2)M＋1＝M2＋2M＋1＝(M＋1)2，
所以(n2＋3n＋2)(n2＋3n)＋1＝(n2＋3n＋1)2.
15．在全国中学生编程比赛中，我校学子用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式x3－4x分解结果为x(x＋2)(x－2).当x＝20时，x－2＝18，x＋2＝22，此时可得到数字密码201 822，或者是182 022等．
(1)根据上述方法，当x＝16，y＝4时，对于多项式x3－xy2分解因式后可以形成哪些数字密码(写出两个即可)
(2)将多项式x3＋(m－n)x2＋nx因式分解后，利用题目中所示的方法，当x＝10时可以得到密码101 213，求m，n的值．
【解析】(1)因为x3－xy2＝x(x＋y)(x－y)，
又因为当x＝16，y＝4时，x＋y＝20，x－y＝12，
所以可得到数字密码为：162 012或161 220；
(2)因为x＝10，得到的密码为101 213，
所以多项式x3＋(m－n)x2＋nx可分解为x(x＋2)(x＋3)，
因为x3＋(m－n)x2＋nx＝x[x2＋(m－n)x＋n]，
所以x2＋(m－n)x＋n＝(x＋2)(x＋3).
因为(x＋2)(x＋3)＝x2＋5x＋6，
所以n＝6，m－n＝5，
所以m＝11.
所以m＝11，n＝6.
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16．阅读理解题：
由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b).
示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3).
分解因式：x2－x－2＝x2＋[1＋(－2)]x＋[1×(－2)]＝(x＋1)(x－2).
多项式x2＋(a＋b)x＋ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．
(1)尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝
(x＋__________)(x＋__________)；
(2)应用：请用上述方法将多项式x2－5x＋6，x2－5x－6进行因式分解．
【解析】(1)x2＋6x＋8
＝x2＋(2＋4)x＋2×4
＝(x＋2)(x＋4)；
答案：2 4
(2)x2－5x＋6
＝x2＋[(－2)＋(－3)]x＋[(－2)×(－3)]
＝(x－2)(x－3)，
x2－5x－6
＝x2＋[1＋(－6)]x＋[1×(－6)]
＝(x＋1)(x－6).
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1．下列从左到右的变形是因式分解的是( )
A．(x－a)(x＋a)＝x2－a2
B．4a2＋4a＋1＝4a(a＋1)＋1
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
D．x2－4y2＝(x－2y)(x＋2y)
2．下列各选项中因式分解正确的是( )
A．x2－1＝(x－1)2
B．a3－2a2＋a＝a2(a－2)
C．－2y2＋4y＝－2y(y＋2)
D．m2n－2mn＋n＝n(m－1)2
3．(2021·菏泽东明县期末)已知x－y＝2，xy＝3，则xy2－x2y的值为( )
A．5 B．6 C．－6 D．12
4．下列因式分解正确的是( )
A．a(a－b)－b(a－b)＝(a－b)(a＋b)
B．a2－9b2＝(a－3b)2
C．a2＋4ab＋4b2＝(a＋2b)2
D．a2－ab＋a＝a(a－b)
5．已知a－b＝2，则a2－b2－4b的值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
6．若4x2＋(k－1)x＋9能用完全平方公式因式分解，则k的值为( )
A．±6 B．±12
C．－13或11 D．13或－11
7．(2021·泸州中考)分解因式：4－4m2＝__ __．
8．(2021·菏泽中考)因式分解－a3＋2a2－a＝__ __．
9．若x2＋ax＋4＝(x－2)2，则a＝__ __．
10．若a＋b＝2，ab＝2，则a3b＋a2b2＋ab3的值是__ __．
11．(2021·北京期中)将下列各式因式分解：
(1)a4－16；
(2)－mp2＋4mp－4m；
(3)(x－3)x2＋9(3－x)；
(4)(m2＋2m)2＋2(m2＋2m)＋1.
12．已知b2－4b＋a2＋10a＋29＝0，求3a＋的值．
13．如图，你能用若干个边长为a的小正方形与长、宽分别为a，b的小长方形拼成一个长方形ABCD吗？若能，请画出示意图，再写出表示长方形ABCD面积的一个多项式，并将其因式分解．
14．先阅读下列材料，再解答下列问题：
分解因式：(a＋b)2－2(a＋b)＋1，将a＋b看成整体，设M＝a＋b，则原式＝M2－2M＋1＝(M－1)2，再将M换元，得原式＝(a＋b－1)2，
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你仿照上面的方法
将下列式子进行因式分解：
(1)(3a＋2b)2－(2a＋3b)2；
(2)(n2＋3n＋2)(n2＋3n)＋1.
15．在全国中学生编程比赛中，我校学子用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式x3－4x分解结果为x(x＋2)(x－2).当x＝20时，x－2＝18，x＋2＝22，此时可得到数字密码201 822，或者是182 022等．
(1)根据上述方法，当x＝16，y＝4时，对于多项式x3－xy2分解因式后可以形成哪些数字密码(写出两个即可)
(2)将多项式x3＋(m－n)x2＋nx因式分解后，利用题目中所示的方法，当x＝10时可以得到密码101 213，求m，n的值．
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16．阅读理解题：
由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b).
示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3).
分解因式：x2－x－2＝x2＋[1＋(－2)]x＋[1×(－2)]＝(x＋1)(x－2).
多项式x2＋(a＋b)x＋ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．
(1)尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝
(x＋__________)(x＋__________)；
(2)应用：请用上述方法将多项式x2－5x＋6，x2－5x－6进行因式分解．
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