苏科版八年级数学上册精品教案第二章 勾股定理与平方根

第二章 勾股定理与平方根
2.1勾股定理(1)
教学目标
体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法。
会运用勾股定理解决简单问题。
通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值，体会数学的价值。
培养动口、动手、动脑的综合能力，并感受从具体到抽象的认知规律。
重 点:体验勾股定理的探索过程
难 点:勾股定理在生活实际中的应用
教学方法:探索交流
教 具:多媒体
一、情景导入：
1、复习提问：直角三角形边、角有哪些性质？
2、1955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成，这张邮票是纪念两千五百年前希腊的一个学派和宗教团体——学派，它的成立以及在文化上的贡献。邮票上的图案是对数学上一个非常重要定理的说明，它是初等几何中最精彩的，也是最著名和有用的定理。我们现在一起观察分析这枚邮票的图案，见教材P。52的图，你有哪些发现？
学生活动：阅读游戏规则，分组动手做游戏，游戏前找两位同学演示实验。教师活动：课前已经预习，学生们都自制了转盘，并且已经分好了组，教师巡回辅导，随时解决活动中的问题。
二、勾股定理的探究
1、教师活动：出示幻灯片给出教科中“如图2-1，小方格的面积看作1，以BC为一边的正方形的面积是9，以AC为一边的正方形的面积是16，你能计算出以AB为一边的正方形的面积吗？”，鼓励学生先独立完成问题，然后再交流自己的“割”、“补”方法。
2、 学生活动：完成教科中“实验”内容。
组间交流
猜想：由实验得出的多组数据猜想直角三角形三边之间的数量关系。
3、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
a2 + b2 = c2
三、介绍勾股定理的历史和地位，体现勾股定理数学的价值。
1、“勾”“股”“弦”的含义
2、《周髀算经》中周公与商高的对话。勾股定理又称为商高定理的道理。
3、毕达哥拉斯的“百牛大祭”
4、勾股定理是数学上有证明方法最多的定理——有四百多种。
四、学生课堂练习：
1、教材P.54第1、2题
2、直角三角形的两直角边分别是3、4，则以斜边的直径的圆的面积是多少？
3、已知正方形的面积为16cm2，以这个正方形的边长为边做一个等边三角形，则其一边上的高的平方等于多少？
1、第56页第1、2题
2、上网或翻阅有关资料了解有关勾股定理的知识
2.1 勾股定理(2)
教学目标
经历不同的拼图方法验证勾股定理的过程
2、会运用勾股定理解决一些简单问题。
3、通过验证过程中数与形的结合，体会数形结合的思想以及数学知识之间内在联系，每一部分知识并不是孤立的。
4、通过丰富有趣的拼图活动，经历观察、比较、拼图、计算、推理交流等过程，发展空间观念和有条理地思考和表达的能力，获得一些研究问题与合作交流方法与经验，增强对数学学习的兴趣。
重 点:1．通过综合运用已有知识解决问题的过程，加深对数形结合的思想的认识。
2．通过拼图验证勾股定理的过程，使学习获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。
难 点:利用数形结合的方法验证公式
教学方法:动手操作，合作探究
教学过程：
一、情景设置：
通过初一学期的学习，你已知道的关于验证公式的拼图方法有哪些？（教师在此给予学生独立思考和讨论的时间，让学生回想前面拼图。）
学生回答：a（b +c +d）= ab +ac +ad
（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd
（a+b）（c-d）=a2 - b2（a-b）2 =a2 -2ab+b2
（a+b）2 =a2 +2ab+b2
二、新课讲解：
1、数学实验室：完成教材P。54“数学实验室” 第1题，先独立完成，再小组交流，教师巡视，了解学生拼图的情况及利用自己的拼图验证的情况，帮助有困难的学生。
学生尝试完成教材P。54“数学实验室” 第2题，教师指导并板书证明。
2、提问：你能用四个全等直角三角形拼成一个图形，并利用你所拼的图形通过计算验证勾股定理吗？与同学交流。
这个问题要给予学生充足的时间和空间进行讨论和拼图，教师在这要引导适度，不要限制学生思维，同时鼓励学生在拼图验证过程中进行交流合作，教师在巡视过程中，及时指导，并让学生展示自己的拼图及让学生讲解验证勾股定理的方法，并根据不同学生的不同状况给予适当的引导，引导学生整理结论。
3、勾股定理是数学上有证明方法最多的定理，美国第二十任总统伽菲尔德就由这个图得出：c2 = a2 + b2证明勾股定理的。
他的证法在数学史上被传为佳话。他是这样分析的，如图所示：
学生拿出准备好的硬纸板制作
给学生充分的时间进行拼图、思考、交流经验，对于有困难的学生教师要给予适当引导。
教师接着引导学生完成教材第55页“探索”
4、学习了勾股定理以后，有同学提出“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方a2 + b2 = c2，或许其他三角形三边也有这样的关系。”我们一起“思考”，见教材55页思考，锐角三角形、钝角三角形有这样的性质吗？你能找出规律吗？
三、课堂练习
教材p。55练习
已知：等边三角形 ABC的边长为6cm，求一边上的高和三角形的面积。
等腰三角形ABC的腰长为10，底边上的高为6，则底边的长为多少？
四、小结：
从这节课中你有哪些收获？
（教师应给予学生充分的时间鼓励学生畅所欲言，只要是学生的感受和想法，教师要多鼓励、多肯定。最后，教师要对学生所说的进行全面的总结。）
五、作业：
1、教材57页第3、4题
2、上网或翻阅有关资料查找有关勾股定理的证明
2.2 神 秘 的 数 组
教学目标：1、阐述直角三角形的判断条件（勾股定理的逆定理）.
2、应用直角三角形的判定条件判定一个三角形是直角三角形，探索怎样的数组是“勾股数”，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力.
3、历探索一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会“形”与“数”的内在联系.
教学重点：用三角形的三边a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形这一方法进行直角三角形的判定.
教学难点：解勾股数的由来，并能用它来解决一些简单的问题.
设计思路： 本节课通过问题情境使学生在动手实践，自主探究，合作交流的过程中发现勾股定理的逆定理，并知道如何判断一个三角形是不是直角三角形，最后发现勾股数的规律，在教学时一定要让学生积极参与所有数学活动，让学生形成自己对数学知识的理解，感受到数学的乐趣.
教学过程：
情境创设
情境一：请画一个三边分别为3cm,4cm,5cm的三角形,你有什么发现？
（设计说明：让学生动手实践，引入直角三角形的判定条件的探究）
情境二：古巴比伦泥板上的数组揭示了什么奥秘？
（设计说明：激发学生探索问题的兴趣）
探索活动
1动手：请你画出两个三角形三边的长分别为6cm,8cm,10cm和5cm,12cm,13cm.你发现它们有什么共同的特点吗？
2猜想：三角形的三边满足什么条件时，这个三角形是直角三角形？
3结论：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ,那么这个三角形是直角三角形.
你会用这个结论判断一个三角形是不是直角三角形吗？
这个结论与勾股定理有什么关系吗？
（设计说明：让学生通过动手画图，观察，分析，做出猜想，进一步来验证，最后得出结论，经历这样一个过程，使学生形成自己对数学知识的理解）
探索规律
满足a2+b2=c2的3个正整数a，b，c称为勾股数.
例如：3，4，5是一组勾股数，古巴比伦泥板上的神秘数组都是勾股数，利用勾股数可以构造直角三角形.
除了3，4，5这组勾股数之外，你还能写出其他的勾股数吗？先独立思考，再与同学交流你的结果.
判断：下列各组数是勾股数吗？
（1）3，4，5
（2）6，8，10
（3）9，12，15
（4）12，16，20
你发现什么规律？
你还能写出更多的勾股数吗？
（设计说明：让学生通过观察，分析，猜想，验证等过程，发现规律，激发学数学的兴趣，在与他人的交流中获得成功的体验，树立自信心）
课堂练习
1书p59 1,2,3
（设计说明：对勾股定理的逆定理进行简单应用）
2.3平方根（第1课时）
课标要求： 1、了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根。
2、了解开方与乘方互为逆运算，会用平方根运算求某些非负数的平方根。
3、会用计算器求平方根。
教学目标： 1、了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根。
2、了解开方与乘方互为逆运算，会用平方根求某些非负数的平方根。
教学重点难点：了解开方与乘方互为逆运算，能熟练地用平方根求某些非负数的平方根
教学方法：观察、比较、合作、交流、探索.
设计思路：本节课通过问题情景使学生在计算、探索、交流的过程中能感悟到平方根的意义，并且能够知道正负数以及0的平方根的规律。在教学中要让每个学生都参与到活动中去，感受学习的乐趣，提高学习数学的兴趣，教学千万不能在走老路，先告诉规律，然后讲例题，在做练习。
教学过程：
（一）创设情景，感悟新知
情景一：设图中的小方格的边长为1，你能分别说出图中2个长方形的对角线AB,A’B’的长吗？（图见书63页）
情景二:在等式中 ，已知，你能求a吗？已知，你能求吗？
【设计说明：由学生熟悉的知识提出问题，也是一种不错的情景，我们在考虑设计情景不要只认为和生活实际联系起来才是好情景其实不然。】
（二）探索规律，揭示新知
问题一：认真观察下面的式子，积极思考，互相讨论：
请你举例与上面的式子类同的式子；
你得到什么结论？
（分小组讨论，老师适当参与给予帮助。）
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做的a平方根(square root),也称为二次方根。
如果，那么就叫做的平方根。
【设计说明：所选的题目都具有代表性，学生通过做题后思考讨论交流，能够较好接受平方根的概念】
问题二：在下列各括号中能填写适当的数使等式成立吗？如果能够，请填写；如果不能，请说明理由，并与同学交流。
一个正数的平方根有2个，它们互为相反数。
一个正数的正的平方根，记作“”，正数的负的平方根记作“”。
这两个平方根合起来记作“”，读作“正，负根号a”.
【设计说明：通过对具体的数的平方根的讨论交流，使学生自己总结出正数、0、负数的平方根的情况，让学生经历探索规律的过程，加深对规律的理解】
问题三：从问题二中，你得到了什么结论？
【设计说明：在讨论的过程中，不同层次的学生可能会遇到不同的困难，我们教师要给与适当的帮助，要给与鼓励】
（三）尝试反馈，领悟新知
例1 求下列各数的平方根：
25；（2）（3）15；（4）。
分析：1、判断这些数是否都有平方根；
2、根据规律各个数的平方根有几个？
【设计说明：在处理例题时要让学生充分参与分析，在运算时特别要注意一个正数的平方根有两个，对解题方式有提醒按要求】
练习题一：完成书本64页练习。
练习题二：1、平方得81的数是 ，因此81的平方根是 。
2、平方根是它本身的数是 。
3、如果-b是a的平方根，那么
A、； B、 ； C、； D、。
【设计说明：在练习的过程中，无论哪个层次的学生其回答只得法，我们教师要给与鼓励和肯定】
（四）布置作业，巩固新知
P66 1
可选用：一、下列各数有平方根吗？如果有，写出它的平方根；如果没有，请说明理由。
（1）；（2）；（3）；（4）。
（五）教后反思
2.3平方根（第2课时）
课标要求：1、了解算术平方根的概念，会用根号表示数的算术平方根。
2、了解开方与乘方互为逆运算，会用平方根运算求某些非负数的算术平方根。
教学目标：1、了解算术平方根的概念，会用根号表示数的算术平方根。
2、了解开方与乘方互为逆运算，会用平方根运算求某些非负数的算术平方根。
3、能运用算术平方根解决一些简单的实际问题。
教学重点难点：理解算术平方根的意义，能运用算术平方根解决一些简单的实际问题
教学方法：观察、比较、合作、交流、探索.
设计思路：本节课通过问题情景使学生在计算、探索、交流的过程中能感悟到算术平方根的意义，并且能运用算术平方根解决一些简单的实际问题。在教学中要让每个学生都参与到活动中去，感受学习的乐趣，提高学习数学的兴趣，教学千万不能在走老路，先告诉规律，然后讲例题，在做练习。
教学过程：
（一）创设情景，感悟新知
情景一：小明家装修新居，计划用100块地板砖来铺设面积为25平方米的客厅地面，请帮他计算：每块正方形地板砖的边长为多少时，才正好合适（不浪费）？
情景二：求4个直角边长为10厘米的等腰直角三角形纸片拼合成的正方形的边长？
【设计说明：将生活实际与数学联系起来，更能激发学生的兴趣,便于学生主动发现一个数的算术平方根——正的平方根,为解决问题提供方便】
教师讲解：正数有个平方根,其中正数的正的平方根,叫的算术平方根.
例如，4的平方根是，2叫做4的算术平方根，记作=；
2的平方根是，叫做2的算术平方根，记作。
（二）探索规律，揭示新知
例题讲解: 例2求下列各数的算术平方根:
（1）625；（2）0.0081；（3）6；（4）0。
【设计说明：在书写时仍采用结合文字语言叙述是写法，以利于学生加深对开平方与平方互为逆运算关系的理解。此题虽然比较简单但也考查了学生对算术平方根的理解情况，我们从学生的角度尤其学习有困难的学生来思考的话也许讲解起来学生更容易理解了】
例3：“欲穷千里目，更上一层楼”说的是登得高看得远。如图2—8，若观测点的高度为h，观测者能达到的最远距离为d，则，其中R是地球半径（通常取6400Km）.小丽站在海边一块岩石上，眼睛离地面的高度为20，她观测到远处一艘船刚露出海平面，此时该船离小丽约有多远？
【设计说明：将生活实际与数学联系起来，更能激发学生的兴趣,让学生感到算术平方根真能为解决实际问题提供方便，激发学习数学的激情】
（三）尝试反馈，领悟新知
完成下列习题,做题后思考讨论交流。
（1） （2） （3）=
(4) = ， (5) ， (6)= 。
从这些题目中要引导学生探索发现一般形式：
【设计说明：在讨论中我们要相信学生只要他们能发现一点规律或自己的看法，都应给予鼓励和肯定，同时对于学习有困难的学生要提供一定的帮助。】
（四）归纳小结，巩固提高
你能说出一些数的平方根与算术平方根吗？
算术平方根与平方根有什么区别与联系？
【设计说明：在教学中要学生在解决问题中表现出的不同水平，让学生交流各自解决问题的策略，不断获得解决问题的经验，提高思维水平。不要把归纳概括出一般形式作为本节课思维拓展的主要目标。】
（五）布置作业，巩固新知
完成课本P66习题2、3、5
补充思考题：
1、已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的平方根是±4，求a和b的值
2、若，求a、b的值
（六）教后反思
2.4立方根
教学目标：1、在一定的情境只，理解立方根的概念，使学生不断获得解决问题的经验，提高思维水平，学习中要注意感悟“类比”在知识产生和发展过程中的作用。
2、了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算，能用立方运算求一些数的立方根
3、能用立方根解决一些简单的实际问题。
教学重点与难点：正确地理解立方根的概念及符号表示并能熟练应用
设计思路：
本节课通过实际问题（由正方体的体积计算边长）引出需要研究立方运算的逆运算，使学生在研究、交流的过程中说明学习立方根的意义，也便于学生了解开立方与立方是互逆运算，教学中可以引导学生借助平方根的定义，平方根的符号表示，开平方运算，类比给立方根下定义，给出立方根的符号表示和开立方运算，由特殊数的立方根到一般数的立方根，这是由特殊到一般的认识过程，再由一般数的立方根解决一些问题，是一般到特殊的认识过程，在教学时要让学生积极参与所有的数学活动，使学生在学习过程中体验科学探究与发现的方法与过程，感受到学习的兴趣与乐趣，认识到自我价值，切不可让学生死记硬背立方根的概念及符号表示，否则会扼杀学生的创造力和积极性。
教学过程：
创设情境，感悟新知
情境一体积为1的正方体，棱长为多少？体积增加1，棱长为多少？
情境二做一个正方体纸盒，使它的容积为64cm，正方体纸盒的棱长是多少？如果要使正方体纸盒容积为25cm，它的棱长是多少？
引入课题2、4立方根
从实际问题的计算，感受学习立方根的必要性，教学中引导学生借助平方根的定义，平方根的符号表示，开平方运算，自己给立方根下定义，给出立方根的符号表示和什么叫开立方运算
设计说明：由学生熟知的实例提出问题，激发学生的学习兴趣，让学生在解决问题中遇到困难，激发他的求知欲，这样就为发现新知创造了一个最佳的心理认知环境，通过类比可以激发学生认知结构中的相关知识，为探求新知作好准备，更加积极主动的掌握新知。
探索活动
问题一根据立方根的定义，你能举出某个数的立方根吗？你能用符号表示吗？
设计说明：学生在大量举例中，弄清立方根的概念，提高有条理的表达能力，知道有些数的立方根可以直接表示出来，如=3，而有些数的立方根只能用符号表示，如，了解开立方运算
例题求下列各数的立方根
(1)-64 （２）－ （３）９ （４）０
设计说明：求a的立方根，就是要求一个数，使锝它的立方根为a，采用符号表示与语言文字相结合的写法，要求学生按照例题的书写格式写解题过程。
问题一　根据计算结果，与平方根作比较，有什么不同？与同学交流
设计说明：让学生在充分交流的基础上，借助平方根的学习经验，主动总结出立方根的性质，注意立方根与平方根的区别与联系：任何一个数都有立方根且只有一个；非负数才有平方根且正数的平方根有两个，它们互为相反数。
巩固练习：
１、下列说法正确的是（　　）
Ａ任意数a的平方根有２个，它们互为相反数 Ｂ任意数a的立方根有１个
Ｃ－３是２７的负的立方根 Ｄ（－１）的立方根是－１
２、下列判断正确的是（　　）
Ａ６４的立方根是４ Ｂ（－１）的立方根是１
Ｃ的立方根是２ Ｄ如果＝a，则a＝０
３、求下列各式中的Ｘ
x＋７２９＝０　　　　　　　　　　（x－３）＝６４
设计说明：通过第１、２题的观察、比较、判断，进一步澄清平方根、立方根概念，提高学生辨别是非的能力；第３题是开立方的简单应用，体现立方根的概念在解方程中的应用，显示方程形式的丰富多彩及解题思路的广泛性。
思维拓展，运用新知
１、讨论()等于多少？()等于多少？
等于多少?等于多少？
设计说明：适合基础较好班级使用，()与依据立方根的定义，不难求出正确结果，而与()部分学生有困难，可用小组讨论的形式，教师也要参与，这种合作学习不仅可以激活思维，培养学生的合作精神，集体观念，而且有助于因材施教，可以弥补教师难以面对有差异的众多学生的不足，有利于学生的全面、自主发展，使学生不断获得解决问题的经验，提高思维水平，对于能力较强的学生，鼓励他们从具体例子中归纳出一般形式()=a与=a　　　　　　　　　　　　　
这是特殊到一般的过程。
２、练习Ｐ６９　　2
设计说明：可留作课外思考，鼓励显示动手操作，合作探究，目的不在于得到什么结果，而是让学生参与这一过程，从多角度寻找解决问题的方法，培养学生的实践能力和创新精神。
课堂小结，内化新知
立方根和平方根有何异同？
利用立方根概念进行有关计算
布置作业，巩固新知P69 1----5
2.5实数（第一课时）
教学目标：
知道无理数是客观存在的，了解无理数和实数的概念，能对实数按要求进行分类，同时会判断一个数是有理数还是无理数。
知道实数和数轴上的点一一对应。
经历用有理数估算的探索过程，从中感受“逼近”的数学思想，发展数感，激发学生的探索创新精神。
教学重点与难点：
重点：会判断一个数是有理数还是无理数。
难点：不是有理数，有多大？
设计思路：
本节课通过问题情境，使学生在研究、交流的过程中经历数系的扩充，感受数学的逼近思想，发展数感等。在引导学生经历感受不是有理数的过程中，通过交流、讨论和探索，让学生感受客观世界中“无理数的客观存在性”，从而感受引入新数的必要性。
教学过程。
（一）创设情境
情境一：提出问题—我们通过研究边长为1的正方形的对角线的长为，说说你对的认识。
[设计说明：由学生熟知的实例提出问题，从而激发学生的学习兴趣和求知欲。]
情境二：现有一个直角三角形，直角边均为1，斜边为多少？你认识这个数吗？
[设计说明：在学生运用学过的知识解决一个问题的同时，引出了新的问题，激发学生的探索创新精神。]
情境三：大家都知道2是一个有理数，它的算术平方根为多少？还是一个有理数吗？
[设计说明：通过提出问题和解决问题，让学生感受的客观存在性，同时又产生一个疑问，从而会主动探索研究这个新问题，直至完全没有疑问。]
情境四：为了生活的需要人们引入了负数，数就由原来的正数和0扩充为有理数。细心的同学会发现还有一些不是有理数的数，和有理数一起构成了实数，它们到底是什么数呢？引出课题：实数。
[设计说明：让学生明白引入负数和引入无理数一样，都是生活的需要，同时说明了它们的客观性，同时告诉学生作好准备，迎接新的“挑战”。]
（二）探索活动
问题1：是有理数吗？
[设计说明：有理数范围很大，不少学生想到：整数和分数统称有理数，自然会将此问题变成两个小问题：a、是整数吗？b、是分数吗？若两者都不是，就说明不是有理数。]
问题2：是一个整数吗？
[设计说明：从说说对的认识中部分学生就认识到不是整数，如：用刻度尺测量，可知约等于1.4；在等腰直角三角形中，斜边大于直角边，可知大于１，三角形中两边之和大于第三边，可知<2，所以１<<2，而在1与2之间没有整数。
问题3：是1与2之间的一个分数吗？（也就是1与2之间的分数的平方会等于吗？）
[从直观上认识，从中可以让学生感知不是分数，因不是整数，即不是有理数，是一个新数。]
[设计说明：引导学生经历“有理数—实数”的又一次扩充，使学生从中不断积累数学活动的经验，教学中学生面对这个问题时，可能表现出比较盲目，不知如何着手，教师可以引导学生思考、交流，并给予适当的指导。]
问题4：有多大？
[设计说明：问题2是定性的研究，知道<<，即1.4<<1.5，问题3上升到定量的研究——更精确的描述。学生借助研究问题2的思路容易整理出研究问题3的思路。教学中可能学生夹逼的方法各有不同，要鼓励学生进行充分的探索，在探索中体会“无限”的过程。]
（三）课堂反馈
例题1、把下列各数填入相应的集合内：
、、0、、、、3.14159、-0.020020002
0.12121121112…
有理数集合{ }
无理数集合{ }
正实数集合{ }
负实数集合{ }
分析：要正确地将以上各数分类，就必须对各类书的概念十分清晰，用概念来判定。
练习一：课本P72练习第1题
练习二：判断正误，若不对，请说明理由，并加以改正。
无理数都是无限小数。
带根号的数不一定是无理数。
无限小数都是无理数。
数轴上的点表示有理数。
不带根号的数一定是有理数。
练习三：课本P72练习第3题
[设计说明：在例题后安排了一组练习，练习一主要是对有关概念的强化，练习二主要是通过学生对概念的进一步理解，比较和判断，提高他们的是非辨别力，它是在课本练习第2题的基础上增加了几个问题，其目的是通过一组判断题，帮助学生澄清概念，杜绝两者混淆。练习三可留作课后思考，时间允许的话最好课内解决，先让学生独立思考，然后小组讨论，教师也要参与，这种合作学习不仅可以激活学生的思维，培养合作精神，而且有助于因材施教，可以弥补教师难以面对有差异的众多学生的不足，有助于每个学生的全面及自主发展。]
（四）课堂小结
⒈怎样的数是无理数？请举例说明
⒉说说你对数的认识。（可以小论文的形式出现）
（五）布置作业
课本P75 习题2.5 1
教后反思：
2.5实数（第二课时）
教学目标：
1、了解有理数的运算在实数范围内仍然适用。
2、能用有理数估计一个无理数的大致范围。
3、能利用计算器比较实数的大小，进行实数的四则运算。
4、通过用不同的方法比较两个无理数的大小，理解估算的意义、发展数感和估算能力，在运用实数运算解决实际问题的过程中，增强应用意识，提高解决问题的能力，体会数学的应用价值。
教学重点和难点：
重点：在实数范围内会运用有理数运算。
难点：用有理数估算一个无理数的大致范围。
设计思路：
在实际生活中，经常会遇到无理数，常常需要估算这些无理数的大小，到目前为止，学生经历了多次数的扩充，每一次扩充都保持了原由的运算法则和运算性质，从中让学生体会到数学的和谐美。
教学过程：
㈠ 回顾旧知
⑴ 在有理数范围内绝对值、相反数、倒数的意义是什么？
⑵ 比较两个有理数的大小有哪些方法？
⑶ 你能借用有理数范围内的规定举例说明无理数的绝对值、无理数的倒数、两个无理数互为相反数吗？
[设计说明：回顾（2）后，教师应指出实数的绝对值、相反数、倒数与有理数范围内的意义完全相同，并且有理数大小比较的方法、运算性质及运算律在实数范围内仍然适用，通过回顾旧知，在此基础上学生更易接受新知，把握新知和运用新知。]
㈡ 探求新知
问题1、比较与的大小，说说你的方法。
[设计说明：问题1起着承上启下的作用，在比较的过程中，学生可能有各种不同的方法，教师要鼓励学生进行充分的交流。]
问题2、你还会比较-与-1.5的大小吗？
问题3、你认为 与0.5哪个大？你是怎么想的？与同学交流。
问题4、通过估算，你能比较与的大小吗？
[设计说明：教师应先让学生独立思考，然后进行充分的交流，在交流中应更多的关注学生能否运用有理数估算一个无理数的大致范围，把握数的相对大小，同时理解一些比较两个数大小的方法：a、通过估算 b、作差 c、作商 d、利用已有的结论 e、利用计算器。]
㈢ 例题教学
例题1、利用计算器比较与的大小（见课本P73 例1）
分析：两个负数比较大小，先比较其绝对植，大的反而小。要比较与的大小，应先比较与，这时需用计算器显示出结果。
[设计说明：有些简单的无理数，可通过估算直接比较大小，而有些无理数需借助高科产品，如计算器或计算机来完成，此题就属于后者，没有便用计算器的地区，可以考虑为学生提供常用数学表或提供相关数据]。
练习一：课本P74练习第一题
练习二：课本P74练习第2题
[设计说明：让学生学会用各种方法比较两个数的大小，练习二主要是对知识的应用，同时对学生提出了更高的要求，会灵活运用各种方法比较两个数的大小，同根号的数可以将系数带进去后应比较根号里新数的大小，即互为相反数的两个数可以只估算其中一个数与1的大小关系，则另一个数与之相反，当然还可以借助其他工具（计算器或计算机或常用数学用表等）。]
例2，计算
⑴ （保留2位小数） ⑵（保留2位小数）
[设计说明：例1主要让学生会用计算器求一个无理数，例2是在例1的基础上增加了难度，对学生也提出了更高的要求，让学生学会用计算器求多个无理数的混合运算及实数运算，在实数运算中涉及无理数的计算，可根据问题的要要取其近似值转化成有理数进行计算，教师应向学生说明：在计算过程中，取近似值时，可以按照计算结果要求的精确度，多保留一位。]
练习：课本P74练习第3题
[设计说明：此练习主要是对刚学过知识的强化，教师应针对不同层次的学生提出不同的要求。]
㈣ 课堂小结
⑴说说你是如何估算一个无理数的大小，你在生活中见过估算的方法吗？或举例说明
⑵请你尝试用估算的方法比较与的大小
⑶我们经历了多次数的扩充，每一次扩充都保持了原有的运算法则和运算性质，从中我们可以体会到数学的和谐
㈤ 布置作业，巩固新知
课本P75 习题2.5 2 3
[设计说明：第2题是对例2知识的再巩固，第3题不仅要让学生从感观上了解数的扩充保持运算法则的运算性质不变，还要付诸行动，在实际生活中灵活运用它们。]
教后反思：
2.6近似数与有效数字
教学目标：
1、了解近似数与有效数字的概念，体会近似数的意义及在生活中的作用
2、能说出一个近似数的精确度或有几个有效数字，能按照要求用四舍五入的方法取一个数的近似数
重点与难点：按要求用四舍五入法取一个数的近似数
设计思路：
本节课通过生活情境让学生搜集生活中的数据，感受数的意义，使得学生进一步认识了近似数，学会了如何去取一个数的近似值，以及指出一个近似数的有效数字，通过讨论交流使学生理解用科学记数法记数，不仅便于记一些较大（小）的数，而且易于表示近似数的有效数字.
教学过程
（一）情境创设
从早晨起床到上学，你从你的生活环境中获得哪些数的信息？
生活中，有些数据是准确的，有些是近似的，你能举例说明吗？
（设计说明：让学生自己搜集生活中与数有关的信息，从中进一步感受数的意义）
近似数
实际生产生活中的许多数据都是近似数，例如测量长度，时间，速度所得的结果都是近似数，且由于测量工具不同，其测量的精确程度也不同。在实际计算中对于像π这样的数，也常常需取它们的近似值.请说说生活中应用近似数的例子。
（设计说明：通过交流生活中近似数的例子，使学生认识到生活中存在近似数，感受近似数在生活中的作用，体会数学与生活的关系）
取一个数的近似值有多种方法，四舍五入是最常用的一种方法。用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
例如，圆周率=3.1415926…
取π≈3，就是精确到个位（或精确到1）
取π≈3.1，就是精确到十分位（或精确到0.1）
取π≈3.14，就是精确到百分位位（或精确到0.01）
取π≈3.142，就是精确到千分位位（或精确到0.001）
有效数字
对一个近似数，从左面第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字。
例如：上面圆周率π的近似值中，3.14有3个有效数字3，1，4；3.142有4个有效数字3，1，4，2.
例题教学
例1 小亮用天平称得罐头的质量为2.026kg,,按下列要求取近似数，并指出每个近似数的有效数字：
精确到0.01kg;
精确到0.1kg;
精确到1kg.
(设计说明：简单应用上面所学知识，先四舍五入取近似值，再确定近似数的有效数字，应注意提醒学生不能随便将小数点后的0去掉.)
例2 用四舍五入法，按要求对下列各数取近似值，并用科学记数法表示.
地球上七大洲的面积约为149480000（保留2个有效数字）
某人一天饮水1890ml（精确到1000ml）
小明身高1.595m（保留3个有效数字）
人的眼睛可以看见的红光的波长为0.000077cm（精确到0.00001）
请与同学交流讨论.
（设计说明：通过讨论使学生理解用科学记数法记数，不仅便于记一些较大（小）的数，而且易于表示近似数的有效数字）
课堂练习
1 基础训练
书p78 1,2
2 创新探究
（ 1） 胜利农场养鸡35467只，一个个体户养鸡13530只（四舍五入到十位），光明农场养鸡64800只（四舍五入到百位），要比较他们养鸡的多少，胜利农场养鸡数应四舍五入到哪一位数时，误差会少些。
（2）张娟和李敏在讨论问题。
张娟：如果你把7498近似到千位数，你就会得到7000.
李敏：不，我有另外一种解答方法，可以得到不同的答案。首先将7498近似到百位得7500，接着把7500近似到千位，就得到8000。
张娟：……
你怎样评价张娟和李敏的说法呢？
3 研究性学习练习
有一个四位数x，先将它四舍五入到十位，得到近似数m，再把四位数m四舍五入到百位，得到近似数n，再把四位数n四舍五入到千位，恰好是2000，你能求出四位数x的最大值与最小值吗？
（设计说明：通过练习，进一步巩固所学知识，发展能力）
课堂小结
举出生活中的近似数，指出它们精确到哪一位？各有几个有效数字？
教后反思：
2．7勾股定理的应用(1)
教学目标：
1．能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题．
2．在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想(把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题)，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值．
教学过程：
1．情境创设
本课时的教学内容是勾股定理在实际中的应用。除课本提供的情境外，教学中可以根据实际情况另行设计一些具体情境，也利用课本提供的素材组织数学活动。比如，把课本例2改编为开放式的问题情境：
一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑0.5m，你认为梯子的底端会发生什么变化?与同学交流．
创设学生身边的问题情境，为每一个学生提供探索的空间，有利于发挥学生的主体性；这样的问题学生常常会从自己的生活经验出发，产生不同的思考方法和结论(教学中学生可能的结论有：底端也滑动 0.5m；如果梯子的顶端滑到地面上，梯子的顶端则滑动8m，估计梯子底端的滑动小于8m，所以梯子的顶端下滑0.5m，它的底端的滑动小于0.5m；构造直角三角形，运用勾股定理计算梯子滑动前、后底端到墙的垂直距离的差，得出梯子底端滑动约0.61m的结论等)；通过与同学交流，完善各自的想法，有利于学生主动地把实际问题转化为数学问题，从中感受用数学的眼光审视客观世界的乐趣．
2．探索活动
问题一 在上面的情境中，如果梯子的顶端下滑 1m，那么梯子的底端滑动多少米?
组织学生尝试用勾股定理解决问题，对有困难的学生教师给予及时的帮助和指导．
问题二 从上面所获得的信息中，你对梯子下滑的变化过程有进一步的思考吗?与同学交流．
设计问题二促使学生能主动积极地从数学的角度思考实际问题．教学中学生可能会有多种思考．比如，①这个变化过程中，梯子底端滑动的距离总比顶端下滑的距离大；②因为梯子顶端下滑到地面时，顶端下滑了8m，而底端只滑动4m，所以这个变化过程中，梯子底端滑动的距离不一定比顶端下滑的距离大；③由勾股数可知，当梯子顶端下滑到离地面的垂直距离为6m，即顶端下滑2m时，底端到墙的垂直距离是8m，即底端电滑动2m等。教学中不要把寻找规律作为这个探索活动的目标，应让学生进行充分的交流，使学生逐步学会运用数学的眼光去审视客观世界，从不同的角度去思考问题，获得一些研究问题的经验和方法．
3．例题教学
课本的例1是勾股定理的简单应用，教学中可根据教学的实际情况补充一些实际应用问题，把课本习题2.7第4题作为补充例题．通过这个问题的讨论，把“32+b2=c2”看作一个方程，设折断处离地面x尺，依据问题给出的条件就把它转化为熟悉的会解的一元二次方程32+x2=(10—x)2，从中可以让学生感受数学的“转化”思想，进一步了解勾股定理的悠久历史和我国古代人民的聪明才智．
4. 小结
我们知道勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的数量关系，已知直角三角形中的任意两边就可以依据勾股定理求出第三边．从应用勾股定理解决实际问题中，我们进一步认识到把直角三角形中三边关系“a2+b2=c2”看成一个方程，只要依据问题的条件把它转化为我们会解的方程，就把解实际问题转化为解方程．
2．7勾股定理的应用2
教学目标：
1．能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题．
2．在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想(把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题)，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值．
教学过程：
1．情境创设
本课时的教学内容是勾股定理在数学内部的应用．课本设计用勾股定理探索一些无理数的活动，与本章第1节的“实验”，第2节的“由古巴比伦泥板上的一组数画三角形”相类似，都是为了使学生不断地感受“数”与“形”的内在联系、感受数学的整体性．
2．探索活动
问题一 在右图的直角三角形中，利用勾股定理可知 x=，根据已有的知识，你还知道哪些与这个三角形有关的数据信息吗?
两个锐角都是45°，这个三角形的面积是，周长是2+，斜边上的高、中线是．
问题二 你知道与右图的三角形有关的哪些数据信息呢?
问题三 如果要知道一个等边三角形的有关信息，你认为至少需要哪些信息?与同学交流．
问题一是把情境创设中的问题拓宽，为问题二、问题三作铺垫．通过对问题二、问题三的讨论交流，使学生主动地在等腰三角形、等边三角形中构造直角三角形，从而把解斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题．
3．例题教学
(1)例1的教学中可以根据教学的实际情况，变换问题的条件(比如等边三角形的角平分线是6cm)，以利于学生进一步认识等腰三角形、直角三角形的基本性质及相互关系；
(2)例2是勾股定理及直角三角形判定条件的综合应用，教学中应更多地关注发展学生有条理地思考和表达的能力．
4．小结
从勾股定理的应用中我们进一步体会到直角三角形与等腰三角形有着密切的联系；把研究等腰三角形转化为研究直角三角形，这是研究问题的一种策略．
教学活动：关于勾股定理的研究
教学目标：
掌握多种拼图方法，验证勾股定理，感受解决同一个问题方法的多样性，进一步体会数形结合的思想以及数学知识之间内在联系。
通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值。
经历克服困难和取得成功的过程，获得一些研究问题的经验和方法。
教学重难点：
教学重点：通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受。
教学难点：通过有关勾股定理的讲解，对学生进行德育教育。
设计思路：
勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。本节课通过问题情境，使学生在研究、交流的过程中更好地体会勾股定理及其逆定理在解决实际问题中的作用。
教学过程：
课前准备
以2—4人为一组，制定活动计划。
小组成员分工去图书馆，学校网站或教育网站收集所需的资料。
整理资料。
[设计说明：培养学生的动手动脑能力，激发学生的学习兴趣]
课堂活动
活动一：各小组成员选择自己最喜欢的拼图验证方法，探索研究这些拼图方法各自的特点。
活动二：各小组派代表上来展示自己的拼图，并说出它的特点。
活动三：各小组收集勾股数，观察勾股数，并猜想勾股数的特征。
设（a 、b 、c）为一组勾股数，即a2+b2=c2(a 、b 、c均为正整数)
①当a为奇数时，则b 、c是两个连续的正整数，且b=c=a2
如：（5，12，13） 12+13=52
（7，24，25） 24+25=72
②当a为大于4的偶数时，则b，c是两个连续的奇数或偶数，且b+c=1/2a2。
如：（6，8，10） 8+10=1/2*62
（8，15，17） 15+17=1/2*82
以上性质不是所有勾股数都具备的，如（9，12，15）就不具备以上性质。
[设计说明：通过学生观察、归纳、猜想这一过程，培养学生发现问题，解决总题的能力，发展了学生的空间观念和推理能力]
课堂小结：
学生通过探索勾股定理，验证勾股定理，探索直角三角形的条件等活动，再通过探索推理、交流获得结论，发展空间观念和推理能力。培养学生归纳、概括能力。
作业：
上交拼图，并完成数学活动评价表。
小结与思考（一）
教学目标：1、回顾和整理本章所学的知识内容，使学生对本章内容有全面的了解。
2、感受数形结合的思想。
3、在学习生活中获得成功的体会，增加学生学习数学的兴趣。
教学重点与难点：建立本章知识结构和各知识简单应用。
设计思路
本节课通过依据课本“小结与思考”中提供的问题为线索，整理出本章的结
构图，再由学生独立思考，在此基础上进行小组交流各知识获得的过程，再全班交流。教学中，教师应鼓励学生运用自己的语言叙述对知识的理解，而不是死记硬背概念，感受数形结合及数学的整体性。
教学过程
（一）梳理知识
1、同学们，上节课后，我给大家布置了一项作业，让你们回去完成本章的知识结构图，现在我和大家一起来讨论一下，看看我们完成的情况。【设计说明：给学生展示自我的机会，激发学生学习的兴趣】
2、分组讨论，选出每组较好的作品一件，并展示在黑板上。再次分组讨论选中作品的相同点和不同点，选出你们认为最适合自己的一件，并选代表发言，说明为什么。
【设计说明：通过学生的动手操作，提高学生分析、归纳、总结的能力。】
3、对学生提出的看法进行分析总结，使知识结构图进一步完善。
【设计说明：进一步提高学生的表达和概括能力。】
（二）探索知识
引导学生回答课本1、2、3、4、5的问题，并要求回答这些知识获得的过程。
【设计说明：引导学生再次感受“数”与“形”的内在联系和数学的整体性。】
（三）知识应用
例1、把下列各数填入相应的集合内。
-3.14、、、、、、-、0.15、0
无理数集合｛ …｝，正实数集合｛ …｝
例2、估计与0.5哪个大
例3、判断下列各题是否正确。
（1）-的相反数是- （ ）
（2）-的绝对值是-（ ）
（3）的算术平方根是9 （ ）
（4）0.06018精确到0.001是0.060 ( )
例4、在数轴上作出与对应的点。
【设计说明：巩固本章节概念和实数的运算，培养应用能力。】
练习选用复习巩固部分习题。
（四）课堂小结：交流本节课的学习知识。
【设计说明：由学生来回答，提高学生归纳能力，激发学生学习兴趣。】
（五）布置作业，巩固知识。P 86-87 3、8、9
教后反思。
小结与思考（二）
教学目标：
1、能灵活应用勾股定理、直角三角形的判定条件、平方根、立方根、实数相关知识解决一些有价值的问题，提高学生用所学的知识探索、分析、解决问题的能力，引导学生用数学的眼光看待问题。
2、培养学生用数学的思维方式去观察思考、分析解决实际问题，增强学生的应用意识。
3、让学生感受数学与生活的密切关系，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点与难点：
灵活应用所学的知识解决实际问题。
设计思路：
本节课使学生逐渐地主动尝试从数学的角度运用所学的知识和方法寻求解决问题的策略。
教学过程：
（一）课题引入
上节课，大家在谈感受最深的知识的获得的过程中，知道知识都是从实际生活中获得的，也就是说，数学来源于现实生活，也为现实生活解决问题。因此，今天我们就用所学的知识解决一些相关问题。
【设计说明：激发学生的学习兴趣，目的是使学生感受数学与实际生活的联系。】
（二）、活动探究
活动一、四边形ABCD中，AD=3cm，AB=4cm，
CD=12cm，BC=13cm，且∠A=90°，请你提出
一个合理问题，让同学来解决。
【设计说明：此题属于结论开放性题目，主要培养学生的观察力、想象力和语言表达能力，可能会有学生不知如何下手，教师要引导他们，这样既加深了学生对勾股定理及逆定理的运用，又提高了他们的探索能力，使他们有了一定的成就感。】
练习：P81第10题
活动二、在方格纸上画出面积为5、13、18的正方形（每一个小方格的面积为1个单位面积）
【设计说明：通过动手操作交流等活动，教师启发引导，让学生真正理解掌握相关的数学知识，学会解决问题的一般方法，再运用已有的知识研究解决新问题，使每一个学生都得到发展。】
练习：P87第8题
活动三、动手试一试
P88第13题
【设计说明：本题难度较大，可以适时引导指点学生，通过观察操作，画图设计，主动参与学习，增加学生合作探究，培养学生的创新意识。】
（三）布置作业，巩固知识
写一篇关于学习勾股定理后的一点感受。
【设计说明：让学生把自己的各种感受表述出来。】
教后反思