北师大版数学九年级下册 第三章 几何圆与相似 综合训练（含解析）

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初中数学几何圆与相似
一．相交弦定理
1．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝6，BP＝8，CP＝4，则CD长为（　　）
A．16 B．24 C．12 D．不能确定
2．如图，已知⊙O中，弦AB、CD交于P，AP＝PB＝4，CP＝2，则CD＝　 　．
3．如图，⊙O中弦AB，CD相交于点P，已知AP＝3，BP＝2，CP＝1，则DP＝　 　．
4．如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．
（1）求证：AM MB＝CM MD；
（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM MB的值．
二．切割线定理
5．如图，在 ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB＝4，BE＝5，则DE的长为（　　）
A．3 B．4 C． D．
6．如图，四边形ABCD是圆的内接四边形，AB、DC的延长线交于点P，若C是PD的中点，且PD＝6，PB＝2，那么AB的长为（　　）
A．9 B．7 C．3 D．
7．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D．已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那PB＝　 　．
8．如图，已知：AB是⊙O的直径，AC是切线，A为切点，BC交⊙O于点D，切线DE交AC于点E．求证：AE＝EC．
三．圆幂定理
9．如图，点P为弦AB上的一点，连接OP，过点P作PC⊥OP，PC交⊙O于C．若AP＝8，PB＝2，则PC的长是（　　）
A．4 B． C．5 D．无法确定
10．已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝5，以C为圆心，BC为半径作圆交BA的延长线于D，则AD的长为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，已知A、B、C、D在同一个圆上，BC＝CD，AC与BD交于E，若AC＝8，CD＝4，且线段BE、ED为正整数，则BD＝　 　．
12．如图，P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，AD⊥PO于D、求证：＝．
参考答案与试题解析
一．试题（共12小题）
1．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝6，BP＝8，CP＝4，则CD长为（　　）
A．16 B．24 C．12 D．不能确定
【解答】解：∵AP BP＝CP DP，
∴PD＝，
∵AP＝6，BP＝8，CP＝4，
∴PD＝12，
∴CD＝PC+PD＝12+4＝16．
故选：A．
2．如图，已知⊙O中，弦AB、CD交于P，AP＝PB＝4，CP＝2，则CD＝　10　．
【解答】解：∵弦AB、CD交于P，
∴PA PB＝PC PD，
∴4×4＝2×PD，
解得，PD＝8，
∴CD＝PC+PD＝10，
故答案为：10．
3．如图，⊙O中弦AB，CD相交于点P，已知AP＝3，BP＝2，CP＝1，则DP＝　6　．
【解答】解：由相交弦定理得，AP BP＝CP DP，
则DP＝＝6，
故答案为：6．
4．如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．
（1）求证：AM MB＝CM MD；
（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM MB的值．
【解答】解：（1）∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，
∴△ADM∽△CBM
∴，
即AM MB＝CM MD．
（2）连接OM、OC．
∵M为CD中点，
∴OM⊥CD
在Rt△OMC中，
∵OC＝3，OM＝2
∴CM＝DM＝，
由（1）知AM MB＝CM MD．
∴AM MB＝ ＝5．
5．如图，在 ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB＝4，BE＝5，则DE的长为（　　）
A．3 B．4 C． D．
【解答】解：连接CE；
∵，
∴∠BAE＝∠EBC+∠BEC；
∵∠DCB＝∠DCE+∠BCE，
由弦切角定理知：∠DCE＝∠EBC，
由平行四边形的性质知：∠DCB＝∠BAE，
∴∠BEC＝∠BCE，即BC＝BE＝5，
∴AD＝5；
由切割线定理知：DE＝DC2÷DA＝，
故选：D．
6．如图，四边形ABCD是圆的内接四边形，AB、DC的延长线交于点P，若C是PD的中点，且PD＝6，PB＝2，那么AB的长为（　　）
A．9 B．7 C．3 D．
【解答】解：∵C是PD的中点，PD＝6，
∴PC＝CD＝PD＝3，
由切割线定理得，PC PD＝PB PA，即3×6＝2×PB，
解得，PB＝9，
∴AB＝PA﹣PB＝7，
故选：B．
7．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D．已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那PB＝　20　．
【解答】解：∵AD BD＝CD DT，
∴TD＝，
∵CD＝2，AD＝3，BD＝4，
∴TD＝6，
∵PT是⊙O的切线，PA是割线，
∴PT2＝PA PB，
∵CT为直径，
∴PT2＝PD2﹣TD2，
∴PA PB＝PD2﹣TD2，
即（PB+7）PB＝（PB+4）2﹣62，
解得PB＝20．
故答案为：20．
8．如图，已知：AB是⊙O的直径，AC是切线，A为切点，BC交⊙O于点D，切线DE交AC于点E．求证：AE＝EC．
【解答】解：如图，连接AD，
∵AB是圆的直径．
∴∠ADB＝90°，则∠ADC＝90°
∴∠DAC+∠C＝90°
∵AE，DE是圆的切线．
∴AE＝DE
∴∠DAE＝∠ADE
又∵∠DAE+∠C＝∠ADE+∠EDC＝90°
∴∠EDC＝∠C
∴DE＝EC
∴AE＝EC
9．如图，点P为弦AB上的一点，连接OP，过点P作PC⊥OP，PC交⊙O于C．若AP＝8，PB＝2，则PC的长是（　　）
A．4 B． C．5 D．无法确定
【解答】解：延长CP交圆于一点D，
∵PC⊥OP，
∴PC＝PD（垂径定理），
∴PC2＝PA PB，
∵AP＝8，PB＝2，
∴PC2＝2×8，
解得PC＝4．
故选：A．
10．已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝5，以C为圆心，BC为半径作圆交BA的延长线于D，则AD的长为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：延长AC与圆相交于E、F，
则AF＝5﹣，
AE＝5+，
又AB＝＝＝6，由相交弦定理AD AB＝AE AF得
AD＝，
＝，
＝．
故选：C．
11．如图，已知A、B、C、D在同一个圆上，BC＝CD，AC与BD交于E，若AC＝8，CD＝4，且线段BE、ED为正整数，则BD＝　7　．
【解答】解：∵BC＝CD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵∠DBC＝∠DAC，
∴∠BAC＝∠DBC，
又∵∠BCE＝∠ACB，
∴△ABC∽△BEC，
∴BC2＝CE AC，
∵AC＝8，CD＝4，
∴EC＝2，AE＝6，
由相交弦定理得，BE DE＝AE EC，
即BE DE＝12，
又线段BE、ED为正整数，
且在△BCD中，BC+CD＞BE+DE，
所以可得BE＝3、DE＝4或BE＝4、DE＝3，
所以BD＝BE+DE＝7．
故答案为：7．
12．如图，P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，AD⊥PO于D、求证：＝．
【解答】解：连接OA，OC，
∵PA是切线，
∴∠PAO＝∠PDA＝90°，
又∵∠APD＝∠OPA，
∴△APD∽OPA，
∴＝，
∴PA2＝PD PO，
又∵PA是切线，
∴PA2＝PB PC
∴PA2＝PD PO＝PB PC
又∵∠CPD＝∠OPB，
∴△PCD∽△POB
∴
又△POC∽△PBD，则
∴．
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