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专题6.1 平方根与立方根
【典例1】若a+3和2a﹣15是某数的平方根，求这个数．
【思路点拨】
利用平方根的定义分两种情况列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出这个数．
【解题过程】
解：若a+3与2a﹣15互为相反数，
则a+3+2a﹣15＝0，
解得a＝4，
即这个数为（a+3）2＝（4+3）2＝49；
若a+3与2a﹣15相等，
则a+3﹣（2a﹣15）＝0，
解得a＝18，
即这个数为（a+3）2＝（18+3）2＝441．
综上所述，这个数是49或441．
1．（2021秋 中原区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．36的平方根是6 B．﹣32的算术平方根是3
C．0.8的立方根是0.2 D．是的一个平方根
2．（2021秋 六盘水期中）若a﹣3是16的平方根，则a的值为（ ）
A．4 B．±4 C．256 D．﹣1或7
3．（2020秋 仁寿县期末）已知2m﹣1和5﹣m是a的平方根，a是（ ）
A．9 B．81 C．9或81 D．2
4．（2021秋 虎林市期末）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是3，求a+b的平方根．
5．（2021秋 海陵区校级月考）已知2x+3的算术平方根是3，5x+y+2的立方根是2，求x﹣y+4的平方根．
6．（2020秋 秦都区期末）已知某正数的两个平方根是3a﹣14和a+2，b﹣14的立方根为﹣2．求a+b的算术平方根．
7．（2021秋 晋江市期中）若一个正数m的平方根是2a﹣1和3﹣a，若a+3b﹣16的立方根是3，则2b﹣3a的平方根是多少？
8．（2021秋 苏州期中）已知x+1的平方根是±2，2x+y﹣2的立方根是2，求x2+y2的算术平方根．
9．（2021秋 六盘水期中）已知m+8的算术平方根是3，m﹣n+4的立方根是﹣2，试求的值．
10．（2021春 襄州区期末）若和互为相反数，求x+y的平方根．
11．（2021秋 青岛期中）已知正数a的两个平方根分别是2x﹣3和1﹣x，与互为相反数，求a+2b的值．
12．（2021秋 原阳县期中）如果M是a+b+3的算术平方根，N是a+2b的立方根，求（2N）2+3M的平方根．
13．（2021秋 上城区期中）已知3是2x﹣1的平方根，y是﹣8的立方根，z是绝对值为2的数，求2x+y﹣5z的值．
14．（2021春 郧西县期末）已知某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣2，求|a+b|的值．
15．（2021春 绥中县期末）已知3既是a﹣1的算术平方根，又是a+2b+1的立方根，求a2﹣b2的平方根．
16．（2021秋 东台市月考）已知：3x+y+7的立方根是3，25的算术平方根是2x﹣y，求：
（1）x、y的值；
（2）x2+y2的平方根．
17．（2021春 满洲里市期末）已知m﹣15的平方根是±2，，求m+n的算术平方根．
18．（2021春 海淀区校级期末）已知2a﹣1的平方根是±，3a+b+4的立方根是2，求4a+b的算术平方根．
19．（2021春 江津区校级月考）已知：3a+21的立方根是3，4a﹣b﹣1的算术平方根是2，c的平方根是它本身．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a+10b+c的平方根．
20．（2021秋 兴平市期中）已知m﹣15的平方根是±2，4，求m﹣n的算术平方根．
21．（2021春 宁乡市期末）王老师给同学们布置了这样一道习题：
一个正数的算术平方根为m+2，它的平方根为±（3m+2），求这个正数．
小达的解法如下：依题意可知：m+2＝3m+2，解得：m＝0，则：m+2＝2，所以这个正数为4．
王老师看后说，小达的解法不完整，请同学们给出这道习题完整的解法．
22．（2021 宁波模拟）求的值．
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专题6.1 平方根与立方根
【典例1】若a+3和2a﹣15是某数的平方根，求这个数．
【思路点拨】
利用平方根的定义分两种情况列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出这个数．
【解题过程】
解：若a+3与2a﹣15互为相反数，
则a+3+2a﹣15＝0，
解得a＝4，
即这个数为（a+3）2＝（4+3）2＝49；
若a+3与2a﹣15相等，
则a+3﹣（2a﹣15）＝0，
解得a＝18，
即这个数为（a+3）2＝（18+3）2＝441．
综上所述，这个数是49或441．
1．（2021秋 中原区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．36的平方根是6 B．﹣32的算术平方根是3
C．0.8的立方根是0.2 D．是的一个平方根
【思路点拨】
根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可．
【解题过程】
解：36的平方根是±6，因此选项A不符合题意；
﹣32＝﹣9，负数没有平方根，因此选项B不符合题意；
0.008的立方根为0.2，因此选项C不符合题意；
的平方根为±，因此是的一个平方根，所以选项D符合题意；
故选：D．
2．（2021秋 六盘水期中）若a﹣3是16的平方根，则a的值为（ ）
A．4 B．±4 C．256 D．﹣1或7
【思路点拨】
直接根据平方根的概念解答即可．
【解题过程】
解：∵a﹣3是16的平方根，
∴（a﹣3）2＝16，
∴a﹣3＝±4，
∴a＝7或﹣1．
故选：D．
3．（2020秋 仁寿县期末）已知2m﹣1和5﹣m是a的平方根，a是（ ）
A．9 B．81 C．9或81 D．2
【思路点拨】
根据平方根的定义即可求出a的值．
【解题过程】
解：若2m﹣1与5﹣m互为相反数，
则2m﹣1+5﹣m＝0，
∴m＝﹣4，
∴5﹣m＝5﹣（﹣4）＝9，
∴a＝92＝81，
若2m﹣1＝5﹣m，
∴m＝2，
∴5﹣m＝5﹣2＝3，
∴a＝32＝9，
故选：C．
4．（2021秋 虎林市期末）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是3，求a+b的平方根．
【思路点拨】
先根据平方根、立方根的定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值，进而得到a+b的平方根．
【解题过程】
解：由题意，有，
解得．
∴±±3．
故a+b的平方根为±3．
5．（2021秋 海陵区校级月考）已知2x+3的算术平方根是3，5x+y+2的立方根是2，求x﹣y+4的平方根．
【思路点拨】
根据算术平方根与立方根的定义得到2x+3＝9，5x+y+2＝8，则可计算出x＝3，y＝﹣9，然后计算x﹣y+4后利用平方根的定义求解．
【解题过程】
解：因为2x+3的算术平方根是3，5x+y+2的立方根是2，
所以，
解得，
所以x﹣y+4＝16，
所以x﹣y+4的平方根为±±4．
6．（2020秋 秦都区期末）已知某正数的两个平方根是3a﹣14和a+2，b﹣14的立方根为﹣2．求a+b的算术平方根．
【思路点拨】
根据平方根的定义，求出a、b的值，再代入求出a+b的值，最后根据算术平方根的定义求出答案即可．
【解题过程】
解：由题意得，3a﹣14+a+2＝0，b﹣14＝﹣8，
解得：a＝3，b＝6，
∴a+b＝9，
∴a+b的算术平方根是3．
7．（2021秋 晋江市期中）若一个正数m的平方根是2a﹣1和3﹣a，若a+3b﹣16的立方根是3，则2b﹣3a的平方根是多少？
【思路点拨】
根据平方根、立方根的定义求出a、b的值，再求出2b﹣3a的值，进而求出2b﹣3a的平方根．
【解题过程】
解：∵一个正数m的平方根是2a﹣1和3﹣a，
∴2a﹣1+3﹣a＝0，
∴a＝﹣2，
又∵a+3b﹣16的立方根是3，
∴a+3b﹣16＝27，
∴b＝15，
∴2b﹣3a＝30+6＝36，
∴2b﹣3a的平方根为±±6．
8．（2021秋 苏州期中）已知x+1的平方根是±2，2x+y﹣2的立方根是2，求x2+y2的算术平方根．
【思路点拨】
根据平方根、立方根的定义即可得到x、y的值，最后代入代数式求解即可．
【解题过程】
解：∵x+1的平方根是±2，
∴x+1＝4，
∴x＝3，
∵2x+y﹣2的立方根是2，
∴2x+y﹣2＝8，
把x的值代入解得：
y＝4，
∴x2+y2＝25，
∴x2+y2的算术平方根为5．
9．（2021秋 六盘水期中）已知m+8的算术平方根是3，m﹣n+4的立方根是﹣2，试求的值．
【思路点拨】
根据m+8的算术平方根是3，m﹣n+4的立方根是﹣2，可求出m、n的值，代入求值即可．
【解题过程】
解：∵m+8的算术平方根是3，
∴m+8＝32＝9，解得，m＝1，
∵m﹣n+4的立方根是﹣2，
∴m﹣n+4＝（﹣2）3＝﹣8，
解得，n＝13，
∴4．
10．（2021春 襄州区期末）若和互为相反数，求x+y的平方根．
【思路点拨】
直接利用相反数的定义得出关于x，y的等式，进而变形，结合平方根的定义得出答案．
【解题过程】
解：由题意得：，
∴3x﹣7+3y+4＝0，
即3x+3y＝3，
∴x+y＝1．
∴1的平方根是±1．
11．（2021秋 青岛期中）已知正数a的两个平方根分别是2x﹣3和1﹣x，与互为相反数，求a+2b的值．
【思路点拨】
利用平方根的意义求出a值，利用相反数的意义求出b值，将a，b值代入代数式计算即可．
【解题过程】
解：∵正数a的两个平方根分别是2x﹣3和1﹣x，
∴2x﹣3+1﹣x＝0，
解得：x＝2．
∴2x﹣3＝1，1﹣x＝﹣1，
∴a＝1；
∵与互为相反数，
∴1﹣2b+3b﹣5＝0，
解得：b＝4．
当a＝1，b＝4时，
a+2b＝1+2×4＝1+8＝9．
12．（2021秋 原阳县期中）如果M是a+b+3的算术平方根，N是a+2b的立方根，求（2N）2+3M的平方根．
【思路点拨】
先根据题意可列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出a、b的值，将其代入M、N中求出M、N的值，再求（2N）2+3M的平方根．
【解题过程】
解：由已知得，
解得，，
∴M3，N2，
∴（2N）2+3M＝（2×2）2+3×3＝25
∴（2N）2+3M的平方根是5和﹣5．
13．（2021秋 上城区期中）已知3是2x﹣1的平方根，y是﹣8的立方根，z是绝对值为2的数，求2x+y﹣5z的值．
【思路点拨】
直接利用平方根以及立方根的定义得出x，y的值，再利用绝对值的性质得出z的值，进而分别代入得出答案．
【解题过程】
解：∵3是2x﹣1的平方根，
∴2x﹣1＝9，
解得：x＝5，
∵y是﹣8的立方根，
∴y＝﹣2，
∵z是绝对值为2的数，
∴z＝±2，
∴2x+y﹣5z＝2×5﹣2﹣5×2＝10﹣2﹣10＝﹣2，
或2x+y﹣5z＝2×5﹣2﹣5×（﹣2）＝10﹣2+10＝18，
综上所述：2x+y﹣5z的值为﹣2或18．
14．（2021春 郧西县期末）已知某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣2，求|a+b|的值．
【思路点拨】
根据一个正数的两个平方根的和为0以及立方根的定义，得a﹣3+2a+15＝0，，求得a＝﹣4，b＝﹣8，进而解决本题．
【解题过程】
解：由题意得：a﹣3+2a+15＝0，．
∴a＝﹣4，b＝﹣8．
∴|a+b|
＝|﹣4+（﹣8）|
＝12﹣2
＝10．
15．（2021春 绥中县期末）已知3既是a﹣1的算术平方根，又是a+2b+1的立方根，求a2﹣b2的平方根．
【思路点拨】
根据算术平方根、立方根的意义求出a、b的值，再代入计算a2﹣b2的值，最后求a2﹣b2的平方根．
【解题过程】
解：∵3是a﹣1的算术平方根，
∴a﹣1＝9，
即a＝10，
又∵3是a+2b+1的立方根，
∴a+2b+1＝27，
∴b＝8，
∴a2﹣b2＝102﹣82＝36，
∴a2﹣b2的平方根为±±6．
16．（2021秋 东台市月考）已知：3x+y+7的立方根是3，25的算术平方根是2x﹣y，求：
（1）x、y的值；
（2）x2+y2的平方根．
【思路点拨】
根据立方根、算术平方根以及平方根的定义解决此题．
【解题过程】
解：（1）由题意得：3，．
∴3x+y+7＝27且2x﹣y＝5．
∴x＝5，y＝5．
（2）由（1）可知：x＝5，y＝5．
∴x2+y2＝52+52＝50．
∴x2+y2的平方根是．
17．（2021春 满洲里市期末）已知m﹣15的平方根是±2，，求m+n的算术平方根．
【思路点拨】
根据平方根的定义求出m的值，根据立方根的定义求出n的值，再根据算术平方根的定义求解即可．
【解题过程】
解：∵m﹣15的平方根是±2
∴m﹣15＝（±2）2
∴m＝19；
∵，
∴3+4n＝27
∴n＝6；
∴m+n的算术平方根为．
答：m+n的算术平方根为5．
18．（2021春 海淀区校级期末）已知2a﹣1的平方根是±，3a+b+4的立方根是2，求4a+b的算术平方根．
【思路点拨】
运用平方根，立方根定义，列出方程组，解出a＝2，b＝﹣2．就可以求得4a+b的算术平方根．
【解题过程】
解：由于2a﹣1的平方根是±，3a+b+4的立方根是2，
所以，
解得a＝2，b＝﹣2，
∴4a+b
＝4×2﹣2
＝6，
∴4a+b的算术平方根是．
19．（2021春 江津区校级月考）已知：3a+21的立方根是3，4a﹣b﹣1的算术平方根是2，c的平方根是它本身．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a+10b+c的平方根．
【思路点拨】
（1）根据立方根，算术平方根，平方根的概念即可求出答案；
（2）根据（1）中所求a、b、c的值代入代数式3a+10b+c中即可求出答案．
【解题过程】
解：（1）根据题意可知，
3a+21＝27，解得a＝2，
4a﹣b﹣1＝4，解得b＝3，
c＝0，
所以a＝2，b＝3，c＝0；
（2）因为3a+10b+c＝3×2+10×3+0＝36，
36的平方根为±6．
所以3a+10b+c的平方根为±6．
20．（2021秋 兴平市期中）已知m﹣15的平方根是±2，4，求m﹣n的算术平方根．
【思路点拨】
根据平方根的定义以及立方根的定义即可求出答案．
【解题过程】
解：由题意可知：m﹣15＝4，2n+5＝3，
∴m＝19，n＝1，
∴m﹣n＝19﹣1＝18，
∴18的算术平方根为．
21．（2021春 宁乡市期末）王老师给同学们布置了这样一道习题：
一个正数的算术平方根为m+2，它的平方根为±（3m+2），求这个正数．
小达的解法如下：依题意可知：m+2＝3m+2，解得：m＝0，则：m+2＝2，所以这个正数为4．
王老师看后说，小达的解法不完整，请同学们给出这道习题完整的解法．
【思路点拨】
m+2是3m+2，﹣（3m+2）两数中的一个，应该分两种情况分别计算．
【解题过程】
解：依题意可知：m+2是3m+2，﹣（3m+2）两数中的一个，
①当m+2＝3m+2时，
解得：m＝0，则：m+2＝2，所以这个正数为4；
②当m+2＝﹣（3m+2），
解得：m＝﹣1，则：m+2＝1，所以这个正数为1．
综上①②可知：这个数是4或1．
22．（2021 宁波模拟）求的值．
【思路点拨】
令原式＝x，根据算术平方根的定义得出x的值，由此可得答案．
【解题过程】
解：令原式＝x，
则有x2＝2+x，
∵x＞0，
∴x＝2，
∴2．
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