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专题6.2 算术平方根的非负性
【典例1】（1）若实数m、n满足等式|m﹣2|0，求2m+3n的平方根；
（2）已知y8，求的值．
【思路点拨】
（1）先由非负数的性质求出m＝2，n＝4，再把m、n的值代入2m+3n，然后根据平方根的定义求解即可；
（2）根据被开方数是非负数可得，据此可得x＝24，进而求出y的值，再根据立方根的定义求解即可．
【解题过程】
解：（1）∵|m﹣2|0，|m﹣2|≥0，，
∴m﹣2＝0，n﹣4＝0，
解得m＝2，n＝4，
∴2m+3n＝4+12＝16，
∴2m+3n的平方根为；
（2）∵y8，
∴，
∴x＝24，y＝﹣8，
∴．
1．（2020秋 成安县期末）已知|b﹣1|＝0，那么（a+b）2020的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．32020 D．﹣32020
【思路点拨】
根据算术平方根、绝对值的非负性求出a、b的值，再代入计算即可．
【解题过程】
解：因为|b﹣1|＝0，
所以a+2＝0，b﹣1＝0，
即a＝﹣2，b＝1，
所以（a+b）2020＝（﹣1）2020＝1，
故选：B．
2．若与|b+2|互为相反数，则a+b的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1
【思路点拨】
根据题意求出a、b的值，然后代入求解．
【解题过程】
解：∵与|b+2|互为相反数，
∴|b+2|＝0，
∴2a﹣2＝0，b+2＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，
则a+b＝1﹣2＝﹣1．
故选：D．
3．（2021春 饶平县校级期中）若|y+7|+（z﹣7）2＝0，则的平方根为（ ）
A．±2 B．4 C．2 D．±4
【思路点拨】
根据非负数的性质列出方程，解方程求出x、y、z的值，代入代数式计算即可．
【解题过程】
解：由题意得，x﹣2＝0，y+7＝0，z﹣7＝0，
解得x＝2，y＝﹣7，z＝7，
则x﹣y+z＝2﹣（﹣7）+7＝16，
所以的平方根为±2．
故选：A．
4．（2021秋 郫都区校级月考）若|3a﹣b+1|＝0，则的负倒数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【思路点拨】
根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
【解题过程】
解：由题意得，
，
解得，
a＝1，b＝4，
则2，
所以的负倒数是．
故选：D．
5．（2020秋 重庆月考）若，则（a+b+c）2019的值是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2019
【思路点拨】
根据非负数的性质列式求出a、b，c的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解题过程】
解：根据题意得，a3﹣125＝0，b+4＝0，c3+8＝0，
解得a＝5，b＝﹣4，c＝﹣2，
所以，（a+b+c）2019＝（5﹣4﹣2）2019＝（﹣1）2019＝﹣1．
故选：C．
6．（2021 涪城区校级自主招生）已知a，b满足（a+1）2﹣（b﹣2）|c﹣3|＝0，则a+b+c的值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拨】
根据非负数的性质列出方程求出a、b、c的值，代入所求代数式计算即可．
【解题过程】
解：根据题意，得，
∴a+1＝0，2﹣b＝0，c﹣3＝0，
解得a＝﹣1，b＝2，c＝3，
所以a+b+c＝﹣1+2+3＝4．
故选：C．
7．（2020秋 开江县期末）若x，y为实数，且满足|x﹣2y﹣6|0，则（）2021的值是 ．
【思路点拨】
根据绝对值、算术平方根的非负性，求出x、y的值，再代入计算即可．
【解题过程】
解：∵|x﹣2y﹣6|0，，
∴x﹣2y﹣6＝0 且2x+y﹣2＝0，
即x＝2，y＝﹣2，
∴（）2021＝（﹣1）2021＝﹣1，
故答案为：﹣1．
8．（2021春 番禺区月考）已知a，b满足等式2b﹣8，则ab的平方根是 ．
【思路点拨】
根据算术平方根的定义可知被开方数是非负数，求得a、b的值；然后根据平方根的定义可得结论．
【解题过程】
解：∵2b﹣8，
∴a﹣3≥0，12﹣4a≥0，
解得a＝3，
∴b﹣8＝0，
解得b＝8，
∴ab＝24，
∴ab的平方根是：±．
故答案为：±．
9．（2021 威远县一模）若|5﹣2m|5＝2m﹣（m﹣4）2，则m+2n＝ ．
【思路点拨】
先变形为|5﹣2m|（m﹣4）2＝2m﹣5，根据非负数的性质可得2m﹣5≥0，计算绝对值可得（m﹣4）2＝0，再根据非负数的性质得到m，n的值，再代入计算即可求解．
【解题过程】
解：|5﹣2m|5＝2m﹣（m﹣4）2，
|5﹣2m|（m﹣4）2＝2m﹣5，
则2m﹣5≥0，
|5﹣2m|5＝2m﹣（m﹣4）2，
2m﹣5（m﹣4）2＝2m﹣5，
（m﹣4）2＝0，
则m﹣4＝0，n+3＝0，
解得：m＝4，n＝﹣3，
所以m+2n＝4﹣6＝﹣2，
故答案为：﹣2
10．（2020秋 下城区期末）若|a﹣2021|2，其中a，b均为整数，则符合题意的有序数对（a，b）的组数是 ．
【思路点拨】
先根据绝对值和算术平方根的非负性得：|a﹣2021|≥0，0，所以分情况进行计算即可．
【解题过程】
解：∵|a﹣2021|2，其中a，b均为整数，
又∵|a﹣2021|≥0，0，
∴可分以下三种情况：
①|a﹣2021|＝0，2，
解得：a＝2021，b＝﹣2017；
②|a﹣2021|＝1，1，
解得：a＝2020或2022，b＝﹣2020；
③|a﹣2021|＝2，0，
解得：a＝2023或2019，b＝﹣2021；
∴符合题意的有序数对（a，b）的组数是5．
故答案为：5．
11．（2021春 巴楚县月考）已知|2a+b|与互为相反数，求2a﹣3b的平方根．
【思路点拨】
根据非负数的意义求出a、b的值，再代入计算2a﹣3b的值，最后求平方根即可．
【解题过程】
解：∵|2a+b|与互为相反数，
∴|2a+b|0，
∴2a+b＝0，3b+12＝0，
解得a＝2，b＝﹣4，
∴2a﹣3b＝16，
16的平方根为±4，
即2a﹣3b的平方根为±4．
12．（2021秋 高新区校级月考）已知2a﹣1的平方根是±3，b，c满足|b﹣1|0，求a+3b+c的算术平方根．
【思路点拨】
根据算术平方根的概念列方程确定a的值，利用绝对值和算术平方根的非负性确定b和c的值，然后代入代数式，最后利用算术平方根的概念求解．
【解题过程】
解：∵2a﹣1的平方根是±3，
∴2a﹣1＝9，
解得：a＝5，
∵|b﹣1|0，且|b﹣1|≥0，0，
∴b﹣1＝0，c+4＝0，
解得：b＝1，c＝﹣4，
∴a+3b+c＝5+3×1+（﹣4）＝5+3﹣4＝4，
2，
∴a+3b+c的算术平方根是2．
13．（2021秋 昌平区期中）已知：实数a、b满足（b﹣4）2＝0．
（1）可得a+b的立方根是 ；
（2）当一个正实数x的平方根分别为m+a和b﹣2m时，求x的值．
【思路点拨】
（1）根据非负数的性质求出a，b的值，再求a+b的立方根即可；
（2）这两个平方根互为相反数，和为0，求出m，再求m+a，最后求x．
【解题过程】
解：（1）∵0，（b﹣4）2≥0，
∴a+3＝0，b﹣4＝0，
∴a＝﹣3，b＝4，
∴a+b＝1，
∴1的立方根是1，
故答案为：1；
（2）根据题意得：m﹣3+4﹣2m＝0，
∴m＝1，
∴m+a＝1﹣3＝﹣2，
∴x＝（﹣2）2＝4．
14．（2021春 召陵区期末）已知实数a，b，c满足：b4，c的平方根等于它本身．求的值．
【思路点拨】
根据平方根的定义先求出a、b、c的值，再代入所求代数式计算即可．
【解题过程】
解：∵﹣（a﹣3）2≥0，
∴a＝3
把a代入b4得：
∴b＝4
∵c的平方根等于它本身，
∴c＝0
∴．
15．（2021春 饶平县校级期中）若x，y均为实数，且2y﹣1＝0，求的平方根．
【思路点拨】
根据被开方数是非负数且它们互为相反数，可得被开方数为0，据此可求x，进一步求出y，再代入计算即可求出答案．
【解题过程】
解：∵2y﹣1＝0，
∴x﹣1≥0，1﹣x≥0，
解得x＝1，
∴2y﹣1＝0，
∴y，
∴4，
∴的平方根为±2．
16．（2020春 应城市期中）已知实数a满足a，求a的平方根．
【思路点拨】
首先根据二次根式有意义的条件求出a的取值范围，然后整理式子后对两边平方，即可求出a的值，最后根据平方根的定义即可得出答案．
【解题过程】
解：∵a﹣8≥0，
∴a≥8，
∴|1﹣a|a，
∴a﹣1a，
∴1，
∴a＝9，
∴a的平方根为±3．
17．（2020秋 汕头期中）求代数式5的最小值，并求出此时a的值．
【思路点拨】
根据非负数的性质即可得到结论．
【解题过程】
解：因为0，
所以5≥5，
所以5的最小值是5，
此时a﹣3＝0，
即a＝3．
18．（2020秋 萍乡月考）已知且与互为相反数，求yz﹣x的平方根．
【思路点拨】
依据非负数的性质以及相反数的定义，即可得到x，y，z的值，进而得到yz﹣x的平方根．
【解题过程】
解：因为，
所以x+2＝0，y﹣3＝0，
所以x＝﹣2，y＝3，
因为互为相反数，
所以2﹣3z+4z﹣3＝0，
所以z＝1，
所以yz﹣x＝3×1﹣（﹣2）＝5，
因为5的平方根是，
所以yz﹣x的平方根为．
19．（2020秋 山阳区校级期中）已知（b﹣1）0，且a，b为实数，则a2015﹣b2016的值是多少？
【思路点拨】
由已知条件得到（1﹣b）0，利用被开方数是非负数得到1﹣b≥0，再根据几个非负数和的性质得到1+a＝0，1﹣b＝0，解得a＝﹣1，b＝1，然后根据乘方的意义计算a2015﹣b2016的值．
【解题过程】
解：∵（b﹣1）0，
∴（1﹣b）0，
∵1﹣b≥0，
∴1+a＝0，1﹣b＝0，
解得a＝﹣1，b＝1，
∴a2015﹣b2016＝（﹣1）2015﹣12016＝﹣1﹣1＝﹣2．
即a2015﹣b2016的值是﹣2．
20．（2021春 武昌区期中）已知：实数a、b满足条件（ab﹣2）2＝0．
试求的值．
【思路点拨】
根据（ab﹣2）2＝0，可以求得a、b的值，从而可以求得的值，本题得以解决．
【解题过程】
解：∵（ab﹣2）2＝0，
∴a﹣1＝0，ab﹣1＝0，
解得，a＝1，b＝2，
∴
＝1
＝1
．
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专题6.2 算术平方根的非负性
【典例1】（1）若实数m、n满足等式|m﹣2|0，求2m+3n的平方根；
（2）已知y8，求的值．
【思路点拨】
（1）先由非负数的性质求出m＝2，n＝4，再把m、n的值代入2m+3n，然后根据平方根的定义求解即可；
（2）根据算术平方根的非负性可得，据此可得x＝24，进而求出y的值，再根据立方根的定义求解即可．
【解题过程】
解：（1）∵|m﹣2|0，|m﹣2|≥0，，
∴m﹣2＝0，n﹣4＝0，
解得m＝2，n＝4，
∴2m+3n＝4+12＝16，
∴2m+3n的平方根为；
（2）∵y8，
∴，
∴x＝24，y＝﹣8，
∴．
1．（2020秋 成安县期末）已知|b﹣1|＝0，那么（a+b）2020的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．32020 D．﹣32020
2．若与|b+2|互为相反数，则a+b的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1
3．（2021春 饶平县校级期中）若|y+7|+（z﹣7）2＝0，则的平方根为（ ）
A．±2 B．4 C．2 D．±4
4．（2021秋 郫都区校级月考）若|3a﹣b+1|＝0，则的负倒数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
5．（2020秋 重庆月考）若，则（a+b+c）2019的值是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2019
6．（2021 涪城区校级自主招生）已知a，b满足（a+1）2﹣（b﹣2）|c﹣3|＝0，则a+b+c的值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2020秋 开江县期末）若x，y为实数，且满足|x﹣2y﹣6|0，则（）2021的值是 ．
8．（2021春 番禺区月考）已知a，b满足等式2b﹣8，则ab的平方根是 ．
9．（2021 威远县一模）若|5﹣2m|5＝2m﹣（m﹣4）2，则m+2n＝ ．
10．（2020秋 下城区期末）若|a﹣2021|2，其中a，b均为整数，则符合题意的有序数对（a，b）的组数是 ．
11．（2021春 巴楚县月考）已知|2a+b|与互为相反数，求2a﹣3b的平方根．
12．（2021秋 高新区校级月考）已知2a﹣1的平方根是±3，b，c满足|b﹣1|0，求a+3b+c的算术平方根．
13．（2021秋 昌平区期中）已知：实数a、b满足（b﹣4）2＝0．
（1）可得a+b的立方根是 ；
（2）当一个正实数x的平方根分别为m+a和b﹣2m时，求x的值．
14．（2021春 召陵区期末）已知实数a，b，c满足：b4，c的平方根等于它本身．求的值．
15．（2021春 饶平县校级期中）若x，y均为实数，且2y﹣1＝0，求的平方根．
16．（2020春 应城市期中）已知实数a满足a，求a的平方根．
17．（2020秋 汕头期中）求代数式5的最小值，并求出此时a的值．
18．（2020秋 萍乡月考）已知且与互为相反数，求yz﹣x的平方根．
19．（2020秋 山阳区校级期中）已知（b﹣1）0，且a，b为实数，则a2015﹣b2016的值是多少？
20．（2021春 武昌区期中）已知：实数a、b满足条件（ab﹣2）2＝0．
试求的值．
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