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专题7.1 不等式及其基本性质
【典例1】利用不等式的性质，将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．
（1）x+5＞﹣2；
（2）4x＜36；
（3）x≥3；
（4）﹣4x+2＜10；
（5）3x﹣1x；
（6）x﹣1．
【思路点拨】
（1）不等式的两边都减去5即可；
（2）不等式的两边都除以4即可；
（3）不等式的两边都乘以﹣2即可；
（4）移项，合并同类项，系数化成1即可；
（5）移项，合并同类项，系数化成1即可；
（6）去分母，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【解题过程】
解：（1）x+5＞﹣2，
不等式的两边都减去5得：x＞﹣7；
（2）4x＜36，
不等式的两边都除以4得：x＜9；
（3）x≥3，
不等式的两边都乘以﹣2得：x≤﹣6；
（4）﹣4x+2＜10，
﹣4x＜10﹣2，
﹣4x＜8，
x＞﹣2；
（5）3x﹣1x，
3xx≥1，
x≥1，
x；
（6）x﹣1，
1+2x＞3x﹣3，
2x﹣3x＞﹣3﹣1，
﹣x＞﹣4，
x＜4．
1．（2021春 大埔县期末）据气象台预报，2020年5月某日大埔最高气温27℃，最低气温21℃，则当天气温t（℃）的变化范围是（ ）
A．t＞21 B．t≤27 C．21＜t＜27 D．21≤t≤27
2．（2021春 东城区校级期末）下面给出了6个式子：①3＞0；②4+3y＞0；③x＝3；④x﹣1；⑤x+2≤3；⑥2x≠0，其中不等式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2021秋 柯桥区期末）若x＞y，则下列各式中，一定成立的是（ ）
A．x﹣2＞y﹣2 B．x+2＜y+2 C．﹣2x＞﹣2y D．xy
4．（2020 南安市校级自主招生）若x+5＞0，则（ ）
A．x+3＜0 B．x﹣3＜0 C． D．﹣2x＜16
5．（2022 郑州模拟）若a＞b＞0，c＞d＞0，则下列式子不一定成立的是（ ）
A．a﹣c＞b﹣d B． C．ac＞bc D．ac＞bd
6．（2021春 伊川县期末）某饮料瓶上有这样的字样：保质期18个月，如果用x（单位：月）表示该饮料出厂后到饮用时的月数，那么x应该在什么范围内表示该饮料还可以饮用 ？
7．（2021春 曲阳县期末）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是 ．
8．（2021春 饶平县校级期末）用“＞”或“＜”填空：若a＜b＜0，则 ； ；2a﹣1 2b﹣1；a a+b．
9．（2021 椒江区校级开学）请在空格里填上合适的内容：下列判断中，①若a＞b，则﹣2a＜﹣2b+1；②若a＞b＞0，则a2＞b2；③若a＞b，则；④若ac2≤bc2，则a＜b；⑤若a＞b，则．正确的有 ．（填序号）
10．（2021春 大埔县期末）下列结论正确的有 （填序号）．①如果a＞b，c＜d，那么a﹣c＞b﹣d；②如果a＞b，那么1；③如果a＞b，那么；④如果，那么a＜b．
11．（2021秋 姑苏区校级期末）已知关于x的不等式（a﹣1）x＞1，可化为x，试化简|1﹣a|﹣|a﹣2|，正确的结果是 ．
12．（2021秋 余杭区月考）比较大小，用“＞”或“＜”填空：
（1）若x＜y，且（a﹣b）x＞（a﹣b）y，则a b．
（2）若a，b为实数，则4+3a2﹣2b+b2 3a2﹣2b+1．
13．（2020 浙江自主招生）若a，b，c，d为整数，且a＜3b，b＜5c，c＜7d，d＜30，则a的最大值为 ．
14．（2021春 鼓楼区校级期中）已知实数a，b，c，满足a+b＝8，c﹣a＝10．若a≥﹣2b，则a+b+c的最大值为 ．
15．（2020 丹阳市模拟）已知：6a＝3b+12＝2c，且b≥0，c≤9，则a﹣3b+c的最小值为 ．
16．用适当的符号表示下列关系：
（1）x的与x的2倍的和是非正数；
（2）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；
（3）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；
（4）明天下雨的可能性不小于70%；
（5）小明的身体不比小刚轻．
17．（2021春 漳平市月考）根据不等式的性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．
（1）x+7＞9；
（2）6x＜5x﹣3；
（3）；
（4）．
18．（2021春 万柏林区校级月考）利用不等式的性质，解答下列问题．
（1）①如果a﹣b＜0，那么a b；
②如果a﹣b＝0，那么a b；
③如果a﹣b＞0，那么a b；
（2）比较2a与a的大小．
（3）若a＞b，c＞d．
①比较a+c与b+d的大小；
②比较a﹣d与b﹣c的大小．
19．（2021春 饶平县校级期末）已知4x﹣y＝6，xy＜2，求x的取值范围．
20．（2020 浙江自主招生）实数a，b，c，d满足0≤a≤b≤c≤d，并且3a+4b+5c+6d＝90，求a+b+c+d的最大值和最小值．
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专题7.1 不等式及其基本性质
【典例1】利用不等式的性质，将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．
（1）x+5＞﹣2；
（2）4x＜36；
（3）x≥3；
（4）﹣4x+2＜10；
（5）3x﹣1x；
（6）x﹣1．
【思路点拨】
（1）根据不等式的性质（不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变）解决此题．
（2）根据不等式的性质（不等式两边同时除以一个正数，不等号方向不变）解决此题．
（3）根据不等式的性质（不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向改变）解决此题．
（4）根据不等式的性质（不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变；不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变）解决此题．
（5）根据不等式的性质（不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号方向不变）解决此题．
（6）根据不等式的性质（不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号方向不变；不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变）解决此题．
【解题过程】
解：（1）x+5＞﹣2，
不等式的两边都减去5得：x＞﹣7；
（2）4x＜36，
不等式的两边都除以4得：x＜9；
（3）x≥3，
不等式的两边都乘以﹣2得：x≤﹣6；
（4）﹣4x+2＜10，
﹣4x＜10﹣2，
﹣4x＜8，
x＞﹣2；
（5）3x﹣1x，
3xx≥1，
x≥1，
x；
（6）x﹣1，
1+2x＞3x﹣3，
2x﹣3x＞﹣3﹣1，
﹣x＞﹣4，
x＜4．
1．（2021春 大埔县期末）据气象台预报，2020年5月某日大埔最高气温27℃，最低气温21℃，则当天气温t（℃）的变化范围是（ ）
A．t＞21 B．t≤27 C．21＜t＜27 D．21≤t≤27
【思路点拨】
根据最高气温、最低气温，可得答案．
【解题过程】
解：2020年5月某日大埔最高气温27℃，最低气温21℃，得21≤t≤27．
故选：D．
2．（2021春 东城区校级期末）下面给出了6个式子：①3＞0；②4+3y＞0；③x＝3；④x﹣1；⑤x+2≤3；⑥2x≠0，其中不等式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【思路点拨】
依据不等式的定义来判断即可，用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式．
【解题过程】
解：由题可得：①3＞0；②4+3y＞0；⑤x+2≤3；⑥2x≠0是不等式，
故不等式有4个．
故选：C．
3．（2021秋 柯桥区期末）若x＞y，则下列各式中，一定成立的是（ ）
A．x﹣2＞y﹣2 B．x+2＜y+2 C．﹣2x＞﹣2y D．xy
【思路点拨】
利用不等式的性质判断即可．
【解题过程】
解：A．因为x＞y，
所以x﹣2＞y﹣2，原变形正确，故此选项符合题意；
B．因为x＞y，
所以x+2＞y+2，原变形错误，故此选项不符合题意；
C．因为x＞y，
所以﹣2x＜﹣2y，原变形错误，故此选项不符合题意；
D．因为x＞y，
所以，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：A．
4．（2020 南安市校级自主招生）若x+5＞0，则（ ）
A．x+3＜0 B．x﹣3＜0 C． D．﹣2x＜16
【思路点拨】
根据不等式的性质进行逐一判断即可．
【解题过程】
解：∵x+5＞0，
∴x＞﹣5，
∴x+3＞﹣2，A错误；
x﹣3＞﹣8，B错误；
1，C错误；
﹣2x＜10，即﹣2x＜16，D正确，
故选：D．
5．（2022 郑州模拟）若a＞b＞0，c＞d＞0，则下列式子不一定成立的是（ ）
A．a﹣c＞b﹣d B． C．ac＞bc D．ac＞bd
【思路点拨】
根据不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可．
【解题过程】
解：A．当a＝2，b＝1，c＝4，d＝3时，a﹣c＝b﹣d，故本选项符合题意；
B．若a＞b＞0，c＞d＞0，则，故本选项不合题意；
C．若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bc，故本选项不合题意；
D．若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd，故本选项不合题意；
故选：A．
6．（2021春 伊川县期末）某饮料瓶上有这样的字样：保质期18个月，如果用x（单位：月）表示该饮料出厂后到饮用时的月数，那么x应该在什么范围内表示该饮料还可以饮用 ？
【思路点拨】
将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等关系式即可．
【解题过程】
解：一般饮料和食品应在保质期内，即不超过保质期的时间内食用，
那么该饮料的保质期可以用不等式表示为：0≤x≤18．
故答案是：0≤x≤18．
7．（2021春 曲阳县期末）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是 ．
【思路点拨】
主要依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
【解题过程】
解：不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人．
故答案为：租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人．
8．（2021春 饶平县校级期末）用“＞”或“＜”填空：若a＜b＜0，则 ； ；2a﹣1 2b﹣1；a a+b．
【思路点拨】
根据不等式的性质以及有理数大小比较方法逐一判断即可．
【解题过程】
解：∵a＜b＜0，
∴（不等式两边同时乘一个负数，不等式方向改变）；
（两个负数比较大小，绝对值大的反而小）；
2a﹣1＜2b﹣1（不等式两边同时乘2，得2a＜2b；不等式两边同时减去1，可得2a﹣1＜2b﹣1）；
a＞a+b（两个负数比较大小，绝对值大的反而小）；
故答案为：＞；＞；＜；＞．
9．（2021 椒江区校级开学）请在空格里填上合适的内容：下列判断中，①若a＞b，则﹣2a＜﹣2b+1；②若a＞b＞0，则a2＞b2；③若a＞b，则；④若ac2≤bc2，则a＜b；⑤若a＞b，则．正确的有 ．（填序号）
【思路点拨】
根据不等式性质逐个判断即可．
【解题过程】
解：①若a＞b，则﹣2a＜﹣2b＜﹣2b+1，故①正确；
②若a＞b＞0，则a2＞b2，故②正确；
③若a＞b，则不正确，比如a＝1，b＝﹣1时，，故③不正确；
④若ac2≤bc2，则a＜b不正确，只有c≠0时才成立，故④不正确；
⑤若a＞b，因c2+1＞0，所以，故⑤正确；
故答案为：①②⑤．
10．（2021春 大埔县期末）下列结论正确的有 （填序号）．①如果a＞b，c＜d，那么a﹣c＞b﹣d；②如果a＞b，那么1；③如果a＞b，那么；④如果，那么a＜b．
【思路点拨】
根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．可得答案．
【解题过程】
解：①∵c＜d，
∴﹣c＞﹣d，
∵a＞b，
∴a﹣c＞b﹣d，
故①正确．
②当b＜0时，，
故②错．
③若a＝2，b＝﹣1，满足a＞b，但，
故③错．
④∵，
∴c2＞0，
∴a＜b，
故④正确．
故答案为：①④．
11．（2021秋 姑苏区校级期末）已知关于x的不等式（a﹣1）x＞1，可化为x，试化简|1﹣a|﹣|a﹣2|，正确的结果是 ．
【思路点拨】
根据题目的已知可得a﹣1＜0，然后再化简每一个绝对值进行计算即可．
【解题过程】
解：由题意得：
a﹣1＜0，
∴a＜1，
∴1﹣a＞0，a﹣2＜0，
∴|1﹣a|﹣|a﹣2|
＝1﹣a﹣（2﹣a）
＝1﹣a﹣2+a
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．（2021秋 余杭区月考）比较大小，用“＞”或“＜”填空：
（1）若x＜y，且（a﹣b）x＞（a﹣b）y，则a b．
（2）若a，b为实数，则4+3a2﹣2b+b2 3a2﹣2b+1．
【思路点拨】
（1）由不等式的性质可得a﹣b＜0，即可求解；
（2）可将两代数式利用作差比较求解即可．
【解题过程】
解：（1）∵x＜y，且（a﹣b）x＞（a﹣b）y，
∴a﹣b＜0，
∴a＜b，
故答案为＜；
（2）4+3a2﹣2b+b2﹣（3a2﹣2b+1）
＝4+3a2﹣2b+b2﹣3a2+2b﹣1
＝b2+3＞0，
∴4+3a2﹣2b+b2＞3a2﹣2b+1．
故答案为＞．
13．（2020 浙江自主招生）若a，b，c，d为整数，且a＜3b，b＜5c，c＜7d，d＜30，则a的最大值为 ．
【思路点拨】
根据已知可知当b，c，d取得最大值时，a才能取得最大值，根据d＜30可得d的最大值是29，依次即可求得c，b，a的最大值．
【解题过程】
解：∵d＜30，a，b，c，d为整数，
∴当d的最大值是29；
当d＝29时，c＜203；
则c的最大值是202．
当c＝202时，b＜5c＝1010．
则b的最大值是1009，
当b＝1009时，a＜3b＝3027，
则a的最大值是3026．
故答案为：3026．
14．（2021春 鼓楼区校级期中）已知实数a，b，c，满足a+b＝8，c﹣a＝10．若a≥﹣2b，则a+b+c的最大值为 ．
【思路点拨】
由c﹣a＝10得c＝a+10，与a+b＝8相加得a+b+c＝a+18，由a+b＝8及a≥﹣2b，可得a的最大值为16，从而得出a+b+c的最大值．
【解题过程】
解：由c﹣a＝10得c＝a+10，
由a+b＝8得a+b+c＝a+18，
∵a+b＝8及a≥﹣2b，
∴a≤16，
∴a的最大值为16，
∴a+b+c的最大值＝18+16＝34．
故答案为：34．
15．（2020 丹阳市模拟）已知：6a＝3b+12＝2c，且b≥0，c≤9，则a﹣3b+c的最小值为 ．
【思路点拨】
首先根据6a＝3b+12＝2c，分别用b表示出a、c；然后根据b≥0，c≤9，求出a﹣3b+c的最小值为多少即可．
【解题过程】
解：∵6a＝3b+12＝2c，
∴a＝0.5b+2，c＝1.5b+6，
∴a﹣3b+c
＝（0.5b+2）﹣3b+（1.5b+6）
＝﹣b+8
∵b≥0，c≤9，
∴3b+12≤18，
∴b≤2，
∴﹣b+8≥﹣2+8＝6，
∴a﹣3b+c的最小值是6．
故答案为：6．
16．用适当的符号表示下列关系：
（1）x的与x的2倍的和是非正数；
（2）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；
（3）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；
（4）明天下雨的可能性不小于70%；
（5）小明的身体不比小刚轻．
【思路点拨】
（1）非正数用“≤”表示；
（2）、（4）不小于就是大于等于，用“≥”来表示；
（3）不高于就是等于或低于，用“≤”表示；
（5）不比小刚轻，就是与小刚一样重或者比小刚重．用“≥”表示．
【解题过程】
解：（1）x+2x≤0；
（2）设炮弹的杀伤半径为r，则应有r≥300；
（3）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有3a+4b≤268；
（4）用P表示明天下雨的可能性，则有P≥70%；
（5）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有a≥b．
17．（2021春 漳平市月考）根据不等式的性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．
（1）x+7＞9；
（2）6x＜5x﹣3；
（3）；
（4）．
【思路点拨】
（1）根据不等式的性质（不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变）解决此题．
（2）根据不等式的性质（不等式两边同时减去同一个数或式子，不等号方向不变）解决此题．
（3）根据不等式的性质（不等式两边同乘一个正数，不等号方向不变）解决此题．
（4）根据不等式的性质（不等式两边同时乘或除一个正数，不等号方向不变；不等式两边同乘或除一个负数，不等号方向改变）解决此题．
【解题过程】
解：（1）∵x+7＞9，
∴x＞2．
（2）∵6x＜5x﹣3，
∴6x﹣5x＜﹣3．
∴x＜﹣3．
（3）∵，
∴．
∴x＜2．
（4）∵，
∴﹣2x＞﹣3．
∴x．
18．（2021春 万柏林区校级月考）利用不等式的性质，解答下列问题．
（1）①如果a﹣b＜0，那么a b；
②如果a﹣b＝0，那么a b；
③如果a﹣b＞0，那么a b；
（2）比较2a与a的大小．
（3）若a＞b，c＞d．
①比较a+c与b+d的大小；
②比较a﹣d与b﹣c的大小．
【思路点拨】
（1）分别根据不等式的性质解答即可；
（2）分a＞0，a＝0，a＜0三种情况讨论；
（3）根据不等式的性质解答即可．
【解题过程】
解：（1）①如果a﹣b＜0，那么a＜b；
②如果a﹣b＝0，那么a＝b；
③如果a﹣b＞0，那么a＞b；
故答案为：＜；＝；＞；
（2）当a＝0时，2a＝a；
a＞0时，a+a＞a+0，即2a＞a；
a＜0时，a+a＜a+0，即2a＜a；
（3）①∵a＞b，c＞d，
∴a+c＞b+d；
②∵a＞b，c＞d，
∴a﹣d＞b﹣c．
19．（2021春 饶平县校级期末）已知4x﹣y＝6，xy＜2，求x的取值范围．
【思路点拨】
由已知条件得到y＝4x﹣6，则将xy＜2转化为关于x的不等式x（4x﹣6）＜2，利用不等式的性质解答即可．
【解题过程】
解：∵4x﹣y＝6，
∴y＝4x﹣6，
∵xy＜2，
∴x（4x﹣6）＜2，
解得：x＞1，
即x的取值范围是x＞1．
20．（2020 浙江自主招生）实数a，b，c，d满足0≤a≤b≤c≤d，并且3a+4b+5c+6d＝90，求a+b+c+d的最大值和最小值．
【思路点拨】
根据实数a，b，c，d的关系，用实数a表示b，c，d进行计算即可．
【解题过程】
解：令其中x≥0，y≥0，z≥0，
∴S＝a+b+c+d＝4a+3x+2y+z．
又∵3a+4b+5c+6d＝18a+15x+11y+6z＝90，
∴，
∴．
要使S最大，则取最小值0，此时S有最大值，最大值为20．
同理6S﹣90＝6a+3x+y，
要使S最小，则6a+3x+y取最小值0，此时S有最小值，最小值为15．
综上所述：S最大值为20．最小值为15．
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