南京市2012-2013学年度第一学期期末调研测试高二数学试卷(文科)

南京市2012－2013学年度第一学期期末调研测试
高二数学试卷(文科) 2013.01
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为100分，考试时间为100分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答卷纸的密封线内．试题的答案写在答卷纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答卷纸．
参考公式：V锥体＝Sh (S表示底面面积，h表示锥体的高)．
一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答卷纸相应位置上
1．复数1－2i (i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第 ▲ 象限．
2．已知命题p：(x∈R，x2＞x－1，则(p为 ▲ ．
3．在平面直角坐标系中，准线方程为y＝4的抛物线标准的方程为 ▲ ．
4．若复数z＝4＋3i (i为虚数单位)，则|z |＝ ▲ ．
5．双曲线x2－＝1的渐近线方程为 ▲ ．
6．“x＞1”是“x＞0”成立的 ▲ 条件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一种)．
7．已知曲线y＝ax2在x＝1处切线的斜率是－4，则实数a的值为 ▲ ．
8．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋(y－3)2＝r2 (r＞0)外切，则实数r的值为 ▲ ．
9．函数y＝x3－3x2＋1的单调递减区间为 ▲ ．
10．若直线3x＋4y－12＝0与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，则线段MN的长为 ▲ ．．
11．观察下列等式：
＝(－)×，
＝(－)×，
＝(－)×，
＝(－)×，
………………
可推测当n≥3，n∈N*时，＝ ▲ ．
12．已知椭圆＋＝1与双曲线—y2＝1有共同焦点F1，F2，点P是两曲线的一个交点，
则PF1·PF2＝ ▲ ．
13．在直角三角形ABC中，∠C为直角，两直角边长分别为a，b，求其外接圆半径时，可采取如下方法：将三角形ABC补成以其两直角边为邻边的矩形，则矩形的对角线为三角形外接圆的直径，可得三角形外接圆半径为；按此方法，在三棱锥S－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为a，b，c，通过类比可得三棱锥S－ABC外接球的半径为 ▲ ．
14．若函数f(x)在定义域D内某区间I上是增函数，且在I上是减函数，则称y＝f(x)在I 上是“弱
增函数”．已知函数h(x)＝x2－(b－1)x＋b在(0，1]上是“弱增函数”，则实数b的值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计58分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分8分）
已知复数z1满足z1·i＝1＋i (i为虚数单位)，复数z2的虚部为2．
（1）求z1；
（2）若z1·z2是纯虚数，求z2．
16．（本题满分8分）
已知命题p：任意x∈R，x2＋1≥a，命题q：方程－＝1表示双曲线．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若 “p且q”为真命题，求实数a的取值范围．
17．（本题满分10分）
已知以点P为圆心的圆经过点A(1，4)，B(3，6)，线段AB的垂直平分线与圆P交于点
C，D，且CD＝4．
（1）求直线CD的方程；
（2）求圆P的方程．
18．（本题满分10分）
如图，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F（c，0），下顶点为A(0，－b)，直线AF
与椭圆的右准线交于点B，若F恰好为线段AB的中点．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若直线AB与圆x2＋y2＝2相切，求椭圆C的方程．

19．（本题满分10分）
如图，在边长为2 （单位：m）的正方形铁皮的四周切去四个全等的等腰三角形，再把它
的四个三角形沿着虚线折起，做成一个正四棱锥的模型．设切去的等腰三角形的高为x m．
（1）求正四棱锥的高h(x)；
（2）当x为何值时，正四棱锥的体积V(x)取得最大值？
20．（本题满分12分）
设函数f(x)＝lnx－ax，a∈R．
（1）当x＝1时，函数f(x)取得极值，求a的值；
（2）当a＞0时，求函数f(x)在区间[1，2]的最大值．
2012－2013学年度第一学期期末调研测试卷
高二数学（文）参考答案及评分标准 2013.01
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）
1．四． 2．(x∈R，x2≤x－1． 3．x2＝－16y． 4．5．
5．3x±y＝0． 6．充分不必要． 7．－2． 8．1．
9．(0，2)．开闭区间均可 10．2． 11．(－)×． 12．5．
13． ． 14．1．
说明：填空题的严格按照评分标准，没有中间分，第5题少解或有错解不得分．
二、解答题（本大题共6小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分8分）
解 （1）因为z1·i＝1＋i，
所以z1＝＝1－i． ………………………………4分
（2）因为z2的虚部为2，故设z2＝m＋2i (m∈R)．
因为z1·z2＝(1－i)(m＋2i)＝(m＋2)＋(2－m)i为纯虚数， ………………………………6分
所以m＋2＝0，且2－m≠0，解得m＝－2．
所以z2＝－2＋2i． ………………………………8分
说明：按评分标准给分．第(1)问也可用待定系数求，列出方程给2分，得出结果给2分，第(2)问中不说明2－m≠0不扣分．
16．（本题满分8分）
解（1）记f(x)＝x2＋1，x∈R，则f(x)的最小值为1， ………………………………2分
因为命题p为真命题，所以a≤f(x)min＝1，
即a的取值范围为(－∞，1]． ………………………………4分
（2）因为q为真命题，所以a＋2＞0，解得a＞－2． ………………………………6分
因为“p且q”为真命题，所以即a的取值范围为(－2，1]．
………………………………8分
说明：第(1)问得出命题p为真命题的等价条件a≤1，给4分，没过程不扣分，
第(2)问分两步给，得到a＞－2给2分，得到x∈(－2，1]给2分，少一步扣2分．
17．（本题满分10分）
解 （1）因为直线AB的斜率k＝1，AB中点坐标为M(2，5)， ……………………2分
所以直线CD方程为y－5＝－(x－2)，即x＋y－7＝0． ……………………………4分
（2）设圆心P(a，b)，则由P在CD上得，
a＋b－7＝0． ①
又直径CD＝4，所以PA＝2，即(a－1)2＋(b－4)2＝4． ② …………………………6分
由①②解得或
所以圆心P(1，6)或P(3，4)．
所以圆P的方程为(x－1)2＋(y－6)2＝4或(x－3)2＋(y－4)2＝4． ………………………10分
说明：按评分标准给分，第(2)问若少一解扣2分．
18．（本题满分10分）
解 （1）因为B在右准线上，且F恰好为线段AB的中点，
所以2c＝， ………………………………2分
即＝，所以椭圆的离心率e＝． ………………………………4分
（2）由(1)知a＝c，b＝c，所以直线AB的方程为y＝x－c，即x－y－c＝0， ……6分
因为直线AB与圆x2＋y2＝2相切，所以＝， ………………………………8分
解得c＝2．所以a＝2，b＝2．
所以椭圆C的方程为＋＝1． ………………………………10分
说明：按评分标准给分．
19．（本题满分10分）
解 （1）设正四棱锥的底面中心为O，一侧棱为AN．
由于切去的是等腰三角形，所以AN＝，NO＝1－x，
………………………………2分
在直角三角形AON中，AO＝＝＝，
因此h(x)＝，（0＜x＜1)． ………………………………4分
（不写0＜x＜1扣1分）
（2）V(x)＝··[2(1－x)]2·＝(1－x)2，（0＜x＜1)． ………………………6分
由V ′(x)＝[(2x－2)＋]＝(x－1)＝0， ………………………8分
解得x＝1(舍去)，x＝．
当x∈(0，)时，V ′(x)＞0，V(x)为增函数；当x∈(，1)时，V ′(x)＜0，V(x)为减函数．
所以函数V(x)在x＝时取得极大值，也为V(x)的最大值．
答：当x为m时，正四棱锥的体积V(x)取得最大值． ………………………………10分
说明：按评分标准给分，不写函数的定义域扣1分，没有答扣1分．
20．（本题满分12分）
解 （1）f(x)的定义域为（0，＋∞），
所以f ′(x)＝－a＝． ………………………………2分
因为当x＝1时，函数f(x)取得极值，
所以f ′(1)＝1－a＝0，所以a＝1．
经检验，a＝1符合题意．（不检验不扣分） ………………………………4分
（2）f ′(x)＝－a＝，x＞0．
令f ′(x)＝0得x＝．因为x∈(0，)时，f ′(x)＞0，x∈(，＋∞)时，f ′(x)＜0，
所以f(x)在(0，)递增，在(，＋∞)递减， ………………………………6分
①当0＜≤1，即a≥1时，f(x)在(1，2)上递减，所以x＝1时，f(x)取最大值f(1)＝－a；
………………………………8分
②当1＜＜2，即＜a＜1时，f(x)在(1，)上递增，在( ，2)上递减，
所以x＝时，f(x)取最大值f()＝－lna－1； ………………………………10分
③当≥2，即0＜a≤时，f(x)在(1，2)上递增，所以x＝2时，f(x)取最大值f(2)＝ln2－2a；
综上，①当0＜a≤时，f(x)最大值为ln2－2a；②当＜a＜1时，f(x)最大值为－lna－1．
③当a≥1时，f(x)最大值为－a． ………………………………12分
说明：第(1)问，不检验不扣分；第(2)问的讨论，每一种情形给2分；不总结结论不扣分．