南京市2012-2013学年度第一学期期末调研测试高二数学试卷(理科)

南京市2012－2013学年度第一学期期末调研测试
高二数学试卷(理科) 2013.01
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为100分，考试时间为100分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答卷纸的密封线内．试题的答案写在答卷纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答卷纸．
参考公式：V锥体＝Sh (S表示底面面积，h表示锥体的高)．
一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答卷纸相应位置上
1．复数 (i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第 ▲ 象限．
2．已知p：(x∈R，x2＞x－1，则(p为 ▲ ．
3．在平面直角坐标系中，准线方程为y＝4的抛物线标准的方程为 ▲ ．
4．若“x＞1”是“x＞a”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ▲ ．
5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋(y－3)2＝r2 (r＞0)外切，则实数r的值为 ▲ ．
6．若复数z满足(z＋i)(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则|z|＝ ▲ ．
7．函数y＝2sinx－x，x∈[0，π]的单调递减区间为 ▲ ．
8．直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若MN＝2，则实数k的值是 ▲ ．
9． 已知动点M到A(4，0)的距离等于它到直线x＝1的距离的2倍，则动点M的轨迹方程为 ▲ ．
10．观察下列等式：
＝(－)×，
＝(－)×，
＝(－)×，
＝(－)×，
………………
可推测当n≥3，n∈N*时，＝ ▲ ．
11．已知椭圆＋＝1与双曲线—y2＝1有共同焦点F1，F2，点P是两曲线的一个交点，
则PF1·PF2为 ▲ ．
12．在直角三角形ABC中，∠C为直角，两直角边长分别为a，b，求其外接圆半径时，可采取如下方法：将三角形ABC补成以其两直角边为邻边的矩形，则矩形的对角线为三角形外接圆的直径，可得三角形外接圆半径为；按此方法，在三棱锥S－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为a，b，c，通过类比可得三棱锥S－ABC外接球的半径为 ▲ ．
13．已知曲线y＝x2 (x＞0)在点P处切线恰好与圆C：x2＋(y＋1)2＝1相切，则点P的坐标
为 ▲ ．
14．若函数f(x)在定义域D内某区间I上是增函数，且在I上是减函数，则称y＝f(x)在I 上是“弱增函数”．已知函数h(x)＝x2－(b－1)x＋b在(0，1]上是“弱增函数”，则实数b的值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计58分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分8分）
已知命题p：任意x∈R，x2＋1≥a，命题q：方程－＝1表示双曲线．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若 “p且q”为真命题，求实数a的取值范围．
16．（本题满分8分）
已知以点P为圆心的圆经过点A(1，4)，B(3，6)，线段AB的垂直平分线与圆P交于点
C，D，且CD＝4．
（1）求直线CD的方程；
（2）求圆P的方程．
17．（本题满分10分）
如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝3，E为线段SD
上的一点．
（1）求证：AC⊥BE；
（2）若DE＝1，求直线SC与平面ACE所成角的正弦值．
18．（本题满分10分）
如图，在边长为2 （单位：m）的正方形铁皮的四周切去四个全等的等腰三角形，再把它
的四个角沿着虚线折起，做成一个正四棱锥的模型．设切去的等腰三角形的高为x m．
（1）求正四棱锥的体积V(x)；
（2）当x为何值时，正四棱锥的体积V(x)取得最大值？
19．（本题满分10分）
如图，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F（c，0），下顶点为A(0，－b)，直线AF
与椭圆的右准线交于点B，与椭圆的另一个交点为点C，若F恰好为线段AB的中点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若FC＝，求椭圆的方程．
20．（本题满分12分）
设函数f(x)＝lnx－ax，a∈R．
（1）当x＝1时，函数f(x)取得极值，求a的值；
（2）当a＞0时，求函数f(x)在区间[1，2]的最大值；
（3）当a＝－1时，关于x的方程2mf(x)＝x2（m＞0）有唯一实数解，求实数m的值．
2012－2013学年度第一学期期末调研测试卷
高二数学（理）参考答案及评分标准 2013.01
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）
1．四． 2．(x∈R，x2≤x－1． 3．x2＝－16y． 4．（－∞，1）．
5．1． 6．5． 7．(，π)．开闭区间均可 8．0或－．
9．3x2－y2＝12． 10．(－)×． 11．5． 12．．
13．(，6)． 14．1．
说明：填空题的严格按照评分标准，没有中间分，第8题少解或有错解不得分，第9题可以不化为答案的形式，但仅列式不化简不给分．
二、解答题（本大题共6小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分8分）
解（1）记f(x)＝x2＋1，x∈R，则f(x)的最小值为1， …………………2分
因为命题p为真命题，所以a≤f(x)min＝1，
即a的取值范围为(－∞，1]． …………4分
（2）因为q为真命题，所以a＋2＞0，解得a＞－2． …………………6分
因为“p且q”为真命题，所以即a的取值范围为(－2，1]．
……………………8分
说明：第(1)问，得出命题p为真命题的等价条件a≤1，给4分，没过程不扣分，
第(2)问分两步给，得到a＞－2给2分，得到x∈(－2，1]给2分，少一步扣2分．
16．（本题满分8分）
解 （1）因为直线AB的斜率k＝1，AB中点坐标为M(2，5)， ……………2分
所以直线CD方程为y－5＝－(x－2)，即x＋y－7＝0． …………………4分
（2）设圆心P(a，b)，则由P在CD上得，
a＋b－7＝0． ①
又直径CD＝4，所以PA＝2，即(a－1)2＋(b－4)2＝4． ② …………6分
由①②解得或
所以圆心P(1，6)或P(3，4)．
所以圆P的方程为(x－1)2＋(y－6)2＝4或(x－3)2＋(y－4)2＝4． ………………………10分
说明：本题满分应为8分，最后10分改为8分，第(2)问若少一解扣2分改为扣1分，其他按评分标准给分，
17．（本题满分10分）
解 （1）因为四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥平面ABCD，
所以SD，DC，DA两两互相垂直，
以｛，，｝为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系
D－xyz，则各点的坐标为D(0，0，0)，A(3，0，0)，
B(3，3，0)，C(0，3，0)，S(0，0，3)，………………………………2分
设E(0，0，t) (0≤t≤3)，则
＝(－3，3，0)，＝(－3，－3，t)．
所以·＝－3×(－3)＋3×(－3)＋0×t＝0，
所以⊥，即AC⊥BE； ………………………………5分
（2）因为DE＝1，所以t＝1，所以＝(0，3，－3)，＝(－3，3，0)，＝(－3，0，1)．
设平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，直线SC与平面ACE所成角为θ，
所以n·＝0，n·＝0，即－3x＋3y＝0，－3x＋z＝0，解得x＝y，z＝3x．
取x＝1，则n＝(1，1，3)， ……………………………8分
所以n·＝0×1＋3×1＋(－3)×3＝－6，|n|＝，||＝3，
则sinθ＝|cos＜，n＞|＝||＝＝．
所以直线SC与平面ACE所成角的正弦值为． …………………10分
说明：第(1)问：建系设坐标给2分，若没有指出SD，DC，DA两两互相垂直，不扣分；写对，的坐标各给1分；
第(2)问：分两步给分，求出法向量给3分，求出角的正弦给2分，若把它当成余弦扣1分．
18．（本题满分10分）
解 （1）设正四棱锥的底面中心为O，一侧棱为AN．则
由于切去的是等腰三角形，所以AN＝，NO＝1－x，……………2分
在直角三角形AON中，AO＝＝＝，
………………………………4分
所以V(x)＝··[2(1－x)]2·＝(1－x)2，（0＜x＜1)． ………………………6分
（不写0＜x＜1扣1分）
（2）V ′(x)＝[(2x－2)＋]＝(x－1)， ……………8分
令V ′(x)＝0，得x＝1(舍去)，x＝．
当x∈(0，)时，V ′(x)＞0，所以V(x)为增函数；当x∈(，1)时，V ′(x)＜0，所以V(x)为减函数．
所以函数V(x)在x＝时取得极大值，此时为V(x)最大值．
答：当x为m时，正四棱锥的体积V(x)取得最大值． ……………10分
说明：按评分标准给分，不写函数的定义域扣1分，没有答扣1分．
19．（本题满分10分）
解 （1）因为B在右准线上，且F恰好为线段AB的中点，所以2c＝， ……………2分
即＝，所以椭圆的离心率e＝． …………4分
（2）由(1)知a＝c，b＝c，所以直线AB的方程为y＝x－c，
设C(x0，x0－c)，因为点C在椭圆上，所以＋＝1， …………………6分
即x＋2(x0－c)2＝2c2，
解得x0＝0(舍去)，x0＝c．所以C为(c，c)， ………………………………8分
因为FC＝，由两点距离公式可得(c－c)2＋(c)2＝，
解得c2＝2，所以a＝2，b＝，
所以此椭圆的方程为＋＝1． ………………………………10分
说明：第(1)问4分，
第(2)问也可用下列方法：由几何方法得出点C的坐标为(c＋，) ……6分
因为点C在椭圆上得＋＝1，得出c＝ ……8分
所以a＝2，b＝，
所以此椭圆的方程为＋＝1． ………………10分
20．（本题满分12分）
（1）f(x)的定义域为（0，＋∞），所以f ′(x)＝－a＝． …………………2分
因为当x＝1时，函数f(x)取得极值， 所以f ′(1)＝1－a＝0，所以a＝1．
经检验，a＝1符合题意．（不检验不扣分） ………………………4分
（2）f ′(x)＝－a＝，x＞0．
令f ′(x)＝0得x＝．因为x∈(0，)时，f ′(x)＞0，x∈(，＋∞)时，f ′(x)＜0，
所以f(x)在(0，)递增，在(，＋∞)递减， ………………………………5分
①当0＜≤1，即a≥1时，f(x)在(1，2)上递减，所以x＝1时，f(x)取最大值f(1)＝－a；
②当1＜＜2，即＜a＜1时，f(x)在(1，)上递增，在( ，2)上递减，
所以x＝时，f(x)取最大值f()＝－lna－1；
③当≥2，即0＜a≤时，f(x)在(1，2)上递增，所以x＝2时，f(x)取最大值f(2)＝ln2－2a．
综上，①当0＜a≤时，f(x)最大值为ln2－2a；②当＜a＜1时，f(x)最大值为－lna－1；
③当a≥1时，f(x)最大值为－a． …………………………8分
（每种情形1分）
（3）因为方程2mf(x)＝x2有唯一实数解，
所以x2－2mlnx－2mx＝0有唯一实数解，
设g(x)＝x2－2mlnx－2mx，
则g ′(x)＝，令g ′(x)＝0，x2－mx－m＝0．
因为m＞0，x＞0，所以x1＝＜0（舍去），x2＝，
当x∈(0，x2)时，g ′(x)＜0，g(x)在（0，x2）上单调递减，
当x∈(x2，＋∞)时，g ′(x)＞0，g(x)在（x2，＋∞）单调递增，
当x＝x2时，g(x)取最小值g(x2)． ………………………………10分
则
即
所以2mlnx2＋mx2－m＝0，因为m＞0，所以2lnx2＋x2－1＝0（*），
设函数h(x)＝2lnx＋x－1，因为当x＞0时， h(x)是增函数，所以h(x)＝0至多有一解．
因为h(1)＝0，所以方程（*）的解为x2＝1，即＝1，
解得m＝． ………………………………12分

说明：第(1)问，不检验不扣分；第(2)问的讨论，每一种情形给1分；
第(3)问，指出当x＝x2时，g(x)取最小值g(x2)给2分；得出最终结果给2分，不给中间分．采取分离常数法，即＝，对函数h(x)＝求导正确可给2分，得出最终结果给2分．