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专题7.4 一元一次不等式组的整数解
【典例1】已知关于x的不等式组；
（1）若该不等式组有且只有三个整数解，求a的取值范围；
（2）若该不等式组有解，且它的解集中的任何一个值均不在x≥5的范围内，求a的取值范围．
【思路点拨】
（1）先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解求出整数解，得出关于a的不等式组，从而求解；
（2）结合不等式组有解及它的解集中的任何一个值均不在x≥5的范围内，得关于a的不等式组，从而求解．
【解题过程】
解：（1），
解不等式①，得：x＞2，
解不等式②，得：x＜7﹣a，
∴不等式组的解集为2＜x＜7﹣a，
又∵不等式组有且只有三个整数解，
∴5＜7﹣a≤6，
解得：1≤a＜2；
（2）由（1）可得，不等式组的解集为2＜x＜7﹣a，
∵不等式组有解，
∴7﹣a＞2，
解得：a＜5，
又∵它的解集中的任何一个值均不在x≥5的范围内，
∴7﹣a≤5，
解得：a≥2，
∴a的取值范围2≤a＜5．
1．（2021 巴东县模拟）不等式组的整数解的个数为（ ）个．
A．14 B．15 C．0 D．无数个
2．（2021 河北模拟）已知不等式组的整数解有2个，则□内的数可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
3．（2021春 碑林区校级月考）若关于x的不等式组恰好有2个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣15≤a＜﹣12 B．﹣12＜a≤﹣9 C．﹣9＜a≤﹣6 D．﹣6≤a＜﹣3
4．（2021秋 零陵区期末）某班数学兴趣小组对不等式组，讨论得到以下结论：
①若a＝6，则不等式组的解集为3＜x≤6；
②若a＝3，则不等式组无解；
③若不等式组有解，则a的取值范围a≥3；
④若不等式组只有四个整数解，则a的值只可以为7．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2021春 荆门期末）已知关于x的不等式组，有以下说法：①若它的解集是1＜x≤2，则a＝5；②当a＝0时，它无解；③若它的整数解仅有3个，则整数a＝10；④若它有解，则a≥3．其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2021 北碚区校级开学）已知关于x的不等式组的整数解共有3个，且（a+2）x＜1的解集为x，则a可取（ ）个整数．
A．3 B．2 C．1 D．0
7．（2021 淅川县一模）不等式组的最大整数解为 ．
8．（2021 樊城区一模）已知不等式组有解但没有整数解，则a的取值范围为 ．
9．（2021秋 锦江区校级期中）如果关于x的不等式组的整数解只有1，2，3，那么a的取值范围是 ，b的取值范围是 ．
10．（2021春 东台市月考）若关于x的不等式组的所有整数解之和等于9，则a的取值范围是 ．
11．（2020秋 西湖区期末）对于任意实数p，q，定义一种运算：p@q＝p﹣q+pq，例如2@3＝2﹣3+2×3＝5．请根据上述定义解决问题：若关于x的不等式组；有3个整数解，则m的取值范围为 ．
12．（2021春 东湖区期末）定义：把b﹣a的值叫做不等式组a≤x≤b的“长度”若关于x的一元一次不等式组解集的“长度”为3，则该不等式组的整数解之和为 ．
13．（2020 浙江自主招生）已知不等式组的整数解仅有1，则实数a的取值范围是 ．
14．（2021 韩城市模拟）解不等式组，并写出该不等式组的最大整数解．
15．（2021秋 龙凤区校级期末）解不等式组，并写出所有整数解．（不画数轴）
16．（2021春 东坡区校级月考）解不等式组，把不等式组的解集表示在数轴上并写出它的所有非负整数解．
17．（2021春 萝北县期末）关于x的不等式组只有4个整数解，求：
（1）a的取值范围；
（2）当a取最大值时，在数轴上表示不等式组的解集．
18．（2021秋 金华期中）对x，y定义一种新运算F（x，y）＝（ax+by）（x+3y）（其中a，b均为非零常数）．例如：F（1，1）＝4a+4b；已知F（3，1）＝0，F（0，1）＝﹣9．
（1）求a，b的值；（F（3t+1，t）≥k；
（2）若关于F的不等式组恰好只有1个整数解，求k的取值范围．
19．（2021春 海陵区校级期末）对x，y定义一种新的运算A，规定：A（x，y）（其中ab≠0）．
（1）若已知a＝1，b＝﹣2，则A（4，3）＝ ．
（2）已知A（1，1）＝3，A（﹣1，2）＝0．求a，b的值；
（3）在（2）问的基础上，若关于正数p的不等式组恰好有2个整数解，求m的取值范围．
20．（2021秋 开福区校级月考）若一个不等式（组）A有解且解集为a＜x＜b（a＜b），则称为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含．
（1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：﹣1＜x≤5，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程；
（2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围．
（3）关于x的不等式组E：（n＜m）和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为9，求n的取值范围．
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专题7.4 一元一次不等式组的整数解
【典例1】已知关于x的不等式组；
（1）若该不等式组有且只有三个整数解，求a的取值范围；
（2）若该不等式组有解，且它的解集中的任何一个值均不在x≥5的范围内，求a的取值范围．
【思路点拨】
（1）先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解求出整数解，得出关于a的不等式组，从而求解；
（2）结合不等式组有解及它的解集中的任何一个值均不在x≥5的范围内，得关于a的不等式组，从而求解．
【解题过程】
解：（1），
解不等式①，得：x＞2，
解不等式②，得：x＜7﹣a，
∴不等式组的解集为2＜x＜7﹣a，
又∵不等式组有且只有三个整数解，
∴5＜7﹣a≤6，
解得：1≤a＜2；
（2）由（1）可得，不等式组的解集为2＜x＜7﹣a，
∵不等式组有解，
∴7﹣a＞2，
解得：a＜5，
又∵它的解集中的任何一个值均不在x≥5的范围内，
∴7﹣a≤5，
解得：a≥2，
∴a的取值范围2≤a＜5．
1．（2021 巴东县模拟）不等式组的整数解的个数为（ ）个．
A．14 B．15 C．0 D．无数个
【思路点拨】
先解出每个不等式的解集，即可得到该不等式组的解集，然后即可写出该不等式组的整数解个数．
【解题过程】
解：，
解不等式①，得：x≥﹣1，
解不等式②，得：x≤﹣16，
∴该不等式组无解，
∴不等式组的整数解的个数为0，
故选：C．
2．（2021 河北模拟）已知不等式组的整数解有2个，则□内的数可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【思路点拨】
求出不等式的解集，找出不等式组的解集，根据已知得出3＜□≤5，即可得出答案．
【解题过程】
解：，
解不等式①得：x，
解不等式②得：x＞﹣4，
∴不等式组的解集为﹣4＜x，
∵不等式组的整数解有2个，
∴﹣21，
∴3＜□≤5，
故选：C．
3．（2021春 碑林区校级月考）若关于x的不等式组恰好有2个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣15≤a＜﹣12 B．﹣12＜a≤﹣9 C．﹣9＜a≤﹣6 D．﹣6≤a＜﹣3
【思路点拨】
先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于x的不等式组恰好有2个整数解，即可得到关于a的不等式组，然后求解即可．
【解题过程】
解：，
解不等式①，得：x＞﹣2，
解不等式②，得：x，
∵关于x的不等式组恰好有2个整数解，
∴01，
解得﹣6≤a＜﹣3，
故选：D．
4．（2021秋 零陵区期末）某班数学兴趣小组对不等式组，讨论得到以下结论：
①若a＝6，则不等式组的解集为3＜x≤6；
②若a＝3，则不等式组无解；
③若不等式组有解，则a的取值范围a≥3；
④若不等式组只有四个整数解，则a的值只可以为7．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
①把a＝6代入不等式组，求出解集即可作出判断；
②把a＝3代入不等式组，判断即可；
③根据不等式组有解确定出a的范围，即可作出判断；
④由不等式组只有四个整数解，确定出a的范围，即可作出判断．
【解题过程】
解：不等式组，
当a＝6时，解集为3＜x≤6，选项①正确；
当a＝3时，不等式无解，选项②正确；
若不等式组有解，a的范围是a＞3，选项③错误；
若不等式组只有四个整数解，
∵不等式解集为3＜x≤a，
∴整数解为4，5，6，7，
∴a的范围是7≤a＜8，选项④错误，
则正确的个数是2个．
故选：B．
5．（2021春 荆门期末）已知关于x的不等式组，有以下说法：①若它的解集是1＜x≤2，则a＝5；②当a＝0时，它无解；③若它的整数解仅有3个，则整数a＝10；④若它有解，则a≥3．其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
先求出各不等式的解集，再根据各小题的结论解答即可．
【解题过程】
解：解不等式x2得，x＞1；
解不等式2x﹣a≤﹣1得，x，
①∵它的解集是1＜x≤2，
∴2，解得a＝5，故本小题正确；
②∵a＝0，解不等式2x﹣a≤﹣1得a，
∴不等式组无解，故本小题正确；
③∵它的整数解仅有3个，则整数解为2，3，4，
∴45，
∴9≤a＜11，
∴整数a为9或10，故本小题错误；
④∵不等式组有解，
∴1，
∴a＞3，故本小题错误．
故选：B．
6．（2021 北碚区校级开学）已知关于x的不等式组的整数解共有3个，且（a+2）x＜1的解集为x，则a可取（ ）个整数．
A．3 B．2 C．1 D．0
【思路点拨】
解不等式组两个不等式，根据整数解共有3个，得出∴﹣3＜a≤﹣2；由（a+2）x＜1的解集为x．得出a＜2，从而得出﹣3＜a＜﹣2，据此得出答案．
【解题过程】
解：解不等式组，
解不等式①得x≥a+2，
解不等式②得x＜3，
∵原不等式只有3个整数解
∴这3个整数解分别为2，1，0
﹣1＜a+2≤0
∴﹣3＜a≤﹣2，
∵（a+2）x＜1的解集为x，
∴a+2＜0，
∴a＜﹣2，
∴满足所有条件的a的取值范围是﹣3＜a＜﹣2，
∴a一个整数也取不到，
故选：D．
7．（2021 淅川县一模）不等式组的最大整数解为 1 ．
【思路点拨】
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出最大的整数解即可．
【解题过程】
解：不等式组整理得：，
解得：﹣1＜x≤1，
则不等式组的最大整数解为1．
故答案为：1．
8．（2021 樊城区一模）已知不等式组有解但没有整数解，则a的取值范围为 0≤a＜1 ．
【思路点拨】
解两个不等式求得x的范围，由不等式组有解，但没有整数解可得关于a的不等式组，解之可得答案．
【解题过程】
解：解不等式3x+a＜2x，得：x＜﹣a，
解不等式xx+2，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x＜﹣a，
∵有解但没有整数解，
∴﹣1＜﹣a≤0，
解得：0≤a＜1，
故答案为：0≤a＜1．
9．（2021秋 锦江区校级期中）如果关于x的不等式组的整数解只有1，2，3，那么a的取值范围是 0＜a≤3 ，b的取值范围是 6≤b＜8 ．
【思路点拨】
先求出不等式组的解集，再由整数解，可得a、b的取值范围．
【解题过程】
解：由3x﹣a≥0，得：x，
由2x﹣b≤0，得：x，
∵不等式组的整数解为1、2、3，
∴01，34，
∴0＜a≤3，6≤b＜8，
故答案为：0＜a≤3，6≤b＜8．
10．（2021春 东台市月考）若关于x的不等式组的所有整数解之和等于9，则a的取值范围是 ﹣2≤a＜3或﹣17≤a＜﹣12 ．
【思路点拨】
解不等式组得出解集，根据整数解的和为5，可以确定不等式组的整数解为2，3，4或﹣1，0，1，2，3，4，再根据解集确定a的取值范围．
【解题过程】
解：，
解不等式①得x，
解不等式②得x＜5，
∵所有整数解的和是9，
∴不等式组的整数解为2，3，4或﹣1，0，1，2，3，4，
∴12或﹣21，
∴﹣2≤a＜3或﹣17≤a＜﹣12
故答案为：﹣2≤a＜3或﹣17≤a＜﹣12．
11．（2020秋 西湖区期末）对于任意实数p，q，定义一种运算：p@q＝p﹣q+pq，例如2@3＝2﹣3+2×3＝5．请根据上述定义解决问题：若关于x的不等式组；有3个整数解，则m的取值范围为 ﹣8＜m≤﹣5 ．
【思路点拨】
先根据已知新运算变形，再求出不等式组的解，根据已知得出关于m的不等式组，求出m的范围即可．
【解题过程】
解：∵，
∴，
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x，
∴不等式组的解集是x＜2，
∵不等式组有3个整数解，
∴﹣21，
解得：﹣8＜m≤﹣5，
故答案为：﹣8＜m≤﹣5．
12．（2021春 东湖区期末）定义：把b﹣a的值叫做不等式组a≤x≤b的“长度”若关于x的一元一次不等式组解集的“长度”为3，则该不等式组的整数解之和为 ﹣2 ．
【思路点拨】
解不等式组求得不等式的解集为﹣a≤x≤2a﹣3，根据题意得出2a﹣3﹣（﹣a）＝3，解得a＝2，即可得到不等式的解集为﹣2≤x≤1，进而即可求得不等式组的整数解之和为﹣2．
【解题过程】
解：，
由①得x≥﹣a，
由②x≤2a﹣3，
∴不等式组的解集为﹣a≤x≤2a﹣3，
∵关于x的一元一次不等式组解集的“长度”为3，
∴2a﹣3﹣（﹣a）＝3，
∴a＝2，
∴不等式组的解集为﹣2≤x≤1，
∴不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0，1，它们的和为﹣2．
故答案为﹣2．
13．（2020 浙江自主招生）已知不等式组的整数解仅有1，则实数a的取值范围是 a≤2 ．
【思路点拨】
由已知可得，因为不等式组的整数解只有一个，则有0＜a﹣1≤1，3a﹣4＞1，解得a即可．
【解题过程】
解：∵，
∴，
∵整数解仅有1，
∴0＜a﹣1≤1，3a﹣4＞1，
∴a≤2，
故答案为a≤2．
14．（2021 韩城市模拟）解不等式组，并写出该不等式组的最大整数解．
【思路点拨】
先解出每个不等式的解集，即可得到该不等式组的解集，然后即可得到该不等式组的最大整数解．
【解题过程】
解：，
解不等式①，得：x≥﹣3，
解不等式②，得：x≤4，
故该不等式组的解集是﹣3≤x≤4，
∴该不等式组的最大整数解是4．
15．（2021秋 龙凤区校级期末）解不等式组，并写出所有整数解．（不画数轴）
【思路点拨】
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解即可．
【解题过程】
解：，
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜3，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
∴不等式组的整数解为：﹣1，0，1，2．
16．（2021春 东坡区校级月考）解不等式组，把不等式组的解集表示在数轴上并写出它的所有非负整数解．
【思路点拨】
先求出不等式组中每个不等式的解集，即可得到该不等式组的解集，然后即可在数轴表示出其解集，再写出它的所有非负整数解即可．
【解题过程】
解：，
解不等式①，得：x＞﹣3，
解不等式②，得：x≤2，
∴该不等式组的解集为﹣3＜x≤2，
解集在数轴上表示如下所示：
该不等式组的所有非负整数解是0，1，2．
17．（2021春 萝北县期末）关于x的不等式组只有4个整数解，求：
（1）a的取值范围；
（2）当a取最大值时，在数轴上表示不等式组的解集．
【思路点拨】
（1）分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组整数解的个数得到关于a的不等式组，解之即可得到a的范围；
（2）先确定a的值，再得出不等式组的解集，继而将其表示在数轴上即可．
【解题过程】
解：（1）解不等式x﹣3，得：x＜21，
解不等式x+a，得：x＞2﹣3a，
∵不等式组只有4个整数解，
∴16≤2﹣3a＜17，
解得﹣5＜a；
（2）当a取最大值，即a时，
不等式组的解集为16＜x＜21，
其解集在数轴上的表示见如下：
18．（2021秋 金华期中）对x，y定义一种新运算F（x，y）＝（ax+by）（x+3y）（其中a，b均为非零常数）．例如：F（1，1）＝4a+4b；已知F（3，1）＝0，F（0，1）＝﹣9．
（1）求a，b的值；（F（3t+1，t）≥k；
（2）若关于F的不等式组恰好只有1个整数解，求k的取值范围．
【思路点拨】
（1）根据定义的新运算F，列出二元一次方程组，解方程组求出a，b的值；
（2）根据（1）求出的a，b的值和新运算列出方程组求出t的取值范围，根据题意列出不等式，解不等式求出实数k的取值范围．
【解题过程】
解：（1）由题意得，
，
解得；
（2）把a＝1，b＝﹣3代入可得F（x，y）＝（x﹣3y）（x+3y）＝x2﹣9y2，
所以不等式组可转化为：，
解得 ，
因为原不等式组只有1个整数解，
所以﹣10，
解得﹣5＜k≤1．
19．（2021春 海陵区校级期末）对x，y定义一种新的运算A，规定：A（x，y）（其中ab≠0）．
（1）若已知a＝1，b＝﹣2，则A（4，3）＝ ﹣2 ．
（2）已知A（1，1）＝3，A（﹣1，2）＝0．求a，b的值；
（3）在（2）问的基础上，若关于正数p的不等式组恰好有2个整数解，求m的取值范围．
【思路点拨】
（1）根据新定义运算列出算式求解；
（2）根据题中的新定义列出方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值；
（3）由（2）化简得A（x，y）的关系式，先判断括号内数的大小，再转化成不等式组求解即可．
【解题过程】
解：（1）∵4＞3，
∴A（4，3）＝4a+3b，
又∵a＝1，b＝﹣2，
∴A（4，3）＝4×1+3×（﹣2）＝4﹣6＝﹣2，
故答案为：﹣2；
（2）由题意可得：，
解得：；
∴a的值为1，b的值为2；
（3）在（2）问的基础上，可得A（x，y），
∵p为正数，
∴3p＞2p﹣1，﹣1﹣3p＜﹣2p，
∴A（3p，2p﹣1）＝3p+2（2p﹣1）＝7p﹣2＞4，
A（﹣1﹣3p，﹣2p）＝﹣2p+2（﹣1﹣3p）＝﹣8p﹣2≥m，
可得，
解得，
∵恰好有2个整数解，
∴2个整数解为1，2，
∴23，
解得：﹣26＜m≤﹣18．
20．（2021秋 开福区校级月考）若一个不等式（组）A有解且解集为a＜x＜b（a＜b），则称为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含．
（1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：﹣1＜x≤5，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程；
（2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围．
（3）关于x的不等式组E：（n＜m）和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为9，求n的取值范围．
【思路点拨】
（1）先求不等式组A的解集，然后求得A的中点值，最后判断；
（2）先求不等式组C的解集和不等式组D的解集，然后后求得C的中点值，最后根据定义求得m的取值范围；
（3）先求不等式组E和F的解集，再求E得中点值，然后根据定义得到m和n不等式，最后通过m的条件求出n的取值范围．
【解题过程】
解：（1）不等式B对于不等式组A中点包含，判断过程如下：
解不等式组A：，得4＜x＜6，
∴A的中点值为x＝5，
∵x＝5在﹣1＜x≤5范围内，
∴不等式B对于不等式组A中点包含；
（2）∵D对于不等式组C中点包含，
∴不等式组C和不等式组D有解，
解不等式组C：，得，
不等式组D：，得，
∴，
解得：m＞﹣4，
∴当m＞﹣4时，不等式组C的解集为m﹣3＜x＜3m+5，不等式组D的解集为m﹣4＜x，
∴C的中点值为2m+1，
∵D对于不等式组C中点包含，
∴m﹣4＜2m+1，
解得：﹣5＜m＜10，
又∵m＞﹣4，
∴﹣4＜m＜10．
（3）解不等式组E得，2n＜x＜2m，解不等式组F得，，
∴E的中点值为n+m，
∵不等式组F对于不等式组E中点包含，
∴，
解得：n＜m＜5，
∵所有符合要求的整数m之和为9，
∴整数m可取2、3、4，或整数m可取﹣1、0、1、2、3、4，
∴1≤n＜2或﹣2≤n＜﹣1．
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