四川省成都市锦江区七中育才学校2021-2022学年九年级下学期入学练习数学试卷
一、单选题
1．（2022九下·锦江开学考）若一元二次方程ax 2 +bx+c=0有一个根为－1，则（ ）
A．a+b+c=1 B．a－b+c=0 C．a+b+c=0 D．a－b+c=1
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=-1代入方程ax2+bx+c=0得a-b+c=0.
故答案为：B.
【分析】根据方程解的概念，将x=-1代入原方程中可得结论.
2．（2021九上·青岛期末）如图是一根空心方管，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】如图所示：俯视图应该是
故答案为：B．
【分析】根据三视图的定义求解即可。
3．（2020八下·镇江月考）甲、乙两位同学在一次实验中统计了某一结果出现的频率，给出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．掷一枚正六面体的骰子，出现5点的概率
B．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率
C．任意写出一个整数，能被2整除的概率
D．一个袋子中装着只有颜色不同，其他都相同的 两个红球和一个黄球，从中任意取出一个是黄球的概率
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：从统计图可知试验结果的频率在0.33附近波动，可知这一试验的概率约为0.33.
A、掷一枚正六面体的骰子，出现5点的概率为，故A不符合题意；
B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率是，故B不符合题意；
C、任意写出一个整数，能被2整除的概率是，故C不符合题意；
D、一个袋子中装着只有颜色不同，其他都相同的两个红球和一个黄球，从中任意取出一个是黄球的概率，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】从统计图可知试验结果的概率在0.33附近波动，可知这一试验的概率约为0.33，再分别求出各选项中的概率，就可得出答案。
4．（2022九下·锦江开学考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD，
∴S△ABD=
AB×DE=
×10×DE=15，
解得DE=3，
∴CD=DE=3.
故答案为：A.
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质可得DE=CD，然后根据△ABD的面积公式可得DE的值，进而可得CD的值.
5．（2022九下·锦江开学考）已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当
时，关于x的方程
是一元二次方程，
∵有实数根，
∴
解得
且
当
时，方程为一元一次方程，有实数根，
综上，当
关于x的方程
有实数根
故答案为：B.
【分析】当a≠1时，方程是一元二次方程，根据方程有实数根可得△≥0，求解可得a的范围；当a=1时，方程为一元一次方程，有实数根，据此可得a的范围.
6．（2019九上·江阴期中）给出下列4个命题：①相似三角形的周长之比等于其相似比；②方程x2-3x+5=0的两根之积为5；③在同一个圆中，同一条弦所对的圆周角都相等；④圆的内接四边形对角互补.其中，真命题为（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】①相似三角形的周长之比等于其相似比，是真命题；
②方程x2-3x+5=0没有实数根，是假命题；
③在同圆中，同一条弧所对的圆周角相等，但同一条弦所对的圆周角不一定相等，是假命题；
④圆的内接四边形对角互补，是真命题；
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的性质、一元二次方程根与系数的关系、圆周角定理和圆内接四边形进行判断即可.
7．（2020九上·崇川月考）如果反比例函数 的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞ B．m＜ C．m≤ D．m≥
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数 的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小，
1-2m>0，
解得：m< .
故答案为：B.
【分析】对于反比例函数，当k＞0时，图象的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，当k＜0时，图象的两支分别位于第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，据此列出不等式，求解可得m的范围.
8．（2021九上·瑞安月考）如图AB是半圆 的直径C，D是半圆上的两点，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=125°，
∴∠A=180°-∠C=55°，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°-∠A=35°.
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，由圆周角定理求出∠ADB=90°，然后根据直角三角形的性质求∠ABD即可.
9．（2022九下·锦江开学考）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝，AE＝3，则tan∠DBE的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，cosA＝
，AE＝3，
∴，解得：AD＝5.
∴DE＝
＝4，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=5，
∴BE＝5﹣3＝2，
∴tan∠DBE＝
＝2.
故答案为：B.
【分析】根据余弦函数的概念可得AD的值，利用勾股定理求出DE，根据菱形的性质可得AD=AB=5，然后求出BE的值，再根据正切函数的概念进行计算.
10．（2021九上·斗门期末）如果将抛物线y＝x2+2先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+1
C．y＝x2+1 D．y＝（x+1）2﹣1
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为，
向左平移1个单位，向下平移1个单位后的抛物线的顶点坐标为，
∴平移后的抛物线的解析式为．
故答案为：B．
【分析】根据原抛物线的顶点坐标向左平移1个单位，向下平移1个单位后得出新的抛物线的顶点坐标，由此得出平移后的抛物线的解析式。
二、填空题
11．（2022九下·锦江开学考）如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是 .
【答案】-1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由图象可知，抛物线经过原点（0，0），
所以a2-1=0，解得a=±1，
∵图象开口向下，a＜0，
∴a=-1.
故答案为：-1.
【分析】由图象可知：抛物线经过原点（0，0），代入y=ax2-3x+a2-1中可得a的值，然后结合图象开口方向即可确定出a的值.
12．（2022九下·锦江开学考）已知⊙的直径是4，⊙上两点、分⊙所得劣弧与优弧之比为1：3，则弦的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，
∴劣弧的度数为： ，
∴劣弧所对的圆心角的度数90°，
∵⊙
的直径是4，
∴OB=OC=2，
∴BC=
.
故答案为：
.
【分析】由题意可得劣弧的度数为90°，则劣弧所对的圆心角的度数为90°，根据直径可得OB=OC=2，然后利用勾股定理计算即可.
13．（2016·南山模拟）已知点A、B分别在反比例函数y= （x＞0），y=﹣ （x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则tanB为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过A作AC⊥y轴，过B作BD⊥y轴，
可得∠ACO=∠BDO=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∵点A、B分别在反比例函数y= （x＞0），y=﹣ （x＞0）的图象上，
∴S△AOC=1，S△OBD=4，
∴S△AOC：S△OBD=1：4，即OA：OB=1：2，
则在Rt△AOB中，tan∠ABO= ．
故答案为：
【分析】过A作AC垂直于y轴，过B作BD垂直于y轴，利用垂直的定义可得出一对直角相等，再由OA与OB垂直，利用平角的定义得到一对角互余，在直角三角形AOC中，两锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形AOC与三角形OBD相似，利用反比例函数k的几何意义求出两三角形的面积，得出面积比，利用面积比等于相似比的平方求出相似比，即为OA与OB的比值，在直角三角形AOB中，利用锐角三角函数定义即可求出tan∠ABO的值．
14．（2022九下·锦江开学考）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE+PF= .
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接OP，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB，AC=
=10，
∴S矩形ABCD=AB BC=48，S△AOB=
S矩形ABCD=12，OA=OB=5，
∴S△AOB=S△AOP+S△BOP=
OA PE+
OB PF=
OA（PE+PF）=
×5×（PE+PF）=12，
∴PE+PF=
；
故答案为：
.
【分析】连接OP，根据矩形的性质可得∠ABC=90°，OA=OC=OB=OD，AC=BD，利用勾股定理求出AC，然后计算出矩形ABCD的面积以及△AOB的面积，接下来根据S△AOB=S△AOP+S△BOP结合三角形的面积公式就可求出PE+PF的值.
15．（2022九下·锦江开学考）设分别为一元二次方程x2+2x-2019=0的两个实数根，则m2+3m+n= .
【答案】2017
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m，n分别为一元二次方程x2+2x-2019=0的两个实数根，
∴m+n=-2，m2+2m-2019=0，
∴m2+2m=2019，
∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=2019-2=2017.
故答案为：2017.
【分析】根据方程解的概念可得m2+2m=2019，根据根与系数的关系可得m+n=-2，据此计算.
16．（2022九下·锦江开学考）已知抛物线经过点和，则的值是 .
【答案】3
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线
，开口向上，
顶点坐标为
，抛物线经过点
和
，
当
时，
故答案为：3.
【分析】根据抛物线的解析式可得顶点坐标为（-1，b2-1），结合题意可得a=-1，b=0，则y=x2+2x，然后令x=1，求出y的值即可.
17．（2022九下·锦江开学考）若把函数y=x的图象用E(x，x)记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，……则E(x，
)图象上的最低点是 .
【答案】（1，2）
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：根据题意得：该函数为
，
∵
∴当
时，有最小值，最小值为
，
即E(x，
)图象上的最低点是（1，2）.
故答案为：（1，2）.
【分析】根据题意得：该函数为y=x2-2x+3，将其化为顶点式，据此可得最低点的坐标.
18．（2022九下·锦江开学考）在平面直角坐标系xOy中，已知，，三点，其中，函数的图象分别与线段BC，AC交于点P，Q.若，则t的值为 .
【答案】2
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图所示，
∵A（2t，0），C（2t，4t），
∴AC⊥x轴，
当x=2t时，y=
，
∴Q（2t，
），
∵B（0，﹣2t），C（2t，4t），
设直线BC的解析式为：
，将两点代入可得：
，
解得：
，
∴直线BC的解析式为：y=3x﹣2t，
则3x﹣2t=
，
解得：x1=t，x2=
（舍），
∴P（t，t），
∵S△PAB=S△BAC﹣S△APC，S△PQB=S△BAC﹣S△ABQ﹣S△PQC，
∵S△PAB﹣S△PQB=t﹣1，
∴（S△BAC﹣S△APC）﹣（S△BAC﹣S△ABQ﹣S△PQC）=t﹣1，
S△ABQ+S△PQC﹣S△APC=
，
解得：t=2.
故答案为：2.
【分析】根据点A、C的坐标可得AC⊥x轴，易得Q（2t，
），求出直线BC的解析式，联立反比例函数解析式求出x，可得P（t，t），根据S△PAB-S△PQB=t-1可得(S△BAC-S△APC)﹣(S△BAC-S△ABQ-S△PQC)=t-1，结合三角形的面积公式即可得到t的值.
19．（2022九下·锦江开学考）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P给出如下定义：Q为图形M上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的5倍，则称点P为图形M的“五分点”.已知点，.以点O为圆心，r为半径画圆，若线段AB上存在的“五分点”，则r的取值范围是 .
【答案】或
【知识点】一次函数的实际应用；两点间的距离
【解析】【解答】解：设半径为r的圆O，与x轴交F，G两点，
AB上存在
即
上存在P，
点
，
.
设
，
，
，
，
，
由题意：
，
，
①，
，
，
②，
，
P在DE上
或
，
∴或
.
故答案为：
或
.
【分析】设半径为r的圆O，与x轴交于F，G两点，根据点A、B的坐标可得OD=OA=
，OE=OB=2
，设P（x，0），F（-r，0），G（r，0），则D（
，0），E（2
，0），由题意可知FP=5GP，即|x+r|=5|x-r|，表示出x，根据点P在DE上可得x的范围，进而可得r的范围.
三、解答题
20．（2022九下·锦江开学考）计算或解方程
（1）.
（2）（配方法）
【答案】（1）解：
=
=
=5；
（2）解：
x-3=2或x-3=-2
所以，.
【知识点】实数的运算；配方法解一元二次方程；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、绝对值的性质、0次幂以及负整数指数幂的运算性质可得原式=2- -1+4+ ，然后根据二次根式的加法法则以及有理数的加减法法则进行计算；
（2）首先将常数项移至右边，给两边同时加上9，对左边的式子利用完全平方公式分解可得(x-3)2=4，然后利用直接开方法进行计算.
21．（2022九下·锦江开学考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣4）.
⑴画出△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的△AB1C1；
⑵以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2∶1；
⑶若P（a，b）是△ABC边AB上任意一点，通过（2）的位似变换后，点P的对应点为P2，请写出点P2的坐标.
【答案】解：(1)如图所示，△AB1C1即为所求；
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求；
(3)由于点P的坐标为（a，b），
根据题意得：点P2的坐标为（－2a，－2b）.
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质找出点B、C绕点A顺时针旋转90°的对应点B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）分别连接AO、BO、CO并延长，使A2O=2AO，B2O=2BO，C2O=2CO，然后顺次连接即可；
（3）根据位似比为2：1可得点P2的坐标.
22．（2022九下·锦江开学考）如图，AB，CD相交于点E且互相平分，F是BD延长线上一点，若，求证：.
【答案】证明：∵AB，CD互相平分
∴，
又∵
∴
∴，
∵
∴
∴
∴
∵
∴.
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据AB，CD互相平分可得AE=BE，CE=DE，根据对顶角的性质可得∠AEC=∠BED，证明△AEC≌△BED，得到∠CAE=∠DEB，AC=BD，由已知条件知∠FAC=2∠BAC，则∠DBE=∠FAE，推出AF=BF，然后根据BF=BD+DF进行证明.
23．（2020九上·滦南期末）如图是某货站传送货物的平面示意图为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角使其由 改为 ，已知原传送带 长为4米．
（1）求新传送带 的长度；（结果保留根号）
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离 点5米的货物 是否需要挪走，并说明理由（结果精确到0.1米参考数据： ， ， ）
【答案】（1）解：如图，
在Rt△ABM中，
AM＝ABsin45°＝2 ．
在Rt△ACM中，
∵∠ACM＝30°，
∴AC＝2AM＝4 ．
即新传送带AC的长度约为4 米；
（2）解：结论：货物DEFG不用挪走．
在Rt△ABM中，BM＝ABcos45°＝2 ．
在Rt△ACM中，CM＝ ．
∴CB＝CM﹣BM＝2 ﹣2 ≈2.08．
∵DC＝DB﹣CB≈5﹣2.08＝2.92＞2，
∴货物DEFG不需要挪走．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）先根据AB的长度求出AM的高度，然后利用30°所对的直角边是斜边的一半即可得出AC的长度；（2）先利用AM的高度求出CM的长度，进而求出CB的长度，然后利用DC=DB-CB求出DC，最后用DC的长度与2进行比较即可，若DC的长度大于2则货物不用搬走，反之则需要搬走．
24．（2021九上·西安月考）如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于 ， 两点，连接 OA，OB.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求 的面积；
（3）根据图象，直接写出一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围.
【答案】（1）解：设一次函数的解析式是 ，反比例函数的表达式是 ，
把 代入 中，
得：
解得： ，
故反比例函数的解析式为 ；
把 代入 ，
得：
解得 ，
故 ，
把 ， 代入 ，
得 ，解得： ，
故一次函数解析式为 ；
（2）解：如图，设一次函数 与x轴交于点C，
令 ，得 .
点C的坐标是 ，
.
（3） 或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：（3）由图象可知，当 或 时，直线 落在双曲线 上方，即 ，
所以 时x的取值范围是 或 .
【分析】(1)利用待定系数法求出反比例函数关系式，然后把（-2，n）代入反比例函数式求出B点坐标，再根据待定系数法求一次函数式即可；
(2)先求出直线AB与x轴的交点C的坐标，然后根据 计算，即可解答；
(3)观察图象，找出直线在双曲线上方时x的范围即可.
25．（2022九下·锦江开学考）如图1，四边形ABCD内接于，对角线 AC 是的直径，AB，DC 的延长线交于点E，.
（1）求证：是等腰三角形；
（2）如图2，若BD平分，求的值；
（3）如图1，若，，求y与x的函数关系式.
【答案】（1）证明：如图1，∵，
∴，
∵四边形ABCD内接于，
∴，
∵，
∴，；
（2）解：如图2，作于F，
设，
∵AC为直径，
∴，，，
由（1）得，
∵，∴，，
∵，
∴；
（3）解：如图1，过B作于F，
设，，由（1）知
∵，
∴，
，，
∵，
∴，
，，，
∵，
∴，
即，即，
∵，
∴
【知识点】等腰三角形的判定；圆周角定理；圆内接四边形的性质；平行线分线段成比例；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ACD=∠DBA，根据圆内接四边形的性质可得∠BCE=∠DAB，结合已知条件可得∠DBA=∠DAB，据此证明；
（2）作BF⊥DA于F，设AF=a，DF=b，根据圆周角定理可得∠ADC=90°，∠ADB=∠BDC=45°，BF=DF=b，由（1）得DB=AD=a+b，然后根据平行线分线段成比例的性质进行解答；
（3）过B作BF⊥AD于F，设AF=a，DF=b，由（1）知DB=DA=a+b，根据圆周角定理可得∠3=∠4，根据三角函数的概念可得FB=bx，根据勾股定理可得
，然后根据平行线分线段长比例的性质可得y，据此解答.
26．（2022九下·锦江开学考）某企业接到一批帽子生产任务，按要求在20天内完成，约定这批帽子的出厂价为每顶8元.为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人小华第x天生产的帽子数量为y顶，y与x满足如下关系式：y＝
（1）小华第几天生产的帽子数量为220顶？
（2）如图，设第x天每顶帽子的成本是z元，z与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画.若小华第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？
（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多49元，则第（m+1）天每顶帽子至少应提价几元？
【答案】（1）解：若，则，与不符，
∴，
解得：，
故第12天生产了220顶帽子；
（2）解：由图象得，
当时，；
当时，设，
把代入上式，得
，
解得， ，
∴
①时，
当时，w有最大值为（元）
②时，，当时，w有最大值，最大值为560（元）；
③时，
当时，w有最大值，最大值为576（元）.
综上，当时，w有最大值，最大值为576元.
（3）解：由（2）小题可知，，设第15天提价a元，由题意得
∴
∴
答：第15天每顶帽子至少应提价0.2元.
【知识点】一次函数的实际应用；一元一次方程的实际应用-工程问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）令y=220，求出x的值，据此解答；
（2）由图象得：当0≤x≤10时，z=5.2；当10（3）由（2）小题可知：m=14，m+1=15，设第15天提价a元，根据利润=数量×(出厂价+提价-成本)可得w与a的关系式，然后根据第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多49元列出关于a的不等式，求解即可.
27．（2022九下·锦江开学考）如图
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，若，则的值为 ；
（2）如图2，在矩形ABCD中，，，点E是AD上的一点，连接CE，BD，若，则的值为 ；
（3）如图3，在四边形ABCD中，，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：；
（4）如图4，在中，，，将沿BD翻折，点A落在点C处，得到，点F为线段AD上一动点，连接CF，作交AB于点E， 垂足为点G，连接AG.设，求AG的最小值.
【答案】（1）1
（2）
（3）证明：如图，过点F作FH⊥BC，垂足为H
∵∠H=∠A=∠B=90°，
∴四边形ABHF为矩形，
∴FH=AB.
∵CG⊥EG，
∴∠G=90°=∠A=∠H，
∵∠ADE=∠GDF，
∴△ADE∽△GDF，
∵∠GDF=∠HFC，
∴△GDF∽△HCF，
∴△ADE∽△HFC，
∴，即
∴.
（4）解：如图4，过C作于H，
∵，
∴CGHD四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
取CD中点M，连接AM，GM，过M作于R，
，，
，，
∵，，
∴，，
当A、G、M三点共线时，AG取最小值.
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC，∠A=∠FDC=90°，
∵DE⊥CF，
∴∠ADE+∠DFC=90°，∠DFC+∠DCF=90°，
∴∠ADE=∠DCF，
在△ADE和△DCF中，
∠ADE=∠DCF， AD=DC，∠A=∠FDC
∴△ADE≌△DCF（ASA）.
∴DE=CF，
∴=1
故答案为1；
（2）∵四边形ABCD为矩形
∴∠A=∠EDC=90°，
∵CE⊥BD，
∴∠ADB+∠CED=90°，∠CED+∠DCE=90°，
∴∠ADB=∠DCE
∴△ADB∽△DCE，
∴， 即
故答案为：
；
【分析】（1）根据正方形的性质可得AD=DC，∠A=∠FDC=90°，根据同角的余角相等可得∠ADE=∠DCF，证明△ADE≌△DCF，得到DE=CF，据此解答；
（2）根据矩形的性质可得∠A=∠EDC=90°，根据同角的余角相等可得∠ADB=∠DCE，证明△ADB∽△DCE，然后根据相似三角形的性质计算即可；
（3）过点F作FH⊥BC，垂足为H，易得四边形ABHF为矩形，则FH=AB，证明△ADE∽△GDF，得到∠GDF=∠HFC，进而证明△GDF∽△HCF，△ADE∽△HFC，然后根据相似三角形的性质证明即可；
（4）过C作CH⊥AD于H，则CGHD四点共圆，∠FCH=∠ADE，证明△FCH∽△EDA，取CD中点M，连接AM，GM，过M作MR⊥AD于R，根据相似三角形的性质以及三角函数的概念可得MR、DR，进而求出AR、AM、GM，当A、G、M三点共线时，AG取最小值，为AM-GM，据此计算.
28．（2022九下·锦江开学考）如图，的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为、，抛物线经过B点，且顶点在直线上.
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若是由沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点F与点D关于y轴对称，过点F作直线GF交抛物线于点H、M.点H在点M左侧，连接GD、DM、HD.设直线GF解析式为，是否存在实数k，使得与相似.若存在，请求出k值以及的面积，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：B（0，4）代入得：c=4，
由二次函数的图象和系数的关系：对称轴=，，
∴；
（2）解：中由勾股定理得：AB==5，
当四边形ABCD是菱形时：，
由平移性质得：，，
∵，∴D在抛物线上.
∵，∴C在抛物线上.
故C，D两点在抛物线上；
（3）解：，由对称得，
设直线解析式为： y=kx＋b，代入F得
，，
∴；
当直线与二次函数相交时：设，，则H（x1，kx1+2k），M（x2，kx2+2k）
，
，
，①
，
x1，x2是方程①的解，由根与系数的关系得：；
当与相似时：
若，则H、M重合，不符合题意；
若，则，
∵， ，H（x1，kx1+2k），M（x2，kx2+2k），
∴，
，
，，.
当时，，，
，，，
S△HDM= S△FDM －S△FDH=×4×（y2-y1）=
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；菱形的性质；平移的性质；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）将B（0，4）代入可得c=4，根据对称轴方程可得b的值，进而可得抛物线的解析式；
（2）由勾股定理可得AB=5，当四边形ABCD是菱形时，AD=AB=BC=5，由平移的性质得D（2，0），C（5，4），然后代入抛物线解析式中验证即可；
（3）由对称性可得F（-2，0），易得G（0，2k），当直线与二次函数相交时，设H（x1，y1），M（x2，y2），则H（x1，kx1+2k），M（x2，kx2+2k），联立直线与抛物线解析式并结合根与系数的关系表示出x1+x2、x1x2，然后相似三角形的性质可得k的值，进而求出x的值，然后根据S△HDM= S△FDM-S△FDH进行计算.
1 / 1四川省成都市锦江区七中育才学校2021-2022学年九年级下学期入学练习数学试卷
一、单选题
1．（2022九下·锦江开学考）若一元二次方程ax 2 +bx+c=0有一个根为－1，则（ ）
A．a+b+c=1 B．a－b+c=0 C．a+b+c=0 D．a－b+c=1
2．（2021九上·青岛期末）如图是一根空心方管，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020八下·镇江月考）甲、乙两位同学在一次实验中统计了某一结果出现的频率，给出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．掷一枚正六面体的骰子，出现5点的概率
B．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率
C．任意写出一个整数，能被2整除的概率
D．一个袋子中装着只有颜色不同，其他都相同的 两个红球和一个黄球，从中任意取出一个是黄球的概率
4．（2022九下·锦江开学考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2022九下·锦江开学考）已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
6．（2019九上·江阴期中）给出下列4个命题：①相似三角形的周长之比等于其相似比；②方程x2-3x+5=0的两根之积为5；③在同一个圆中，同一条弦所对的圆周角都相等；④圆的内接四边形对角互补.其中，真命题为（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①④ D．①②③④
7．（2020九上·崇川月考）如果反比例函数 的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞ B．m＜ C．m≤ D．m≥
8．（2021九上·瑞安月考）如图AB是半圆 的直径C，D是半圆上的两点，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022九下·锦江开学考）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝，AE＝3，则tan∠DBE的值是（ ）
A． B．2 C． D．
10．（2021九上·斗门期末）如果将抛物线y＝x2+2先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+1
C．y＝x2+1 D．y＝（x+1）2﹣1
二、填空题
11．（2022九下·锦江开学考）如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是 .
12．（2022九下·锦江开学考）已知⊙的直径是4，⊙上两点、分⊙所得劣弧与优弧之比为1：3，则弦的长为 .
13．（2016·南山模拟）已知点A、B分别在反比例函数y= （x＞0），y=﹣ （x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则tanB为 ．
14．（2022九下·锦江开学考）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE+PF= .
15．（2022九下·锦江开学考）设分别为一元二次方程x2+2x-2019=0的两个实数根，则m2+3m+n= .
16．（2022九下·锦江开学考）已知抛物线经过点和，则的值是 .
17．（2022九下·锦江开学考）若把函数y=x的图象用E(x，x)记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，……则E(x，
)图象上的最低点是 .
18．（2022九下·锦江开学考）在平面直角坐标系xOy中，已知，，三点，其中，函数的图象分别与线段BC，AC交于点P，Q.若，则t的值为 .
19．（2022九下·锦江开学考）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P给出如下定义：Q为图形M上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的5倍，则称点P为图形M的“五分点”.已知点，.以点O为圆心，r为半径画圆，若线段AB上存在的“五分点”，则r的取值范围是 .
三、解答题
20．（2022九下·锦江开学考）计算或解方程
（1）.
（2）（配方法）
21．（2022九下·锦江开学考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣4）.
⑴画出△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的△AB1C1；
⑵以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2∶1；
⑶若P（a，b）是△ABC边AB上任意一点，通过（2）的位似变换后，点P的对应点为P2，请写出点P2的坐标.
22．（2022九下·锦江开学考）如图，AB，CD相交于点E且互相平分，F是BD延长线上一点，若，求证：.
23．（2020九上·滦南期末）如图是某货站传送货物的平面示意图为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角使其由 改为 ，已知原传送带 长为4米．
（1）求新传送带 的长度；（结果保留根号）
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离 点5米的货物 是否需要挪走，并说明理由（结果精确到0.1米参考数据： ， ， ）
24．（2021九上·西安月考）如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于 ， 两点，连接 OA，OB.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求 的面积；
（3）根据图象，直接写出一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围.
25．（2022九下·锦江开学考）如图1，四边形ABCD内接于，对角线 AC 是的直径，AB，DC 的延长线交于点E，.
（1）求证：是等腰三角形；
（2）如图2，若BD平分，求的值；
（3）如图1，若，，求y与x的函数关系式.
26．（2022九下·锦江开学考）某企业接到一批帽子生产任务，按要求在20天内完成，约定这批帽子的出厂价为每顶8元.为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人小华第x天生产的帽子数量为y顶，y与x满足如下关系式：y＝
（1）小华第几天生产的帽子数量为220顶？
（2）如图，设第x天每顶帽子的成本是z元，z与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画.若小华第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？
（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多49元，则第（m+1）天每顶帽子至少应提价几元？
27．（2022九下·锦江开学考）如图
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，若，则的值为 ；
（2）如图2，在矩形ABCD中，，，点E是AD上的一点，连接CE，BD，若，则的值为 ；
（3）如图3，在四边形ABCD中，，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：；
（4）如图4，在中，，，将沿BD翻折，点A落在点C处，得到，点F为线段AD上一动点，连接CF，作交AB于点E， 垂足为点G，连接AG.设，求AG的最小值.
28．（2022九下·锦江开学考）如图，的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为、，抛物线经过B点，且顶点在直线上.
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若是由沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点F与点D关于y轴对称，过点F作直线GF交抛物线于点H、M.点H在点M左侧，连接GD、DM、HD.设直线GF解析式为，是否存在实数k，使得与相似.若存在，请求出k值以及的面积，若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=-1代入方程ax2+bx+c=0得a-b+c=0.
故答案为：B.
【分析】根据方程解的概念，将x=-1代入原方程中可得结论.
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】如图所示：俯视图应该是
故答案为：B．
【分析】根据三视图的定义求解即可。
3．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：从统计图可知试验结果的频率在0.33附近波动，可知这一试验的概率约为0.33.
A、掷一枚正六面体的骰子，出现5点的概率为，故A不符合题意；
B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率是，故B不符合题意；
C、任意写出一个整数，能被2整除的概率是，故C不符合题意；
D、一个袋子中装着只有颜色不同，其他都相同的两个红球和一个黄球，从中任意取出一个是黄球的概率，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】从统计图可知试验结果的概率在0.33附近波动，可知这一试验的概率约为0.33，再分别求出各选项中的概率，就可得出答案。
4．【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD，
∴S△ABD=
AB×DE=
×10×DE=15，
解得DE=3，
∴CD=DE=3.
故答案为：A.
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质可得DE=CD，然后根据△ABD的面积公式可得DE的值，进而可得CD的值.
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当
时，关于x的方程
是一元二次方程，
∵有实数根，
∴
解得
且
当
时，方程为一元一次方程，有实数根，
综上，当
关于x的方程
有实数根
故答案为：B.
【分析】当a≠1时，方程是一元二次方程，根据方程有实数根可得△≥0，求解可得a的范围；当a=1时，方程为一元一次方程，有实数根，据此可得a的范围.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】①相似三角形的周长之比等于其相似比，是真命题；
②方程x2-3x+5=0没有实数根，是假命题；
③在同圆中，同一条弧所对的圆周角相等，但同一条弦所对的圆周角不一定相等，是假命题；
④圆的内接四边形对角互补，是真命题；
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的性质、一元二次方程根与系数的关系、圆周角定理和圆内接四边形进行判断即可.
7．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数 的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小，
1-2m>0，
解得：m< .
故答案为：B.
【分析】对于反比例函数，当k＞0时，图象的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，当k＜0时，图象的两支分别位于第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，据此列出不等式，求解可得m的范围.
8．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=125°，
∴∠A=180°-∠C=55°，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°-∠A=35°.
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，由圆周角定理求出∠ADB=90°，然后根据直角三角形的性质求∠ABD即可.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，cosA＝
，AE＝3，
∴，解得：AD＝5.
∴DE＝
＝4，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=5，
∴BE＝5﹣3＝2，
∴tan∠DBE＝
＝2.
故答案为：B.
【分析】根据余弦函数的概念可得AD的值，利用勾股定理求出DE，根据菱形的性质可得AD=AB=5，然后求出BE的值，再根据正切函数的概念进行计算.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为，
向左平移1个单位，向下平移1个单位后的抛物线的顶点坐标为，
∴平移后的抛物线的解析式为．
故答案为：B．
【分析】根据原抛物线的顶点坐标向左平移1个单位，向下平移1个单位后得出新的抛物线的顶点坐标，由此得出平移后的抛物线的解析式。
11．【答案】-1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由图象可知，抛物线经过原点（0，0），
所以a2-1=0，解得a=±1，
∵图象开口向下，a＜0，
∴a=-1.
故答案为：-1.
【分析】由图象可知：抛物线经过原点（0，0），代入y=ax2-3x+a2-1中可得a的值，然后结合图象开口方向即可确定出a的值.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，
∴劣弧的度数为： ，
∴劣弧所对的圆心角的度数90°，
∵⊙
的直径是4，
∴OB=OC=2，
∴BC=
.
故答案为：
.
【分析】由题意可得劣弧的度数为90°，则劣弧所对的圆心角的度数为90°，根据直径可得OB=OC=2，然后利用勾股定理计算即可.
13．【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过A作AC⊥y轴，过B作BD⊥y轴，
可得∠ACO=∠BDO=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∵点A、B分别在反比例函数y= （x＞0），y=﹣ （x＞0）的图象上，
∴S△AOC=1，S△OBD=4，
∴S△AOC：S△OBD=1：4，即OA：OB=1：2，
则在Rt△AOB中，tan∠ABO= ．
故答案为：
【分析】过A作AC垂直于y轴，过B作BD垂直于y轴，利用垂直的定义可得出一对直角相等，再由OA与OB垂直，利用平角的定义得到一对角互余，在直角三角形AOC中，两锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形AOC与三角形OBD相似，利用反比例函数k的几何意义求出两三角形的面积，得出面积比，利用面积比等于相似比的平方求出相似比，即为OA与OB的比值，在直角三角形AOB中，利用锐角三角函数定义即可求出tan∠ABO的值．
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接OP，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB，AC=
=10，
∴S矩形ABCD=AB BC=48，S△AOB=
S矩形ABCD=12，OA=OB=5，
∴S△AOB=S△AOP+S△BOP=
OA PE+
OB PF=
OA（PE+PF）=
×5×（PE+PF）=12，
∴PE+PF=
；
故答案为：
.
【分析】连接OP，根据矩形的性质可得∠ABC=90°，OA=OC=OB=OD，AC=BD，利用勾股定理求出AC，然后计算出矩形ABCD的面积以及△AOB的面积，接下来根据S△AOB=S△AOP+S△BOP结合三角形的面积公式就可求出PE+PF的值.
15．【答案】2017
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m，n分别为一元二次方程x2+2x-2019=0的两个实数根，
∴m+n=-2，m2+2m-2019=0，
∴m2+2m=2019，
∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=2019-2=2017.
故答案为：2017.
【分析】根据方程解的概念可得m2+2m=2019，根据根与系数的关系可得m+n=-2，据此计算.
16．【答案】3
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线
，开口向上，
顶点坐标为
，抛物线经过点
和
，
当
时，
故答案为：3.
【分析】根据抛物线的解析式可得顶点坐标为（-1，b2-1），结合题意可得a=-1，b=0，则y=x2+2x，然后令x=1，求出y的值即可.
17．【答案】（1，2）
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：根据题意得：该函数为
，
∵
∴当
时，有最小值，最小值为
，
即E(x，
)图象上的最低点是（1，2）.
故答案为：（1，2）.
【分析】根据题意得：该函数为y=x2-2x+3，将其化为顶点式，据此可得最低点的坐标.
18．【答案】2
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图所示，
∵A（2t，0），C（2t，4t），
∴AC⊥x轴，
当x=2t时，y=
，
∴Q（2t，
），
∵B（0，﹣2t），C（2t，4t），
设直线BC的解析式为：
，将两点代入可得：
，
解得：
，
∴直线BC的解析式为：y=3x﹣2t，
则3x﹣2t=
，
解得：x1=t，x2=
（舍），
∴P（t，t），
∵S△PAB=S△BAC﹣S△APC，S△PQB=S△BAC﹣S△ABQ﹣S△PQC，
∵S△PAB﹣S△PQB=t﹣1，
∴（S△BAC﹣S△APC）﹣（S△BAC﹣S△ABQ﹣S△PQC）=t﹣1，
S△ABQ+S△PQC﹣S△APC=
，
解得：t=2.
故答案为：2.
【分析】根据点A、C的坐标可得AC⊥x轴，易得Q（2t，
），求出直线BC的解析式，联立反比例函数解析式求出x，可得P（t，t），根据S△PAB-S△PQB=t-1可得(S△BAC-S△APC)﹣(S△BAC-S△ABQ-S△PQC)=t-1，结合三角形的面积公式即可得到t的值.
19．【答案】或
【知识点】一次函数的实际应用；两点间的距离
【解析】【解答】解：设半径为r的圆O，与x轴交F，G两点，
AB上存在
即
上存在P，
点
，
.
设
，
，
，
，
，
由题意：
，
，
①，
，
，
②，
，
P在DE上
或
，
∴或
.
故答案为：
或
.
【分析】设半径为r的圆O，与x轴交于F，G两点，根据点A、B的坐标可得OD=OA=
，OE=OB=2
，设P（x，0），F（-r，0），G（r，0），则D（
，0），E（2
，0），由题意可知FP=5GP，即|x+r|=5|x-r|，表示出x，根据点P在DE上可得x的范围，进而可得r的范围.
20．【答案】（1）解：
=
=
=5；
（2）解：
x-3=2或x-3=-2
所以，.
【知识点】实数的运算；配方法解一元二次方程；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、绝对值的性质、0次幂以及负整数指数幂的运算性质可得原式=2- -1+4+ ，然后根据二次根式的加法法则以及有理数的加减法法则进行计算；
（2）首先将常数项移至右边，给两边同时加上9，对左边的式子利用完全平方公式分解可得(x-3)2=4，然后利用直接开方法进行计算.
21．【答案】解：(1)如图所示，△AB1C1即为所求；
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求；
(3)由于点P的坐标为（a，b），
根据题意得：点P2的坐标为（－2a，－2b）.
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质找出点B、C绕点A顺时针旋转90°的对应点B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）分别连接AO、BO、CO并延长，使A2O=2AO，B2O=2BO，C2O=2CO，然后顺次连接即可；
（3）根据位似比为2：1可得点P2的坐标.
22．【答案】证明：∵AB，CD互相平分
∴，
又∵
∴
∴，
∵
∴
∴
∴
∵
∴.
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据AB，CD互相平分可得AE=BE，CE=DE，根据对顶角的性质可得∠AEC=∠BED，证明△AEC≌△BED，得到∠CAE=∠DEB，AC=BD，由已知条件知∠FAC=2∠BAC，则∠DBE=∠FAE，推出AF=BF，然后根据BF=BD+DF进行证明.
23．【答案】（1）解：如图，
在Rt△ABM中，
AM＝ABsin45°＝2 ．
在Rt△ACM中，
∵∠ACM＝30°，
∴AC＝2AM＝4 ．
即新传送带AC的长度约为4 米；
（2）解：结论：货物DEFG不用挪走．
在Rt△ABM中，BM＝ABcos45°＝2 ．
在Rt△ACM中，CM＝ ．
∴CB＝CM﹣BM＝2 ﹣2 ≈2.08．
∵DC＝DB﹣CB≈5﹣2.08＝2.92＞2，
∴货物DEFG不需要挪走．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）先根据AB的长度求出AM的高度，然后利用30°所对的直角边是斜边的一半即可得出AC的长度；（2）先利用AM的高度求出CM的长度，进而求出CB的长度，然后利用DC=DB-CB求出DC，最后用DC的长度与2进行比较即可，若DC的长度大于2则货物不用搬走，反之则需要搬走．
24．【答案】（1）解：设一次函数的解析式是 ，反比例函数的表达式是 ，
把 代入 中，
得：
解得： ，
故反比例函数的解析式为 ；
把 代入 ，
得：
解得 ，
故 ，
把 ， 代入 ，
得 ，解得： ，
故一次函数解析式为 ；
（2）解：如图，设一次函数 与x轴交于点C，
令 ，得 .
点C的坐标是 ，
.
（3） 或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：（3）由图象可知，当 或 时，直线 落在双曲线 上方，即 ，
所以 时x的取值范围是 或 .
【分析】(1)利用待定系数法求出反比例函数关系式，然后把（-2，n）代入反比例函数式求出B点坐标，再根据待定系数法求一次函数式即可；
(2)先求出直线AB与x轴的交点C的坐标，然后根据 计算，即可解答；
(3)观察图象，找出直线在双曲线上方时x的范围即可.
25．【答案】（1）证明：如图1，∵，
∴，
∵四边形ABCD内接于，
∴，
∵，
∴，；
（2）解：如图2，作于F，
设，
∵AC为直径，
∴，，，
由（1）得，
∵，∴，，
∵，
∴；
（3）解：如图1，过B作于F，
设，，由（1）知
∵，
∴，
，，
∵，
∴，
，，，
∵，
∴，
即，即，
∵，
∴
【知识点】等腰三角形的判定；圆周角定理；圆内接四边形的性质；平行线分线段成比例；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ACD=∠DBA，根据圆内接四边形的性质可得∠BCE=∠DAB，结合已知条件可得∠DBA=∠DAB，据此证明；
（2）作BF⊥DA于F，设AF=a，DF=b，根据圆周角定理可得∠ADC=90°，∠ADB=∠BDC=45°，BF=DF=b，由（1）得DB=AD=a+b，然后根据平行线分线段成比例的性质进行解答；
（3）过B作BF⊥AD于F，设AF=a，DF=b，由（1）知DB=DA=a+b，根据圆周角定理可得∠3=∠4，根据三角函数的概念可得FB=bx，根据勾股定理可得
，然后根据平行线分线段长比例的性质可得y，据此解答.
26．【答案】（1）解：若，则，与不符，
∴，
解得：，
故第12天生产了220顶帽子；
（2）解：由图象得，
当时，；
当时，设，
把代入上式，得
，
解得， ，
∴
①时，
当时，w有最大值为（元）
②时，，当时，w有最大值，最大值为560（元）；
③时，
当时，w有最大值，最大值为576（元）.
综上，当时，w有最大值，最大值为576元.
（3）解：由（2）小题可知，，设第15天提价a元，由题意得
∴
∴
答：第15天每顶帽子至少应提价0.2元.
【知识点】一次函数的实际应用；一元一次方程的实际应用-工程问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）令y=220，求出x的值，据此解答；
（2）由图象得：当0≤x≤10时，z=5.2；当10（3）由（2）小题可知：m=14，m+1=15，设第15天提价a元，根据利润=数量×(出厂价+提价-成本)可得w与a的关系式，然后根据第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多49元列出关于a的不等式，求解即可.
27．【答案】（1）1
（2）
（3）证明：如图，过点F作FH⊥BC，垂足为H
∵∠H=∠A=∠B=90°，
∴四边形ABHF为矩形，
∴FH=AB.
∵CG⊥EG，
∴∠G=90°=∠A=∠H，
∵∠ADE=∠GDF，
∴△ADE∽△GDF，
∵∠GDF=∠HFC，
∴△GDF∽△HCF，
∴△ADE∽△HFC，
∴，即
∴.
（4）解：如图4，过C作于H，
∵，
∴CGHD四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
取CD中点M，连接AM，GM，过M作于R，
，，
，，
∵，，
∴，，
当A、G、M三点共线时，AG取最小值.
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC，∠A=∠FDC=90°，
∵DE⊥CF，
∴∠ADE+∠DFC=90°，∠DFC+∠DCF=90°，
∴∠ADE=∠DCF，
在△ADE和△DCF中，
∠ADE=∠DCF， AD=DC，∠A=∠FDC
∴△ADE≌△DCF（ASA）.
∴DE=CF，
∴=1
故答案为1；
（2）∵四边形ABCD为矩形
∴∠A=∠EDC=90°，
∵CE⊥BD，
∴∠ADB+∠CED=90°，∠CED+∠DCE=90°，
∴∠ADB=∠DCE
∴△ADB∽△DCE，
∴， 即
故答案为：
；
【分析】（1）根据正方形的性质可得AD=DC，∠A=∠FDC=90°，根据同角的余角相等可得∠ADE=∠DCF，证明△ADE≌△DCF，得到DE=CF，据此解答；
（2）根据矩形的性质可得∠A=∠EDC=90°，根据同角的余角相等可得∠ADB=∠DCE，证明△ADB∽△DCE，然后根据相似三角形的性质计算即可；
（3）过点F作FH⊥BC，垂足为H，易得四边形ABHF为矩形，则FH=AB，证明△ADE∽△GDF，得到∠GDF=∠HFC，进而证明△GDF∽△HCF，△ADE∽△HFC，然后根据相似三角形的性质证明即可；
（4）过C作CH⊥AD于H，则CGHD四点共圆，∠FCH=∠ADE，证明△FCH∽△EDA，取CD中点M，连接AM，GM，过M作MR⊥AD于R，根据相似三角形的性质以及三角函数的概念可得MR、DR，进而求出AR、AM、GM，当A、G、M三点共线时，AG取最小值，为AM-GM，据此计算.
28．【答案】（1）解：B（0，4）代入得：c=4，
由二次函数的图象和系数的关系：对称轴=，，
∴；
（2）解：中由勾股定理得：AB==5，
当四边形ABCD是菱形时：，
由平移性质得：，，
∵，∴D在抛物线上.
∵，∴C在抛物线上.
故C，D两点在抛物线上；
（3）解：，由对称得，
设直线解析式为： y=kx＋b，代入F得
，，
∴；
当直线与二次函数相交时：设，，则H（x1，kx1+2k），M（x2，kx2+2k）
，
，
，①
，
x1，x2是方程①的解，由根与系数的关系得：；
当与相似时：
若，则H、M重合，不符合题意；
若，则，
∵， ，H（x1，kx1+2k），M（x2，kx2+2k），
∴，
，
，，.
当时，，，
，，，
S△HDM= S△FDM －S△FDH=×4×（y2-y1）=
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；菱形的性质；平移的性质；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）将B（0，4）代入可得c=4，根据对称轴方程可得b的值，进而可得抛物线的解析式；
（2）由勾股定理可得AB=5，当四边形ABCD是菱形时，AD=AB=BC=5，由平移的性质得D（2，0），C（5，4），然后代入抛物线解析式中验证即可；
（3）由对称性可得F（-2，0），易得G（0，2k），当直线与二次函数相交时，设H（x1，y1），M（x2，y2），则H（x1，kx1+2k），M（x2，kx2+2k），联立直线与抛物线解析式并结合根与系数的关系表示出x1+x2、x1x2，然后相似三角形的性质可得k的值，进而求出x的值，然后根据S△HDM= S△FDM-S△FDH进行计算.
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