浙江省宁波市海曙区储能中学2021-2022学年九年级下学期起始考数学试卷
一、单选题
1．（2019九上·秀洲期中）下列事件中，属于必然事件的为
A．打开电视机，正在播放广告
B．任意画一个三角形，它的内角和等于
C．掷一枚硬币，正面朝上
D．在只有红球的盒子里摸到白球
2．（2021九上·肃州期末）如图，在 中， ， 于点 ，则下列结论不正确的是（ ）.
A． B． C． D．
3．（2018七上·大石桥期末）下列平面图形中不能围成正方体的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020九上·江苏月考）矩形ABCD中，AB＝8， ，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P 为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）.
A．点B、C均在圆P外 B．点B在圆P外、点C在圆P内
C．点B在圆P内、点C在圆P外 D．点B、C均在圆P内
5．（2022九下·海曙开学考）如图，正方形中，是的中点，是边上的一点，下列条件中，不能推出与相似的是（ ）
A． B．
C．是的中点 D．
6．（2022九下·海曙开学考）函数，当与时，函数值相等，则当时，函数值等于（ ）
A．－3 B． C． D．3
7．（2020·丹东）如图，在四边形 中， ， ， ， ，分别以 和 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ，直线 与 延长线交于点 ，连接 ，则 的内切圆半径是（ ）
A．4 B． C．2 D．
8．（2019·芜湖模拟）如图是某商品标牌的示意图，⊙O与等边△ABC的边BC相切于点C，且⊙O的直径与△ABC的高相等，已知等边△ABC边长为4，设⊙O与AC相交于点E，则AE的长为（ ）
A． B．1 C． ﹣1 D．
9．（2022九下·海曙开学考）如图，在菱形中，，.以点A为圆心，为半径作，向菱形内部作，使，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022九下·海曙开学考）如图，在中，，.以为直径作，作直径，连结并延长至点E，使，连结交于点F，交于点G.若，则直径的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022九下·海曙开学考）已知是锐角，则 .
12．（2019八下·镇江月考）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球 每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在 ，那么估计盒子中小球的个数是 .
13．（2022九下·海曙开学考）已知y是x的二次函数， y与x的部分对应值如下表：
x ... －1 0 1 2 ...
y ... 0 3 4 3 ...
该二次函数图象向左平移 个单位，图象经过原点.
14．（2018九上·淮安月考）如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AD＝BD.若⊙O的半径OB＝2，则AC的长为 .
15．（2022九下·海曙开学考）如图，中，，点、、分别在、、上，且四边是正方形.若，，，，则 .
16．（2022九下·海曙开学考）图1是苍南县中心湖公园里的一座彩虹桥两条抛物线型钢梁在桥面上的跨度分别为米和米（如图2所示），x轴表示桥面，米.若两抛物线交y轴于同一点，且它们的形状相同，则的值为 .
三、解答题
17．（2022九下·海曙开学考）计算：.
18．（2020九上·泰兴月考）某校举行秋季运动会，甲、乙两人都报名参加100m短跑比赛，预赛分A、B、C三组进行，运动员通过抽签决定分组.
（1）甲分到A组的概率为 ；
（2）利用树状图或列表的方法求甲、乙两人不在同一组的概率.
19．（2022九下·海曙开学考）如图，在的正方形网格中，网线的交点称为格点，点A，B，C都是格点.已知每个小正方形的边长为1.
（1）画出的外接圆，并求上的AC弧长；
（2）连结AC，在网格中画出一个格点P，使得是直角三角形，且点P在上.
20．（2020·伊滨模拟）如图1、图2是某种品牌的篮球架实物图与示意图，已知底座BC＝0.6米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，支架AF的长为2.5米，篮板顶端F点到篮筐D的距离FD＝1.4米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°，求篮筐D到地面的距离.（精确到0.1米，参考数据：cos75°≈0.3，sin75°≈0.9，tan75°≈3.7， ≈1.7， ≈1.4）
21．（2021·海曙模拟）如果抛物线C1： 与抛物线C2： 的开口方向相反，顶点相同，我们称抛物线C2是C1的“对顶”抛物线.
（1）求抛物线 的“对顶”抛物线的表达式；
（2）将抛物线 的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线 形成两个交点M、N，记平移前后两抛物线的顶点分别为A、B，当四边形AMBN是正方形时，求正方形AMBN的面积.
（3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，那么系数b与d，c与e之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系.
22．（2022九下·海曙开学考）如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠B＝2∠ADE，点C在BA的延长线上.
（1）若∠C＝∠DAB，求证：CE是⊙O的切线；
（2）若OF＝2，AF＝3，求EF的长.
23．（2022九下·海曙开学考）在“童博会”上，某影楼为了积聚人气，增加销量，将“喜洋洋”套系进行降价促销，已知这种套系的成本为400元/套，促销方案如下：若团购3套，则可享受团购价680元/套，若团购每增加一套，则每套再降价50元，设某团团购的数量增加了x套.
（1）填空：该团的团购数量为 套；每套的利润为 元，（用含x的代数式表示）
（2）规定一个团的团购数量不超过8套，当团购数量为多少套时，影楼获得利润最大？最大利润为多少？
24．（2020九上·温州期末）如图， 中， ，P是斜边 上一个动点，以 为直径作 交 于点D，与 的另一个交点E，连接 .
（1）当 时，
①若 ，求 的度数；
②求证 ；
（2）当 ， 时，是否存在点P，使得 是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的 的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：打开电视机，可能在播广告，也可能不在播放广告，因此 选项不符合题意，任意三角形的内角和都是 ，因此选项 符合题意，
掷一枚硬币，可能正面朝上，也可能反面向上，因此选项 不符合题意，
在只有红球的盒子里是摸不到白球的，因此选项 不符合题意，
故选：
【分析】打开电视机，正在播放广告是随机事件；任意画一个三角形，它的内角和等于 是必然事件；掷一枚硬币，正面朝上是随机事件；在只有红球的盒子里摸到白球是不可能事件，综合做出判断即可
2．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意可知，三角形ABD，三角形ACD和三角形ABC都是直角三角形，在直角三角形ABD中，∠B的正弦等于∠B的对边AD比斜边AB，故A正确；在直角三角形ABC中，∠B的正弦等于∠B的对边AC比斜边BC，故B正确；又因为∠B=∠DAC，而sin∠DAC= ，所以sin∠B= ，故D正确；而AD：AC是∠DAC的余弦，也是∠B的余弦，故结论不正确的是C.
故答案为：C.
【分析】直接根据锐角三角函数的概念进行判断即可.
3．【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】根据常见的不能围成正方体的展开图的形式是“一线不过四，田、凹应弃之”，
只有A选项不能围成正方体．
故答案为：A．
【分析】根据正方体的展开图的特点，4个正方形连成一线，另外2个正方形应分布在两边。
4．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵AB=8，点P在边AB上，且BP=3AP
∴AP=2，
∴根据勾股定理得出，r=PD= =7，
PC= =9，
∵PB=6＜r，PC=9＞r
∴点B在圆P内、点C在圆P外,
故答案为：C.
【分析】根据BP=3AP和AB的长度求得AP的长，利用勾股定理可得r=PD= =7，再根据点B、点C到点P的距离可判断，d＜r，点在圆内；d=r，点在圆上；d＞r，点在圆外。
5．【答案】C
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A. ，根据正方形性质得到∠B=∠C，可以得到 ∽ ，不合题意；
B. ∵，∴，又∠B=∠C，∴∽ ，不合题意；
C.P是BC的中点，无法判断 与 相似，符合题意；
D. ，根据正方形性质得到 ，又∵∠B=∠C，则 ∽ ，不合题意.
故答案为：C.
【分析】根据正方形性质得到∠B=∠C，结合∠APB=∠EPC以及相似三角形的判定定理可判断A；由原式可得，结合∠B=∠C，即可判断B；根据正方形的性质可得AB：BP=EC：PC=3：2，∠B=∠C=90°，据此判断D.
6．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
当
与
时，函数值相等，
与
的函数值相等，
当
时，
，
当
时，
.
故答案为：D.
【分析】由题意可得x=2022与x=0的函数值相等，令x=0，求出y的值，据此解答.
7．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心；解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意得PQ为BC的垂直平分线，
∴EB=EC，
∵∠B=60°，
∴△EBC为等边三角形，
作等边三角形EBC的内切圆，设圆心为M，
∴M在直线PQ上，
连接BM，过M作MH垂直BC于H，垂足为H，
∵
∴BH= BC= AD= ，
∵∠MBH= ∠B=30°，
∴在Rt△BMH中，MH=BH×tan30°= × =4.
∴ 的内切圆半径是4.
故答案为：A.
【分析】分别以 和 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ，连接P，Q则PQ为BC的垂直平分线，可得EB=EC，又∠B=60°，所以△EBC为等边三角形，作等边三角形EBC的内切圆，设圆心为M，则M在直线PQ上，连接BM，过M作BC垂线垂足为H，在Rt△BMH中，BH= BC= AD= ，∠MBH= ∠B=30°，通过解直角三角形可得出MH的值即为△BCE的内切圆半径的长.
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；切线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】连接OC，并过点O作OF⊥CE于F.
∵△ABC为等边三角形，边长为4，
∴∠ACB=60°，△ABC的高为2 .
∵等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等，
∴⊙O的半径OC= .
∵⊙O与BC相切于点C，
∴∠OCB=90°.
∵∠ACB=60°，
∴∠OCF=30°.
∵在Rt△OFC中，∠OCF=30°，OC= ，
∴FC= ，
∴CE=2FC=3（cm）
∴AE=AC-CE=4-3=1（cm）
故答案为：B.
【分析】通过求解CE的长度来求出AE的长，连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，求出等边三角形的高即可得出⊙O的直径，进而得到半径OC的长度；根据切线和等边三角形的性质不难的得出∠OCF=30°，再在Rt△OFC中，利用特殊角的三角函数值求出FC的长，最后利用垂径定理即可得出CE的长.
9．【答案】B
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接BD，如图，
∵，四边形ABCD是菱形
∴，∠
∴△
是等边三角形，△BCD是等边三角形，
∵
∴弓形BD与弓形BC的面积相等
∵，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】连接BD，根据菱形的性质可得AB=AD，∠BCD=∠A=60°，推出△ABD、△BCD等边三角形，利用S弓形BD=S扇形ABD-S△ABD求出弓形BD的面积，然后根据S阴影=S△BCD-2S弓形BD进行计算.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BD，如下图所示：
∵AB和CD均是圆O的直径，∴∠ACB=∠ADB=∠CAD=∠CBD=90°，
∴四边形ACBD为矩形，∴，
又DE=AD，且DG∥AB，∴DG是△EAF的中位线，
∴，设EG=FG=x，则EF=2x，
∵BC∥AE，∴△CBF∽△EAF，
∴，∴CF=x，
∴EC=EF+CF=3x，AC=2EG=2x，
在Rt△AEC中，由勾股定理有：AC +AE =CE ，
∴，解得
(负值舍去)，
∴，
∴圆的直径
，
故答案为：D.
【分析】连接BD，根据圆周角定理可得∠ACB=∠ADB=∠CAD=∠CBD=90°，则四边形ACBD为矩形，得到BC=AD= ，易得DG是△EAF的中位线，则AE=2AD=2 ，设EG=FG=x，则EF=2x，证明△CBF∽△EAF，根据相似三角形的性质可得CF=x，则EC=3x，AC=2x，在Rt△AEC中，由勾股定理可得x，进而求出AC，然后利用勾股定理可得圆的直径AB.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：
可设
的对边长为
，则邻边长为2x
斜边的长为
故答案为：
.
【分析】根据三角函数的概念可设∠A的对边长为
x ，则邻边长为2x，利用勾股定理表示出斜边长，然后根据正弦函数的概念进行计算.
12．【答案】30
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据题意得 ＝30%，
解得n＝30，
所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球.
故答案为30.
【分析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为30%，然后根据概率公式计算n的值.
13．【答案】3
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：由表格得：二次函数的对称轴是直线x=
=1.
∵抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），
∴抛物线与x轴另一个交点为（3，0），
∴该二次函数图象向左平移3个单位，图象经过原点；或该二次函数图象向右平移1个单位，图象经过原点.
故答案为：3.
【分析】由表格可得：二次函数的对称轴是直线x=
=1，根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点的坐标，接下来根据点的平移规律进行解答.
14．【答案】
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】延长AO交⊙O与点E，连接BE,则AE=2OB=4.
∵AD⊥BC，AD=BD,
∴ .
∵∠E=∠C,∠ABE=∠ADC=90°,
∴△ABE∽△ADC,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴AC= .
【分析】延长AO交⊙O与点E，连接BE,由题意可知，利用两角对应相等李三角形相似可得△ABE∽△ADC,由相似三角形的对应边成比例可得 ,把代入，即可求出AC的长 .
15．【答案】6
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设正方形CDEF的边长为x，则EF=ED=x，
所以BD=
，
∵ED∥AC，
∴∠BED=∠A，
∴Rt△BED∽Rt△EAF，
∴BD：FE=BE：AE，即
：x=3：4，
解得x=
，
∴BD=
，
∴S△BDE=
BD ED=
=
，
∵=（
）2，
∴S△AFE=
，
∴S1+S2=
+
=6.
故答案为：6.
【分析】设正方形CDEF的边长为x，则EF=ED=x，利用勾股定理可得BD，证明△BED∽△EAF，根据相似三角形的性质可得x，进而求出BD，根据三角形的面积公式可得S△BDE，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得S△AFE，据此计算.
16．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：如图，
因为两个函数的形状相同，因此可设：AB所在的抛物线为
①，
CD所在的抛物线为
②，
其中，
分别表示A、B、C、D的横坐标，
对于①令x=0，代入可得
，得E点坐标为
；
对于②令x=0，代入可得
，得E点坐标为
，
∴，即
∵
∴
∴，
，
∴，
，
将上式代入
，得
解得，
又∵
∴
∴
故答案为：
.
【分析】设AB所在的抛物线为y=a(x-xA)(x-xB)，CD所在的抛物线为y=a(x-xC)(x-xD)，易得E（0，axAxB）或（0，axCxD），则xAxB=xCxD，易得AC=60，则xC-xA=60，xC-xB=10，xD-xC=40，然后表示出xA、xB、xD，代入xAxB=xCxD中可得xC，进而求出xB，据此解答.
17．【答案】解：
.
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据绝对值的性质、0次幂的运算性质、特殊角的三角函数值可得原式=2- -1+2× +4× ，然后计算乘法，再计算加减法即可.
18．【答案】（1）
（2）解：甲乙两人抽签分组所有可能出现的结果有：（A，A）、（A，B）、（A，C）、（B，A）、（B，B）、（B，C）、（C，A）、（C，B）、（C，C）共有9种，它们出现的可能性相同.所有的结果中，甲乙分到同一组的结果有3种，甲乙不在同一组的结果6种，所以P(甲乙不在同一组)＝ .
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1）甲分到A组一种情况，总的有三种，则P（A）= ，
【分析】（1）共有A、B、C三种等可能性，而甲分到A组一种情况，利用概率公式计算即可；
（2）列举出共有9种等可能结果，其中甲乙分到同一组的结果有3种，利用概率公式计算即可.
19．【答案】（1）解：先画出线段AB、BC的垂直平分线交于点O，再以点O为圆心，OC长为半径作圆，即为所求，如图所示：
根据题意得：，
∴，
∴∠AOC=90°，
∴上的AC弧长为；
（2）解：延长CO交于点P1，或延长AO交于点P2，则∠P1AC=90°，∠P2CA=90°，则点P1、P2即为所求，如图所示：
.
【知识点】勾股定理的逆定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；弧长的计算；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）先画线段AB、BC的垂直平分线交于点O，再以点O为圆心，OC长为半径作圆，○O即为所求，利用勾股定理求出AO、CO、AC，结合勾股定理逆定理知△AOC为直角三角形，然后根据弧长公式进行计算；
（2）延长CO交○O于点P1，或延长AO交○O于点P2，则∠P1AC=90°，∠P2CA=90°，则点P1、P2即为所求.
20．【答案】解：延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝ ，
∴AB＝BC tan75°＝0.60×3.732＝2.22，
∴GM＝AB＝2.22，
在Rt△AGF中，∵∠FAG＝∠FHE＝60°，sin∠FAG＝ ，
∴sin60°＝ ＝ ，
∴FG＝2.125，
∴DM＝FG+GM﹣DF≈2.9米.
答：篮筐D到地面的距离是2.9米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G， 在Rt△ABC中 根据正切函数的定义，由 AB＝BC tan75° 算出AB，从而根据矩形的性质得出GM的长， 在Rt△AGF中 ，利用正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值算出FG的长，最后根据 DM＝FG+GM﹣DF 算出答案.
21．【答案】（1）解：∵y＝x2 4x＋7＝（x 2）2＋3，
∴顶点为（2，3），
∴其“对顶”抛物线的解析式为y＝ （x 2）2＋3，
即y＝ x2＋4x 1；
（2）解：如图，
由（1）知，A（2，3），
设正方形AMBN的对角线长为2k，
则点B（2，3＋2k），M（2＋k，3＋k），N（2 k，3＋k），
∵M（2＋k，3＋k）在抛物线y＝（x 2）2＋3上，
∴3＋k＝（2＋k 2）2＋3，
解得k＝1或k＝0（舍）；
∴正方形AMBN的面积为 ×(2k)2＝2；
（3）解：根据抛物线的顶点坐标公式得，抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c的顶点为（ ， ），
抛物线C2：y＝ ax2＋dx＋e的顶点为（ ， ），
∵抛物线C2是C1的“对顶”抛物线，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，
∴ ，
∴ ，
即 .
【知识点】正方形的性质；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【分析】(1)先配方求出抛物线C1的顶点坐标，根据 “对顶”抛物线的定义即可求出抛物线C2的解析式；
(2)设正方形AMBN的对角线长为2k，分别把B、M、N点的坐标用含k的代数式表示出来，根据点M(2 + k，3 + k)在抛物线y= (x- 2)2 +3上，构建方程求出k的值，最后求正方形面积即可；
(3)先根据抛物线C1，C2的顶点相同，求出b，d的关系，再由两抛物线的顶点在x轴，列式求出c，e的关系，从而得出结论.
22．【答案】（1）证明：连接OE，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°.
∴∠DAB+∠B＝90°，
∵∠ADE和∠AOE都对着，
∴∠AOE＝2∠ADE，
又∵∠B＝2∠ADE，
∴∠AOE＝∠B，
又∵∠C＝∠DAB，
∴∠C+∠AOE＝∠DAB+∠B＝90°.
∴∠CEO＝90°，
∴OE⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：连接AE，
∵ ＝ ，
∴∠1＝∠B.
由（Ⅰ）知∠AOE＝∠B，
∴∠1＝∠AOE，
又∵∠2＝∠2，
∴△EAF∽△OAE，
∴，
即，
∴EF＝AE，AE2＝3×5＝15，
∴EF＝EA＝.
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OE，根据圆周角定理可得∠ADB＝90°，∠AOE＝2∠ADE，结合已知条件可得∠AOE＝∠B，则∠C+∠AOE＝∠DAB+∠B＝90°，∠CEO＝90°，据此证明；
（2）连接AE，根据圆周角定理可得∠1＝∠B，由（Ⅰ）知∠AOE＝∠B，则∠1＝∠AOE，证明△EAF∽△OAE，然后根据相似三角形的性质进行计算.
23．【答案】（1）（x+3）；280-50x
（2）解：设团购数量为m，获得的利润为w，团购数量不超过8套时，
w=[280-50(m-3)]m= -50m2+ 430m，
图象为开口向下的抛物线，在对称轴 =4.3处取得最大值，
因为团购数量为整数，故离4.3最近的整数4取得最大利润，
故当团购数量为4套时，最大利润w=-50×42+430×4 =920.
答：当团购数量为4套时，影楼获得利润最大，最大利润为920元.
【知识点】用字母表示数；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）团购数量为（x+3）套，每套利润为680-50x- 400=280-50x.
故答案为：（x+3），280-50x.
【分析】（1）由题意可得团购数量为（x+3）套，每套的利润为680-50x-400，化简即可；
（2）设团购数量为m，获得的利润为w，团购数量不超过8套时，根据数量×每套的利润=总利润可得W与m的关系式，结合二次函数的性质可得最大值.
24．【答案】（1）解：①如图，连接PD，
∵PB为直径，
∴∠PDB=90°，
∠BPD=65°，
∴∠PBD=90°-∠BPD=25°，
∵ ，
∴，
∴，
∴∠C=∠BPE-∠PBD=65°-25°=40°；
② 证明：∵，
∴∠CBP=∠EBP，
∵∠ABE+∠A=∠C+∠A=90°，
∴∠C=∠ABE，
∴∠ABP=∠ABE+∠EBP，∠APB=∠C+∠CBP，
∴∠ABP=∠APB，
∴AP=AB；
（2）解：存在，
如图，连接PD，
由AB=15，BC= 20,
由勾股定理得: AC= = =25，
∵AB.BC=AC.BE ,
即×15×20=×25×BE，
∴ BE=12，
∵BP是直径，
∴∠PDB =90° ,
∵∠ABC =90° ,
∴PD∥AB ,
∴△DCP∽△BCA ,
∴,
∴，
△BDE是等腰角形，分三种情况:
当BD= BE时，BD=BE=12,
∴CD=BC-BD=20-12=8，
∴ CP=CD=x8=10，
当BD= ED时，可知点D是Rt△CBE斜边的中线，
∴CD=BC=10,
∴CP=CD=×10=，
当DE=BE时，作EH⊥BC, 则H是BD中点，EH//AB, 如图，
AE== =9，
:.CE=AC-AE=25-9=16， CH=BC-BH=20-BH ,
∵EH∥AB，
∴，
即，
解得: BH= ,
∴BD=2BH=，
∴CD= BC-BD=20-=，
∴CP=CD=，
综上所述，△BDE 是等腰三角形，符合条件的CP的长为10或或7.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；圆周角定理；平行线分线段成比例；相似多边形的性质
【解析】【分析】（1）如图，连接PD，
① 根据直径所对的圆周角是直角，结合求得∠BPD的大小，则度数可求，从而求出的度数，最后利用三角形外角的性质求出∠C的度数即可；
② 由弧相等得角相等，再由余角的性质得∠C=∠ABE，于是角的关系即可得出∠ABP=∠APB，从而证出AP=AB；
（2）由勾股定理得AC=25，由面积公式得出AB BC=AC BE，求出BE=12，连接DP，则PD∥AB，得出△DCP∽△BCA，求出CP==，CD，
△BDE是等腰三角形，分三种情况讨论，当BD=BE时，BD=BE=12，CD=BC-BD=8，
CP=2CD=10; 当BD= ED时，可知点D是Rt△CBE斜边的中线，得出CD=BC=10，CP=CD=，当DE=BE时，作EH⊥BC,则H是BD中点, EH∥AB ,求出AE==9, CE=AC-AE=16,CH=20-BH，由EH∥AB, 根据平行线分线段成比例求出BH=，BD=2BH=, CD=BC- BD= , 则CP=CD=7.
1 / 1浙江省宁波市海曙区储能中学2021-2022学年九年级下学期起始考数学试卷
一、单选题
1．（2019九上·秀洲期中）下列事件中，属于必然事件的为
A．打开电视机，正在播放广告
B．任意画一个三角形，它的内角和等于
C．掷一枚硬币，正面朝上
D．在只有红球的盒子里摸到白球
【答案】B
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：打开电视机，可能在播广告，也可能不在播放广告，因此 选项不符合题意，任意三角形的内角和都是 ，因此选项 符合题意，
掷一枚硬币，可能正面朝上，也可能反面向上，因此选项 不符合题意，
在只有红球的盒子里是摸不到白球的，因此选项 不符合题意，
故选：
【分析】打开电视机，正在播放广告是随机事件；任意画一个三角形，它的内角和等于 是必然事件；掷一枚硬币，正面朝上是随机事件；在只有红球的盒子里摸到白球是不可能事件，综合做出判断即可
2．（2021九上·肃州期末）如图，在 中， ， 于点 ，则下列结论不正确的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意可知，三角形ABD，三角形ACD和三角形ABC都是直角三角形，在直角三角形ABD中，∠B的正弦等于∠B的对边AD比斜边AB，故A正确；在直角三角形ABC中，∠B的正弦等于∠B的对边AC比斜边BC，故B正确；又因为∠B=∠DAC，而sin∠DAC= ，所以sin∠B= ，故D正确；而AD：AC是∠DAC的余弦，也是∠B的余弦，故结论不正确的是C.
故答案为：C.
【分析】直接根据锐角三角函数的概念进行判断即可.
3．（2018七上·大石桥期末）下列平面图形中不能围成正方体的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】根据常见的不能围成正方体的展开图的形式是“一线不过四，田、凹应弃之”，
只有A选项不能围成正方体．
故答案为：A．
【分析】根据正方体的展开图的特点，4个正方形连成一线，另外2个正方形应分布在两边。
4．（2020九上·江苏月考）矩形ABCD中，AB＝8， ，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P 为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）.
A．点B、C均在圆P外 B．点B在圆P外、点C在圆P内
C．点B在圆P内、点C在圆P外 D．点B、C均在圆P内
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵AB=8，点P在边AB上，且BP=3AP
∴AP=2，
∴根据勾股定理得出，r=PD= =7，
PC= =9，
∵PB=6＜r，PC=9＞r
∴点B在圆P内、点C在圆P外,
故答案为：C.
【分析】根据BP=3AP和AB的长度求得AP的长，利用勾股定理可得r=PD= =7，再根据点B、点C到点P的距离可判断，d＜r，点在圆内；d=r，点在圆上；d＞r，点在圆外。
5．（2022九下·海曙开学考）如图，正方形中，是的中点，是边上的一点，下列条件中，不能推出与相似的是（ ）
A． B．
C．是的中点 D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A. ，根据正方形性质得到∠B=∠C，可以得到 ∽ ，不合题意；
B. ∵，∴，又∠B=∠C，∴∽ ，不合题意；
C.P是BC的中点，无法判断 与 相似，符合题意；
D. ，根据正方形性质得到 ，又∵∠B=∠C，则 ∽ ，不合题意.
故答案为：C.
【分析】根据正方形性质得到∠B=∠C，结合∠APB=∠EPC以及相似三角形的判定定理可判断A；由原式可得，结合∠B=∠C，即可判断B；根据正方形的性质可得AB：BP=EC：PC=3：2，∠B=∠C=90°，据此判断D.
6．（2022九下·海曙开学考）函数，当与时，函数值相等，则当时，函数值等于（ ）
A．－3 B． C． D．3
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
当
与
时，函数值相等，
与
的函数值相等，
当
时，
，
当
时，
.
故答案为：D.
【分析】由题意可得x=2022与x=0的函数值相等，令x=0，求出y的值，据此解答.
7．（2020·丹东）如图，在四边形 中， ， ， ， ，分别以 和 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ，直线 与 延长线交于点 ，连接 ，则 的内切圆半径是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心；解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意得PQ为BC的垂直平分线，
∴EB=EC，
∵∠B=60°，
∴△EBC为等边三角形，
作等边三角形EBC的内切圆，设圆心为M，
∴M在直线PQ上，
连接BM，过M作MH垂直BC于H，垂足为H，
∵
∴BH= BC= AD= ，
∵∠MBH= ∠B=30°，
∴在Rt△BMH中，MH=BH×tan30°= × =4.
∴ 的内切圆半径是4.
故答案为：A.
【分析】分别以 和 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ，连接P，Q则PQ为BC的垂直平分线，可得EB=EC，又∠B=60°，所以△EBC为等边三角形，作等边三角形EBC的内切圆，设圆心为M，则M在直线PQ上，连接BM，过M作BC垂线垂足为H，在Rt△BMH中，BH= BC= AD= ，∠MBH= ∠B=30°，通过解直角三角形可得出MH的值即为△BCE的内切圆半径的长.
8．（2019·芜湖模拟）如图是某商品标牌的示意图，⊙O与等边△ABC的边BC相切于点C，且⊙O的直径与△ABC的高相等，已知等边△ABC边长为4，设⊙O与AC相交于点E，则AE的长为（ ）
A． B．1 C． ﹣1 D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；切线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】连接OC，并过点O作OF⊥CE于F.
∵△ABC为等边三角形，边长为4，
∴∠ACB=60°，△ABC的高为2 .
∵等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等，
∴⊙O的半径OC= .
∵⊙O与BC相切于点C，
∴∠OCB=90°.
∵∠ACB=60°，
∴∠OCF=30°.
∵在Rt△OFC中，∠OCF=30°，OC= ，
∴FC= ，
∴CE=2FC=3（cm）
∴AE=AC-CE=4-3=1（cm）
故答案为：B.
【分析】通过求解CE的长度来求出AE的长，连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，求出等边三角形的高即可得出⊙O的直径，进而得到半径OC的长度；根据切线和等边三角形的性质不难的得出∠OCF=30°，再在Rt△OFC中，利用特殊角的三角函数值求出FC的长，最后利用垂径定理即可得出CE的长.
9．（2022九下·海曙开学考）如图，在菱形中，，.以点A为圆心，为半径作，向菱形内部作，使，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接BD，如图，
∵，四边形ABCD是菱形
∴，∠
∴△
是等边三角形，△BCD是等边三角形，
∵
∴弓形BD与弓形BC的面积相等
∵，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】连接BD，根据菱形的性质可得AB=AD，∠BCD=∠A=60°，推出△ABD、△BCD等边三角形，利用S弓形BD=S扇形ABD-S△ABD求出弓形BD的面积，然后根据S阴影=S△BCD-2S弓形BD进行计算.
10．（2022九下·海曙开学考）如图，在中，，.以为直径作，作直径，连结并延长至点E，使，连结交于点F，交于点G.若，则直径的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BD，如下图所示：
∵AB和CD均是圆O的直径，∴∠ACB=∠ADB=∠CAD=∠CBD=90°，
∴四边形ACBD为矩形，∴，
又DE=AD，且DG∥AB，∴DG是△EAF的中位线，
∴，设EG=FG=x，则EF=2x，
∵BC∥AE，∴△CBF∽△EAF，
∴，∴CF=x，
∴EC=EF+CF=3x，AC=2EG=2x，
在Rt△AEC中，由勾股定理有：AC +AE =CE ，
∴，解得
(负值舍去)，
∴，
∴圆的直径
，
故答案为：D.
【分析】连接BD，根据圆周角定理可得∠ACB=∠ADB=∠CAD=∠CBD=90°，则四边形ACBD为矩形，得到BC=AD= ，易得DG是△EAF的中位线，则AE=2AD=2 ，设EG=FG=x，则EF=2x，证明△CBF∽△EAF，根据相似三角形的性质可得CF=x，则EC=3x，AC=2x，在Rt△AEC中，由勾股定理可得x，进而求出AC，然后利用勾股定理可得圆的直径AB.
二、填空题
11．（2022九下·海曙开学考）已知是锐角，则 .
【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：
可设
的对边长为
，则邻边长为2x
斜边的长为
故答案为：
.
【分析】根据三角函数的概念可设∠A的对边长为
x ，则邻边长为2x，利用勾股定理表示出斜边长，然后根据正弦函数的概念进行计算.
12．（2019八下·镇江月考）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球 每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在 ，那么估计盒子中小球的个数是 .
【答案】30
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据题意得 ＝30%，
解得n＝30，
所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球.
故答案为30.
【分析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为30%，然后根据概率公式计算n的值.
13．（2022九下·海曙开学考）已知y是x的二次函数， y与x的部分对应值如下表：
x ... －1 0 1 2 ...
y ... 0 3 4 3 ...
该二次函数图象向左平移 个单位，图象经过原点.
【答案】3
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：由表格得：二次函数的对称轴是直线x=
=1.
∵抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），
∴抛物线与x轴另一个交点为（3，0），
∴该二次函数图象向左平移3个单位，图象经过原点；或该二次函数图象向右平移1个单位，图象经过原点.
故答案为：3.
【分析】由表格可得：二次函数的对称轴是直线x=
=1，根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点的坐标，接下来根据点的平移规律进行解答.
14．（2018九上·淮安月考）如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AD＝BD.若⊙O的半径OB＝2，则AC的长为 .
【答案】
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】延长AO交⊙O与点E，连接BE,则AE=2OB=4.
∵AD⊥BC，AD=BD,
∴ .
∵∠E=∠C,∠ABE=∠ADC=90°,
∴△ABE∽△ADC,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴AC= .
【分析】延长AO交⊙O与点E，连接BE,由题意可知，利用两角对应相等李三角形相似可得△ABE∽△ADC,由相似三角形的对应边成比例可得 ,把代入，即可求出AC的长 .
15．（2022九下·海曙开学考）如图，中，，点、、分别在、、上，且四边是正方形.若，，，，则 .
【答案】6
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设正方形CDEF的边长为x，则EF=ED=x，
所以BD=
，
∵ED∥AC，
∴∠BED=∠A，
∴Rt△BED∽Rt△EAF，
∴BD：FE=BE：AE，即
：x=3：4，
解得x=
，
∴BD=
，
∴S△BDE=
BD ED=
=
，
∵=（
）2，
∴S△AFE=
，
∴S1+S2=
+
=6.
故答案为：6.
【分析】设正方形CDEF的边长为x，则EF=ED=x，利用勾股定理可得BD，证明△BED∽△EAF，根据相似三角形的性质可得x，进而求出BD，根据三角形的面积公式可得S△BDE，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得S△AFE，据此计算.
16．（2022九下·海曙开学考）图1是苍南县中心湖公园里的一座彩虹桥两条抛物线型钢梁在桥面上的跨度分别为米和米（如图2所示），x轴表示桥面，米.若两抛物线交y轴于同一点，且它们的形状相同，则的值为 .
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：如图，
因为两个函数的形状相同，因此可设：AB所在的抛物线为
①，
CD所在的抛物线为
②，
其中，
分别表示A、B、C、D的横坐标，
对于①令x=0，代入可得
，得E点坐标为
；
对于②令x=0，代入可得
，得E点坐标为
，
∴，即
∵
∴
∴，
，
∴，
，
将上式代入
，得
解得，
又∵
∴
∴
故答案为：
.
【分析】设AB所在的抛物线为y=a(x-xA)(x-xB)，CD所在的抛物线为y=a(x-xC)(x-xD)，易得E（0，axAxB）或（0，axCxD），则xAxB=xCxD，易得AC=60，则xC-xA=60，xC-xB=10，xD-xC=40，然后表示出xA、xB、xD，代入xAxB=xCxD中可得xC，进而求出xB，据此解答.
三、解答题
17．（2022九下·海曙开学考）计算：.
【答案】解：
.
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据绝对值的性质、0次幂的运算性质、特殊角的三角函数值可得原式=2- -1+2× +4× ，然后计算乘法，再计算加减法即可.
18．（2020九上·泰兴月考）某校举行秋季运动会，甲、乙两人都报名参加100m短跑比赛，预赛分A、B、C三组进行，运动员通过抽签决定分组.
（1）甲分到A组的概率为 ；
（2）利用树状图或列表的方法求甲、乙两人不在同一组的概率.
【答案】（1）
（2）解：甲乙两人抽签分组所有可能出现的结果有：（A，A）、（A，B）、（A，C）、（B，A）、（B，B）、（B，C）、（C，A）、（C，B）、（C，C）共有9种，它们出现的可能性相同.所有的结果中，甲乙分到同一组的结果有3种，甲乙不在同一组的结果6种，所以P(甲乙不在同一组)＝ .
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1）甲分到A组一种情况，总的有三种，则P（A）= ，
【分析】（1）共有A、B、C三种等可能性，而甲分到A组一种情况，利用概率公式计算即可；
（2）列举出共有9种等可能结果，其中甲乙分到同一组的结果有3种，利用概率公式计算即可.
19．（2022九下·海曙开学考）如图，在的正方形网格中，网线的交点称为格点，点A，B，C都是格点.已知每个小正方形的边长为1.
（1）画出的外接圆，并求上的AC弧长；
（2）连结AC，在网格中画出一个格点P，使得是直角三角形，且点P在上.
【答案】（1）解：先画出线段AB、BC的垂直平分线交于点O，再以点O为圆心，OC长为半径作圆，即为所求，如图所示：
根据题意得：，
∴，
∴∠AOC=90°，
∴上的AC弧长为；
（2）解：延长CO交于点P1，或延长AO交于点P2，则∠P1AC=90°，∠P2CA=90°，则点P1、P2即为所求，如图所示：
.
【知识点】勾股定理的逆定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；弧长的计算；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）先画线段AB、BC的垂直平分线交于点O，再以点O为圆心，OC长为半径作圆，○O即为所求，利用勾股定理求出AO、CO、AC，结合勾股定理逆定理知△AOC为直角三角形，然后根据弧长公式进行计算；
（2）延长CO交○O于点P1，或延长AO交○O于点P2，则∠P1AC=90°，∠P2CA=90°，则点P1、P2即为所求.
20．（2020·伊滨模拟）如图1、图2是某种品牌的篮球架实物图与示意图，已知底座BC＝0.6米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，支架AF的长为2.5米，篮板顶端F点到篮筐D的距离FD＝1.4米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°，求篮筐D到地面的距离.（精确到0.1米，参考数据：cos75°≈0.3，sin75°≈0.9，tan75°≈3.7， ≈1.7， ≈1.4）
【答案】解：延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝ ，
∴AB＝BC tan75°＝0.60×3.732＝2.22，
∴GM＝AB＝2.22，
在Rt△AGF中，∵∠FAG＝∠FHE＝60°，sin∠FAG＝ ，
∴sin60°＝ ＝ ，
∴FG＝2.125，
∴DM＝FG+GM﹣DF≈2.9米.
答：篮筐D到地面的距离是2.9米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G， 在Rt△ABC中 根据正切函数的定义，由 AB＝BC tan75° 算出AB，从而根据矩形的性质得出GM的长， 在Rt△AGF中 ，利用正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值算出FG的长，最后根据 DM＝FG+GM﹣DF 算出答案.
21．（2021·海曙模拟）如果抛物线C1： 与抛物线C2： 的开口方向相反，顶点相同，我们称抛物线C2是C1的“对顶”抛物线.
（1）求抛物线 的“对顶”抛物线的表达式；
（2）将抛物线 的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线 形成两个交点M、N，记平移前后两抛物线的顶点分别为A、B，当四边形AMBN是正方形时，求正方形AMBN的面积.
（3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，那么系数b与d，c与e之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系.
【答案】（1）解：∵y＝x2 4x＋7＝（x 2）2＋3，
∴顶点为（2，3），
∴其“对顶”抛物线的解析式为y＝ （x 2）2＋3，
即y＝ x2＋4x 1；
（2）解：如图，
由（1）知，A（2，3），
设正方形AMBN的对角线长为2k，
则点B（2，3＋2k），M（2＋k，3＋k），N（2 k，3＋k），
∵M（2＋k，3＋k）在抛物线y＝（x 2）2＋3上，
∴3＋k＝（2＋k 2）2＋3，
解得k＝1或k＝0（舍）；
∴正方形AMBN的面积为 ×(2k)2＝2；
（3）解：根据抛物线的顶点坐标公式得，抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c的顶点为（ ， ），
抛物线C2：y＝ ax2＋dx＋e的顶点为（ ， ），
∵抛物线C2是C1的“对顶”抛物线，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，
∴ ，
∴ ，
即 .
【知识点】正方形的性质；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【分析】(1)先配方求出抛物线C1的顶点坐标，根据 “对顶”抛物线的定义即可求出抛物线C2的解析式；
(2)设正方形AMBN的对角线长为2k，分别把B、M、N点的坐标用含k的代数式表示出来，根据点M(2 + k，3 + k)在抛物线y= (x- 2)2 +3上，构建方程求出k的值，最后求正方形面积即可；
(3)先根据抛物线C1，C2的顶点相同，求出b，d的关系，再由两抛物线的顶点在x轴，列式求出c，e的关系，从而得出结论.
22．（2022九下·海曙开学考）如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠B＝2∠ADE，点C在BA的延长线上.
（1）若∠C＝∠DAB，求证：CE是⊙O的切线；
（2）若OF＝2，AF＝3，求EF的长.
【答案】（1）证明：连接OE，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°.
∴∠DAB+∠B＝90°，
∵∠ADE和∠AOE都对着，
∴∠AOE＝2∠ADE，
又∵∠B＝2∠ADE，
∴∠AOE＝∠B，
又∵∠C＝∠DAB，
∴∠C+∠AOE＝∠DAB+∠B＝90°.
∴∠CEO＝90°，
∴OE⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：连接AE，
∵ ＝ ，
∴∠1＝∠B.
由（Ⅰ）知∠AOE＝∠B，
∴∠1＝∠AOE，
又∵∠2＝∠2，
∴△EAF∽△OAE，
∴，
即，
∴EF＝AE，AE2＝3×5＝15，
∴EF＝EA＝.
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OE，根据圆周角定理可得∠ADB＝90°，∠AOE＝2∠ADE，结合已知条件可得∠AOE＝∠B，则∠C+∠AOE＝∠DAB+∠B＝90°，∠CEO＝90°，据此证明；
（2）连接AE，根据圆周角定理可得∠1＝∠B，由（Ⅰ）知∠AOE＝∠B，则∠1＝∠AOE，证明△EAF∽△OAE，然后根据相似三角形的性质进行计算.
23．（2022九下·海曙开学考）在“童博会”上，某影楼为了积聚人气，增加销量，将“喜洋洋”套系进行降价促销，已知这种套系的成本为400元/套，促销方案如下：若团购3套，则可享受团购价680元/套，若团购每增加一套，则每套再降价50元，设某团团购的数量增加了x套.
（1）填空：该团的团购数量为 套；每套的利润为 元，（用含x的代数式表示）
（2）规定一个团的团购数量不超过8套，当团购数量为多少套时，影楼获得利润最大？最大利润为多少？
【答案】（1）（x+3）；280-50x
（2）解：设团购数量为m，获得的利润为w，团购数量不超过8套时，
w=[280-50(m-3)]m= -50m2+ 430m，
图象为开口向下的抛物线，在对称轴 =4.3处取得最大值，
因为团购数量为整数，故离4.3最近的整数4取得最大利润，
故当团购数量为4套时，最大利润w=-50×42+430×4 =920.
答：当团购数量为4套时，影楼获得利润最大，最大利润为920元.
【知识点】用字母表示数；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）团购数量为（x+3）套，每套利润为680-50x- 400=280-50x.
故答案为：（x+3），280-50x.
【分析】（1）由题意可得团购数量为（x+3）套，每套的利润为680-50x-400，化简即可；
（2）设团购数量为m，获得的利润为w，团购数量不超过8套时，根据数量×每套的利润=总利润可得W与m的关系式，结合二次函数的性质可得最大值.
24．（2020九上·温州期末）如图， 中， ，P是斜边 上一个动点，以 为直径作 交 于点D，与 的另一个交点E，连接 .
（1）当 时，
①若 ，求 的度数；
②求证 ；
（2）当 ， 时，是否存在点P，使得 是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的 的长.
【答案】（1）解：①如图，连接PD，
∵PB为直径，
∴∠PDB=90°，
∠BPD=65°，
∴∠PBD=90°-∠BPD=25°，
∵ ，
∴，
∴，
∴∠C=∠BPE-∠PBD=65°-25°=40°；
② 证明：∵，
∴∠CBP=∠EBP，
∵∠ABE+∠A=∠C+∠A=90°，
∴∠C=∠ABE，
∴∠ABP=∠ABE+∠EBP，∠APB=∠C+∠CBP，
∴∠ABP=∠APB，
∴AP=AB；
（2）解：存在，
如图，连接PD，
由AB=15，BC= 20,
由勾股定理得: AC= = =25，
∵AB.BC=AC.BE ,
即×15×20=×25×BE，
∴ BE=12，
∵BP是直径，
∴∠PDB =90° ,
∵∠ABC =90° ,
∴PD∥AB ,
∴△DCP∽△BCA ,
∴,
∴，
△BDE是等腰角形，分三种情况:
当BD= BE时，BD=BE=12,
∴CD=BC-BD=20-12=8，
∴ CP=CD=x8=10，
当BD= ED时，可知点D是Rt△CBE斜边的中线，
∴CD=BC=10,
∴CP=CD=×10=，
当DE=BE时，作EH⊥BC, 则H是BD中点，EH//AB, 如图，
AE== =9，
:.CE=AC-AE=25-9=16， CH=BC-BH=20-BH ,
∵EH∥AB，
∴，
即，
解得: BH= ,
∴BD=2BH=，
∴CD= BC-BD=20-=，
∴CP=CD=，
综上所述，△BDE 是等腰三角形，符合条件的CP的长为10或或7.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；圆周角定理；平行线分线段成比例；相似多边形的性质
【解析】【分析】（1）如图，连接PD，
① 根据直径所对的圆周角是直角，结合求得∠BPD的大小，则度数可求，从而求出的度数，最后利用三角形外角的性质求出∠C的度数即可；
② 由弧相等得角相等，再由余角的性质得∠C=∠ABE，于是角的关系即可得出∠ABP=∠APB，从而证出AP=AB；
（2）由勾股定理得AC=25，由面积公式得出AB BC=AC BE，求出BE=12，连接DP，则PD∥AB，得出△DCP∽△BCA，求出CP==，CD，
△BDE是等腰三角形，分三种情况讨论，当BD=BE时，BD=BE=12，CD=BC-BD=8，
CP=2CD=10; 当BD= ED时，可知点D是Rt△CBE斜边的中线，得出CD=BC=10，CP=CD=，当DE=BE时，作EH⊥BC,则H是BD中点, EH∥AB ,求出AE==9, CE=AC-AE=16,CH=20-BH，由EH∥AB, 根据平行线分线段成比例求出BH=，BD=2BH=, CD=BC- BD= , 则CP=CD=7.
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