(共23张PPT)
第四章 三角形
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
4.1 认识三角形
第3课时 三角形的中线、角平分线和高
知识要点
3.三角形的高
1.三角形的中线和重心
2.三角形的角平分线
新知导入
填一填，画一画：回顾以前学习的知识，试着完成下面的表格.
定义 图示
垂线
线段中点
角平分线
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是____时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线
直角
把一条线段分成_________的线段的点，叫做线段的中点
两条相等
A
B
一条射线把一个角分成_________的角，这条射线叫做这个角的平分线
两个相等
O
B
A
新知导入
试一试：根据已经掌握的知识，动手画出过点A的垂线。
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
A
课程讲授
1
三角形的中线和重心
问题1：根据我们已经学过知识，试着说出三角形中线的定义.
提示：可结合线段中点的定义进行总结归纳.
三角形中线的定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线.
B
A
C
A
BE=EC
E
课程讲授
1
三角形的中线和重心
练一练：根据三角形中线的定义，画出下图中三角形的中线.
想一想：三角形有多少条中线？它们有怎样的位置关系
课程讲授
1
三角形的中线和重心
三角形的中线：
三角形有___条中线.
三角形中线的交点：
三角形的____条中线相交于_____.
三角形重心的定义：
___________________________.这点称为三角形的重心.
三
三角形的三条中线的交于一点
一点
三
课程讲授
1
三角形的中线和重心
练一练：在△ABC中，AC＝5 cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长小1 cm，则BA＝_____.
4cm
提示：可将△ABD与△ADC的周长之差转化为边长的差.
课程讲授
2
三角形的角平分线
问题1：随意裁剪一块三角形的纸片，你有办法将它的三个角平分吗？
提示：可试着使用量角器或者圆规。
问题2：在纸上随意画出一个角，你有办法画出它的平分线吗？
提示：可试着将三角形的纸片进行折叠。
课程讲授
2
三角形的角平分线
B
A
A
B
C
A
D
C
D
三角形角平分线的定义：画∠A的平分线AD，交所对的边BC于点D，所得线段AD即为三角形的∠A的平分线.
课程讲授
2
三角形的角平分线
想一想：
（1）在锐角三角形中,试着画出它的三条角平分线，观
察它们有什么特点
（2）在钝角三角形中,试着画出它的三条角平分线，观
察它们有什么特点
（3）在直角三角形中,试着画出它的三条角平分线，
观察它们有什么特点
课程讲授
2
三角形的角平分线
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
三角形角平分线的性质：
三角形的三条角平分线____________.
交于同一点
课程讲授
2
三角形的角平分线
练一练：如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC=80°,则∠EAD=（ ）
A.60°
B.40°
C.20°
D.10
C
C
A
B
D
E
课程讲授
3
三角形的高
问题1：根据我们已经学过知识，试着说出三角形高的定义.
三角形高的定义：从三角形的一个顶点，向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.
A
B
C
D
课程讲授
3
三角形的高
想一想：
（1）在锐角三角形中,它的三条高是否相交，相交在什
么位置
（2）在钝角三角形中,它的三条高是否相交，相交在什
么位置
（3）在直角三角形中,它的三条高是否相交，相交在
什么位置
课程讲授
3
三角形的高
根据三角形高的定义，画出下图中三角形的高.
提示：一个三角形有三个顶点，应该有三条高.
课程讲授
3
三角形的高
锐角三角形的高：
锐角三角形的三条高相交于_______________.
钝角三角形的高：
钝角三角形的三条高相交于_______________.
直角三角形的高：
直角三角形的三条高相交于____________________.
三角形内同一点
三角形外同一点
直角三角形直角顶点
课程讲授
3
三角形的高
练一练：若三角形某条边上的高的位置在该三角形内，则该边所对的角一定是（ ）
A.锐角
B.直角
C.钝角
D.以上都有可能
D
课程讲授
3
三角形的高
填一填：回顾本堂课学习的知识，完成下面的表格。
三角形的 重要线段 概念 图示 表述方式
三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,_____和_____之间的_____.
三角形 的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边____的____.
三角形的 角平分线 三角形一个内角的________与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的____.
顶点
垂足
线段
中点
线段
平分线
线段
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
∵ AD是△ABC的BC上的中线.
∴ BD=CD= BC.
∵AD是△ABC的高线.
∴AD⊥BC
∠ADB=∠ADC
=90°.
∵.AD是△ABC的∠BAC的平分线
∴ ∠1=∠2= ∠BAC
随堂练习
1.如图，若AD是△ABC的中线，有下列结论：①BD=CD；
②AB=AC；③S△ABD= S△ABC.其中一定成立的结论有
（ ）
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
2.下列说法正确的是（ ）
A.三角形三条高都在三角形内
B.三角形三条中线相交于一点
C.三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可
能在三角形外
D.三角形的角平分线是射线
A
B
D
C
B
B
随堂练习
3.如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为
△ABC的高的有 （ ）
A．2条
B．3条
C．4条
D．5条
A
D
B
C
B
随堂练习
4.如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°,
∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数.
A
B
C
E
解：∵ＡE是△ABC的角平分线，
∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，∴∠BAE=37.5°.
∵∠AEB=∠CAE+∠C，
∠CAE=∠BAE=37.5°，
∴∠AEB=37.5°+60°=97.5°.
∴∠CAE=∠BAE= ∠BAC.
课堂小结
三角形重要线段
三角形的高
三角形的中线和重心
三角形的中线将三角形面积平分
一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差
三角形的角平分线
三角形重心的定义(共14张PPT)
第四章 三角形
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
4.1 认识三角形
第2课时 三角形的三边关系
知识要点
1.等腰三角形和等边三角形
2.三角形的三边关系
新知导入
想一想：
三角形按角的大小关系，可分为：
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
三角形
三角形若按边来分类，可分为哪几类？
课程讲授
1
等腰三角形和等边三角形
提示：可根据三角形三边的长度关系进行比较.
问题1：观察下图中的三角形，试着比较它们之间的不同之处.
不等边三角形
(三条边长度均不相等)
等腰三角形
（两条边长度相等）
等边三角形
（三条边长相等）
顶角
底角
腰
底边
课程讲授
1
等腰三角形和等边三角形
以“是否有边相等”，可以将三角形分为两类：____________________和___________.
三条边各不相等的三角形叫做________________.
有两条边相等的三角形叫做___________.
三条边都相等的三角形叫做__________.
等腰三角形与等边三角形的关系：
等边三角形是____的等边三角形，即_____________的等腰三角形.
三边都不相等的三角形
等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
不等边三角形
特殊
底边和腰相等
课程讲授
1
等腰三角形和等边三角形
三角形
三边都不相等的三角形
等腰三角形
等边三角形
课程讲授
1
等腰三角形和等边三角形
练一练：根据三角形的分类，判断下列说法是否正确。
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形.（ ）
（1）一个钝角三角形可能是等腰三角形.（ ）
（3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（ ）
（4）等边三角形是锐角三角形.（ ）
（5）直角三角形一定不是等腰三角形.（ ）
√
√
×
×
√
课程讲授
2
三角形的三边关系
问题1：任意画出一个△ABC，从其中一个顶点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择，各条线路的长有什么关系？
A
B
C
提示：两点之间，线段最短.
两点之间线段最短.
由此可以得到：
课程讲授
2
三角形的三边关系
想一想：
（1）在同一个三角形中,任意两边之和与第三边有什么
大小关系
（2）在同一个三角形中,任意两边之差与第三边有什么
大小关系
（3）三角形三边有怎样的不等关系
归纳：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边.
课程讲授
例 有两根长度分别为5 cm和8 cm的木棒，用长度
为2 cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长
度为13 cm的木棒呢？
2
三角形的三边关系
解：取长度为2 cm的木棒时，由于2+5=7<8，出现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能摆成三角形.
取长度为13 cm的木棒时，由于5+8=13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形.
课程讲授
2
三角形的三边关系
练一练：若一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是( )
A．3＜x＜11 B．4＜x＜7
C．－3＜x＜11 D．x＞3
A
归纳：判断三角形边的取值范围要同时运用两边
之和大于第三边，两边之差小于第三边．
随堂练习
1.五条线段的长分别为1 cm,2 cm,3 cm,4 cm,5 cm,以
其中三条线为边长可以构成____个三角形.
3
2.下列说法正确的是（ ）
A.所有的等腰三角形都是锐角三角形
B.等边三角形属于等腰三角形
C.不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形
D.一个三角形中有两个锐角，则一定是锐角三角形
B
随堂练习
3.以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是( )
A.2 cm,3 cm,4 cm
B.2 cm,3 cm,5 cm
C.2 cm,5 cm,10 cm
D.8 cm,4 cm,4 cm
A
4.若三角形的两边长分别是2和7,第三边长为偶数,求第三边
的长.
解：设第三边长为x,根据三角形的三边关系，可得，
7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9，
又x为偶数，则第三边的长为6或8.
课堂小结
三角形
按边分类
不等边三角形
等腰三角形（包括等边三角形）
三边关系
任意两边之和大于第三边
任意两边之差小于第三边(共25张PPT)
4.1 认识三角形
第四章 三角形
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第1课时 三角形的内角和
知识要点
1.三角形的概念
2.三角形的内角和
3.三角形按角的大小分类
4.直角三角形的两个锐角互余
新知导入
看一看：观察下图中图形的构成，试着发现它们的规律.
新知导入
试一试：根据刚刚找到的规律，在下图中画出类似的图形.
课程讲授
1
三角形的概念
问题1：根据下面三角形的形成过程，试着归纳出三角形的定义.
A
B
C
提示：构成三角形的基本条件：
（1）三条线段不在一条直线上；
（2）三条线段收尾相接.
定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.
课程讲授
1
三角形的概念
练一练：根据三角形的定义，判断下列图形是否为三角形，并说明你的判断依据.
不符合，首尾未能依次相接
不符合，三条线段位于同一条直线上
不符合，首尾未能依次相接
课程讲授
1
三角形的概念
问题2：下图中的三角形有几条边 有几个顶点？有几个角 请分别指出它们.
A
B
C
提示：有三条线段，三个角.
角：∠A，∠B，∠C是三角形的内角，简称三角形的角.
边：线段AB，BC，CA是三角形的边.
顶点：点A，B，C是三角形的顶点.
课程讲授
1
三角形的概念
三角形的表示：
记法：顶点是A、B、C的三角形，记作________.
读法：顶点是A、B、C的三角形，读作________ __.
边的表示方法：
三角形ABC的三边也可以用字母表示，
顶点A所对应的边用____表示，
顶点B所对应的边用____表示，
顶点C所对应的边用____表示.
BC
AC
AB
△ABC
“三角形ABC”
A
B
C
课程讲授
1
三角形的概念
归纳小结：
（1）三角形应满足以下两个条件：
①不在同一直线上；②首尾顺次相接.
（2）三角形表示方法：
三角形用符号“△”表示；记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC还可记作△BCA,
△ CAB和△ ACB.
课程讲授
2
三角形的内角和
问题1：裁剪一块任意三角形纸片，将它的内角剪下拼合在一起，你会发现什么规律？
提示：一个三角形的三个内角拼在一起时，我们会得到一个平角.
归纳：三角形三个内角的和等于180°.
课程讲授
2
三角形的内角和
问题2：运用所学知识，试着证明你的结论。
已知：△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
1
2
证明：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1.
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
课程讲授
2
三角形的内角和
想一想：你能想出这个结论的其他证明方法吗？
已知：△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
C
B
A
E
D
1
2
证明：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 .
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.
(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
课程讲授
1
三角形的内角和
想一想：你能想出这个结论的其他证明方法吗？
已知：△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
C
B
A
E
D
F
证明：过D作DE∥AC,作DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.
(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°，
(两直线平行，同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°.
练一练：在△OAB中，∠O=90°,∠A=35°,则∠B的度数为（ ）
A.35°
B.55°
C.65°
D.145°
D
课程讲授
2
三角形的内角和
课程讲授
3
三角形按角的大小分类
问题1：观察下图中的三角形，想一想，按照三角形的角的大小，可以将三角形可以分为哪几类？
课程讲授
3
三角形按角的大小分类
归纳：按照三角形内角的大小，可将三角形分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形；
有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形.
有一个角是直角的三角形叫作直角三角形；
直角三角形ABC可以写成Rt△ABC；
课程讲授
4
直角三角形的两锐角互余
问题1：已知一个直角三角形，有一个角为直角，根据三角形的内角和我们可以得到什么结论？
提示：三角形的三个内角和为180°，已知一个角为直角，可以得到另外两个角的数量关系
A
B
C
课程讲授
4
直角三角形的两锐角互余
A
B
C
在直角三角形ABC中，∠C=90°由三角形内角和定理，得∠A +∠B+∠C=90°,即
∠A +∠B=90°.
问题1：已知一个直角三角形，有一个角为直角，根据三角形内角和定理我们可以得到什么结论？
归纳：直角三角形的两个锐角互余．
课程讲授
4
直角三角形的两锐角互余
直角三角形性质的应用格式：
在直角三角形ABC 中，
∵ ∠C =90°，
∴ ∠A +∠B =____．
90°
课程讲授
4
直角三角形的两锐角互余
A
B
C
D
E
解：在Rt△ACE中，
∠CAE=90 °- ∠AEC.
在Rt△BDE中,
∠DBE=90 °- ∠BED.
∵ ∠AEC= ∠BED，
∴ ∠CAE= ∠DBE.
例 如图，∠C=∠D=90 °,AD,BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
课程讲授
4
直角三角形的两锐角互余
练一练：如图是一张长方形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（ ）
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
1
2
C
随堂练习
1.三角形是指（ ）
A．由三条线段所组成的封闭图形
B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相
接组成的图形
C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相
接组成的图形
D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形
C
随堂练习
2.在△ABC中，∠A=20°,∠B=60°,则△ABC的形状是（ ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
3.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=________ .
D
B
A
C
D
4
1
3
2
E
35°
（
290 °
随堂练习
4.如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于
点C， 若∠BOD=38°，则∠A=_____.
52°
课堂小结
三角形
三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形.
直角三角形
锐角三角形
按角分类
钝角三角形
三角形的内角和等于180°
直角三角形的两个锐角互余
