人教版八年级下册 18.2.1矩形及其性质 同步练习（word版含答案）

18．2．1 矩形
第1课时 矩形及其性质
A 基础题夯实
核心知识点1 矩形的性质
1．在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，下列说法错误的是( )
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．OA＝AB D．OA＝OB
2．矩形的对角线长为10，两邻边之比为3：4，则矩形的周长为 ．
3．在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知∠BOC＝120°，DC＝4 cm，则AC的长为 cm．
4．(2019福建)如图，点E，F分别是矩形ABCD的边AB，CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．
5．(2020毕节改)如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝9 cm，BC＝12 cm．求EF的长．
核心知识点2 直角三角形斜边上的中线
6．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AC＝4，BC＝6，则CD的长为 ．
7．(2021华师一附中)如图，在口ABCD中，对角线AC，BD交于点E，AC⊥BC，点F是BE的中点，连接CF．若BC＝4，CF＝2．5，求AB的长．
8．【教材变式】(P61－9改)如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是AB的中点．
(1)求∠A的度数；
(2)求证：AE＝DE．
B 中档题运用
9．(2020连云港改)如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的处．若∠DBC＝26°，则∠A'EB的度数是 ．
第9题图
10．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，连接OE．则下列结论：①△AOB是等边三角形；②S△AOE＝S△COE；③∠AOE＝135°；④BC＝2AB．其中正确的结论的序号是 _．
第10题图
11．如图，一根长为10的木棍AB斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，B端随之沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点O到AB的最大距离为 ．
第11题图
12．(2021安顺改)如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．
(1)求证：MC＝MN；
(2)若AD＝2，AN＝4，求矩形ABCD的面积．
13．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF＝2，求AC的长．
14．(2021广东中考模拟)如图，在矩形ABCD中，以点B为圆心，BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点C，E为圆心，大于CE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G．
(1)求证：∠AEB＝2∠FBC；
(2)若AB＝6，BC＝10．求CG的长．
C 综合题探究
15．(2021眉山改)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上，连接DF，以DF为边作等边△DFE，点E和点A分别位于DF两侧．
(1)求证：∠BDE＝∠ADF；
(2)求证：EF＝EC．
18．2．1 矩形
第1课时 矩形及其性质
A 基础题夯实
核心知识点1 矩形的性质
1．在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，下列说法错误的是( )
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．OA＝AB D．OA＝OB
答案：C
2．矩形的对角线长为10，两邻边之比为3：4，则矩形的周长为 ．
答案：28
3．在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知∠BOC＝120°，DC＝4 cm，则AC的长为 cm．
答案：8
4．(2019福建)如图，点E，F分别是矩形ABCD的边AB，CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．
证明：法一：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠B＝90°．
∵DF＝BE，∴△ADF≌△CBE，∴AF＝CE；
法二：∵四边形ABCD是矩形，∴AB CD，∵DF＝BE．∴CFAE，
∴四边形AFCE为平行四边形，∴AF＝CE．
5．(2020毕节改)如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝9 cm，BC＝12 cm．求EF的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BD＝AC，B0＝OD，∵AB＝9 cm，BC＝12 cm，∴AC＝＝15(cm)，
∴OD＝AC＝(cm)∵点E，F分别是AO，AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，．∴EF＝OD＝ cm．
核心知识点2 直角三角形斜边上的中线
6．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AC＝4，BC＝6，则CD的长为 ．
答案：
7．(2021华师一附中)如图，在口ABCD中，对角线AC，BD交于点E，AC⊥BC，点F是BE的中点，连接CF．若BC＝4，CF＝2．5，求AB的长．
解：∵AC⊥BC，点F是BE的中点，∴BE＝2CF＝5，
∴EC＝＝＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2EC＝6，∴AB＝＝＝2．
8．【教材变式】(P61－9改)如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是AB的中点．
(1)求∠A的度数；
(2)求证：AE＝DE．
解：(1)证∠BCD＝∠A，∴∠A＋3∠A＝90°，∴∠A＝22．5°；
(2)连接CE，易证CE＝AE＝BE，∴∠CED＝2∠A＝45°，∴CE＝DE，
∴AE＝DE．
B 中档题运用
9．(2020连云港改)如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的处．若∠DBC＝26°，则∠A'EB的度数是 ．
第9题图
答案：58°
10．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，连接OE．则下列结论：①△AOB是等边三角形；②S△AOE＝S△COE；③∠AOE＝135°；④BC＝2AB．其中正确的结论的序号是 _．
第10题图
答案：①②③
11．如图，一根长为10的木棍AB斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，B端随之沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点O到AB的最大距离为 ．
第11题图
答案：5
12．(2021安顺改)如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．
(1)求证：MC＝MN；
(2)若AD＝2，AN＝4，求矩形ABCD的面积．
解：(1)在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC//AB，∴∠BAN＝∠AMD，
∵BN⊥AM，∴∠BNA＝90°＝∠D，∵AM＝AB，∴△ABN≌△MAD(AAS)，
∴AN＝DM，∵AM＝AB＝CD，∴MC＝MN；
(2)∵BN＝AD＝2，AN＝4，∴AB＝＝2，∴S矩形ABCD＝2×2＝4．
13．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF＝2，求AC的长．
解：连接AF．∵AB＝AD，F是BD的中点，∴AF⊥BD．
∵在Rt△ACF中，∠AFC＝90°，E是AC的中点，EF＝2，∴AC＝2EF＝4．
14．(2021广东中考模拟)如图，在矩形ABCD中，以点B为圆心，BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点C，E为圆心，大于CE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G．
(1)求证：∠AEB＝2∠FBC；
(2)若AB＝6，BC＝10．求CG的长．
解：(1)∵四边形ABCD为矩形，∴AD//BC，∴∠AEB＝∠EBC．
根据作图过程可知BF是∠EBC的平分线，
∴∠EBC＝2∠FBC，∴∠AEB＝2∠FBC；
(2)连接EG，∵BE＝BC，∠EBG＝∠CBG，BG＝BG，∴△EBG≌△CBG，．∴设EG＝CG＝x．
∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝10，∠A＝∠D＝90°，
∴AE＝＝8，∴ED＝AD－AE＝2．∵∠D＝90°，DG＝CD－CG＝6－x，
∴ED2＋DG2＝EG2，∴22＋(6－x)2＝x2，∴x＝．∴CG＝．
C 综合题探究
15．(2021眉山改)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上，连接DF，以DF为边作等边△DFE，点E和点A分别位于DF两侧．
(1)求证：∠BDE＝∠ADF；
(2)求证：EF＝EC．
证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵∠DAC＝60°，∴△OAD为等边三角形，
∴∠DOA＝∠DAO＝∠ODA＝60°，AD＝OD，
∵△DFE为等边三角形，∴∠EDF＝60°，DF＝DE＝EF，
∵∠BDE＋∠FDO＝∠ADF＋∠FDO＝60°，∴∠BDE＝∠ADF；
(2)连接OE，由(1)知，AD＝OD，∠ADF＝∠BDE，DF＝DE，∴△ADF≌△ODE，
∴∠DOE＝∠DAF＝60°．∵∠DOA＝60°，∴∠COE＝60°＝∠DOE．
∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD，OD＝BD，OC＝AC，∴OD＝OC，
∵OE＝OE，∴△ODE≌△OCE，∴EC＝ED＝EF．