第四章 三角形单元测试答案与解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列图形不具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】解：根据三角形的稳定性可得A、C、D都具有稳定性，不具有稳定性的是B选项．
故选：B．
2．下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（ ）
A．5cm，6cm，12cm B．3cm，4cm，5cm
C．4cm，6cm，10cm D．3cm，4cm，8cm
【答案】解：A、5+6＜12，所以不能围成三角形；
B、3+4＞5，所以能围成三角形；
C、4+6＝10，所以不能围成三角形；
D、3+4＜8，所以不能围成三角形．
故选：B．
3．如图，已知△ABC，点D在BC的延长线上，∠ACD＝140°，∠ABC＝50°，则∠A的大小为（ ）
A．50° B．140° C．120° D．90°
【答案】解：∵∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∵∠ACD＝140°，∠ABC＝50°，
∴∠A＝140°﹣50°＝90°
故选：D．
4．画△ABC的高BE，以下画图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】解：画△ABC的高BE，即过点B作对边AC所在直线的垂线段BE，
故选：D．
5．三角形的两个内角分别为55°和75°，则它的第三个内角的度数是（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】解：由三角形的内角和定理可知第三个内角＝180°﹣55°﹣75°＝50°，
故选：C．
6．设三角形的三边之长分别为4，8，2a，则a的取值范围为（ ）
A．4＜a＜12 B．1＜a＜3 C．2＜a＜3 D．2＜a＜6
【答案】解：由题意，得
8﹣4＜2a＜8+4，
即4＜2a＜12，
解得：2＜a＜6．
故选：D．
7．下面命题错误的是（ ）
A．边长相等的两个等边三角形全等
B．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
C．有两条边对应相等的两个等腰三角形全等
D．形状和大小完全相同的两个三角形全等
【答案】解：A、可以用SSS判定两三角形全等；
B、可以用SAS判定两三角形全等；
C、腰虽然相等，但是夹角不一定相等，所以是错误的；
D、基本就是全等的定义．
故选：C．
8．如图，已知点A、D、C、F在同一直线上，AB＝DE，AD＝CF，且∠B＝∠E＝90°，判定△ABC≌△DEF的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．HL
【答案】解：∵AD＝CF，
∴AC＝DF．
在Rt△ABC与Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
故选：D．
9．如图，已知O是线段AC和BD的中点，要说明△ABO≌△CDO，以下回答最合理的是（ ）
A．添加条件∠A＝∠C B．添加条件AB＝CD
C．不需要添加条件 D．△ABO和△CDO不可能全等
【答案】解：∵O是线段AC和BD的中点，
∴OA＝OC，OB＝OD，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴△ABO≌△CDO（SAS）
故选：C．
10．如图所示，∠ABC＝∠ACB，CD⊥AC于C，BE⊥AB于B，AE交BC于点F，且BE＝CD，下列结论不一定正确的是（ ）
A．AB＝AC B．BF＝EF C．AE＝AD D．∠BAE＝∠CAD
【答案】解：∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，故A选项正确；
又∵CD⊥AC于C，BE⊥AB，
∴∠ABE＝∠ACD，
又∵BE＝CD，
∴△ABE≌△ACD，
∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD，故C、D选项正确；
而BF＝EF不一定成立．
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．如图，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC＝80°，∠C＝70°，所以△ABD是 直角 三角形．
【答案】解：∵∠DBC＝180°﹣∠BDC﹣∠C＝180°﹣80°﹣70°＝30°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°，
∵∠ADB＝60°，
∴∠A＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴△ABD是直角三角形．
故答案为直角．
12．在△ABC中，若∠B＝∠C＝2∠A，则∠C的度数为 72° ．
【答案】解：∵∠B＝∠C＝2∠A，
∴可以假设∠A＝x，则∠B＝∠C＝2x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠C＝72°，
故答案为72°．
13．已知：如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝6．中线AD＝4．则AC的取值范围是 2＜AC＜14 ．
【答案】解：延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．
∵BD＝CD，∠ADB＝∠EDC，AD＝DE，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB．
在△ACE中，AE﹣EC＜AC＜AE+EC，
∴8﹣6＜AC＜8+6，
即2＜AC＜14，
故答案为：2＜AC＜14．
14．如图，已知DO⊥AB，OA＝OD，OB＝OC，DE＝BE，则∠B的度数是 67.5° ．
【答案】解：如图，连接AD，
∵OD＝OA，DO⊥AB，
∴∠DAO＝45°，
∵AO＝DO，∠AOC＝∠DOB，OB＝OC，
∴△AOC≌△DOB（SAS）
∴∠CAO＝∠BDO，
∵∠BDO+∠B＝90°，
∴∠CAO+∠B＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BD，且DE＝BE，
∴AE垂直平分BD，
∴AD＝AB，且∠DAB＝45°，
∴∠B＝67.5°，
故答案为：67.5°．
15．如图，∠A＝∠D，要使△ABC≌△DBC，还需要补充一个条件： ∠ABC＝∠DBC或∠ACB＝∠DCB （填一个即可）．
【答案】解：∵∠A＝∠D，BC＝BC，
∴当∠ABC＝∠DBC或∠ACB＝∠DCB时，△ABC≌△DBC（AAS），
∴还需要补充一个条件为：∠ABC＝∠DBC或∠ACB＝∠DCB．
故答案为：∠ABC＝∠DBC或∠ACB＝∠DCB．
16．如图，BP和CP是∠ABC和∠ACB的平分线，∠A＝88°，则∠BPC的度数为 134° ．
【答案】解：∵∠A＝88°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣88°＝92°，
∴∠PBC+∠PCB＝∠ABC+∠ACB＝46°，
∴∠BPC＝180°﹣46°＝134°，
故答案为134°
17．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC的中点，连接DE、AE，AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AB＝5，CD＝3，则AD的长为 8 ．
【答案】解：∵E为BC的中点，
∴BE＝EC，
∵AB∥CD，
∴∠F＝∠CDE，且∠BEF＝∠CED，BE＝EC，
∴△BEF≌△CED（AAS）
∴EF＝DE，BF＝CD＝3，
∴AF＝AB+BF＝8，
∵AE⊥DE，EF＝DE，
∴AF＝AD＝8．
18．用尺规作图法作已知角∠AOB的平分线的步骤如下：
①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OB于点D，交OA于点E；
②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
③作射线OC．
则射线OC为∠AOB的平分线．
由上述作法可得△OCD≌△OCE的依据是 SSS ．
【答案】解：由作图过程可知：
OD＝OE，DC＝EC，OC＝OC
∴△ODC≌△OEC（SSS）
∴∠DOC＝∠EOC
∴OC为∠AOB的平分线．
故答案为SSS．
三．解答题（共5小题，满分46分）
19．（10分）如图，已知∠ABC，求作：
（1）∠ABC的平分线BD（写出作法，并保留作图痕迹）；
（2）在BD上任取一点P，作直线PQ，使PQ⊥AB（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】解：（1）作法：①以B点为圆心，任意长为半径画弧分别交BA、BC于M、N点；
②再以M、N为圆心，以大于它们之间的距离的二分之一为半径画弧，两弧在∠ABC内相交于E，
则BD为所作；
（2）如图，PQ为所作．
20．（8分）如图，AD是△ABC的高，BE平分∠ABC交AD于点 E．若∠C＝76°，∠BED＝64°．求∠BAC的度数．
【答案】解：∵AD是△ABC的高，∠C＝76°，
∴∠DAC＝14°，
∵BE平分∠ABC交AD于E，
∴∠ABE＝∠EBD，
∵∠BED＝64°，
∴∠ABE+∠BAE＝64°，
∴∠EBD+64°＝90°，
∴∠EBD＝∠ABE＝26°，
∴∠BAE＝38°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠CAD＝38°+14°＝52°．
21．（8分）（2019秋 北京期末）如图，AB＝AC，点D，E分别是线段AB，AC的中点，连接BE，CD．求证：∠B＝∠C．
【答案】证明：∵点D，E分别是线段AB，AC的中点，
∴AD＝AB，AE＝AC，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
在△ABE和△ACD中，AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠B＝∠C．
22．（8分）如图，已知AF＝DC，BC∥EF，∠E＝∠B，求证：EF＝BC．
【答案】证明：∵AF＝CD，
∴AC＝DF，
∵BC∥EF，
∴∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴EF＝BC．
23．（12分）如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，点E，F是垂足，AE＝CF，求证：
（1）△ABF≌△CDE；
（2）AB∥CD．
【答案】证明：（1）∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE．
又∵BF⊥AC，DE⊥AC，
∴∠AFB＝∠CED＝90°．
在Rt△ABF与Rt△CDE中，，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）；
（2）∵Rt△ABF≌Rt△CDE，
∴∠C＝∠A，
∴AB∥CD．第四章 三角形单元测试
姓名：___________班级：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列图形不具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（ ）
A．5cm，6cm，12cm B．3cm，4cm，5cm
C．4cm，6cm，10cm D．3cm，4cm，8cm
3．如图，已知△ABC，点D在BC的延长线上，∠ACD＝140°，∠ABC＝50°，则∠A的大小为（ ）
A．50° B．140° C．120° D．90°
4．画△ABC的高BE，以下画图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．三角形的两个内角分别为55°和75°，则它的第三个内角的度数是（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
6．设三角形的三边之长分别为4，8，2a，则a的取值范围为（ ）
A．4＜a＜12 B．1＜a＜3 C．2＜a＜3 D．2＜a＜6
7．下面命题错误的是（ ）
A．边长相等的两个等边三角形全等
B．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
C．有两条边对应相等的两个等腰三角形全等
D．形状和大小完全相同的两个三角形全等
8．如图，已知点A、D、C、F在同一直线上，AB＝DE，AD＝CF，且∠B＝∠E＝90°，判定△ABC≌△DEF的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．HL
9．如图，已知O是线段AC和BD的中点，要说明△ABO≌△CDO，以下回答最合理的是（ ）
A．添加条件∠A＝∠C B．添加条件AB＝CD
C．不需要添加条件 D．△ABO和△CDO不可能全等
10．如图所示，∠ABC＝∠ACB，CD⊥AC于C，BE⊥AB于B，AE交BC于点F，且BE＝CD，下列结论不一定正确的是（ ）
A．AB＝AC B．BF＝EF C．AE＝AD D．∠BAE＝∠CAD
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．如图，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC＝80°，∠C＝70°，所以△ABD是 三角形．
12．在△ABC中，若∠B＝∠C＝2∠A，则∠C的度数为 ．
13．已知：如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝6．中线AD＝4．则AC的取值范围是 ．
14．如图，已知DO⊥AB，OA＝OD，OB＝OC，DE＝BE，则∠B的度数是 ．
15．如图，∠A＝∠D，要使△ABC≌△DBC，还需要补充一个条件： （填一个即可）．
16．如图，BP和CP是∠ABC和∠ACB的平分线，∠A＝88°，则∠BPC的度数为 ．
17．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC的中点，连接DE、AE，AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AB＝5，CD＝3，则AD的长为 ．
18．用尺规作图法作已知角∠AOB的平分线的步骤如下：
①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OB于点D，交OA于点E；
②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
③作射线OC．
则射线OC为∠AOB的平分线．
由上述作法可得△OCD≌△OCE的依据是 ．
三．解答题（共5小题，满分46分）
19．（10分）如图，已知∠ABC，求作：
（1）∠ABC的平分线BD（写出作法，并保留作图痕迹）；
（2）在BD上任取一点P，作直线PQ，使PQ⊥AB（不写作法，保留作图痕迹）．
20．（8分）如图，AD是△ABC的高，BE平分∠ABC交AD于点 E．若∠C＝76°，∠BED＝64°．求∠BAC的度数．
21．（8分）如图，AB＝AC，点D，E分别是线段AB，AC的中点，连接BE，CD．求证：∠B＝∠C．
22．（8分）如图，已知AF＝DC，BC∥EF，∠E＝∠B，求证：EF＝BC．
23．（12分）如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，点E，F是垂足，AE＝CF，求证：
（1）△ABF≌△CDE；
（2）AB∥CD．
