北师大版数学八年级下册第一章 三角形的证明线段的垂直平分线第1课时 课件（共14张PPT）

(共14张PPT)
1.3 线段的垂直平分线（一）
用心想一想，马到功成
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置
A
B
线段垂直平分线的性质：
定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．
求证：PA=PB．
N
A
P
B
C
M
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC，PC=PC,
∴△PCA≌△PCB(SAS) ；
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．
用心想一想，马到功成
你能写出上面这个定理的逆命题吗 它是真命题吗
如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
证明：过点P作已知线段AB的垂线PC，PA=PB，PC=PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)．
∴AC=BC，
即P点在AB的垂直平分线上．
C
B
P
A
证法二：取AB的中点C，过P,C作直线．
∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，
∴△APC≌△BPC(SSS)．
∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)．
又∵∠PCA+∠PCB=180°，
∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB
∴P点在AB的垂直平分线上．
C
B
P
A
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
C
B
P
A
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
证法三：过P点作∠APB的角平分线交AB于点C．
∵AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC，
∴△APC≌△BPC(SAS)．
∴AC=BC，∠PCA=∠PCB
又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°
∴P点在线段AB的垂直平分线上．
线段垂直平分线的判定：
定理：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
练一练
已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段BC．
证明：∵ AB = AC，
∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.
你还有其他证明方法吗？
加强应用
在Rt △ABC中， ∠B=90°， ∠A=40°，AC的垂直平分线MN与AB相交于点D，则∠BCD的度数是多少？
A
B
C
D
M
N
分析：由点D在线段AC的垂直平分线上，可以得到
DA=DC，即△DAC是等腰三角形，问题解决.
解： ∵点D在线段AC的垂直平分线上，
∴DA=DC， ∴ ∠DCA= ∠A=40°
∵∠B=90°， ∴ ∠ACB= 90°-∠A=50°
∴∠BCD=∠ACB-∠DCA=50°-40°=10°
方法总结：有线段的垂直平分线时，常利用它的性质定理得到等腰三角形，再利用等腰三角形的性质解决问题.
1．如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC=7cm，那么ED= cm；如果∠ECD=60°，那么∠EDC= .
C
A
D
B
E
补充练习：
已知：△ABC中，边AB、BC的垂直平分线相交于点P．求证：点P在AC的垂直平分线上．
课堂小结, 畅谈收获：
一、线段垂直平分线的性质定理．
二、线段垂直平分线的判定定理．
随堂练习 第1题
习题1.7 1、2、3