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1.1.3 等腰三角形的判定 教案
课题 1.1.3 等腰三角形的判定 单元 第1单元 学科 数学 年级 八年级（下）
学习目标 1.学会证明等角对等边进行等腰三角形的判定;2.体会反证法的含义并会用反证法进行证明.
重点 等腰三角形的判定方法及应用。
难点 探索证明等腰三角形判定定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题 在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？在前两节课，我们学习了等腰三角形的相关性质. 怎样的一个三角形才是等腰三角形呢？前面我们学习了等腰三角形的两底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形.已知：如图，在△ABC 中， ∠B= ∠C.求证：AB=AC . 证明： 作AD⊥BC于点D，∴ ∠ADB= ∠ADC=90°.又∵ ∠B= ∠C ， AD=AD，∴ △ABD≌△ACD.∴ AB=AC. 思考自议学生自主探究三角形成为等腰三角形的条件,并交流汇报各自的结论,教师适时要求学生给出相对规范的证明,概括出等腰三角形的判别条件。 教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上,直接提出问题:如何判别一个三角形是等腰三角形呢 从而引入新课。
讲授新课 提炼概念【总结归纳】等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.简述为：“等角对等边”应用格式：在△ABC中，∵∠B=∠C, ∴AB=AC(等角对等边). 三、典例精讲【例2】已知：如图，AB= DC，BD=CA. BD与CA相交于点E.求证：△AED 是等腰三角形.证明： ∵ AB=DC， BD=CA， AD=DA， ∴ △ABD≌△DCA（SSS），∴ ∠ADB= ∠DAC（全等三角形的对应角相等） .∴ AE=DE （等角对等边）.∴ △AED 是等腰三角形.【想一想】在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等. 你能证明这个结论吗？在△ABC 中， 如果 ∠B≠∠C，那么AB≠AC.证明：在△ABC 中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等.假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠B=∠C，这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC.证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.你能总结反证法的证明步骤吗？反证法的证明步骤：（1）反设：假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立.（2）归谬：从这个命题出发，经过推理证明得出矛盾.（3）结论：由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确.【例3】 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知：△ABC.求证：∠A，∠B，∠C 中不能有两个角是直角.证明： 假设∠A，∠B， ∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°， 则∠A+∠B +∠C=90 °+90°+∠C=180 °+∠C >180°.这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A=∠B=90°不成立.所以一个三角形中不能有两个角是直角.【总结归纳】适宜用反证法证明的命题：反证法主要用于直接证明比较困难的命题，例如下面几种常见类型的命题就适宜用反证法：(1)结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不能有两个钝角；(2)唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点；(3)命题的结论以“至多”“至少”等形式叙述的命题，如一个凸多边形中至多有3个锐角． 能运用该法则准确进行有理数的加法运算.总结回顾学习内容，帮助学生归纳.巩固学生的所学知识，总结反思。 培养学生应用所学知识解决问题的能力与意识，鼓励创新与多角度多方法思考问题，活跃学生的思维，发展创造性.
课堂检测 四、巩固训练 1.如图,已知△ABC,点D,E分别在边AC,AB上,∠ABD=∠ACE,下列条件中,不能判定△ABC是等腰三角形的是( )A.AE=AD B.BD=CE C.∠ECB=∠DBC D.∠BEC=∠CDBD2.如图,在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=72°,∠ACB=∠DBC=36°,则图中等腰三角形的个数是 ( )A.2 B.3 C.4 D.5D3.用反证法证明“a>b”时,应假设 ( ) A. a课堂小结 本节课你学到了什么？1.等腰三角形的判定是把角相等转化为边相等，但前提是在同一个三角形内．2．利用反证法解题的一般步骤： (1)假设；(2)归谬：从假设出发，经过推理论证得出与已知、定理、公理等相矛盾的结果；(3)结论：肯定命题结论正确.
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北师大版 八年级下
1.1.3 等腰三角形的判定
情境引入
在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？
A
B
C
A
在前两节课，我们学习了等腰三角形的相关性质.
怎样的一个三角形才是等腰三角形呢？
前面我们学习了等腰三角形的两底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
合作学习
导入新课
证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
已知：如图，在△ABC 中， ∠B= ∠C.
求证：AB=AC .
证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
已知：如图，在△ABC 中， ∠B= ∠C.
求证：AB=AC .
D
提炼概念
【总结归纳】
等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
简述为：“等角对等边”
应用格式：
∴AB=AC(等角对等边).
在△ABC中，∵∠B=∠C,
要判定一个三角形是等腰三角形，除用定义外，还可以用判定定理判定.
【总结归纳】
只要发现一个三角形中有两个角相等，可断定这个三角形是等腰三角形.
典例精讲
证明： ∵ AB=DC， BD=CA， AD=DA，
∴ △ABD≌△DCA（SSS），
∴ ∠ADB= ∠DAC（全等三角形的对应角相等） .
∴ AE=DE （等角对等边）.
∴ △AED 是等腰三角形.
【例2】已知：如图，AB= DC，BD=CA. BD与CA相交于点E.
求证：△AED 是等腰三角形.
【想一想】在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等. 你能证明这个结论吗？
证明：在△ABC 中，
已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等.
假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠B=∠C，这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC.
在△ABC 中， 如果 ∠B≠∠C，那么AB≠AC.
证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.
【总结归纳】
你能总结反证法的证明步骤吗？
（1）反设：假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立.
（2）归谬：从这个命题出发，经过推理证明得出矛盾.
（3）结论：由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确.
反证法的证明步骤：
证明： 假设∠A，∠B， ∠C 中有两个角是直角，
不妨设∠A=∠B=90°，
则∠A+∠B +∠C=90 °+90°+∠C=180 °+∠C >180°.
这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A=∠B=90°不成立.
所以一个三角形中不能有两个角是直角.
【例3】 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC.
求证：∠A，∠B，∠C 中不能有两个角是直角.
归纳概念
【总结归纳】适宜用反证法证明的命题：
反证法主要用于直接证明比较困难的命题，例如下面几种常见类型的命题就适宜用反证法：
(1)结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不能有两个钝角；
(2)唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点；
(3)命题的结论以“至多”“至少”等形式叙述的命题，如一个凸多边形中至多有3个锐角．
课堂练习
1.如图,已知△ABC,点D,E分别在边AC,AB上,∠ABD=∠ACE,
下列条件中,不能判定△ABC是等腰三角形的是( )
A.AE=AD B.BD=CE
C.∠ECB=∠DBC D.∠BEC=∠CDB
D
2.如图,在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=72°,∠ACB=
∠DBC=36°,则图中等腰三角形的个数是 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
D
4.用反证法证明命题“四边形的四个内角中至少有一个角大于等于90°”,我们应该假设 ( )
A.四个角都小于90°
B.最多有一个角大于或等于90°
C.有两个角小于90°
D.四个角都大于或等于90°
B
A
3.用反证法证明“a>b”时,应假设 ( )
A. a5.如图所示，∠ABC和∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E.求证：BD＋EC＝DE.
证明：∵BF平分∠ABC，∴∠1＝∠2，
又DE∥BC，∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴DB＝DF（等角对等边），
同理可得：EC＝EF，
∵DF＋EF＝DE，
∴BD＋EC＝DE.
6.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC． 求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角．
【分析】按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“∠A,∠B,∠C中有两个角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾．
证明：假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．
这与三角形内角和定理矛盾，∠A=∠B=90°不成立．
所以一个三角形中不能有两个角是直角．
课堂总结
等腰三角形的判定
等角对等边
反证法
如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形.
先假设结论不成立，然后推导与已知定理相矛盾的结果，从而证明原命题成立.
作业布置
教材课后配套作业题。
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1.1.3 等腰三角形的判定 学案
课题 1.1.3 等腰三角形的判定 单元 第1单元 学科 数学 年级 八年级下册
学习目标 1.学会证明等角对等边进行等腰三角形的判定;2.体会反证法的含义并会用反证法进行证明.
重点 等腰三角形的判定方法及应用。
难点 探索证明等腰三角形判定定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法.
教学过程
导入新课 【引入思考】 在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？怎样的一个三角形才是等腰三角形呢？前面我们学习了等腰三角形的两底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形.已知：如图，在△ABC 中， ∠B= ∠C.求证：AB=AC .
新知讲解 提炼概念【总结归纳】等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.简述为：“等角对等边”应用格式：在△ABC中，∵∠B=∠C, ∴AB=AC(等角对等边). 典例精讲 【例2】已知：如图，AB= DC，BD=CA. BD与CA相交于点E.求证：△AED 是等腰三角形. 【想一想】在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等. 你能证明这个结论吗？在△ABC 中， 如果 ∠B≠∠C，那么AB≠AC.证明时，先假设命题的结论不成立， 称为反证法.你能总结反证法的证明步骤吗？【例3】 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知：△ABC.求证：∠A，∠B，∠C 中不能有两个角是直角.
课堂练习 巩固训练 1.如图,已知△ABC,点D,E分别在边AC,AB上,∠ABD=∠ACE,下列条件中,不能判定△ABC是等腰三角形的是( )A.AE=AD B.BD=CE C.∠ECB=∠DBC D.∠BEC=∠CDB2.如图,在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=72°,∠ACB=∠DBC=36°,则图中等腰三角形的个数是 ( )A.2 B.3 C.4 D.53.用反证法证明“a>b”时,应假设 ( ) A. a180°.这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A=∠B=90°不成立.所以一个三角形中不能有两个角是直角.巩固训练 1.D2.D3.B4.A5.证明：∵BF平分∠ABC，∴∠1＝∠2，又DE∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴DB＝DF（等角对等边），同理可得：EC＝EF，∵DF＋EF＝DE，∴BD＋EC＝DE.6.证明：假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．这与三角形内角和定理矛盾，∠A=∠B=90°不成立．所以一个三角形中不能有两个角是直角．
课堂小结 本节课你学到了什么？1.等腰三角形的判定是把角相等转化为边相等，但前提是在同一个三角形内．2．利用反证法解题的一般步骤： (1)假设；(2)归谬：从假设出发，经过推理论证得出与已知、定理、公理等相矛盾的结果；(3)结论：肯定命题结论正确.
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