山东省济宁市邹城一中2012-2013学年高二上学期期末模拟 数学文

邹城一中2012—2013学年高二上学期期末模拟试题
数学（文）
一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知命题 ，，则（ ）
A.， B.，
C.， Ｄ. ，
2.某物体的位移（米）与时间（秒）的关系是,则物体在秒时的瞬时速度为（ ）
A. m/s B. m/s C. m/s D. m/s
3．已知定点A、B，且，动点P满足，则点的轨迹为（ ）
A. 双曲线 B. 双曲线一支 C.两条射线 D. 一条射线
4．抛物线 的准线方程是（***）
A.4 x + 1 = 0 Ｂ.4 y + 1 = 0 Ｃ.2 x + 1 = 0 Ｄ.2 y + 1 = 0
5．若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，若，则有实根，则（ ）
A.为真 B.为真 C.为真 Ｄ.为假
6.设函数，则（ ）
A. 为的极大值点 B.为的极小值点
C. 为的极大值点 D. 为的极小值点
7.已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则（ ）
A． B. C. D.
8.以下有四种说法，其中正确说法的个数为：
（1）命题“若”，则“”的逆命题是真命题
（2）“”是“”的充要条件；
（3） “”是“”的必要不充分条件；
（4）“”是“”的必要不充分条件.
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
9.曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
10.双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11.已知数列满足记，如果对任意的正整数，都有，则实数的最大值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
12．函数的图象与方程的曲线有着密切的联系，如把抛物线的图象绕原点沿逆时针方向旋转就得到函数的图象.若把双曲线绕原点按逆时针方向旋转一定角度后，能得到某一个函数的图象，则旋转角可以是（ ）
A．　　 B．　 C．　 D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡相应的位置）
13. 双曲线：的渐近线方程是___________
14． 等比数列的前三项为，，，则
15．已知点P(x,y)满足： ，则可取得的最大值为 ．
16. 已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围是_______
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17. (本小题满分10分)
已知椭圆的顶点与双曲线的焦点重合，它们的离心率之和为，若椭圆的焦点在轴上，求椭圆的方程.
18.(本小题满分12分)
求下列各曲线的标准方程
(1)实轴长为12，离心率为，焦点在x轴上的椭圆；
(2)抛物线的焦点是双曲线的左顶点.
19. (本小题满分12分)
某工厂生产一种产品，已知该产品的月产量x吨与每吨产品的价格（元）之间的关系为，且生产吨的成本为（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润＝收入－成本）
20．（本小题满分12分）
已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，点为坐标原点.
（1）证明：为钝角.
（2）若的面积为，求直线的方程;
21. (本小题满分12分)
如图，有一边长为2米的正方形钢板缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线是以直线为对称轴，以线段的中点为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．
（1）请建立适当的直角坐标系，求阴影部分的边缘线的方程;
（2）如何画出切割路径，使得剩余部分即直角梯形的面积最大？
并求其最大值．
22. (本小题满分12分)
如图，设、分别是圆和椭圆的弦，且弦的端点在轴的异侧，端点与、与的横坐标分别相等，纵坐标分别同号.
（1）若弦所在直线斜率为，且弦的中点的横坐标为，求直线的方程；
（2）若弦过定点，试探究弦是否也必过某个定点. 若有，请证明；若没有，请说明理由.
参考答案：
1.B 2.C 3.B 4.B 5.A6.D 7. B 8.A 9.B 10.C 11.A 12.C
13. 14. 15. ３／２ 16.
17.解：设所求椭圆方程为，其离心率为，焦距为2，双曲线的焦距为2，离心率为，（2分），则有： ，＝4 （4分）
∴ （6分）
∴，即 ① 又＝4 ② ③ （8分）
由①、 ②、③可得
∴ 所求椭圆方程为
18 .解：（1）设椭圆的标准方程为
由已知，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由已知，双曲线的标准方程为，其左顶点为
设抛物线的标准方程为， 其焦点坐标为，
则 即 所以抛物线的标准方程为.
19.解：设每月生产吨时的利润为，则有

＝ （）
则
由 得，（舍去）
因在内只有一个点使得，故它就是最大值点
最大值为＝=3150000 （元）
20.解：(1)依题意设直线的方程为：（必存在）
，设直线与抛物线的交点坐标为，则有，依向量的数量积定义，即证为钝角
(2) 由（I）可知: ,,
,,
直线方程为
21. 解：(1)以为原点，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意
可设抛物线弧的方程为
∵点的坐标为， ∴，
故边缘线的方程为.
(2)要使梯形的面积最大，则所在的直线必与抛物线弧相切，设切点坐标为， ∵，
∴直线的的方程可表示为，即 ， 由此可求得，.
， ，
设梯形的面积为，则
. ∴当时，
故的最大值为. 此时.
答：当时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为.
22． 解：（1）由题意得：直线的方程为
，，设
，将代入检验符合题意，
故满足题意的直线方程为：
（2）解法一：由（Ⅰ）得：圆的方程为：分
设、、、，
∵点在圆上， ∴，………①
∵点在椭圆上， ∴，………②
联立方程①②解得：，同理解得：
∴、 ∵弦过定点，
∴且，即，
化简得
直线的方程为：，即，
由得直线的方程为：，
∴弦必过定点.
解法二：由（Ⅰ）得：圆的方程为：
设、，
∵圆上的每一点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍可得到椭圆，
又端点与、与的横坐标分别相等，纵坐标分别同号，
∴、
由弦过定点，猜想弦过定点.
∵弦过定点，∴且，即……① ,,
由①得，
∴弦必过定点.