山东省济宁市邹城一中2012-2013学年高二上学期期末模拟 数学理

邹城一中2012—2013学年高二上学期期末模拟试题
数学（理）
一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知集合，, 则
A． B． C． D．
2.如图1，四面体ABCD中，点E是CD的中点，
记，，，则=
A．+ B．++
C．+ D．++
3.直线与双曲线仅有一个公共点，则实数的值为
A．1 B．-1 C．1或-1 D . 1或-1或0
4.已知等比数列中，各项都是正数，且3，成等差数列，则
A．1 B． C．3 D．
5.在△中，，，，在线段上任取一点，使△为钝角三角形的概率为
A． B． C． D．
6.对于方程（）的曲线C，下列说法错误的是
A．时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆 B．时，曲线C是圆
C．时，曲线C是双曲线 D．时，曲线C是椭圆
7.设抛物线的焦点为F，准线为,P为抛物线上一点,PA⊥,A为垂足．如果直线AF的斜率为,那么|PF|等于
A． B. 8 C. D. 4
8.已知、是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使，则
A. B. C. D.
9.设点是以为左、右焦点的双曲线左支上一点，且满足，则此双曲线的离心率为 （ 　 ）
A． B． C． D．
10.椭圆+＝1(a>b>0)的离心率是，则的最小值为（ ）
A．　　　B．1　　　C．　　　D．2
11．如图，椭圆的四个顶点构成
的四边形为菱形，若菱形的内切圆恰好过焦点，则椭圆
的离心率是
A． B． C． D．
12．双曲线的实轴长和焦距分别为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题有6小题，每小题5分，共30分.
13.某学习小组进行课外研究性学习，为了测量不能
到达的A、B两地，他们测得C、D两地的直线
距离为，并用仪器测得相关角度大小如图所
示，则A、B两地的距离大约等于
（提供数据：，结果保留两个有效数字）
14.设等差数列的前项和为，若则 .
15.已知点P及抛物线，Q是抛物线上的动点，则的最小值为 ．
16.关于双曲线，有以下说法：①实轴长为6；②双曲线的离心率是；
③焦点坐标为；④渐近线方程是，⑤焦点到渐近线的距离等于3.
正确的说法是 .（把所有正确的说法序号都填上）
三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分10分）
已知椭圆的顶点与双曲线的焦点重合，它们的离心率之和为，若椭圆的焦点在轴上，求椭圆的方程.
18.（本小题满分12分）
二次函数.
（1）若对任意有恒成立，求实数的取值范围；
（2）讨论函数在区间上的单调性；
（3）若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围.
19．（本小题满分12分）
在如图的多面体中，⊥平面，,，，，，，是的中点．
(1) 求证：平面；
(2) 求二面角的余弦值.
20．（本小题满分12分）
已知抛物线与直线交于两点.
(1)求弦的长度；
(2)若点在抛物线上，且的面积为，求点P的坐标.
21．(本小题满分12分)
已知双曲线C与椭圆有相同的焦点，实半轴长为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线有两个不同的交点和,且
(其中为原点),求的取值范围.
22．(本小题满分12分)
如图，在平行四边形中，，将它们沿对角线折起，折后的点变为，且．(1)求证：平面平面；
(2)为线段上的一个动点，当线段的
长为多少时,与平面所成的角为？
参考答案:
1-5 ABCCB 6-10 DBBDA 11-12 CC
13. 14. 1
15. 16.②④⑤
17.解：设所求椭圆方程为，其离心率为，焦距为2，双曲线的焦距为2，离心率为，，则有：
，＝4
∴
∴，即 ①
又＝4 ②
③
由①、 ②、③可得
∴ 所求椭圆方程为
18. 解：（1）对任意恒成立
…………2分 解得的范围是
（2），其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为，
讨论：①当即时，在区间上单调递增；
②当即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；
③当即时，在区间上单调递增.
（3）由题知，
，， 由（2），
或或
解得
19．解: (1)证法一：∵， ∴.
又∵,是的中点， ∴，
∴四边形是平行四边形， ∴ .
∵平面，平面， ∴平面.
证法二：∵平面，平面，平面，
∴，，又,∴两两垂直.
以点E为坐标原点，分别为轴建立如图的空间
直角坐标系.由已知得，（0，0，2），（2，0，0），
（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2），（2，2，0）
,
设平面的法向量为
则，即，令,得.
∴，即.
∵平面, ∴平面.
(2)由已知得是平面的法向量.
设平面的法向量为，∵，
∴，即，令,得.
则， ∴二面角的余弦值为
20．解：(1)设A（x1,y1)、B(x2,y2),
由得x2-5x+4=0,Δ>0.
法一：又由韦达定理有x1+x2=5,x1x2=,
∴|AB|= =
法二：解方程得：x=1或4，∴A、B两点的坐标为（1,-2)、（4,4）
∴|AB|=
(2)设点,设点P到AB的距离为d,则
,∴S△PAB=··=12，
∴. ∴，解得或
∴P点为（9，6）或（4，-4）.
21．解：(1)设双曲线的方程为,,,
故双曲线方程为.
(2)将代入得
由得且
设,则由得
=
,得
又，,即
22． (1)
又，
∴平面平面
（2）在平面过点B作直线,分别直线为x，y，z建立空间直角坐标系B-xyz
则A(0,0,1)，C1(1,,0)，D(0, ,0)
∴
设，则 ∴
又是平面BC1D的一个法向量
依题意得，即
解得，即时，与平面所成的角为．