初中数学湘教版九年级下册第一章 二次函数 单元测试（基础练）
一、单选题
1．（2020九上·成都月考）下列函数关系式中，一定是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】A、是一次函数函数，故不符合题意；
B、当 时，该函数为一次函数，故不符合题意；
C、是反比例函数，故不符合题意；
D、是二次函数，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】二次函数的一般形式： y=ax +bx+c（a≠0) ，再根据二次函数的定义对每个选项一一判断求解即可。
2．（2019九上·天台月考）若y=（a+2）x2-3x+2是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠-2
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得： a+2 ≠0，则a≠-2，
故答案为：D.
【分析】二次函数的二次项系数要不等于0，据此列式求出a的范围即可.
3．（2020九上·拱墅月考）已知二次函数 图象上部分点的坐标 的对应值如表所示：
x … 0 4 …
y … 0.37 -1 0.37 …
则方程 的根是（ ）.
A．0或4 B． 或 C． 或 D．无实根
【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】由图象可知，对称轴为直线 .
.
.
，
.
.
即 时，
由表可知 .
∵对称轴为 .
∵另一个解 .
的根是 .
故答案为：B.
【分析】根据抛物线经过点（0，0.37）可求得c＝0.37，由抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线经过点（， 1），由于方程ax2＋bx＋1.37＝0变形为ax2＋bx＋0.37＝ 1，则方程ax2＋bx＋1.37＝0的根则为函数值为 1所对应的自变量的值.
4．（2020九上·利辛期中）抛物线y＝－3x2+2x－1的图象与坐标轴的交点个数是 （ ）
A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：根据题意可得：△=4－4×(－3)×(－1)=4－12=－8<0，
则抛物线与x轴没有交点，与y轴的交点坐标为(0，－1)，
即抛物线与坐标轴有一个交点．
故答案为：B．
【分析】根据根的判别式判断二次函数与坐标轴的交点个数即可。
5．（2021九上·紫阳期末）若抛物线 与x轴两个交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线.已知某定弦抛物线的对称轴为直线 ，将此抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的新抛物线经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=2，图像与x轴两个交点间的距离为4，
∴设其与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0），
∴抛物线的解析式为y=x(x-4)=x2-4x=(x-2)2-4，将其向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的新抛物线的解析式为：y=(x+2-2)2-4+3=x2-1，当x=1时，y=0，
∴新抛物线过点（1，0）.
故答案为：C.
【分析】首先根据抛物线的对称轴以及图像与x轴两交点之间的距离可设出抛物线的图像与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0），然后表示出其解析式，根据平移时坐标的变化表示出新抛物线的解析式，最后将x=1代入，求出对应的y值，据此可得新抛物线经过的点的坐标.
6．（2021九上·嘉兴期末）二次函数y = ax2-2x-3（a<0）的图象一定不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a＜0，b=-2＜0
∴抛物线的开口向下，对称轴在y轴的左侧，
∵c=-3＜0
∴抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴抛物线经过第二，三，四象限，不经过第一象限.
故答案为：A.
【分析】利用a，b同号，根据左同右异，可得到抛物线的对称轴在y轴的左侧且开口向下，再根据c＜0可得到抛物线与y轴的交点在x轴的下方，由此可得答案。
7．（2020九上·温州期末）已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值 1.5，有最小值﹣2.5 B．有最大值 2，有最小值 1.5
C．有最大值 2，有最小值﹣2 5 D．有最大值 2，无最小值
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：看图象可知，在 0≤x≤4范围内，最大值为2，最小值为-2.5.
故答案为：C.
【分析】看图象获取信息，找出自变量的取值范围内，找出图象的最高点和最低点即可得出函数的最大值和最小值.
8．（2021九上·韩城期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：
①abc＜0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＞0；④点（﹣3，y1），（1，y2）都在抛物线上，则有y1＞y2.其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：抛物线开口向上，则a＞0，对称轴在y则的左侧，则b＞0，交y轴的负半轴则c＜0，
∴abc＜0，故①正确，
∵﹣ ＞﹣1，a＞0，b＞0，
∴b＜2a，
∴2a﹣b＞0，故②错误，
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故③正确，
∵点（﹣3，y1），（1，y2）都在抛物线上，
观察图象可知y1＞y2，故④正确.
故答案为：B.
【分析】①观察图象，根据抛物线开口向上可得a＞0，对称轴在y则的左侧可得b＞0，抛物线交y轴的负半轴可得c＜0，再根据多个有理数相乘的符号法则可求解；
②观察图象可得，-＞-1可求解；
③观察图象并结合不等式可知，把x=-2代入二次函数的解析式可得4a﹣2b+c＞0；
④把x=-3和x=1代入解析式计算即可判断其解.
9．（2021九上·朝阳期末）直线y＝bx+c与抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）在同一坐标系中大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：选项A中，由一次函数的图象可知b＜0，c＞0，由二次函数的图象可知a＜0，b＞0，c＞0，故答案为：A不符合题意；
选项B中，由一次函数的图象可知b＜0，c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，b＜0，c＞0，故答案为：B符合题意；
选项C中，由一次函数的图象可知b＜0，c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，b＜0，c＜0，故答案为：D不符合题意；
选项D中，由一次函数的图象可知b＞0，c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，b＜0，c＞0，故答案为：C不符合题意；
故答案为：B.
【分析】A、由抛物线的开口向下可知a＜0，与已知条件a＞0矛盾；
B、由直线过二、四象限可知b＜0，直线交于y轴正半轴可知c＞0；由抛物线的对称轴在y轴右侧可知a、b异号，结合已知可得b＜0，抛物线交于y轴正半轴可知c＞0；符合题意；
C、由直线过二、四象限可知b＜0，直线交于y轴正半轴可知c＞0；由抛物线的对称轴在y轴右侧可知a、b异号，结合已知可得b＜0，抛物线交于y轴负半轴可知c＜0；矛盾；
D、由直线过一、三象限可知b＞0，直线交于y轴正半轴可知c＞0；由抛物线的对称轴在y轴右侧可知a、b异号，结合已知可得b＜0，抛物线交于y轴正半轴可知c＞0；矛盾.
10．（2019九上·海淀月考）已知二次函数的图象经过P（2，2），顶点为O（0，0），将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝ x2 B．y＝ （x﹣2）2
C．y＝ （x﹣4）2 D．y＝ （x﹣2）2+2
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平移的性质
【解析】【解答】设原来的抛物线解析式为：y＝ax2（a≠0）．
把P（2，2）代入，得2＝4a，
解得a＝ ．
故原来的抛物线解析式是：y＝ x2．
设平移后的抛物线解析式为：y＝ （x﹣b）2．
把P（2，2）代入，得2＝ （2﹣b）2．
解得b＝0（舍去）或b＝4．
所以平移后抛物线的解析式是：y＝ （x﹣4）2．
故答案为：C．
【分析】设原来的抛物线解析式为：y＝ax2．利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点P的坐标代入即可．
11．（2020九上·厦门期中）关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴在 轴的右侧
B．图象与 轴的交点坐标为
C．图象与 轴的交点坐标为 和
D． 的最小值为－9
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】∵
∴抛物线的对称轴为直线：x=-1，在y轴的左侧，A不符合题意；
令x=0，则y=-8，所以图象与 轴的交点坐标为 ，B不符合题意；
令y=0，则 ，解得x1=2，x2=-4，图象与 轴的交点坐标为 和 ，C不符合题意；
∵ ，a=1＞0，所以函数有最小值-9，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】先把抛物线的解析式化成顶点式，再根据二次函数的性质逐个判断即可．
12．（2020九上·杭州月考）某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线状，一条水流的高度 与水流时间 之间的解析式为 ，那么水流从抛出至落到地面所需要的时间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：在h＝30t 5t2中，令h＝0可得30t 5t2＝0，
解得：t＝0或t＝6，
所以水流从抛出至落到地面所需要的时间是6s，
故答案为：B.
【分析】求出解析中h＝0时t的值即可得.
二、填空题
13．（2020九上·齐齐哈尔月考）若 是二次函数，则m= ，其中自变量x的取值范围是 ．
【答案】3；全体实数
【知识点】函数自变量的取值范围；二次函数的定义
【解析】【解答】解： 函数 是二次函数，
，
解得： ，
即函数为 ，
∴自变量x的取值范围是全体实数．
故答案为：3；全体实数．
【分析】一般地，形如 、b、c是常数， 的函数，叫做二次函数，利用二次函数的定义分析即可求出m的取值，再由代数式的有意义可得自变量x的取值范围．
14．（2021九上·仙居期末）已知二次函数 的图象上有 ， ， 三个点.用“＜”连接 ， ， 的结果是 .
【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：二次函数 的对称轴为 ，开口向下，
∴距离对称轴越远的点，y值越小，
∵ ， ， ，
∴A点距离对称轴有 个单位，B点距离对称轴有1个单位，C点距离对称轴有2个单位， A点距离最远，B点距离最近，
∴ .
故答案为： .
【分析】根据二次函数的解析式可知抛物线的对称轴是x=1，a=-1＜0，则抛物线的开口向下，根据二次函数的性质和各点的横坐标即可判断求解.
15．（2020九上·巩义月考）如图，把抛物线y=-x2+2向右平移1个单位长度，则曲线AB扫过的面积（图中阴影部分）是 .
【答案】2
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：如图所示，连接AB，CD
∵抛物线y=-x2+2向右平移1个单位长度，则曲线AB扫过的面积即为图中平行四边形ABCD的面积.
∵y=-x2+2，
∴点A的坐标为（0，2），即平行四边形的高为2.
∵平移1个单位长度，即平行四边形的底为1.
∴1×2＝2.
故答案为：2.
【分析】如图连接AB，CD，由平移的性质可知曲线AB扫过的面积即为图中平行四边形ABCD的面积，根据S平行四边形=底×高即可求得平行四边形的面积即可求解.
16．（2020九上·丰台期中）写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②与 轴交于点 ，这个二次函数的解析式可以是 ．
【答案】y=-x2-3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c．
∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，-3），
∴c=-3．
取a=-1，b=0时，二次函数的解析式为y=-x2-3．
故答案为：y=-x2-3（答案不唯一）．
【分析】根据二次函数的图象、性质与其系数的关系，再用待定系数法求解二次函数表达式即可。
17．（2021九上·嘉兴期末）已知抛物线y = ax2+bx-2 （a≠0）的顶点在第三象限，且过点（1， 0），若a-b的值为整数，则b的值为 .
【答案】 或1或
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y = ax2+bx-2 （a≠0）的顶点在第三象限，且过点（1， 0），
∴抛物线的开口向上，对称轴在y轴的右侧，
∴a＞0
∴b＜0
当x=1时y=0
∴a+b-2=0
∴a=2-b＞0
∴b＜2，
∵0＜b＜2
∴a-b=2-b-b=2-2b
∴-4＜-2b＜0
∴-2＜2-2b＜2
∵a-b为整数即2-2b为整数，
∴2-2b=-1或0或1
解之：b=或1或.
故答案为：或1或.
【分析】利用已知可得到抛物线的开口向上，对称轴在y轴的右侧，由此可得到a，b的取值范围，由点（1，0），可得到0＜b＜2，就可推出-4＜-2b＜0；再得到a-b=2-b-b=2-2b，由此可推出-2＜2-2b＜2；然后根据a-b为整数，可得到2-2b的整数值为-1，0，1，求出方程的解，即可得到b的值。
18．（2020九上·新昌期中）如图，小滕用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围成了一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2m宽的小门（不用铁栅栏），小滕共用了铁栅栏40米，则矩形ABCD的面积的最大值为 m2.
【答案】242
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形ABCD的面积为S平方米，AD=BC=x米，则AB= 米，由题意得：
S＝ ＝ ＝
∴当x＝11时，S最大=242.
故答案为：242.
【分析】设矩形ABCD的面积为S平方米，AD=BC=x米，由长方形的面积等于长乘以宽，列式化简可得S关于x的二次函数，将二次函数写成顶点式，即可得答案.
三、解答题
19．（2020九上·松江月考）抛物线 上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
求这个二次函数的表达式，并利用配方法求出此抛物线的对称轴、顶点坐标
【答案】解：由表得，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，6），
∴c=6，
∵抛物线y=ax2+bx+6过点（-1，4）和（1，6），
∴ ，
解得： ，
∴二次函数的表达式为：y=-x2+x+6；
∴抛物线的对称轴方程为直线x= ，
∵当x= 时，y= ，
∴抛物线的顶点坐标为（ ， ）；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】根据题意，利用待定系数法，计算得到二次函数的解析式，求出答案即可。
20．（2019·凉山）已知二次函数
的图象与x轴交于
两点，且
，求a的值．
【答案】解： 的图象与x轴交于 两点，
或
由函数与x周有两个交点可知
对x2+x+a=0
△=1-4a＞0
即a＜
∴
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，可得x 1+x 2=-1，x1·x2=a，将 等式左边通分变形，然后整体代入，建立关于a的方程，求出a值即可.
21．（2020九上·巩义月考）已知二次函数 .
（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围；
（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式.
【答案】（1）解：二次函数的顶点坐标为：x= =-1，y= =2，
当x=0时，y= ，
当y=0时，x=1或x=-3，
图象如图：
（2）解：据图可知：当y＜0时，x＜-3，或x＞1；
（3）解：y=- x2-x+ =- （x+1）2+2
根据二次函数图象移动特点，
∴此图象沿x轴向右平移3个单位，平移后图象所对应的函数关系式：y=- （x-2）2+2.
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）根据函数解析式确定图象顶点坐标及图象与x、y轴交点坐标即可画出图象;
（2） 当y＜0时，x的取值范围 ,根据图象就是求x轴下方图象自变量的取值范围；
（3）根据图象平移“左加右减、上加下减”特点即可写出函数解析式.
22．（2020九上·北京月考）已知二次函数
（1）将 化成 的形式
（2）求出该二次函数的对称轴和顶点坐标
（3）当自变量x由5增大到8时，函数值y是怎样变化的
【答案】（1） ，
即
（2）由 可知，二次函数的对称轴为 ，顶点坐标为
（3）当 时， ，
当 时， ，
故当自变量x由5增大到8时，函数值y由8增大到35．
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）利用配方法即可得；（2）根据（1）的结论即可得出答案；（3）分别求出 和 时的函数值，再进行比较即可得．
23．（2019·邹平模拟）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式 ，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．
（1）当a=- 时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．
（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为 m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．
【答案】（1）解：①当a=- 时，y=- （x-4）2+h，
将点P（0，1）代入，得：- ×16+h=1，
解得：h= ；
②把x=5代入y=- （x-4）2+ ，得：y=- ×（5-4）2+ =1.625，
∵1.625＞1.55，
∴此球能过网；
（2）把（0，1）、（7， ）代入y=a（x-4）2+h，得：
，
解得： ，
∴a=- ．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）①将 a=- 及 P（0，1） 代入函数解析式中，求出h即可；②把x=5代入①中解析式中，求出y值，然后与1.55比较即可.
（2）利用待定系数法将（0，1）、（7， ） 代入抛物线解析式中，求出a、h即可.
24．（2020九上·路南期中）在平面直角坐标系 中，抛物线 与x轴交于点A、B．
（1）①求m的取值范围；
②当抛物线经过原点时，求抛物线的解析式；
③求抛物线的顶点坐标；
（2）若线段 上有且只有5个点的横坐标为整数，求m的取值范围；
（3）若抛物线在 这一段位于x轴下方，在 这一段位于x轴上方，求m的值．
【答案】（1）解：①∵抛物线 与 轴交于点 、 ，
∴ ，
即 ；
②把 代入 ，得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
③ ，
∴抛物线的顶点坐标为 ；
（2）解：∵抛物线 的对称轴为 ，
∵线段 在x轴上，有且只有5个点的横坐标为整数，
这些整数为 ，0，1，2，3，
∴当 时， ，当 时， ，
， ； ， ；
∴ ；
（3）解：∵抛物线 的对称轴为 ，
在 位于x轴上方，∴在 也位于x轴上方，
∵抛物线在 位于x轴下方，
∴ 时， ，
即 ，∴ ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据抛物线与 x 轴两个交点， 即可求解；
（2）用配方法将解析式配成顶点式即可作答；
（3）先判断出x=3时，y ；x=4时，y ；解不等式，即可求解；
（4）先判断出抛物线在 位于x轴上方，结合 位于x轴下方，得出x=3时，y=0，即可求解。
25．（2020九上·滨海期中）某旅行社为吸引市民组团去某新开发的风景区旅游，推出了如下收费标准：如果旅游团人数不超过25人，人均旅游费用为1000元；如果旅游团人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元．设旅游团人数为 人．
（1）写出支付给旅行社费用 y （单位：元）关于 x 的函数关系式；
（2）某单位组织员工组团去此风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少人去旅游？
【答案】（1）当 时， ；
当 时， ，即 ．
综上：当 时， ；当 时， ；
（2）因为 ，所以该单位组团旅游人数超过了25人．
解方程 ，
得： ， ．
因为当 时，人均旅游费用为： ，不合题意．
答：该单位共有45人去旅游．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据旅游团人数分别写出不足25人和超过25人的函数关系式；
（2）首先判断出旅游团人数是否大于25人，再根据求出的函数关系式列出对应的方程求解．
26．（2020九上·达拉特旗月考）如图，有长为23m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为 ）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，并且预留两个各0.5m的门，设花圃的宽AB为x ，面积为 ．
（1）求S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）如果要围成面积为 的花圃，AB的长是多少米？
（3）能围成面积为51m2的花圃吗？若能，请说明围法；若不能请说明理由．
【答案】（1）解：由题可知，花圃的宽AB为x米，则
∴ =x（24-3x）=-3x2+24x，
又
∴
∴ ，
所以，S与x的函数关系式是S=-3x2+24x，自变量x的取值范围是 ；
（2）解：当S=45时，-3x2+24x=45，
解得：x1=3，x2=5，
∵ ，故舍去x=3，
∴x=5，
答：如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是5米；
（3）解：不能，理由：
假设能围成面积是51m2的花圃，
则-3x2+24x=51，3x2-24x+51=0，
△=242-4×3×51=-36＜0，故方程无实根，
故不能围成面积是51m2的花圃．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）可先用篱笆的长表示出BC的长，然后根据矩形的面积=长×宽，得出S和x的函数关系式；（2）根据（1）的函数关系式，将S=45代入其中，求出x的值即可；（3）假设能围成面积是51 m2 的花圃，根据（1）的表达式列出方程求解即可。
1 / 1初中数学湘教版九年级下册第一章 二次函数 单元测试（基础练）
一、单选题
1．（2020九上·成都月考）下列函数关系式中，一定是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019九上·天台月考）若y=（a+2）x2-3x+2是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠-2
3．（2020九上·拱墅月考）已知二次函数 图象上部分点的坐标 的对应值如表所示：
x … 0 4 …
y … 0.37 -1 0.37 …
则方程 的根是（ ）.
A．0或4 B． 或 C． 或 D．无实根
4．（2020九上·利辛期中）抛物线y＝－3x2+2x－1的图象与坐标轴的交点个数是 （ ）
A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个
5．（2021九上·紫阳期末）若抛物线 与x轴两个交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线.已知某定弦抛物线的对称轴为直线 ，将此抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的新抛物线经过点（ ）
A． B． C． D．
6．（2021九上·嘉兴期末）二次函数y = ax2-2x-3（a<0）的图象一定不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2020九上·温州期末）已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值 1.5，有最小值﹣2.5 B．有最大值 2，有最小值 1.5
C．有最大值 2，有最小值﹣2 5 D．有最大值 2，无最小值
8．（2021九上·韩城期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：
①abc＜0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＞0；④点（﹣3，y1），（1，y2）都在抛物线上，则有y1＞y2.其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．（2021九上·朝阳期末）直线y＝bx+c与抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）在同一坐标系中大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2019九上·海淀月考）已知二次函数的图象经过P（2，2），顶点为O（0，0），将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝ x2 B．y＝ （x﹣2）2
C．y＝ （x﹣4）2 D．y＝ （x﹣2）2+2
11．（2020九上·厦门期中）关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴在 轴的右侧
B．图象与 轴的交点坐标为
C．图象与 轴的交点坐标为 和
D． 的最小值为－9
12．（2020九上·杭州月考）某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线状，一条水流的高度 与水流时间 之间的解析式为 ，那么水流从抛出至落到地面所需要的时间是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2020九上·齐齐哈尔月考）若 是二次函数，则m= ，其中自变量x的取值范围是 ．
14．（2021九上·仙居期末）已知二次函数 的图象上有 ， ， 三个点.用“＜”连接 ， ， 的结果是 .
15．（2020九上·巩义月考）如图，把抛物线y=-x2+2向右平移1个单位长度，则曲线AB扫过的面积（图中阴影部分）是 .
16．（2020九上·丰台期中）写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②与 轴交于点 ，这个二次函数的解析式可以是 ．
17．（2021九上·嘉兴期末）已知抛物线y = ax2+bx-2 （a≠0）的顶点在第三象限，且过点（1， 0），若a-b的值为整数，则b的值为 .
18．（2020九上·新昌期中）如图，小滕用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围成了一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2m宽的小门（不用铁栅栏），小滕共用了铁栅栏40米，则矩形ABCD的面积的最大值为 m2.
三、解答题
19．（2020九上·松江月考）抛物线 上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
求这个二次函数的表达式，并利用配方法求出此抛物线的对称轴、顶点坐标
20．（2019·凉山）已知二次函数
的图象与x轴交于
两点，且
，求a的值．
21．（2020九上·巩义月考）已知二次函数 .
（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围；
（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式.
22．（2020九上·北京月考）已知二次函数
（1）将 化成 的形式
（2）求出该二次函数的对称轴和顶点坐标
（3）当自变量x由5增大到8时，函数值y是怎样变化的
23．（2019·邹平模拟）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式 ，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．
（1）当a=- 时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．
（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为 m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．
24．（2020九上·路南期中）在平面直角坐标系 中，抛物线 与x轴交于点A、B．
（1）①求m的取值范围；
②当抛物线经过原点时，求抛物线的解析式；
③求抛物线的顶点坐标；
（2）若线段 上有且只有5个点的横坐标为整数，求m的取值范围；
（3）若抛物线在 这一段位于x轴下方，在 这一段位于x轴上方，求m的值．
25．（2020九上·滨海期中）某旅行社为吸引市民组团去某新开发的风景区旅游，推出了如下收费标准：如果旅游团人数不超过25人，人均旅游费用为1000元；如果旅游团人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元．设旅游团人数为 人．
（1）写出支付给旅行社费用 y （单位：元）关于 x 的函数关系式；
（2）某单位组织员工组团去此风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少人去旅游？
26．（2020九上·达拉特旗月考）如图，有长为23m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为 ）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，并且预留两个各0.5m的门，设花圃的宽AB为x ，面积为 ．
（1）求S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）如果要围成面积为 的花圃，AB的长是多少米？
（3）能围成面积为51m2的花圃吗？若能，请说明围法；若不能请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】A、是一次函数函数，故不符合题意；
B、当 时，该函数为一次函数，故不符合题意；
C、是反比例函数，故不符合题意；
D、是二次函数，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】二次函数的一般形式： y=ax +bx+c（a≠0) ，再根据二次函数的定义对每个选项一一判断求解即可。
2．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得： a+2 ≠0，则a≠-2，
故答案为：D.
【分析】二次函数的二次项系数要不等于0，据此列式求出a的范围即可.
3．【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】由图象可知，对称轴为直线 .
.
.
，
.
.
即 时，
由表可知 .
∵对称轴为 .
∵另一个解 .
的根是 .
故答案为：B.
【分析】根据抛物线经过点（0，0.37）可求得c＝0.37，由抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线经过点（， 1），由于方程ax2＋bx＋1.37＝0变形为ax2＋bx＋0.37＝ 1，则方程ax2＋bx＋1.37＝0的根则为函数值为 1所对应的自变量的值.
4．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：根据题意可得：△=4－4×(－3)×(－1)=4－12=－8<0，
则抛物线与x轴没有交点，与y轴的交点坐标为(0，－1)，
即抛物线与坐标轴有一个交点．
故答案为：B．
【分析】根据根的判别式判断二次函数与坐标轴的交点个数即可。
5．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=2，图像与x轴两个交点间的距离为4，
∴设其与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0），
∴抛物线的解析式为y=x(x-4)=x2-4x=(x-2)2-4，将其向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的新抛物线的解析式为：y=(x+2-2)2-4+3=x2-1，当x=1时，y=0，
∴新抛物线过点（1，0）.
故答案为：C.
【分析】首先根据抛物线的对称轴以及图像与x轴两交点之间的距离可设出抛物线的图像与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0），然后表示出其解析式，根据平移时坐标的变化表示出新抛物线的解析式，最后将x=1代入，求出对应的y值，据此可得新抛物线经过的点的坐标.
6．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a＜0，b=-2＜0
∴抛物线的开口向下，对称轴在y轴的左侧，
∵c=-3＜0
∴抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴抛物线经过第二，三，四象限，不经过第一象限.
故答案为：A.
【分析】利用a，b同号，根据左同右异，可得到抛物线的对称轴在y轴的左侧且开口向下，再根据c＜0可得到抛物线与y轴的交点在x轴的下方，由此可得答案。
7．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：看图象可知，在 0≤x≤4范围内，最大值为2，最小值为-2.5.
故答案为：C.
【分析】看图象获取信息，找出自变量的取值范围内，找出图象的最高点和最低点即可得出函数的最大值和最小值.
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：抛物线开口向上，则a＞0，对称轴在y则的左侧，则b＞0，交y轴的负半轴则c＜0，
∴abc＜0，故①正确，
∵﹣ ＞﹣1，a＞0，b＞0，
∴b＜2a，
∴2a﹣b＞0，故②错误，
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故③正确，
∵点（﹣3，y1），（1，y2）都在抛物线上，
观察图象可知y1＞y2，故④正确.
故答案为：B.
【分析】①观察图象，根据抛物线开口向上可得a＞0，对称轴在y则的左侧可得b＞0，抛物线交y轴的负半轴可得c＜0，再根据多个有理数相乘的符号法则可求解；
②观察图象可得，-＞-1可求解；
③观察图象并结合不等式可知，把x=-2代入二次函数的解析式可得4a﹣2b+c＞0；
④把x=-3和x=1代入解析式计算即可判断其解.
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：选项A中，由一次函数的图象可知b＜0，c＞0，由二次函数的图象可知a＜0，b＞0，c＞0，故答案为：A不符合题意；
选项B中，由一次函数的图象可知b＜0，c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，b＜0，c＞0，故答案为：B符合题意；
选项C中，由一次函数的图象可知b＜0，c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，b＜0，c＜0，故答案为：D不符合题意；
选项D中，由一次函数的图象可知b＞0，c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，b＜0，c＞0，故答案为：C不符合题意；
故答案为：B.
【分析】A、由抛物线的开口向下可知a＜0，与已知条件a＞0矛盾；
B、由直线过二、四象限可知b＜0，直线交于y轴正半轴可知c＞0；由抛物线的对称轴在y轴右侧可知a、b异号，结合已知可得b＜0，抛物线交于y轴正半轴可知c＞0；符合题意；
C、由直线过二、四象限可知b＜0，直线交于y轴正半轴可知c＞0；由抛物线的对称轴在y轴右侧可知a、b异号，结合已知可得b＜0，抛物线交于y轴负半轴可知c＜0；矛盾；
D、由直线过一、三象限可知b＞0，直线交于y轴正半轴可知c＞0；由抛物线的对称轴在y轴右侧可知a、b异号，结合已知可得b＜0，抛物线交于y轴正半轴可知c＞0；矛盾.
10．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平移的性质
【解析】【解答】设原来的抛物线解析式为：y＝ax2（a≠0）．
把P（2，2）代入，得2＝4a，
解得a＝ ．
故原来的抛物线解析式是：y＝ x2．
设平移后的抛物线解析式为：y＝ （x﹣b）2．
把P（2，2）代入，得2＝ （2﹣b）2．
解得b＝0（舍去）或b＝4．
所以平移后抛物线的解析式是：y＝ （x﹣4）2．
故答案为：C．
【分析】设原来的抛物线解析式为：y＝ax2．利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点P的坐标代入即可．
11．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】∵
∴抛物线的对称轴为直线：x=-1，在y轴的左侧，A不符合题意；
令x=0，则y=-8，所以图象与 轴的交点坐标为 ，B不符合题意；
令y=0，则 ，解得x1=2，x2=-4，图象与 轴的交点坐标为 和 ，C不符合题意；
∵ ，a=1＞0，所以函数有最小值-9，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】先把抛物线的解析式化成顶点式，再根据二次函数的性质逐个判断即可．
12．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：在h＝30t 5t2中，令h＝0可得30t 5t2＝0，
解得：t＝0或t＝6，
所以水流从抛出至落到地面所需要的时间是6s，
故答案为：B.
【分析】求出解析中h＝0时t的值即可得.
13．【答案】3；全体实数
【知识点】函数自变量的取值范围；二次函数的定义
【解析】【解答】解： 函数 是二次函数，
，
解得： ，
即函数为 ，
∴自变量x的取值范围是全体实数．
故答案为：3；全体实数．
【分析】一般地，形如 、b、c是常数， 的函数，叫做二次函数，利用二次函数的定义分析即可求出m的取值，再由代数式的有意义可得自变量x的取值范围．
14．【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：二次函数 的对称轴为 ，开口向下，
∴距离对称轴越远的点，y值越小，
∵ ， ， ，
∴A点距离对称轴有 个单位，B点距离对称轴有1个单位，C点距离对称轴有2个单位， A点距离最远，B点距离最近，
∴ .
故答案为： .
【分析】根据二次函数的解析式可知抛物线的对称轴是x=1，a=-1＜0，则抛物线的开口向下，根据二次函数的性质和各点的横坐标即可判断求解.
15．【答案】2
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：如图所示，连接AB，CD
∵抛物线y=-x2+2向右平移1个单位长度，则曲线AB扫过的面积即为图中平行四边形ABCD的面积.
∵y=-x2+2，
∴点A的坐标为（0，2），即平行四边形的高为2.
∵平移1个单位长度，即平行四边形的底为1.
∴1×2＝2.
故答案为：2.
【分析】如图连接AB，CD，由平移的性质可知曲线AB扫过的面积即为图中平行四边形ABCD的面积，根据S平行四边形=底×高即可求得平行四边形的面积即可求解.
16．【答案】y=-x2-3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c．
∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，-3），
∴c=-3．
取a=-1，b=0时，二次函数的解析式为y=-x2-3．
故答案为：y=-x2-3（答案不唯一）．
【分析】根据二次函数的图象、性质与其系数的关系，再用待定系数法求解二次函数表达式即可。
17．【答案】 或1或
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y = ax2+bx-2 （a≠0）的顶点在第三象限，且过点（1， 0），
∴抛物线的开口向上，对称轴在y轴的右侧，
∴a＞0
∴b＜0
当x=1时y=0
∴a+b-2=0
∴a=2-b＞0
∴b＜2，
∵0＜b＜2
∴a-b=2-b-b=2-2b
∴-4＜-2b＜0
∴-2＜2-2b＜2
∵a-b为整数即2-2b为整数，
∴2-2b=-1或0或1
解之：b=或1或.
故答案为：或1或.
【分析】利用已知可得到抛物线的开口向上，对称轴在y轴的右侧，由此可得到a，b的取值范围，由点（1，0），可得到0＜b＜2，就可推出-4＜-2b＜0；再得到a-b=2-b-b=2-2b，由此可推出-2＜2-2b＜2；然后根据a-b为整数，可得到2-2b的整数值为-1，0，1，求出方程的解，即可得到b的值。
18．【答案】242
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形ABCD的面积为S平方米，AD=BC=x米，则AB= 米，由题意得：
S＝ ＝ ＝
∴当x＝11时，S最大=242.
故答案为：242.
【分析】设矩形ABCD的面积为S平方米，AD=BC=x米，由长方形的面积等于长乘以宽，列式化简可得S关于x的二次函数，将二次函数写成顶点式，即可得答案.
19．【答案】解：由表得，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，6），
∴c=6，
∵抛物线y=ax2+bx+6过点（-1，4）和（1，6），
∴ ，
解得： ，
∴二次函数的表达式为：y=-x2+x+6；
∴抛物线的对称轴方程为直线x= ，
∵当x= 时，y= ，
∴抛物线的顶点坐标为（ ， ）；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】根据题意，利用待定系数法，计算得到二次函数的解析式，求出答案即可。
20．【答案】解： 的图象与x轴交于 两点，
或
由函数与x周有两个交点可知
对x2+x+a=0
△=1-4a＞0
即a＜
∴
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，可得x 1+x 2=-1，x1·x2=a，将 等式左边通分变形，然后整体代入，建立关于a的方程，求出a值即可.
21．【答案】（1）解：二次函数的顶点坐标为：x= =-1，y= =2，
当x=0时，y= ，
当y=0时，x=1或x=-3，
图象如图：
（2）解：据图可知：当y＜0时，x＜-3，或x＞1；
（3）解：y=- x2-x+ =- （x+1）2+2
根据二次函数图象移动特点，
∴此图象沿x轴向右平移3个单位，平移后图象所对应的函数关系式：y=- （x-2）2+2.
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）根据函数解析式确定图象顶点坐标及图象与x、y轴交点坐标即可画出图象;
（2） 当y＜0时，x的取值范围 ,根据图象就是求x轴下方图象自变量的取值范围；
（3）根据图象平移“左加右减、上加下减”特点即可写出函数解析式.
22．【答案】（1） ，
即
（2）由 可知，二次函数的对称轴为 ，顶点坐标为
（3）当 时， ，
当 时， ，
故当自变量x由5增大到8时，函数值y由8增大到35．
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）利用配方法即可得；（2）根据（1）的结论即可得出答案；（3）分别求出 和 时的函数值，再进行比较即可得．
23．【答案】（1）解：①当a=- 时，y=- （x-4）2+h，
将点P（0，1）代入，得：- ×16+h=1，
解得：h= ；
②把x=5代入y=- （x-4）2+ ，得：y=- ×（5-4）2+ =1.625，
∵1.625＞1.55，
∴此球能过网；
（2）把（0，1）、（7， ）代入y=a（x-4）2+h，得：
，
解得： ，
∴a=- ．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）①将 a=- 及 P（0，1） 代入函数解析式中，求出h即可；②把x=5代入①中解析式中，求出y值，然后与1.55比较即可.
（2）利用待定系数法将（0，1）、（7， ） 代入抛物线解析式中，求出a、h即可.
24．【答案】（1）解：①∵抛物线 与 轴交于点 、 ，
∴ ，
即 ；
②把 代入 ，得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
③ ，
∴抛物线的顶点坐标为 ；
（2）解：∵抛物线 的对称轴为 ，
∵线段 在x轴上，有且只有5个点的横坐标为整数，
这些整数为 ，0，1，2，3，
∴当 时， ，当 时， ，
， ； ， ；
∴ ；
（3）解：∵抛物线 的对称轴为 ，
在 位于x轴上方，∴在 也位于x轴上方，
∵抛物线在 位于x轴下方，
∴ 时， ，
即 ，∴ ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据抛物线与 x 轴两个交点， 即可求解；
（2）用配方法将解析式配成顶点式即可作答；
（3）先判断出x=3时，y ；x=4时，y ；解不等式，即可求解；
（4）先判断出抛物线在 位于x轴上方，结合 位于x轴下方，得出x=3时，y=0，即可求解。
25．【答案】（1）当 时， ；
当 时， ，即 ．
综上：当 时， ；当 时， ；
（2）因为 ，所以该单位组团旅游人数超过了25人．
解方程 ，
得： ， ．
因为当 时，人均旅游费用为： ，不合题意．
答：该单位共有45人去旅游．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据旅游团人数分别写出不足25人和超过25人的函数关系式；
（2）首先判断出旅游团人数是否大于25人，再根据求出的函数关系式列出对应的方程求解．
26．【答案】（1）解：由题可知，花圃的宽AB为x米，则
∴ =x（24-3x）=-3x2+24x，
又
∴
∴ ，
所以，S与x的函数关系式是S=-3x2+24x，自变量x的取值范围是 ；
（2）解：当S=45时，-3x2+24x=45，
解得：x1=3，x2=5，
∵ ，故舍去x=3，
∴x=5，
答：如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是5米；
（3）解：不能，理由：
假设能围成面积是51m2的花圃，
则-3x2+24x=51，3x2-24x+51=0，
△=242-4×3×51=-36＜0，故方程无实根，
故不能围成面积是51m2的花圃．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）可先用篱笆的长表示出BC的长，然后根据矩形的面积=长×宽，得出S和x的函数关系式；（2）根据（1）的函数关系式，将S=45代入其中，求出x的值即可；（3）假设能围成面积是51 m2 的花圃，根据（1）的表达式列出方程求解即可。
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