初中数学人教版八年级上学期 第十三章 13.3.2 等边三角形
一、基础巩固
1．（2019八上·阳信开学考）如右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，DE的长为（ ）
A．7.4m B．3.7m C．1.85m D．2.85m
2．（2019七下·盐田期末）若等腰三角形的底角为15°，则一腰上的高是腰长的（ ）
A． B． C．1倍 D．2倍
3．（2019·东阳模拟）如图，DE∥GF，A在DE上，C在GF上△ABC为等边三角形，其中∠EAC＝80°，则∠BCG度数为（ ）
A．20° B．10° C．25° D．30°
4．（2019·北部湾模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=4，观察图中尺规作图的痕迹，则AD的长是（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
二、强化提升
5．（2019·温州模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，AB的垂直平分线与AC交于点M，则BC与MB的比为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．2：3 D．3：4
6．（2019·鄞州模拟）如图，
中，
，
，小明要将该三角形分割成两个直角三角形和两个等腰三角形，他想出了如下方案：在
上取点
，过点
画
交
于点
，连结
，在
上取合适的点
，连结
可得到4个符合条件的三角形，则满足条件的
长是 .
7．（2019八下·来宾期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC＝9，求AE的值．
8．（2019八上·义乌月考）△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，0 <∠PBC<180 ，DB平分∠PBC，且DB=DA．
（1）当BP与BA重合时（如图1），求∠BPD的度数；
（2）当BP在∠ABC的内部时(如图2)，求∠BPD的度数；
（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数.
9．（2019·义乌模拟）如图， 和 都是等边三角形，BE和CD相交于点F．
（1）若 ，求BE的长；
（2）求证：AF平分 ．
10．（2019·乐清模拟）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC是∠BAD的角平分线.
（1）求证：△ABC≌△ADC.
（2）若∠BCD＝60°，AC=BC，求∠ADB的度数.
三、真题演练
11．（2019·天水）如图，等边 的边长为2，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．（2019·镇江）如图，直线 ， 的顶点 在直线 上，边 与直线 相交于点 .若 是等边三角形， ，则 ＝ °
13．（2019·扬州）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P事AB边上的一个动点（与点A、B不重合），直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.
（1）如图1，当PB=4时，若点B’恰好在AC边上，则AB’的长度为 ；
（2）如图2，当PB=5时，若直线l∥AC，则BB’的长度为 ；
（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线l始终垂直于AC，△ACB’的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；
（4）当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】在直角三角形ADE中，∵∠A=30°，AB=7.4，D为AB的中点
∴DE=AD==1.85.
故答案为：C。
【分析】根据题意，由直角三角形中30°角所对的直角边的性质即可得到答案。
2．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：
过点C作BA延长线的垂线，根据题意可知，∠DAC=∠B+∠ACB=30°
∴在直角三角形ADC中，CD=AC
故答案为：B。
【分析】根据题意作出等腰三角形的一个腰上的高，由三角形的外角定理得到∠DAC的度数，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得到答案。
3．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DE∥GF，∠EAC=∠ACG=80°，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=60°，
∴∠BCG=∠ACG-∠ACB=80°-60°=20°.
故答案为：A
【分析】根据两直线平行内错角相等，得∠EAC=∠ACG，因为三角形ABC是等边三角形，得∠ACB=90°，∠ACG减∠ACB即可求得∠BCG的度数。
4．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接CD，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30° ，∴∠B=60°，
由作图痕迹可知所作是垂直平分线，
∴CD=BD，
∴∠BCD=∠B=30°，
∴∠CDA=∠BCD+∠B=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AD=AC=4.
故答案为：B.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，可得CD=BD，由等边对等角可得∠BCD=∠B=30°，利用三角形外角的性质可得∠CDA=∠BCD+∠B=60°，从而可证△ACD是等边三角形，利用等边三角形的三边相等，即可求出AD的长.
5．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示:
∵MN垂直平分AB，
∴MA＝MB，
∴∠A＝∠MBA．
∴∠BMC＝2∠A＝30°．
∴BC：BM＝1：2．
故答案为：B．
【分析】根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出MA＝MB，再利用等边对等角求出及三角形的外角的性质求出∠BMC=30°，然后根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可得出结论.
6．【答案】5、10或
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：AB=AC，∠BAC= 120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵DE∥AC，
∴∠DEB=∠C=30°，∠BDE=120°，
∴△BDE是等腰三角形，∠ADE= 180°-∠BDE=60° .
被分割的四个三角形中有两个直角三角形和两个等腰三角形.
①当∠AED=90°时，如图1 ，
∴∠DAE=180°-∠AED-∠ADE=30°，
∴∠EAF=∠BAC-∠DAE=90°
则△EFC是等腰三角形.
∵∠AEC=180°-∠BED-∠DEA=60°，
∴△EFC是等腰三角形只可能存在∠FEC=∠C=30°的情况，
设AF=x，
∵∠AEF=180°-∠BED-∠AED-∠FEC=30° ，
∴EF= =2x，
∵EF=FC=2x，
∴AF+FC=3x=AC=15，
∴AF=5.
②当∠DAE=90°且∠AEF=90°时，如图2，
此时∠EAF=∠BAC-∠DAE=30°，
∴∠AFE=180°-∠AEF-∠EAF=60°
设AF=x，则EF=
x
∵∠EFC=180°-∠AFE=120°，
又∵∠FEC=180°-∠C-∠EFC=30°，
∴△EFC是等腰三角形，CF=EF=
x，
∵AC=AF+FC=x+
x=15，
∴AF=x=10.
③当∠DAE=90°且∠FEC=90°时，如图3.
∠FAE=∠BAC-∠DAE=30°，
∵∠AED=180°-∠DAE-∠ADE=30°，
∴∠AEF=180°-∠BED-∠FEC-∠AED=30° .
∴AF=AE，
设AF= EF=x，
∵∠FEC=90°，∠C=30°，
∴CF= =2x，
∵AF+FC=x+2x=3x=AC= 15，
∴AF=x=5.
④当∠AFE=∠EFC=90°时，则△ADE是等腰三角形，如图4
∵∠ADE=60°，
∴∠DAE=∠AED= 60°。
∵∠EAF=∠BAC-∠DAE=60°，
∴∠AEF=180°-∠EAF-∠AFE=30°.
设AF=x，则EF=
x .
∵∠EFC=90°，∠C=30°，
∴FC=
EF=3x，
∵AC=AF+FC=x+3x=4x= 15，
∴AF=
.
故答案为：5、10或
【分析】根据已知条件可判断△BDE为等腰三角形，其它三个三角形的形状未确定，则可用分类讨论：①当∠AED=90°时，可证得∠EAF=90°，则△CEF是等腰三角形；②当∠DAE=90°且∠AEF=90°时，△CEF是等腰三角形；③当∠DAE=90°且∠FEC=90°时，△AEF是等腰三角形；④当∠AFE=∠EFC=90°时，△ADE是等边三角形.
7．【答案】解：设AE＝x，则CE＝9﹣x．
∵BE平分∠ABC
又∵CE⊥CB，ED⊥AB
∴DE＝CE＝9﹣x，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠A＝∠ABE＝∠CBE．
∵在Rt△ACB中，∠A+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠ABE＝∠CBE＝30°，
∴DE＝ AE，即9﹣x＝ x，
∴x＝6．
答：AE长为6．
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】因为BE平分∠ABC，结合CE⊥CB，ED⊥AB，则DE＝CE，因为DE垂直平分AB，则AE＝BE，得∠A＝∠ABE＝∠CBE，再结合∠A+∠ABC＝90°，求得∠A＝30°；设AE＝x，则CE＝9﹣x，DE＝ AE，得关系式：9﹣x＝ x，从而解出：x＝6，即AE的长度。
8．【答案】（1）解： ∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵DB平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD=60°，
∴∠ABD=30°.
∵DB=DA，
∴∠BPD=∠ABD=30°.
（2）解： 连接DC，
∵点D在∠PBC的平分线上，
∴∠PBD=∠CBD，
∵△ABC是等边三角形，
∴BA=BP=BC，∠ACB=60°
在△PBD和△CBD中，
∴△PBD≌△CBD（SAS）
∴∠BPD=∠BCD；
在△BCD和△ACD中，
∴△BCD≌△ACD（SAS）
∴∠ACD=∠BCD=，
∴∠BPD=∠BCD=30°.
（3） 30°和150°
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：（3）如图，
连接CD，
∵点D在∠PBC的平分线上，
∴∠PBD=∠CBD，
∵△ABC是等边三角形，
∴BA=BP=BC，∠ACB=60°
在△PBD和△CBD中，
∴△PBD≌△CBD（SAS）
∴∠BPD=∠BCD；
在△BCD和△ACD中，
∴△BCD≌△ACD（SAS）
∴∠ACD=∠BCD=，
∴∠BPD=∠BCD=30°.
同理可求出后两个图形中的∠BPD的度数分别为30°和150°
【分析】（1）利用等边三角形的性质，可得∠ABC=60°，利用角平分线的定义可求出∠ABD的度数，即可求出∠BPD的度数。
（2）连接CD，利用角平分线的性质，易证∠PBD=∠CBD，再利用等边三角形的性质，易证BA=BP=BC，∠ACB=60°，再利用SAS证明△PBD≌△CBD，利用全等三角形的性质，可知∠BPD=∠BCD，然后利用SAS证明△BCD≌△ACD，利用全等三角形的性质求出∠BCD的度数，即可得到∠BPD的度数。
（3）分情况画出图形，利用和（2）同样的方法，可分别求出∠BPD的度数。
9．【答案】（1）解： 和 都是等边三角形，
， ，
，即 ，
和 都是等边三角形，
， ，
在 与 中
，
≌ ，
．
（2）解：在BE上截取 ，连接AG，
由（1）的证明，知 ≌ ，
，即 ，
，
在 与 中
，
≌ ，
， ，
由 可得 ，
由 可得 ，
，
平分 ．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质，可得AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，再证明∠DAC=∠BAE，利用SAS证明△ADC≌△ABE，然后利用全等三角形的性质，可证得结论。
（2） 在BE上截取EG=CF，连接AG， 利用SAS证明△AEG≌△ACF，利用全等三角形的性质，可得到∠AGE=∠AFC，AG=AF，易证∠AGF=∠AFD，再利用等腰三角形的性质，可证得∠AGF=∠AFG，从而可证∠AFD=∠AFG，即可证得结论。
10．【答案】（1）证明：∵AC是∠BAD的角平分线.
∴∠BAC=∠DAC，
∵AB=AD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC
（2）解：∵△ABC≌△ADC.
∴BC=DC，∠ACB＝∠ACD＝30°，
∵∠BCD＝60°，
∴△BCD是等边三角形.
∴∠CBD＝60°，
∵AC=BC，
∴∠CDA＝75°，
∴∠ADB＝15°.
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得∠BAC=∠DAC， 根据SAS即可判断△ABC≌△ADC .（2）由（1）中全等三角形的性质可得BC=DC，∠ACB＝∠ACD＝30°， 根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断△BCD是等边三角形.进而可得∠CBD＝60°，由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠CDA＝75°，进而可求∠ADB＝15°.
11．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：过点 作 于 点，
∵ 是等边三角形，
∴ ， .
∴点 的坐标为 。
故答案为：B。
【分析】过点 作 于 点，根据等边三角形的三线合一得出OH=1，根据勾股定理算出BH的长，从而就克求出点B的坐标。
12．【答案】40
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵△BCD是等边三角形，
∴∠BDC=60°，
∵a∥b，
∴∠2=∠BDC=60°，
由三角形的外角性质可知，∠1=∠2-∠A=40°。
故答案为：40。
【分析】根据等边三角形的性质得出∠BDC=60°，根据二直线平行，同位角相等得出∠2=∠BDC=60°，根据对顶角相等及三角形的外角定理，由∠1=∠2-∠A即可算出答案。
13．【答案】（1）4
（2）
（3）解：过B作BF⊥AC，垂足为F，过B'作B'E⊥AC，垂足为E，∴CF=4，在Rt△BCF中，根据勾股定理得出BF=4 ，
∵B与B'关于l对称∴B'E=BF=4 ∴S△ACB’=
△ACB'面积不变
（4） 解：由题意得：
l变化中，B'的运动路径为以P为圆心，PB长为半径的圆上
过P作B'P⊥AC，交AC于E，此时B'E最长
∴AP=2，∴AE=1
∴PE=
∴B'E=B'P+PE=6+
∴S△ACB'最大值=（6+ ）×8÷2=24+4
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）∵AB=8， PB=4 ，∴AP=BP=4
根据折叠的性质可知：PB=PB'=4，∴AP=PB'=4，
∵△ABC为等边三角形
∴∠A=60°
∴△APB'是等边三角形
即∠B'PA=60°
∴AB'=AP=4∠
（ 2 ）∵l∥AC，又 把△ABC沿直线l折叠 ，
∴∠BPB'=120°，BP=PB'∴∠PBB'=30°
∵PB=5
∴BB'=5
【分析】（1）根据折叠的性质及等量代换得出PB=PB'=AP=4，根据等边三角形的性质得出∠A=60°，从而判断出△APB'是等边三角形，根据U盾边三角形的三边相等即可得出PB'的长；
（2）根据平行线的性质及折叠的性质得出∠BPB'=120°，根据三角形的内角和及等边对等角得出∠PBB'=30°，根据含30°角的边之间的关系求出BB'的长；
（3） △ACB'面积不变，理由如下： 过B作BF⊥AC，垂足为F，过B'作B'E⊥AC，垂足为E ，根据等腰三角形的性质及勾股定理算出BF的长，根据轴对称的性质得出 B'E=BF，根据三角形的面积计算方法及同底等高的三角形的面积相等得出结论；
（4） l变化中，B'的运动路径为以P为圆心，PB长为半径的圆上 ， 过P作B'P⊥AC，交AC于E，此时B'E最长 ，根据勾股定理算出PE的长，根据 B'E=B'P+PE 算出B'E的长，从而根据三角形面积的计算方法算出答案。
1 / 1初中数学人教版八年级上学期 第十三章 13.3.2 等边三角形
一、基础巩固
1．（2019八上·阳信开学考）如右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，DE的长为（ ）
A．7.4m B．3.7m C．1.85m D．2.85m
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】在直角三角形ADE中，∵∠A=30°，AB=7.4，D为AB的中点
∴DE=AD==1.85.
故答案为：C。
【分析】根据题意，由直角三角形中30°角所对的直角边的性质即可得到答案。
2．（2019七下·盐田期末）若等腰三角形的底角为15°，则一腰上的高是腰长的（ ）
A． B． C．1倍 D．2倍
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：
过点C作BA延长线的垂线，根据题意可知，∠DAC=∠B+∠ACB=30°
∴在直角三角形ADC中，CD=AC
故答案为：B。
【分析】根据题意作出等腰三角形的一个腰上的高，由三角形的外角定理得到∠DAC的度数，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得到答案。
3．（2019·东阳模拟）如图，DE∥GF，A在DE上，C在GF上△ABC为等边三角形，其中∠EAC＝80°，则∠BCG度数为（ ）
A．20° B．10° C．25° D．30°
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DE∥GF，∠EAC=∠ACG=80°，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=60°，
∴∠BCG=∠ACG-∠ACB=80°-60°=20°.
故答案为：A
【分析】根据两直线平行内错角相等，得∠EAC=∠ACG，因为三角形ABC是等边三角形，得∠ACB=90°，∠ACG减∠ACB即可求得∠BCG的度数。
4．（2019·北部湾模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=4，观察图中尺规作图的痕迹，则AD的长是（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接CD，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30° ，∴∠B=60°，
由作图痕迹可知所作是垂直平分线，
∴CD=BD，
∴∠BCD=∠B=30°，
∴∠CDA=∠BCD+∠B=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AD=AC=4.
故答案为：B.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，可得CD=BD，由等边对等角可得∠BCD=∠B=30°，利用三角形外角的性质可得∠CDA=∠BCD+∠B=60°，从而可证△ACD是等边三角形，利用等边三角形的三边相等，即可求出AD的长.
二、强化提升
5．（2019·温州模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，AB的垂直平分线与AC交于点M，则BC与MB的比为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．2：3 D．3：4
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示:
∵MN垂直平分AB，
∴MA＝MB，
∴∠A＝∠MBA．
∴∠BMC＝2∠A＝30°．
∴BC：BM＝1：2．
故答案为：B．
【分析】根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出MA＝MB，再利用等边对等角求出及三角形的外角的性质求出∠BMC=30°，然后根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可得出结论.
6．（2019·鄞州模拟）如图，
中，
，
，小明要将该三角形分割成两个直角三角形和两个等腰三角形，他想出了如下方案：在
上取点
，过点
画
交
于点
，连结
，在
上取合适的点
，连结
可得到4个符合条件的三角形，则满足条件的
长是 .
【答案】5、10或
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：AB=AC，∠BAC= 120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵DE∥AC，
∴∠DEB=∠C=30°，∠BDE=120°，
∴△BDE是等腰三角形，∠ADE= 180°-∠BDE=60° .
被分割的四个三角形中有两个直角三角形和两个等腰三角形.
①当∠AED=90°时，如图1 ，
∴∠DAE=180°-∠AED-∠ADE=30°，
∴∠EAF=∠BAC-∠DAE=90°
则△EFC是等腰三角形.
∵∠AEC=180°-∠BED-∠DEA=60°，
∴△EFC是等腰三角形只可能存在∠FEC=∠C=30°的情况，
设AF=x，
∵∠AEF=180°-∠BED-∠AED-∠FEC=30° ，
∴EF= =2x，
∵EF=FC=2x，
∴AF+FC=3x=AC=15，
∴AF=5.
②当∠DAE=90°且∠AEF=90°时，如图2，
此时∠EAF=∠BAC-∠DAE=30°，
∴∠AFE=180°-∠AEF-∠EAF=60°
设AF=x，则EF=
x
∵∠EFC=180°-∠AFE=120°，
又∵∠FEC=180°-∠C-∠EFC=30°，
∴△EFC是等腰三角形，CF=EF=
x，
∵AC=AF+FC=x+
x=15，
∴AF=x=10.
③当∠DAE=90°且∠FEC=90°时，如图3.
∠FAE=∠BAC-∠DAE=30°，
∵∠AED=180°-∠DAE-∠ADE=30°，
∴∠AEF=180°-∠BED-∠FEC-∠AED=30° .
∴AF=AE，
设AF= EF=x，
∵∠FEC=90°，∠C=30°，
∴CF= =2x，
∵AF+FC=x+2x=3x=AC= 15，
∴AF=x=5.
④当∠AFE=∠EFC=90°时，则△ADE是等腰三角形，如图4
∵∠ADE=60°，
∴∠DAE=∠AED= 60°。
∵∠EAF=∠BAC-∠DAE=60°，
∴∠AEF=180°-∠EAF-∠AFE=30°.
设AF=x，则EF=
x .
∵∠EFC=90°，∠C=30°，
∴FC=
EF=3x，
∵AC=AF+FC=x+3x=4x= 15，
∴AF=
.
故答案为：5、10或
【分析】根据已知条件可判断△BDE为等腰三角形，其它三个三角形的形状未确定，则可用分类讨论：①当∠AED=90°时，可证得∠EAF=90°，则△CEF是等腰三角形；②当∠DAE=90°且∠AEF=90°时，△CEF是等腰三角形；③当∠DAE=90°且∠FEC=90°时，△AEF是等腰三角形；④当∠AFE=∠EFC=90°时，△ADE是等边三角形.
7．（2019八下·来宾期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC＝9，求AE的值．
【答案】解：设AE＝x，则CE＝9﹣x．
∵BE平分∠ABC
又∵CE⊥CB，ED⊥AB
∴DE＝CE＝9﹣x，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠A＝∠ABE＝∠CBE．
∵在Rt△ACB中，∠A+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠ABE＝∠CBE＝30°，
∴DE＝ AE，即9﹣x＝ x，
∴x＝6．
答：AE长为6．
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】因为BE平分∠ABC，结合CE⊥CB，ED⊥AB，则DE＝CE，因为DE垂直平分AB，则AE＝BE，得∠A＝∠ABE＝∠CBE，再结合∠A+∠ABC＝90°，求得∠A＝30°；设AE＝x，则CE＝9﹣x，DE＝ AE，得关系式：9﹣x＝ x，从而解出：x＝6，即AE的长度。
8．（2019八上·义乌月考）△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，0 <∠PBC<180 ，DB平分∠PBC，且DB=DA．
（1）当BP与BA重合时（如图1），求∠BPD的度数；
（2）当BP在∠ABC的内部时(如图2)，求∠BPD的度数；
（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数.
【答案】（1）解： ∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵DB平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD=60°，
∴∠ABD=30°.
∵DB=DA，
∴∠BPD=∠ABD=30°.
（2）解： 连接DC，
∵点D在∠PBC的平分线上，
∴∠PBD=∠CBD，
∵△ABC是等边三角形，
∴BA=BP=BC，∠ACB=60°
在△PBD和△CBD中，
∴△PBD≌△CBD（SAS）
∴∠BPD=∠BCD；
在△BCD和△ACD中，
∴△BCD≌△ACD（SAS）
∴∠ACD=∠BCD=，
∴∠BPD=∠BCD=30°.
（3） 30°和150°
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：（3）如图，
连接CD，
∵点D在∠PBC的平分线上，
∴∠PBD=∠CBD，
∵△ABC是等边三角形，
∴BA=BP=BC，∠ACB=60°
在△PBD和△CBD中，
∴△PBD≌△CBD（SAS）
∴∠BPD=∠BCD；
在△BCD和△ACD中，
∴△BCD≌△ACD（SAS）
∴∠ACD=∠BCD=，
∴∠BPD=∠BCD=30°.
同理可求出后两个图形中的∠BPD的度数分别为30°和150°
【分析】（1）利用等边三角形的性质，可得∠ABC=60°，利用角平分线的定义可求出∠ABD的度数，即可求出∠BPD的度数。
（2）连接CD，利用角平分线的性质，易证∠PBD=∠CBD，再利用等边三角形的性质，易证BA=BP=BC，∠ACB=60°，再利用SAS证明△PBD≌△CBD，利用全等三角形的性质，可知∠BPD=∠BCD，然后利用SAS证明△BCD≌△ACD，利用全等三角形的性质求出∠BCD的度数，即可得到∠BPD的度数。
（3）分情况画出图形，利用和（2）同样的方法，可分别求出∠BPD的度数。
9．（2019·义乌模拟）如图， 和 都是等边三角形，BE和CD相交于点F．
（1）若 ，求BE的长；
（2）求证：AF平分 ．
【答案】（1）解： 和 都是等边三角形，
， ，
，即 ，
和 都是等边三角形，
， ，
在 与 中
，
≌ ，
．
（2）解：在BE上截取 ，连接AG，
由（1）的证明，知 ≌ ，
，即 ，
，
在 与 中
，
≌ ，
， ，
由 可得 ，
由 可得 ，
，
平分 ．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质，可得AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，再证明∠DAC=∠BAE，利用SAS证明△ADC≌△ABE，然后利用全等三角形的性质，可证得结论。
（2） 在BE上截取EG=CF，连接AG， 利用SAS证明△AEG≌△ACF，利用全等三角形的性质，可得到∠AGE=∠AFC，AG=AF，易证∠AGF=∠AFD，再利用等腰三角形的性质，可证得∠AGF=∠AFG，从而可证∠AFD=∠AFG，即可证得结论。
10．（2019·乐清模拟）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC是∠BAD的角平分线.
（1）求证：△ABC≌△ADC.
（2）若∠BCD＝60°，AC=BC，求∠ADB的度数.
【答案】（1）证明：∵AC是∠BAD的角平分线.
∴∠BAC=∠DAC，
∵AB=AD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC
（2）解：∵△ABC≌△ADC.
∴BC=DC，∠ACB＝∠ACD＝30°，
∵∠BCD＝60°，
∴△BCD是等边三角形.
∴∠CBD＝60°，
∵AC=BC，
∴∠CDA＝75°，
∴∠ADB＝15°.
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得∠BAC=∠DAC， 根据SAS即可判断△ABC≌△ADC .（2）由（1）中全等三角形的性质可得BC=DC，∠ACB＝∠ACD＝30°， 根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断△BCD是等边三角形.进而可得∠CBD＝60°，由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠CDA＝75°，进而可求∠ADB＝15°.
三、真题演练
11．（2019·天水）如图，等边 的边长为2，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：过点 作 于 点，
∵ 是等边三角形，
∴ ， .
∴点 的坐标为 。
故答案为：B。
【分析】过点 作 于 点，根据等边三角形的三线合一得出OH=1，根据勾股定理算出BH的长，从而就克求出点B的坐标。
12．（2019·镇江）如图，直线 ， 的顶点 在直线 上，边 与直线 相交于点 .若 是等边三角形， ，则 ＝ °
【答案】40
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵△BCD是等边三角形，
∴∠BDC=60°，
∵a∥b，
∴∠2=∠BDC=60°，
由三角形的外角性质可知，∠1=∠2-∠A=40°。
故答案为：40。
【分析】根据等边三角形的性质得出∠BDC=60°，根据二直线平行，同位角相等得出∠2=∠BDC=60°，根据对顶角相等及三角形的外角定理，由∠1=∠2-∠A即可算出答案。
13．（2019·扬州）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P事AB边上的一个动点（与点A、B不重合），直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.
（1）如图1，当PB=4时，若点B’恰好在AC边上，则AB’的长度为 ；
（2）如图2，当PB=5时，若直线l∥AC，则BB’的长度为 ；
（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线l始终垂直于AC，△ACB’的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；
（4）当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值。
【答案】（1）4
（2）
（3）解：过B作BF⊥AC，垂足为F，过B'作B'E⊥AC，垂足为E，∴CF=4，在Rt△BCF中，根据勾股定理得出BF=4 ，
∵B与B'关于l对称∴B'E=BF=4 ∴S△ACB’=
△ACB'面积不变
（4） 解：由题意得：
l变化中，B'的运动路径为以P为圆心，PB长为半径的圆上
过P作B'P⊥AC，交AC于E，此时B'E最长
∴AP=2，∴AE=1
∴PE=
∴B'E=B'P+PE=6+
∴S△ACB'最大值=（6+ ）×8÷2=24+4
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）∵AB=8， PB=4 ，∴AP=BP=4
根据折叠的性质可知：PB=PB'=4，∴AP=PB'=4，
∵△ABC为等边三角形
∴∠A=60°
∴△APB'是等边三角形
即∠B'PA=60°
∴AB'=AP=4∠
（ 2 ）∵l∥AC，又 把△ABC沿直线l折叠 ，
∴∠BPB'=120°，BP=PB'∴∠PBB'=30°
∵PB=5
∴BB'=5
【分析】（1）根据折叠的性质及等量代换得出PB=PB'=AP=4，根据等边三角形的性质得出∠A=60°，从而判断出△APB'是等边三角形，根据U盾边三角形的三边相等即可得出PB'的长；
（2）根据平行线的性质及折叠的性质得出∠BPB'=120°，根据三角形的内角和及等边对等角得出∠PBB'=30°，根据含30°角的边之间的关系求出BB'的长；
（3） △ACB'面积不变，理由如下： 过B作BF⊥AC，垂足为F，过B'作B'E⊥AC，垂足为E ，根据等腰三角形的性质及勾股定理算出BF的长，根据轴对称的性质得出 B'E=BF，根据三角形的面积计算方法及同底等高的三角形的面积相等得出结论；
（4） l变化中，B'的运动路径为以P为圆心，PB长为半径的圆上 ， 过P作B'P⊥AC，交AC于E，此时B'E最长 ，根据勾股定理算出PE的长，根据 B'E=B'P+PE 算出B'E的长，从而根据三角形面积的计算方法算出答案。
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