初中数学华师大版八年级下学期 第18章 18.1 平行四边形的性质
一、单选题
1．（2020九上·长沙月考）在平行四边形 中，若 ，则 的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
2．（2020九上·婺城月考）如图,平面直角坐标系中O是原点，平行四边形ABCO的顶点A、C的坐标分别（8,0）、（3,4）,点D,E把线段OB三等分,延长CD，CE分别交OA，AB于点F,G，连接FG，则下列结论:①F是OA的中点；②△OFD与△BEG相似；③四边形DEGF的面积是 ；④ .正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（2021九上·甘谷期末）如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：① ；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（ ）
A．①②③④ B．①④ C．②③ D．①②③
4．（2020九上·甘州月考）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B，A，E在一条直线上，CE交AD于点F，则图中等边三角形共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．（2020九上·洛宁月考）如图，E是 ABCD的边AD上的一点，连接BE并延长，交CD的延长线于点F，若AE： BC =3： 5，则FD： DC的值为（ ）
A．2 ： 3 B．2：5 C．3 ： 4 D．3 ： 5
6．（2020九上·江西期中）如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点 ， 为 的中点，连接 交 于点 ，若 ，则 的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（2020九上·青神期中）如图，在 ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝ ，则△CEF的周长为（ ）
A．8 B．9.5 C．10 D．11.5
二、填空题
8．（2021九上·上蔡期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，AC与DE相交于点F，若 ， ，则 等于 .
9．（2020八上·渝北月考）如图，在平行四边形 中， 平分 ， ， ，则 的周长是 .
10．（2020九上·长春期中）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2MD，点E，点F分别是BM，CM中点，若EF＝6，则AM的长为 ．
11．（2020九上·永州月考）如图，某数学兴趣小组在学完矩形的知识后一起探讨了一个纸片折叠问题：如何将一张平行四边形纸片 的四个角向内折起，拼成一个无缝隙、无重叠的矩形 ．图中 ， ， ， 表示折痕，折后 的对应点分别是 ．若 ， ， ，则纸片折叠时 的长应取 ．
三、解答题
12．（2020九上·万荣期末）如图，已知点 是 的边 延长线上的一点；连接 ， ，且 ；过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ；求证：
13．（2020九上·保山月考）如图，点 、 、 、 分别是 的边 、 、 、 的中点.
求证：
四、综合题
14．（2020九上·海珠期中）如图，已知△ABC的三个顶点坐标为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（1）将△ABC绕坐标原点O旋转180°，画出图形，并写出点A的对应点A'的坐标；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，直接写出点A的对应点A''的坐标．
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
15．（2021八上·南阳期末）如图，平行四边形ABCO位于直角坐标系中，O为坐标原点，点
，点
交y轴于点
动点E从点D出发，沿DB方向以每秒1个单位长度的速度终点B运动，同时动点F从点A出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，当点E运动到点B时，点F随之停止运动，运动时间为
秒
.
（1）用t的代数式表示：
，
（2）若以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值.
（3）当
恰好是等腰三角形时，求t的值.
16．（2021九上·连山期末）如图，在平行四边形 中， 为 上一点， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°，
又∵∠A=2∠B，
∴2∠B+∠B=180°，
解得：∠B=60°，
∴∠D=60°；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的邻边互补，结合已知进行求解.
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
四边形 是平行四边形,
,
为 的三等分点,
是 的中点;
所以①结论正确;
②如图2,延长 交 轴于 ,
由 知:
,
,
不成立,
所以②结论不正确;
③由①知: 是 的中点,
同理得: 是 的中点,
是 的中位线,
,
过 作 于
,
设四边形DEGF的面积为
所以③结论正确;
④在 中,由勾股定理得:
所以④结论不正确;
故本题结论正确的有:①③;
故答案为：C.
【分析】①根据四边形OABC是平行四边形可得BC∥OA，由平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似可得△BCD∽△OFD，可得比例式，再结合点D,E把线段OB三等分可得F是OA的中点；
②延长BC交y轴于H，结合点的坐标可得OA≠AB，所以∠AOB≠∠ABO，于是可得△OFD不与△BEG相似；
③由①知:F是OA的中点，同理可得G是AB的中点，于是根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得FG=OB，FG∥OB，结合已知可求得，过C作CQ⊥AB于Q，根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似可得△CDE∽△CFG，由序偶相似三角形的性质可得设四边形DEGF的面积为S，则,则 四边形DEGF的面积可求解；
④在直角三角形OHB中,由勾股定理可求得OB的值，根据D为OB的三等分点可求解.
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵在 ABCD中， ，
∵点E是OA的中点，
，
∵AD//BC，
∴△AFE∽△CBE，
，
∵AD＝BC，
，
；故①正确；
∵S△AEF＝4， ，
∴S△BCE＝36；故②正确；
∴S△ABE＝12，故③正确；
∵BF不平行于CD，
∴△AEF与△ADC只有一个角相等，
∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误，
故答案为：泽：D.
【分析】①由平行四边形的性质可得AD//BC，AD＝BC，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似”可得△AFE∽△CBE，由相似三角形的性质可得比例式，于是；
②由相似三角形的面积的比等于相似比可求解；
③由①中的相似三角形可求解；
④由题意可知，△AEF与△ADC只有一个角相等，所以不能判断两个三角形相似.
4．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，
∴∠E=∠B=60°，
∴△BEC是等边三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠D=∠B=60°，
∴∠B=∠EAF=60°，
∴△EFA是等边三角形，
∵∠EFA=∠DFC=60°，∠D=∠B=60°，
∴△DFC是等边三角形，
∴图中等边三角形共有3个，
故答案为：B.
【分析】根据折叠的性质可得∠E=∠B=60°，进而可证明△BEC是等边三角形，再根据平行四边形的性质可得：AD∥BC，所以可得∠EAF=60°，进而可证明△EFA是等边三角形，由等边三角形的性质及对顶角相等可得∠EFA=∠DFC=60°，又因为∠D=∠B=60°，进而可证明△DFC是等边三角形，问题得解.
5．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC，AB=CD，AD=BC，
∴ED：AE=EF：EB，FD：DC=EF：EB，
∴FD： DC= ED：AE
∵AE： BC=3：5，AD=BC，
∴AE：AD=3：5，
∴ED：AE =2：3，
∴FD： DC=2：3，
故答案为：A.
【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥DC，AB=CD，AD=BC，根据平行线分线段成比例定理可得比例式，，于是可得比例式可求解.
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点E是BC中点，
∴BC=2BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，BC∥AD，BO=OD，
∴AD=2BE，
设BF=a，
∵OF=1，
∴BO=DO=a+1，
则DF=a+2，
∵BC∥AD
∴△BEF∽△DAF，
∴
解得a=2，
经检验a=2是原方程的解
∴BF=2，
∴BO=DO=3，
∴BD=6
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质知AD=2BE，BC∥AD，BO=OD，设BF=a，得DF=a+2，由BC∥AD知△BEF∽△DAF，据此得 ,得出BF的长，从而得出BD的长．
7．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在 ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵AB∥DC，
∴∠BAF＝∠F，
∴∠DAF＝∠F，
∴AD＝FD，
∴△ADF是等腰三角形，
同理△ABE是等腰三角形，
AD＝DF＝9；
∵AB＝BE＝6，
∴CF＝3；
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝4 ，可得：AG＝2，
又BG⊥AE，
∴AE＝2AG＝4，
∴△ABE的周长等于16，
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的周长为8．
故答案为：A．
【分析】根据角平分线的定义可得∠BAF＝∠DAF，根据平行的性质可得AB∥DC，从而求出∠BAF＝∠F，即得∠DAF＝∠F，利用等腰三角形的判定可得△ADF是等腰三角形，同理△ABE是等腰三角形.利用等腰三角形的性质可得AD＝DF＝9，AB＝BE＝6，从而求出CF＝3.在Rt△ABG中利用勾股定理求出AG＝2，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE＝2AG＝4，从而求出△ABE的周长=AB+BE+ AE=16，由AB∥FC，可证△CEF∽△BEA，可得相似比CF：AB=1：2，利用相似三角形的周长比等于相似比即可求出结论.
8．【答案】12
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在平行四边形ABCD中， ，
∽ ，
，
又 ，
，
而 ，
，
，
，
故答案为：12.
【分析】根据平行四边形的对边平行得出AD∥BC，根据平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得出 ∽ ，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方得出，由相似比CE：AD即可求出面积比，从而得到 的面积.
9．【答案】16
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵ ABCD中,AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD，
∵在 ABCD中，AD=5，BE=2，
∴AD=BC=5，
∴CE=BC BE=5 2=3，
∴CD=AB=3，
∴ ABCD的周长=5+5+3+3=16.
故答案为：16.
【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义可得∠CDE=∠CED，AD=BC，CD=AB，由等角对等边可得CE=CD，由线段的构成得CE=BC-BE，则根据平行四边形的周长等于四边之和可求解四边形的周长.
10．【答案】8
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点E，点F分别是BM，CM中点，
∴EF是△BCM的中位线，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
故答案是:8．
【分析】先利用三角形中位线的性质算出BC，再利用平行四边形的性质，可得AD=AC，再利用AN=2MD计算即可。
11．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，作BP⊥AD，交DA延长线于P，作BQ∥FH，交AD于Q．
由题意得，AE=EM=BE= AB=4cm，DG=NG=CG= CD=4cm，
AH=MH，BF=MF，
∵四边形 为矩形，
∴EF=HG，EF∥HG
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠EBF=∠GDH=60°
∵EF∥HG
∴∠EFM=∠GHN，
又∵∠EFM=∠EFB，∠GHD =∠GHN，
∴∠EFB=∠GHD，
∴△BEF≌△DGH,
∴DH=BF，
∴FH=FM+HM=BF+AH=10cm，
∵BQ∥FH，BF∥QH，
∴BQ=HF=10cm，
∵PD∥BC，
∴∠PAB=∠ABC=60°，
∴在Rt△ABP中，∠ABP=30°，
∴AP= AB=4cm，
∴BP= cm，
设AH=xcm，则HD=（10-x）cm，
∴PQ=14-2（10-x）=（2x-6）cm，
在Rt△BPQ中，根据勾股定理得
解得 （不合题意，舍去）
故答案为：
【分析】由折叠的性质可得AE=EM=BE= AB，DG=NG=CG= CD，AH=MH，BF=MF，易证△BEF≌△DGH，则可得DH=BF.作BP⊥AD，交DA延长线于P，作BQ∥FH，交AD于Q，进而推出FH=BQ=10cm，在直角△ABP中，利用勾股定理即可计算出BP的长，设AH=xcm，则HD=（10-x）cm，进而表示出PQ的长，最后在直角△BPQ中，利用勾股定理求出x的值即可.
12．【答案】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
又∵
∴四边形 是平行四边形；
∴ ，即 ；
又 于点 ；∴∠EFC=90°
∴在 中，点 是斜边 的中点
∴ ．
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得 ， ，然后结合题意利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形 是平行四边形，然后利用平行四边形的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半证明求解．
13．【答案】证明：∵四边形 是平行四边形
∴ ， ，
∵点 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点
∴ ， ， ，
∴ ，
在 和 中
∴
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由平行四边形的对边相等、对角相等可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠D，由三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得BE=AB，DG=CD，BF=BC，DH=AD，则BE=DG，BF=DH，然后用边角边可证BEFDGH.
14．【答案】（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求，A′（2，﹣3）；
故答案为：（2，﹣3）；
（2）如图，A″的坐标为（﹣3，﹣2）；
故答案为：（﹣3，﹣2）；
（3）如图，第四个顶点D的坐标为（3，3）或（﹣7，3）或（﹣5，﹣3）．
故答案为：（3，3）或（﹣7，3）或（﹣5，﹣3）．
【知识点】平行四边形的性质；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用旋转的性质得出对应点坐标即可；（3）利用平行四边形的性质得出对应点位置即可．
15．【答案】（1）5-t；OF=2t
（2）解： 当F在A点右侧，四边形ABEF为平行四边形， ，
即 ，解得 ，
当P在A点左侧，四边形BEAF为平行四边形， ，即 ，
解得 ；
（3）解：当 恰好是等腰三角形时，有以下三种情况：
当 时， ，解得 ；
当 时， ，方程无解；
当 时， ，解得 ；
所以，当 或 时，当 恰好是等腰三角形.
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据题意，可得点B的坐标为
，即可求得
，
；
（2）分两种情况讨论：
当F在A点右侧，四边形ABEF为平行四边形，
；
当P在A点左侧，四边形BEAF为平行四边形，
，列方程求解即可；
（3）分三种情况讨论：
当
时；
当
时；
当
时，分别列方程求解即可.
16．【答案】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
又∵ ，
∴
（2）解：∵四边形 是平行四边形
∴ ，
由（1）知： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对边平行得出AD∥BC，根据平行线的性质可得 ，从而可得 ，又 ，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得出结论；
（2）根据相似三角形的对应边成比例建立方程，求解即可.
1 / 1初中数学华师大版八年级下学期 第18章 18.1 平行四边形的性质
一、单选题
1．（2020九上·长沙月考）在平行四边形 中，若 ，则 的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°，
又∵∠A=2∠B，
∴2∠B+∠B=180°，
解得：∠B=60°，
∴∠D=60°；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的邻边互补，结合已知进行求解.
2．（2020九上·婺城月考）如图,平面直角坐标系中O是原点，平行四边形ABCO的顶点A、C的坐标分别（8,0）、（3,4）,点D,E把线段OB三等分,延长CD，CE分别交OA，AB于点F,G，连接FG，则下列结论:①F是OA的中点；②△OFD与△BEG相似；③四边形DEGF的面积是 ；④ .正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
四边形 是平行四边形,
,
为 的三等分点,
是 的中点;
所以①结论正确;
②如图2,延长 交 轴于 ,
由 知:
,
,
不成立,
所以②结论不正确;
③由①知: 是 的中点,
同理得: 是 的中点,
是 的中位线,
,
过 作 于
,
设四边形DEGF的面积为
所以③结论正确;
④在 中,由勾股定理得:
所以④结论不正确;
故本题结论正确的有:①③;
故答案为：C.
【分析】①根据四边形OABC是平行四边形可得BC∥OA，由平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似可得△BCD∽△OFD，可得比例式，再结合点D,E把线段OB三等分可得F是OA的中点；
②延长BC交y轴于H，结合点的坐标可得OA≠AB，所以∠AOB≠∠ABO，于是可得△OFD不与△BEG相似；
③由①知:F是OA的中点，同理可得G是AB的中点，于是根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得FG=OB，FG∥OB，结合已知可求得，过C作CQ⊥AB于Q，根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似可得△CDE∽△CFG，由序偶相似三角形的性质可得设四边形DEGF的面积为S，则,则 四边形DEGF的面积可求解；
④在直角三角形OHB中,由勾股定理可求得OB的值，根据D为OB的三等分点可求解.
3．（2021九上·甘谷期末）如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：① ；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（ ）
A．①②③④ B．①④ C．②③ D．①②③
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵在 ABCD中， ，
∵点E是OA的中点，
，
∵AD//BC，
∴△AFE∽△CBE，
，
∵AD＝BC，
，
；故①正确；
∵S△AEF＝4， ，
∴S△BCE＝36；故②正确；
∴S△ABE＝12，故③正确；
∵BF不平行于CD，
∴△AEF与△ADC只有一个角相等，
∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误，
故答案为：泽：D.
【分析】①由平行四边形的性质可得AD//BC，AD＝BC，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似”可得△AFE∽△CBE，由相似三角形的性质可得比例式，于是；
②由相似三角形的面积的比等于相似比可求解；
③由①中的相似三角形可求解；
④由题意可知，△AEF与△ADC只有一个角相等，所以不能判断两个三角形相似.
4．（2020九上·甘州月考）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B，A，E在一条直线上，CE交AD于点F，则图中等边三角形共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，
∴∠E=∠B=60°，
∴△BEC是等边三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠D=∠B=60°，
∴∠B=∠EAF=60°，
∴△EFA是等边三角形，
∵∠EFA=∠DFC=60°，∠D=∠B=60°，
∴△DFC是等边三角形，
∴图中等边三角形共有3个，
故答案为：B.
【分析】根据折叠的性质可得∠E=∠B=60°，进而可证明△BEC是等边三角形，再根据平行四边形的性质可得：AD∥BC，所以可得∠EAF=60°，进而可证明△EFA是等边三角形，由等边三角形的性质及对顶角相等可得∠EFA=∠DFC=60°，又因为∠D=∠B=60°，进而可证明△DFC是等边三角形，问题得解.
5．（2020九上·洛宁月考）如图，E是 ABCD的边AD上的一点，连接BE并延长，交CD的延长线于点F，若AE： BC =3： 5，则FD： DC的值为（ ）
A．2 ： 3 B．2：5 C．3 ： 4 D．3 ： 5
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC，AB=CD，AD=BC，
∴ED：AE=EF：EB，FD：DC=EF：EB，
∴FD： DC= ED：AE
∵AE： BC=3：5，AD=BC，
∴AE：AD=3：5，
∴ED：AE =2：3，
∴FD： DC=2：3，
故答案为：A.
【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥DC，AB=CD，AD=BC，根据平行线分线段成比例定理可得比例式，，于是可得比例式可求解.
6．（2020九上·江西期中）如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点 ， 为 的中点，连接 交 于点 ，若 ，则 的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点E是BC中点，
∴BC=2BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，BC∥AD，BO=OD，
∴AD=2BE，
设BF=a，
∵OF=1，
∴BO=DO=a+1，
则DF=a+2，
∵BC∥AD
∴△BEF∽△DAF，
∴
解得a=2，
经检验a=2是原方程的解
∴BF=2，
∴BO=DO=3，
∴BD=6
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质知AD=2BE，BC∥AD，BO=OD，设BF=a，得DF=a+2，由BC∥AD知△BEF∽△DAF，据此得 ,得出BF的长，从而得出BD的长．
7．（2020九上·青神期中）如图，在 ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝ ，则△CEF的周长为（ ）
A．8 B．9.5 C．10 D．11.5
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在 ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵AB∥DC，
∴∠BAF＝∠F，
∴∠DAF＝∠F，
∴AD＝FD，
∴△ADF是等腰三角形，
同理△ABE是等腰三角形，
AD＝DF＝9；
∵AB＝BE＝6，
∴CF＝3；
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝4 ，可得：AG＝2，
又BG⊥AE，
∴AE＝2AG＝4，
∴△ABE的周长等于16，
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的周长为8．
故答案为：A．
【分析】根据角平分线的定义可得∠BAF＝∠DAF，根据平行的性质可得AB∥DC，从而求出∠BAF＝∠F，即得∠DAF＝∠F，利用等腰三角形的判定可得△ADF是等腰三角形，同理△ABE是等腰三角形.利用等腰三角形的性质可得AD＝DF＝9，AB＝BE＝6，从而求出CF＝3.在Rt△ABG中利用勾股定理求出AG＝2，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE＝2AG＝4，从而求出△ABE的周长=AB+BE+ AE=16，由AB∥FC，可证△CEF∽△BEA，可得相似比CF：AB=1：2，利用相似三角形的周长比等于相似比即可求出结论.
二、填空题
8．（2021九上·上蔡期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，AC与DE相交于点F，若 ， ，则 等于 .
【答案】12
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在平行四边形ABCD中， ，
∽ ，
，
又 ，
，
而 ，
，
，
，
故答案为：12.
【分析】根据平行四边形的对边平行得出AD∥BC，根据平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得出 ∽ ，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方得出，由相似比CE：AD即可求出面积比，从而得到 的面积.
9．（2020八上·渝北月考）如图，在平行四边形 中， 平分 ， ， ，则 的周长是 .
【答案】16
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵ ABCD中,AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD，
∵在 ABCD中，AD=5，BE=2，
∴AD=BC=5，
∴CE=BC BE=5 2=3，
∴CD=AB=3，
∴ ABCD的周长=5+5+3+3=16.
故答案为：16.
【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义可得∠CDE=∠CED，AD=BC，CD=AB，由等角对等边可得CE=CD，由线段的构成得CE=BC-BE，则根据平行四边形的周长等于四边之和可求解四边形的周长.
10．（2020九上·长春期中）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2MD，点E，点F分别是BM，CM中点，若EF＝6，则AM的长为 ．
【答案】8
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点E，点F分别是BM，CM中点，
∴EF是△BCM的中位线，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
故答案是:8．
【分析】先利用三角形中位线的性质算出BC，再利用平行四边形的性质，可得AD=AC，再利用AN=2MD计算即可。
11．（2020九上·永州月考）如图，某数学兴趣小组在学完矩形的知识后一起探讨了一个纸片折叠问题：如何将一张平行四边形纸片 的四个角向内折起，拼成一个无缝隙、无重叠的矩形 ．图中 ， ， ， 表示折痕，折后 的对应点分别是 ．若 ， ， ，则纸片折叠时 的长应取 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，作BP⊥AD，交DA延长线于P，作BQ∥FH，交AD于Q．
由题意得，AE=EM=BE= AB=4cm，DG=NG=CG= CD=4cm，
AH=MH，BF=MF，
∵四边形 为矩形，
∴EF=HG，EF∥HG
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠EBF=∠GDH=60°
∵EF∥HG
∴∠EFM=∠GHN，
又∵∠EFM=∠EFB，∠GHD =∠GHN，
∴∠EFB=∠GHD，
∴△BEF≌△DGH,
∴DH=BF，
∴FH=FM+HM=BF+AH=10cm，
∵BQ∥FH，BF∥QH，
∴BQ=HF=10cm，
∵PD∥BC，
∴∠PAB=∠ABC=60°，
∴在Rt△ABP中，∠ABP=30°，
∴AP= AB=4cm，
∴BP= cm，
设AH=xcm，则HD=（10-x）cm，
∴PQ=14-2（10-x）=（2x-6）cm，
在Rt△BPQ中，根据勾股定理得
解得 （不合题意，舍去）
故答案为：
【分析】由折叠的性质可得AE=EM=BE= AB，DG=NG=CG= CD，AH=MH，BF=MF，易证△BEF≌△DGH，则可得DH=BF.作BP⊥AD，交DA延长线于P，作BQ∥FH，交AD于Q，进而推出FH=BQ=10cm，在直角△ABP中，利用勾股定理即可计算出BP的长，设AH=xcm，则HD=（10-x）cm，进而表示出PQ的长，最后在直角△BPQ中，利用勾股定理求出x的值即可.
三、解答题
12．（2020九上·万荣期末）如图，已知点 是 的边 延长线上的一点；连接 ， ，且 ；过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ；求证：
【答案】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
又∵
∴四边形 是平行四边形；
∴ ，即 ；
又 于点 ；∴∠EFC=90°
∴在 中，点 是斜边 的中点
∴ ．
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得 ， ，然后结合题意利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形 是平行四边形，然后利用平行四边形的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半证明求解．
13．（2020九上·保山月考）如图，点 、 、 、 分别是 的边 、 、 、 的中点.
求证：
【答案】证明：∵四边形 是平行四边形
∴ ， ，
∵点 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点
∴ ， ， ，
∴ ，
在 和 中
∴
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由平行四边形的对边相等、对角相等可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠D，由三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得BE=AB，DG=CD，BF=BC，DH=AD，则BE=DG，BF=DH，然后用边角边可证BEFDGH.
四、综合题
14．（2020九上·海珠期中）如图，已知△ABC的三个顶点坐标为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（1）将△ABC绕坐标原点O旋转180°，画出图形，并写出点A的对应点A'的坐标；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，直接写出点A的对应点A''的坐标．
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
【答案】（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求，A′（2，﹣3）；
故答案为：（2，﹣3）；
（2）如图，A″的坐标为（﹣3，﹣2）；
故答案为：（﹣3，﹣2）；
（3）如图，第四个顶点D的坐标为（3，3）或（﹣7，3）或（﹣5，﹣3）．
故答案为：（3，3）或（﹣7，3）或（﹣5，﹣3）．
【知识点】平行四边形的性质；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用旋转的性质得出对应点坐标即可；（3）利用平行四边形的性质得出对应点位置即可．
15．（2021八上·南阳期末）如图，平行四边形ABCO位于直角坐标系中，O为坐标原点，点
，点
交y轴于点
动点E从点D出发，沿DB方向以每秒1个单位长度的速度终点B运动，同时动点F从点A出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，当点E运动到点B时，点F随之停止运动，运动时间为
秒
.
（1）用t的代数式表示：
，
（2）若以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值.
（3）当
恰好是等腰三角形时，求t的值.
【答案】（1）5-t；OF=2t
（2）解： 当F在A点右侧，四边形ABEF为平行四边形， ，
即 ，解得 ，
当P在A点左侧，四边形BEAF为平行四边形， ，即 ，
解得 ；
（3）解：当 恰好是等腰三角形时，有以下三种情况：
当 时， ，解得 ；
当 时， ，方程无解；
当 时， ，解得 ；
所以，当 或 时，当 恰好是等腰三角形.
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据题意，可得点B的坐标为
，即可求得
，
；
（2）分两种情况讨论：
当F在A点右侧，四边形ABEF为平行四边形，
；
当P在A点左侧，四边形BEAF为平行四边形，
，列方程求解即可；
（3）分三种情况讨论：
当
时；
当
时；
当
时，分别列方程求解即可.
16．（2021九上·连山期末）如图，在平行四边形 中， 为 上一点， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长.
【答案】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
又∵ ，
∴
（2）解：∵四边形 是平行四边形
∴ ，
由（1）知： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对边平行得出AD∥BC，根据平行线的性质可得 ，从而可得 ，又 ，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得出结论；
（2）根据相似三角形的对应边成比例建立方程，求解即可.
1 / 1
