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北师版数学七年级下4.5利用三角形全等测距离教案
课题 4.5利用三角形全等测距离 单元 4 学科 数学 年级 七
学习 目标 能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学于实际生活的联系; 能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达.
重点 构造全等三角形,将实际问题转化为数学问题.
难点 能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 想一想，判定三角形全等有哪些方法？ （1）“SSS”：三边对应相等的两个三角形全等. （2）“ASA”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. （3）“AAS”：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. （4）“SAS”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 生回答问题 通过全等三角形的有关知识的提问，可以温习与本节有关的知识，巩固旧知识，同时也是本节课的理论基础.
讲授新课 一位经历过战争的老人讲述了这样一个故事： 在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望.为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样一个办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离. 1.阅读相关内容完成下列问题： (1)在引例中，“保持刚才的姿态”你是怎样理解的？ 答：___________________. (2)直立的姿态从而保证了两个三角形中的两个_____；帽檐不动，保证了视线和身体的_____不变. (3)要说明图中两个三角形全等，已知两角，则还差一边，即_________. (4)测量的原理是：构造了_______________. (1)按这个战士的方法，找出教室或操场上与你距离相等的两个点，并通过测量加以验证. (2)你能解释其中的道理吗？ 理由：在△ACB与△ACD中， ∠BAC=∠DAC AC=AC（公共边） ∠ACB=∠ACD=90° △ACB≌△ACD（ASA） BC= DC（全等三角形的对应边相等） 【归纳】 (1)利用三角形的全等测距离的根据：全等三角形的对应边__相等___. (2)利用三角形的全等测距离的方法：转化法，即把不能直接测量或无法测量的线段转化为容易测量的线段 【想一想】 如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是AB间的距离.你能说明其中的道理吗 . 小明是这样想的： 在△ABC和△DEC中， 因为AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，BC＝EC 所以△ABC≌△DEC， 所以AB＝DE. 你能说出每步的道理吗 1.你能设计出其他的方案来吗？（构建全等三角形） 例、如图，在一条河的两岸各耸立着一座宝塔A，B，隔河相对，在无任何过河工具的情况下，你能测量出两座宝塔间的距离吗？说说你的方法和理由． 【归纳】 1.当两点之间可以直接到达时，可以直接测量出两点之间的距离；当两点之间不能直接到达时，可以构造全等三角形，将不能到达的两点转化到能够到达的两点来进行测量． 2.通过构造全等三角形来进行测量有以下几种方法：构造两边和它们的夹角对应相等的两个全等三角形；构造两角和它们的夹边对应相等的两个全等三角形；构造三边对应相等的两个全等三角形. 生回答：直立姿态和帽檐不动 直角 夹角 身高不变 两个全等三角形 学生独立思考,小组交流探讨;教师巡视指导,特别关注有困难的学生此时是否积极参与,教师在黑板上画几个池塘图案备学生展示用. 用真实的故事引入新课,适时地提问,激发了学生的求知欲和好奇心,有不同意见时正好可以组织学生体验战士的测量方法,感受数学与现实生活的联系,以轻松、愉快的心态进入探究新知的过程. 学生对于情境中战士的做法比较陌生,通过角色模拟的方法进行体验,让学生对战士的测量方法有一个直观理解,进而思索其中的道理.在操作验证过程中培养合作参与精神和严谨的学习态度.鼓励学生自己说明理由,锻炼数学思考能力和有条理的语言表达能力. 通过合作从不同的角度得出不同的测量方法.让学生懂得情境中使用的方法虽然是一种估测,不是准确值,但却是解决问题的好方法.通过活动学生将会感受到成功的喜悦,培养了学生解决问题的意识和能力.
课堂练习 1. 如图，要测量河两岸相对的两点 A、B 的距离，先在AB的垂线BF上取两点 C、D，使CD=CB，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC ≌ △ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是 ( ) A. SSS B. ASA C. AAS D. SAS 2.如图所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100 m，则A，B两点间的距离( ) A.大于100 m B.等于100 m C.小于100 m D.无法确定 3. 如图，两根长12m的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端分别固定在地面上的两个木桩上（绳结处的误差忽略不计），现在只有一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由。 4.课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图，试说明：△ADC≌△CEB． 学生自主完成习题，老师订正 让学生巩固已学知识，加深对知识的理解与运用
课堂小结 1.知识回顾. 2.谈谈这节课你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 利用三角形全等可以测量两点之间的距离.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共22张PPT)
北师大版 七年级下册
4.5利用三角形全等测距离
复习回顾
判定三角形全等有哪些方法？
（1）“SSS”：三边对应相等的两个三角形全等.
（2）“ASA”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
（3）“AAS”：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
（4）“SAS”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
情境导入
一位经历过战争的老人讲述了这样一个故事：
在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望.为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样一个办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离.
新知讲解
1.阅读相关内容完成下列问题：
(1)在引例中，“保持刚才的姿态”你是怎样理解的？
答：___________________.
(2)直立的姿态从而保证了两个三角形中的两个_____；帽檐不
动，保证了视线和身体的_____不变.
(3)要说明图中两个三角形全等，已知两角，则还差一边，即
_________.
(4)测量的原理是：构造了_______________.
直立姿态和帽檐不动
直角
夹角
身高不变
两个全等三角形
新知讲解
A
C
B
D
理由：在△ACB与△ACD 中，
∠BAC =∠DAC
AC = AC（公共边）
∠ACB = ∠ACD = 90°
△ACB≌△ACD（ASA）
所以BC = CD
归纳总结
利用三角形全等可以测量两点之间的距离.
利用三角形全等测距离,实际上是构造出全等三角形，运用全等三角形的性质（对应边相等），把较难测量的距离转化为较容易测量的线段的长度.
想一想
如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，你能帮小明设计一个方案，解决此问题吗？
1.说出你的设计方案；
2.你能用所学知识说明你设计方案的
理由是什么吗？
新知讲解
A
B
先在地上取一个可以直接到达 A 和 B 点的点 C;
C
E
D
连接 AC 并延长到 D，使CD = AC；连接 BC 并延长到E，使 CE = CB，
连接 DE 并测量出它的长度，即为AB 之间的距离.
方案一：
新知讲解
理由: 在△ACB与△DCE 中，
所以△ACB ≌ △DCE（SAS）
AB = DE
(全等三角形的对应边相等)
∠BCA = ∠ECD
AC = CD
BC = CE
因为
A
B
C
E
D
新知讲解
A
B
C
D
方案二：
如图，先作三角形 ABC ,再找一点 D，使AD∥BC，并使AD = BC，连接 CD，量CD 的长即得 AB 之间的距离.
理由: 在△DAC与△BCA 中，
所以△DAC ≌ △BCA（SAS）
AB = CD
(全等三角形的对应边相等)
∠DAC = ∠BCA
DA = BC
AC = CA
因为
典例精析
例、如图，在一条河的两岸各耸立着一座宝塔A，B，隔河相对，在无任何过河工具的情况下，你能测量出两座宝塔间的距离吗？说说你的方法和理由．
典例精析
解：能．如图，沿河岸作射线BF，且使BF⊥AB，在BF上截取BC＝CD，过D点作DE⊥BF，使点E，C，A在同一条直线上，则DE的长就是两座宝塔A、B间的距离．
理由如下：因为在△ACB和△ECD中，
所以△ACB≌△ECD，所以AB＝DE.
归纳总结
1.在现实生活中经常会遇到一些难以测量的距离问题，当两点间的距离无法直接测量时，就可以想办法构造两个全等三角形，利用全等三角形的性质进行转化，把难以测量的线段转化为容易测量的线段。
2.利用三角形全等测距离的步骤如下：
（1）先明确实际问题可以用哪些知识来解决；
（2）根据实际问题抽象出几何图形；
（3）结合图形和题意分析已知条件，由已知想未知；
（4）找到已知与未知的联系，寻求恰当的解决途径，并表述清楚.
课堂练习
1. 如图，要测量河两岸相对的两点 A、B 的距离，先在AB的垂线BF上取两点 C、D，使CD=CB，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC ≌ △ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是 ( )
A. SSS B. ASA C. AAS D. SAS
A
B
C
D
F
E
B
课堂练习
2.如图所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100 m，则A，B两点间的距离( )
A.大于100 m B.等于100 m
C.小于100 m D.无法确定
B
课堂练习
3. 如图，两根长12m的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端分别固定在地面上的两个木桩上（绳结处的误差忽略不计），现在只有一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由。
解：用卷尺测量出BD、CD，看它们是否相等， 若BD=CD，则AD⊥BC。
理由如下：∵在△ABD和△ACD中，AB=AC, BD=CD, AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠ADB=∠ADC，
又∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
即AD⊥BC。
课堂练习
α
4.课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图，试说明：△ADC≌△CEB．
解：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
所以∠ADC=∠CEB=90°.
所以∠ACD+∠BCE=90°,
∠ACD+∠DAC=90°，
所以∠BCE=∠DAC.
在△ADC和△CEB中，
因为 ∠ADC=∠CEB，∠DAC=∠BCE，AC=BC,
所以△ADC≌△CEB（AAS）．
课堂总结
1.知识：
利用三角形全等测距离的目的：变不可测距离为可测距离.
依据：全等三角形的性质.
关键：构造全等三角形.
2.方法：
（1）延长法构造全等三角形；
（2）垂直法构造全等三角形.
3.数学思想：
树立用三角形全等构建数学模型解决实际问题的思想.
板书设计
利用三角形全等可以测量两点之间的距离.
作业布置
基础作业：
课本P109习题第1题
能力作业：
课本P109习题第2题
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