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1.1.4 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 教案
课题 1.1.4 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 单元 第1单元 学科 数学 年级 八年级（下）
学习目标 1.掌握等边三角形的判定定理，并能加以运用.2.掌握“30°的角所对的直角边等于斜边的一半”这一定理，并能运用定理解决问题.3.进一步丰富探索几何图形性质的经验，提升几何推理证明的能力.
重点 等边三角形判定定理和性质定理的探究与证明.
难点 等边三角形性质和判定方法的应用.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题 怎么判断一个三角形是等边三角形呢？你能画一个等边三角形吗？ 一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ 三条边相等的三角形是等边三角形（定义）从角的角度怎样判断一个三角形是等边三角形？猜想：三个角都相等的三角形是等边三角形.已知：如图，∠A= ∠ B=∠C.求证： AB=AC=BC.证明：∵ ∠A= ∠B,∴ AC=BC.∵ ∠B=∠C,∴ AB=AC.∴AB=AC=BC.思考：一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形 猜想：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.想一想怎样证明这个猜想？证明：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.已知：如图，在△ABC 中， AB=AC，∠B= 60°（或∠A=60°）.求证： △ABC是等边三角形 .证明：在△ABC 中， AB=AC，∴ ∠B= ∠C.又∵ ∠B = 60° ，∴ ∠C = 60° ，∴ ∠A = 60° ，∴ ∠A = ∠B.∴ BC=AC ，∴ AB=BC=AC ，∴ △ABC是等边三角形 .等边三角形的判定方法：1.定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.推导过程：∵AB＝BC＝CA，∴ △ABC是等边三角形.2.定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.推导过程：∵∠A＝∠B＝∠ C，∴ △ABC是等边三角形.3.定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．推导过程：∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形.证明一个三角形是等边三角形的方法：(1)若已知三边关系，则选用等边三角形定义来判定；(2)若已知三角关系，则选用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定；(3)若已知是等腰三角形，则选用“有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形”来判定．【做一做】用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？猜想：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.你能证明你的结论吗？已知：如图 (1)， △ABC是直角三角形，∠C＝90°， ∠A＝30°求证： BC＝AB.分析：证明“线段的倍、分”问题转 化“线段相等”问题证明：如图(2)，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD.∵∠ACB ＝ 90°，∠BAC＝30°.∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.∵AC ＝AC,∴△ABC≌△ADC ( SAS ). ∴AB＝AD.∴△ABD是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）∴ BC＝ BD＝AB. 思考自议学生相互交流探究证法，教师参与讨论.集思广益，鼓励创新与多种证法，充分给学生思考和发表意见的时间和空间. 通过回忆让学生充分准备好本节课学习所需要的基础知识，利用问题探索让学生发现，并初步感悟等腰三角形与等边三角形的区别与联系.
讲授新课 提炼概念【总结归纳】定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 几何语言：在Rt△ABC中∵∠A＝30°∴ BC＝AB三、典例精讲例3 求证：如果等腰三角形的底角为 15°，那么腰上的高是腰长的一半.已知：如图，在△ABC 中， AB= AC， ∠B=15°. CD是腰AB上的高.求证： CD=AB.证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝15° ∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角).∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.∴CD是腰AB上的高，∴∠ADC＝ 90°.∴CD＝AC. ∴CD=AB. 能运用该法则准确进行有理数的加法运算.结合活动中的问题探索，引导学生从边与角的角度探索等边三角形的判定. 培养学生的探究精神，引导学生把等腰三角形的性质判定与等边三角形的性质判定进行类比，感悟这种类比方法在学习中的作用.进一步提升学生的想象力空间，培养学生的探究发现能力。
课堂检测 四、巩固训练1.如图，已知△ABC，下列条件中能判定△ABC是等边三角形的是 ( )A．AB＝AC，∠B＝∠CB．AD⊥BC，BD＝CDC．BC＝AC，∠B＝∠CD．AD⊥BC，∠BAD＝∠CADC2.下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都为120°的三角形；④一条腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有( )A．①②③ B．①②④C．①③ D．①②③④D3.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，则下列关系式正确的为( )A．BD＝CD B．BD＝2CD C．BD＝3CD D．BD＝4CDB4.已知:如图,在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D．求证:BD=5.如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1. (1)求证：BE＝AD；(2)求AD的长．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°.又∵AE＝CD，∴△ABE≌△CAD.∴BE＝AD.(2)求AD的长．解：由(1)知△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD.∴∠BPD＝∠PAB＋∠ABE＝∠PAB＋∠CAD＝∠BAC＝60°.又∵BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°.∴BP＝2PQ＝6.∴BE＝BP＋PE＝6＋1＝7.∴AD＝7.
课堂小结 本节课你学到了什么？1.等边三角形的判定三条边都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形2.特殊的直角三角形的性质在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半
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北师大版 八年级下
1.1.4 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质
情境引入
看着像
60°
60°
60°
A
B
C
30°
有判断的
依据和办法
怎么判断一个三角形是等边三角形呢？
合作学习
导入新课
三角形的基本元素是“边”和“角”
思考方向：
角
______________的三角形是等边三角形.
要探究判断方法，可以反思性质.
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都是60°.
三个角都相等
猜想：三个角都相等的三角形是等边三角形.
已知：如图，∠A= ∠ B=∠C.
求证： AB=AC=BC.
∵ ∠A= ∠B,
∴ AC=BC.
∵ ∠B=∠C,
∴ AB=AC.
∴AB=AC=BC.
证明：
A
C
B
思考：一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形
猜想：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
想一想怎样证明这个猜想？
证明：在△ABC 中， AB=AC，∴ ∠B= ∠C.
又∵ ∠B = 60° ，∴ ∠C = 60° ，
∴ ∠A = 60° ，∴ ∠A = ∠B.
∴ BC=AC ，∴ AB=BC=AC ，
∴ △ABC是等边三角形 .
证明：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
已知：如图，在△ABC 中， AB=AC，∠B= 60°（或∠A=60°）.
求证： △ABC是等边三角形 .
A
C
B
提炼概念
1.定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.
3.定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
2.定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.
推导过程：∵AB＝BC＝CA，∴ △ABC是等边三角形.
推导过程：∵∠A＝∠B＝∠ C，∴ △ABC是等边三角形.
推导过程：∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形.
A
C
B
等边三角形的判定方法：
证明一个三角形是等边三角形的方法：
(1)若已知三边关系，则选用等边三角形定义来判定；
(2)若已知三角关系，则选用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定；
(3)若已知是等腰三角形，则选用“有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形”来判定．
【做一做】
用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？
【做一做】
用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？
能拼出一个等边三角形吗？
由此你能发现什么结论？
60°
60°
60°
在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？
猜想：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
你能证明你的结论吗？
已知：如图 (1)， △ABC是直角三角形，∠C＝90°， ∠A＝30°
求证： BC＝ AB.
（1）
分析：证明“线段的倍、分”问题
转 化
“线段相等”问题
已知：如图 (1)， △ABC是直角三角形，∠C＝90°， ∠A＝30°
求证： BC＝ AB.
（2）
D
证明：如图(2)，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD.
∵∠ACB ＝ 90°，∠BAC＝30°.
∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.
∵AC ＝AC,∴△ABC≌△ADC ( SAS ). ∴AB＝AD.
∴△ABD是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）
∴ BC＝ BD＝ AB.
【总结归纳】
几何语言：在Rt△ABC中
∵∠A＝30°
∴ BC＝ AB
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
典例精讲
例3 求证：如果等腰三角形的底角为 15°，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC 中， AB= AC， ∠B=15°，CD是腰AB上的高.
求证： CD= AB.
证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝15°
∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角).
∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.
∵ CD是腰AB上的高，∴∠ADC＝ 90°.
∴CD＝ AC. ∴CD= AB.
归纳概念
方法总结
选用等边三角形判定方法的技巧
(1)如果已知三边关系,则选用等边三角形定义来判定.
(2)若已知三角关系,则选用三角相等的三角形是等边三角形来判定.
(3)若已知是等腰三角形,则选用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形来判定.
课堂练习
1.如图，已知△ABC，下列条件中能判定△ABC是等边三角形的是
( )
A．AB＝AC，∠B＝∠C
B．AD⊥BC，BD＝CD
C．BC＝AC，∠B＝∠C
D．AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD
C
2.下列三角形：
①有两个角等于60°的三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都为120°的三角形；
④一条腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有( )
A．①②③ B．①②④
C．①③ D．①②③④
D
3.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，则下列关系式正确的为( )
A．BD＝CD
B．BD＝2CD
C．BD＝3CD
D．BD＝4CD
B
证明：∵∠A=30°，CD⊥AB，∠ACB=90°
∴BC= ∠B=60°，
∴BD= ∴BD=
4.已知:如图,在△ABC中，∠ACB=90°，
∠A=30°，CD⊥AB于D．
求证:BD=
D
A
C
B
30°
∴∠BCD=30°，
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°.
又∵AE＝CD，
∴△ABE≌△CAD.
∴BE＝AD.
5.如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1.
(1)求证：BE＝AD；
(2)求AD的长．
解：由(1)知△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD.
∴∠BPD＝∠PAB＋∠ABE＝∠PAB＋∠CAD＝∠BAC＝60°.
又∵BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°.
∴BP＝2PQ＝6.∴BE＝BP＋PE＝6＋1＝7.
∴AD＝7.
(2)求AD的长．
课堂总结
三个角都相等的三角形是等边三角形.
有一个角等于 60 ° 的等腰三角形是等边三角形.
等腰三角形
在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
作业布置
教材课后配套作业题。
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1.1.4 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 学案
课题 1.1.4 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 单元 第1单元 学科 数学 年级 八年级下册
学习目标 1.掌握等边三角形的判定定理，并能加以运用.2.掌握“30°的角所对的直角边等于斜边的一半”这一定理，并能运用定理解决问题.3.进一步丰富探索几何图形性质的经验，提升几何推理证明的能力.
重点 等边三角形判定定理和性质定理的探究与证明.
难点 等边三角形性质和判定方法的应用.
教学过程
导入新课 【引入思考】 怎么判断一个三角形是等边三角形呢？你能画一个等边三角形吗？ 一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ 三条边相等的三角形是等边三角形（定义）从角的角度怎样判断一个三角形是等边三角形？猜想：三个角都相等的三角形是等边三角形.已知：如图，∠A= ∠ B=∠C.求证： AB=AC=BC.思考：一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形 猜想：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.想一想怎样证明这个猜想？证明：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.已知：如图，在△ABC 中， AB=AC，∠B= 60°（或∠A=60°）.求证： △ABC是等边三角形 .1.定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.推导过程： .2.定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.推导过程： .3.定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．推导过程： .证明一个三角形是等边三角形的方法： ； ； ．【做一做】用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？猜想：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.你能证明你的结论吗？已知：如图 (1)， △ABC是直角三角形，∠C＝90°， ∠A＝30°求证： BC＝AB.
新知讲解 提炼概念【总结归纳】定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 几何语言：在Rt△ABC中∵∠A＝30°∴ BC＝AB典例精讲 例3 求证：如果等腰三角形的底角为 15°，那么腰上的高是腰长的一半.已知：如图，在△ABC 中， AB= AC， ∠B=15°. CD是腰AB上的高.求证： CD=AB.
课堂练习 巩固训练1.如图，已知△ABC，下列条件中能判定△ABC是等边三角形的是 ( )A．AB＝AC，∠B＝∠CB．AD⊥BC，BD＝CDC．BC＝AC，∠B＝∠CD．AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD2.下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都为120°的三角形；④一条腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有( )A．①②③ B．①②④C．①③ D．①②③④3.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，则下列关系式正确的为( )A．BD＝CD B．BD＝2CD C．BD＝3CD D．BD＝4CD4.已知:如图,在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D．求证:BD=5.如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1. (1)求证：BE＝AD；(2)求AD的长． 答案引入思考证明：∵ ∠A= ∠B,∴ AC=BC.∵ ∠B=∠C,∴ AB=AC.∴AB=AC=BC.思考证明：在△ABC 中， AB=AC，∴ ∠B= ∠C.又∵ ∠B = 60° ，∴ ∠C = 60° ，∴ ∠A = 60° ，∴ ∠A = ∠B.∴ BC=AC ，∴ AB=BC=AC ，∴ △ABC是等边三角形 .1.定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.推导过程：∵AB＝BC＝CA，∴ △ABC是等边三角形.2.定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.推导过程：∵∠A＝∠B＝∠ C，∴ △ABC是等边三角形.3.定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．推导过程：∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形.证明一个三角形是等边三角形的方法：(1)若已知三边关系，则选用等边三角形定义来判定；(2)若已知三角关系，则选用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定；(3)若已知是等腰三角形，则选用“有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形”来判定．做一做分析：证明“线段的倍、分”问题转 化“线段相等”问题证明：如图(2)，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD.∵∠ACB ＝ 90°，∠BAC＝30°.∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.∵AC ＝AC,∴△ABC≌△ADC ( SAS ). ∴AB＝AD.∴△ABD是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）∴ BC＝ BD＝AB.提炼概念典例精讲 例3 证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝15° ∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角).∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.∴CD是腰AB上的高，∴∠ADC＝ 90°.∴CD＝AC. ∴CD=AB.巩固训练1.C2.D3.B4.5.（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°.又∵AE＝CD，∴△ABE≌△CAD.∴BE＝AD.(2)求AD的长．解：由(1)知△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD.∴∠BPD＝∠PAB＋∠ABE＝∠PAB＋∠CAD＝∠BAC＝60°.又∵BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°.∴BP＝2PQ＝6.∴BE＝BP＋PE＝6＋1＝7.∴AD＝7.
课堂小结 本节课你学到了什么？1.等边三角形的判定三条边都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形2.特殊的直角三角形的性质在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半
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