广东省珠海市2013届高三上学期期末质检数学文试题

珠海市2012--2013学年度第一学期期末学生学业质量监测
高三文科数学试题
选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.
1．已知集合，集合，则=
A． B． C． D．
2．已知a，b是实数，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是
A．4 B．5 C．6 D．7

4. 已知直线l，m和平面α， 则下列命题正确的是
A．若l∥m，mα，则l∥α
B．若l∥α，mα，则l∥m
C．若l⊥m，l⊥α，则m∥α
D．若l⊥α，mα，则l⊥m
5．已知是虚数单位，复数＝
A． B． C． D．
6． 函数y＝sin (2x＋)的图象可由函数y＝sin 2x的图象
A．向左平移个单位长度而得到 B．向右平移个单位长度而得到
C．向左平移个单位长度而得到 D．向右平移个单位长度而得到
7．已知、均为单位向量,=，与的夹角为
A．30° B．45° C．135° D．150°
8．在递增等比数列{an}中，，则公比＝
A．-1 B．1 C．2 D．
9．若实数x，y满足不等式组 则2x＋4y的最小值是
A．6 B．4 C． D．
10．对于直角坐标平面内的任意两点、，定义它们之间的一种“距离”：
‖AB‖=，给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；
②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；
③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖.
其中真命题的个数为
A. 0 B. 1 C. 2 D.3
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.
（一）必做题（11-13题）
11．某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）：
合唱社
粤曲社
武术社
高一
45
30
高二
15
10
20

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取人，结果合唱社被抽出人，则这三个社团人数共有_______________.
12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝，，若△ABC的面积为 ，则= ．
13．如图，F1，F2是双曲线C：(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线与的左、右两支分别交于A，B两点．若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |＝3 : 4 : 5，则双曲线的离心率为 .
（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，已知曲线： , (为参数）与曲线 ：,（为参数）相交于两个点、，则线段的长为　 .
15．（几何证明选讲选做题）如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，则BD等于 .



三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
设向量a＝，b＝，θ为锐角．
（1）若a·b＝，求sinθ＋cosθ的值；
（2）若a∥b，求sin(2θ＋)的值．
17．（本小题满分12分）
某种零件按质量标准分为五个等级.现从一批该零件中随机抽取个，对其等
级进行统计分析，得到频率分布表如下：
等级
频率
（1）在抽取的个零件中，等级为的恰有个，求；
（2）在（1）的条件下，从等级为和的所有零件中，任意抽取个，求抽取的个零
件等级恰好相同的概率.
18．（本小题满分14分）
已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
（1）求证：；（2）求证：；
（3）求此几何体的体积.
19．(本题满分14分)
已知椭圆：，左、右两个焦点分别为、，上顶点，为正三角形且周长为6.
（1）求椭圆的标准方程及离心率；
（2）为坐标原点，直线上有一动点，求的最小值．
20．（本题满分14分）
已知函数，其中为常数，且.
（1）若曲线在点（1，）处的切线与直线垂直，求的值；
（2）若函数在区间[1，2]上的最小值为，求的值.
（本题满分14分）
在数列中，.
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和 ；
（3）设，求不超过的最大整数的值.
珠海市2012~2013学年第一学期普通高中学生学业质量监测
高三文科数学试题参考答案及评分标准
选择题：CABDA AACDB
二、填空题：
（一）必做题（11-13题）
11．某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）：
合唱社
粤曲社
武术社
高一
45
30
高二
15
10
20

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取人，结果合唱社被抽出人，则这三个社团人数共有_______________.
12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝，，若△ABC的面积为 ，则= ．
13．如图，F1，F2是双曲线C：(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线与的左、右两支分别交于A，B两点．若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |＝3 : 4 : 5，则双曲线的离心率为 .
（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，已知曲线： , (为参数）与曲线 ：,（为参数）相交于两个点、，则线段的长为　 .
15．（几何证明选讲选做题）如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，
若PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，则BD等于 .



11、150 12、 13、 14、 4 15、 6
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．
16．（本小题满分12分）
设向量a＝，b＝，θ为锐角．
（1）若a·b＝，求sinθ＋cosθ的值；
（2）若a∥b，求sin(2θ＋)的值．
17．（本小题满分12分）
某种零件按质量标准分为五个等级.现从一批该零件中随机抽取个，对其等
级进行统计分析，得到频率分布表如下：
等级
频率
（1）在抽取的个零件中，等级为的恰有个，求；
（2）在（1）的条件下，从等级为和的所有零件中，任意抽取个，求抽取的个零
件等级恰好相同的概率.
18．（本小题满分14分）
已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）求此几何体的体积.
19．(本题满分14分)
已知椭圆：两个焦点为、，上顶点，为正三角形且周长为6.
（1）求椭圆的标准方程及离心率；
（2）为坐标原点，直线上有一动点，求的最小值．
20．（本题满分14分）
已知函数，其中为常数，且.
（1）若曲线在点（1，）处的切线与直线垂直，求的值；
（2）若函数在区间[1，2]上的最小值为，求的值.
（本题满分14分）
在数列中，.
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为 ；
（3）设，求不超过的最大整数的值.
16．（本小题满分14分）
解：（1） 因为a·b＝2＋sinθcosθ＝，所以sinθcosθ＝． ……………… 3分
所以 (sinθ＋cosθ)2＝1＋2 sinθcosθ＝．
又因为θ为锐角，所以sinθ＋cosθ＝． ……………… 6分
（2） 解法一 因为a∥b，所以tanθ＝2．　　　 ……………… 8分
所以 sin2θ＝2 sinθcosθ＝＝＝，
cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝－．……………… 10分
所以sin(2θ＋)＝sin2θ＋cos2θ
＝×＋×(－ )＝． ……………… 12分
解法二 因为a∥b，所以tanθ＝2． ……………… 8分
所以 sinθ＝，cosθ＝．
因此 sin2θ＝2 sinθcosθ＝， cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝－． ……………… 10分
所以sin(2θ＋)＝sin2θ＋cos2θ
＝×＋×(－ )＝． ……………… 12分
17．（本小题满分12分）
某种零件按质量标准分为五个等级.现从一批该零件中随机抽取个，对其等
级进行统计分析，得到频率分布表如下：
等级
频率
（Ⅰ）在抽取的个零件中，等级为的恰有个，求；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，从等级为和的所有零件中，任意抽取个，求抽取的个零
件等级恰好相同的概率.
参考答案：
（Ⅰ）解：由频率分布表得 ，
即 . ………………2分
由抽取的个零件中，等级为的恰有个，
得 . ………………4分
所以. ………………5分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，等级为的零件有个，记作；等级为的零件有个，
记作.
从中任意抽取个零件，所有可能的结果为：
共计种. ………………9分
记事件为“从零件中任取件，其等级相等”.
则包含的基本事件为共4个. ………………11分
故所求概率为 . ………………12分
18.解：（1）证明：该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，两两互相垂直。
∵，，，
∴…… 4分
连BN，过N作，垂足为M，
∵，，
∴，… 5分
由三视图知，BC=4，AB=4，BM=AN=4，，
∴ ，=，… 6分
∵，
，…… 7分
∵，
……………… 9分
连接CN，
… 11分
∴，，，
∴ ，
… 13分
此几何体的体积…14分

19、(本题满分14分)
解：（Ⅰ）解：由题设得 ……………… 2分
解得： ， … 4分
故的方程为. ……… 5分 离心率 …… 7分
（2）直线的方程为，…… 8分
设点关于直线对称的点为，则
（联立方程组正确，可得至10分）
所以点的坐标为 ……………………………… 11分
∵，，… 12分
的最小值为 …………… 14分
20．解：() ………………… 2分
（1）因为曲线在点（1，）处的切线与直线垂直，，
所以，即 ……………………………………4分
(2)当时，在（1，2）上恒成立，
这时在[1，2]上为增函数
………………………………………6分
当时，由得，
对于有在[1，a]上为减函数，
对于有在[a，2]上为增函数，
…………………………………8分
当时，在（1，2）上恒成立，
这时在[1，2]上为减函数，
.…………………………………10分
于是，①当时，
②当时，，令，得…11分
③当时，…12分
综上， ……………………………14分
21、【解】：（1）由知得：，即
所以数列为首项为1，公差为1的等差数列，……2分

从而 …………………………………4分
（2）……5分
所以 ……………① ，
，……………②
由①②，
得．
所以． ……………………………………………9分
（3）
，……11分
所以，不超过的最大整数为2013． ………………………………14分