初中数学人教版八年级上册 第十三章 13.4课题学习 最短路径问题
一、单选题
1．（2017八下·宁德期末）如图，点A，B在直线l的同侧，若要用尺规在直线l上确定一点P，使得AP+BP最短，则下列作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020八上·石景山期末）如图，已知∠O ，点 P 为其内一定点，分别在∠O 的两边上找点 A 、 B ，使△ PAB 周长最小的是（ ）
A．. B．
C． D．
3．（2020八上·浦北期末）如图，等边 的边长为 是 边上的中线， 是 边上的动点， 是 边上一点，若 ，当 取得最小值时，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020八上·柳州期末）如图，正 的边长为 ，过点 的直线 ，且 与 关于直线 对称， 为线段 上一动点，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020八上·安陆期末）如图所示,在等边△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（ ）
A．△ABC的重心处 B．AD的中点处
C．A点处 D．D点处
6．（2019八上·仙居月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP＋BP的最小值是（ ）
A．3 B．6 C．5 D．4
7．（2019八上·椒江期中）如图，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是（ ）
A．40° B．100° C．140° D．50°
8．（2020八上·乌海期末）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（ ）
A．140° B．100° C．50° D．40°
9．（2019八上·衢州期中）如图，∠AOB＝30 ，∠AOB内有一定点P，且OP＝10．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若ΔPQR周长最小，则最小周长是（ ）
A．10
B．
C．20
D．
10．（2019八上·海安月考）如图，四边形 中， ，在 、 上分别找一点 ，使 周长最小时，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2020八下·涿鹿期中）如图，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE＝1，若点P在对角线BD上移动，则PA+PE的最小值是 ．
12．（2020八下·襄阳开学考）如图，等边△ABC的边长为2，过点B的直线 且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是 .
13．（2019八上·瑞安月考）在直角坐标系中，点A(-1，1)，点B(3，2)，P是x轴上的一点，则PA+PB的最小值是 。
14．（2019八上·武汉期中）如图，等腰三角形ABC底边BC的长为 4cm，面积是12cm2，腰 AB的垂直平分线EF交AC于点F，若 D为 BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为 cm.
15．（2020八上·江汉期末）如图， ，四边形ABCD的顶点A在 的内部，B，C两点在OM上（C在B，O之间），且 ，点D在ON上，若当CD⊥OM时，四边形ABCD的周长最小，则此时AD的长度是 .
三、解答题
16．（2018八上·北京月考）点P、P1关于OA对称，P、P2关于OB对称，P1P2交OA、OB于M、N，若P1P2=8，则△MPN的周长是多少？
17．（1）已知：如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得ΔPMQ的周长最小；
（2）已知：如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点P，使得点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小．
18．如图，小河边有两个村庄A、B．要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．
（1）若要使水厂到A、B村的距离相等，则应选择在哪建厂？
（2）若要使水厂到A、B村的水管最省料，应建在什么地方？
19．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（4，5）、B（1，0）、C（4，0）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出A1点的坐标；
（2）在y轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，并求出点P的坐标及△PAB的周长最小值．
四、综合题
20．（2018八上·韶关期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于点M
（1）若∠B=70。，求∠NMA．
（2）连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm，求BC的长．
（3）在(2)的条件，直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小 若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：根据对称的性质以及两点之间线段最短可知选项C是正确的．
故选C．
2．【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】D图中，三角形的周长=AP+BP+AB=P1A+AB+BP2=P1P2,为一条线段，故为最小，其他三个选项均不是最小周长.
故答案为：D.
【分析】根据轴对称图形与三角形的周长定义即可求解.
3．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】如图，连接CF交AD于E，
∵BF=4，AB=8，
∴F是AB的中点，
∴CF是AB上的中线，
又∵AD是BC边上的中线，
△ABC是等边三角形，
∴B、C关于AD对称，
∴BE=CE，
∴EF+CE取最小值时，
∵EF+CE=CF，
∴CE=2EF，
∴BE=2EF，
∴∠EBF=30°，
∴∠EBC=30°，
故答案为：C．
【分析】连接CF与AD交于点E，此时BE+EF最小，根据 求得 ，再根据30 所对的直角边等于斜边的一半，可求得答案．
4．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】作点A关于直线BC′的对称点 ，连接 C交直线BC与点D，如图所示．
由图象可知当点D在C′B的延长线上时，AD+CD最小，
而点D为线段BC′上一动点，
∴当点D与点B重合时AD+CD值最小，
此时AD+CD=AB+CB=2+2=4．
故答案为：B．
【分析】作点A关于直线BC′的对称点 ，连接 C交直线BC与点D，由图象可知点D在C′B的延长线上，由此可得出当点D与点B重合时，AD+CD的值最小，由此即可得出结论，再根据等边三角形的性质算出AB+CB的长度即可．
5．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】连接 ，
是等边三角形，D是BC的中点，
是 的垂直平分线，
，
△PCE的周长 ，
当B、P、E在同一直线上时，
的周长最小，
BE为中线，
点P为 的重心，
故答案为： .
【分析】连接 ，根据等边三角形的性质得到 是 的垂直平分线，根据三角形的周长公式、两点之间线段最短解答即可.
6．【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接BP'，PC，
∵EF垂直平分BC，
∴PB=PC，P'B=P'C，
∵AP+BP>AP'+P'C=AC=4,
∴AP+BP的最小值为4.
故答案为：D.
【分析】根据垂直平分线的性质，得PB=PC，P'B=P'C，根据三角形的两边之和大于第三边可知当A、P、C三点共线时，PA+PB最小，即AC的长度.
7．【答案】B
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】分别作点P关于OM、ON的对称点 ，连接 ， 交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，此时△PAB的周长取最小值等于 .
由轴对称性质可得， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ .
故选B.
【分析】设点P关于OM、ON的对称点 ，当点A、B在 上时，△PAB的周长为PA+AB+PB= ，此时周长最小，根据轴对称的性质，可求出∠APB的度数.
8．【答案】B
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，分别作出点P关于直线OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，此时△PMN周长取最小值.根据轴对称的性质可得OC=OP=OD，
∠CON=∠PON，∠POM=∠DOM。
∵∠AOB=∠MOP+∠PON＝40°
∴∠COD=2∠AOB=80°
在△COD中，OC=OD
∴∠OCD=∠ODC=50°
又∵OC=OP，∠CON=∠PON，ON=ON
∴△CON≌△PON （SAS）
∴∠OCN=∠NPO=50°
同理可得 ∠OPM=∠ODM=50°
∴ ∠MPN=∠NPO+∠OPM=50°+50°=100°.
故答案为：B.
【分析】先作图确定出当△PMN周长取最小值时点M、N在射线OA和射线OB上的位置，并连接OC、OD、PM、PN、MN。利用轴对称的性质得OC=OP=OD，∠CON=∠PON，∠POM=∠DOM，进而求出∠COD=2∠AOB=80°；继而分别在△COD中，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠OCD=∠ODC=50°，再利用SAS证得△CON≌△PON，利用全等三角形的性质可得∠OCN=∠NPO=50°，同理可得 ∠OPM=∠ODM=50°，则可利用 ∠MPN=∠NPO+∠OPM计算求解。
9．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】设∠POA=θ，则∠POB=30 θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长到E，使ME=PM. 作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN到F，使NF=PN. 连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形；
∵OA是PE的垂直平分线， ∴EQ=QP，OP=OE，
同理，OB是PF的垂直平分线， ∴FR=RP，OP=OF，
∴△PQR的周长=EQ+QR+RF=EF，∴OE=OF=OP=10，
且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2(30 θ)=60 ，
∴△EOF是正三角形，
∴EF=10， 则△PQR的最小周长为10.
故答案为：A
【分析】分别利用垂直平分线的性质把PQ和PR转换为EQ和RF，则△PQR的周长即为EF的长，结合两点间线段最短，得出这时△PQR的周长最短，再根据垂直平分线的性质，结合∠AOB等于30°，即可判断出△EOF为等边三角形，从而求出EF的长，即ΔPQR的最小周长．
10．【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值。
∵∠DAB=120°，
∴∠AA′M+∠A″=180° 120°=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×60°=120°，
故答案为：C.
【分析】作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值，根据三角形的内角和可得∠AA′M+∠A″=180° 120°=60°，根据轴对称的性质及三角形外角的性质可得∠AMN=∠MA′A+∠MAA′=2∠AA′M，∠ANM=∠NAD+∠A″=2∠A″，从而求出结论.
11．【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作出点E关于BD的对称点E′，连接AE′与BD交于点P，此时AP+PE最小，
∵PE=PE′，
∴AP+PE=AP+PE′=AE′，
在Rt△ABE′中，AB=3，BE′=BE=1，
根据勾股定理，得：AE′= ，
则PA+PE的最小值为 ．
故答案为： ．
【分析】作出点E关于BD的对称点E′交BC于点E′，连接AE′与BD交于点P，此时AP+PE最小，求出AE′的长即为最小值．
12．【答案】4
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接CC′，如图所示.
∵△ABC、△A′BC′均为正三角形，
∴∠ABC=∠A′=60°，A′B=BC=A′C′，
∴A′C′∥BC，
∴四边形A′BCC′为菱形，
∴点C关于BC'对称的点是A'，
∴当点D与点B重合时，AD+CD取最小值，
此时AD+CD=2+2=4.
故答案为：4.
【分析】连接CC′，根据△ABC、△A′BC′均为正三角形即可得出四边形A′BCC′为菱形，进而得出点C关于BC'对称的点是A'，以此确定当点D与点B重合时，AD+CD的值最小，代入数据即可得出结论.
13．【答案】5
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，过B作B关于x轴的对称点N，连接AN，
∴PB=PN，P'B=P'N，
∵P‘A+P'N=AN
即P'A+P'B∴当A、P、N共线时，PA+PB有最小值，
∵AN=
∴PA+PB的最小值为5.
故答案为：5.
【分析】先作出B关于x轴的对称点，连接AN交x轴于一点P，根据对称的性质，结合三角形的两边之和大于第三边，证得P当A、P、N共线时，PA+PB最短，于是根据勾股定理即可求出AN的长，即PA+PB的最小值.
14．【答案】8
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC= BC AD= ×4×AD=12，解得AD=6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+ BC=6+ ×4=6+=8cm.
【分析】连接AD，根据等腰三角形的三线合一得出AD⊥BC，从而根据三角形的面积计算方法列出方程求出AD的长，根据垂直平分线的性质得出点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，从而即可解决问题.
15．【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：分别过射线ON、射线OM作点A的对称点 ,连接 ,过点 作CD的垂线垂足为 ,连接 C,
由图可知，AQ= Q= C,AB＞AQ,当A、B、 共线时，AB最短， C=AB,∵四边形ABCD周长=AB+BC+CD+DA=
∴当 、C、D、 四点共线时，四边形ABCD的周长最短
∵∠MON=15°，CD垂直OM
∴∠ODC=90°-15°=75°
∴ =75°
∵A点和 点关于OM对称
∴∠ADF=75°
∴∠BDH=180°-75°-75°=30°
过A点作CD的垂线，垂足为H
∵BC=1
∴AH=1
在Rt△BHD中，
AD=
故答案为：2
【分析】根据最短路径的解决方法，分别作A点关于OM和ON的对称点，通过连接对称点，列出四边形周长的公式，根据题目已知条件，要使四边形ABCD的周长最短，只需使四点共线即可，然后根据三角形内角和和锐角三角函数计算求解即可.
16．【答案】解：∵点P、P1关于OA对称，P、P2关于OB对称，
∴PM=MP1，PN=NP2；
∴P1M+MN+NP2=PM+MN+PN=P1P2=8，
∴△PMN的周长为8．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】利用轴对称解决最短路径问题。
17．【答案】（1）解：作点 关于角两边的对称点然后连接，交两边于
（2）解：作点 关于 的对称点 ，根据垂线段最短，作 与 的交点即为所求作的点
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质先确定点M关于两边的对称点，然后连接两个对称点，与角的两边的交点即为P、Q，从而构成的三角形的周长最小；
（2）先做M关于OB的对称点，然后过对称点和P作垂线即可得出结论.
18．【答案】（1）解：如图2，画线段AB的中垂线，交EF与Ｐ，则Ｐ到A、B的距离相等．
（2）解：如图3，画出点A关于河岸EF的对称点A′，连结A′B交EF于Ｐ，则Ｐ到AB的距离和最短。
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）满足到两点的距离相等可得在线段的垂直平分线上，从而可确定线段AB的垂直平分线与EF的交点即可；
（2）作A或B的关于EF的对称点，根据两点之间线段最短即可确定与EF的交点位置，从而可得结论.
19．【答案】解：（1）如图所示，由图可知 A1（﹣4，5）；
（2）如图所示，点P即为所求点．
设直线AB1的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（4，5），B1（﹣1，0），
∴，解得，
∴直线AB1的解析式为y=x+1，
∴点P坐标（0，1），
∴△PAB的周长最小值=AB1+AB=+=5+．
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接各点，写出A1点的坐标即可；
（2）连接AB1交y轴于点P，则P点即为所求，利用待定系数法求出直线AB1的解析式，求出P点坐标，再利用两点间的距离公式求出线段AB1+AB长即可．
20．【答案】（1）解：∵AB=AC
∴∠B=∠C=70°
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-2 × 70°=40°
∵MN垂直平分AB，
∴∠ANM=90°
∴∠NMA=90°-∠A=90°-40°=50°
（2）解：（2）如图1，连接BM
∵AB=AC，AB=8cm
∴AC=8
∵MN垂直平分AB，
∴AM=BM
∵△MBC的周长是14cm
∴BM+CM+BC=14，
∴AM+CM+BC=14，
即AC+BC=14
∴BC=14-8=6
（3）存在；点P与点M重合；△PBC的周长最小值为14.
解：（3）如图1，∵MN垂直平分AB，
∴点A、B关于直线MN对称，AC与MN交于点M，因此点M与点P重合
∴PB+PC的值最小。
∴△PBC的周长最小值为14.
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据等边对等角求出∠C的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠A的度数，再根据垂线的定义得出∠ANM=90°，然后根据∠NMA=90°-∠A，计算即可得出答案。
（2）根据相等垂直平分线的性质得出AM=BM，再根据△MBC的周长是14cm，证得AC+BC=14 ，即可得出答案。
（3）根据轴对称的性质及两点之间的最短，可得出点P与点M重合，因此△PBC的周长最小值就是△MBC的周长。
1 / 1初中数学人教版八年级上册 第十三章 13.4课题学习 最短路径问题
一、单选题
1．（2017八下·宁德期末）如图，点A，B在直线l的同侧，若要用尺规在直线l上确定一点P，使得AP+BP最短，则下列作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：根据对称的性质以及两点之间线段最短可知选项C是正确的．
故选C．
2．（2020八上·石景山期末）如图，已知∠O ，点 P 为其内一定点，分别在∠O 的两边上找点 A 、 B ，使△ PAB 周长最小的是（ ）
A．. B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】D图中，三角形的周长=AP+BP+AB=P1A+AB+BP2=P1P2,为一条线段，故为最小，其他三个选项均不是最小周长.
故答案为：D.
【分析】根据轴对称图形与三角形的周长定义即可求解.
3．（2020八上·浦北期末）如图，等边 的边长为 是 边上的中线， 是 边上的动点， 是 边上一点，若 ，当 取得最小值时，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】如图，连接CF交AD于E，
∵BF=4，AB=8，
∴F是AB的中点，
∴CF是AB上的中线，
又∵AD是BC边上的中线，
△ABC是等边三角形，
∴B、C关于AD对称，
∴BE=CE，
∴EF+CE取最小值时，
∵EF+CE=CF，
∴CE=2EF，
∴BE=2EF，
∴∠EBF=30°，
∴∠EBC=30°，
故答案为：C．
【分析】连接CF与AD交于点E，此时BE+EF最小，根据 求得 ，再根据30 所对的直角边等于斜边的一半，可求得答案．
4．（2020八上·柳州期末）如图，正 的边长为 ，过点 的直线 ，且 与 关于直线 对称， 为线段 上一动点，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】作点A关于直线BC′的对称点 ，连接 C交直线BC与点D，如图所示．
由图象可知当点D在C′B的延长线上时，AD+CD最小，
而点D为线段BC′上一动点，
∴当点D与点B重合时AD+CD值最小，
此时AD+CD=AB+CB=2+2=4．
故答案为：B．
【分析】作点A关于直线BC′的对称点 ，连接 C交直线BC与点D，由图象可知点D在C′B的延长线上，由此可得出当点D与点B重合时，AD+CD的值最小，由此即可得出结论，再根据等边三角形的性质算出AB+CB的长度即可．
5．（2020八上·安陆期末）如图所示,在等边△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（ ）
A．△ABC的重心处 B．AD的中点处
C．A点处 D．D点处
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】连接 ，
是等边三角形，D是BC的中点，
是 的垂直平分线，
，
△PCE的周长 ，
当B、P、E在同一直线上时，
的周长最小，
BE为中线，
点P为 的重心，
故答案为： .
【分析】连接 ，根据等边三角形的性质得到 是 的垂直平分线，根据三角形的周长公式、两点之间线段最短解答即可.
6．（2019八上·仙居月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP＋BP的最小值是（ ）
A．3 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接BP'，PC，
∵EF垂直平分BC，
∴PB=PC，P'B=P'C，
∵AP+BP>AP'+P'C=AC=4,
∴AP+BP的最小值为4.
故答案为：D.
【分析】根据垂直平分线的性质，得PB=PC，P'B=P'C，根据三角形的两边之和大于第三边可知当A、P、C三点共线时，PA+PB最小，即AC的长度.
7．（2019八上·椒江期中）如图，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是（ ）
A．40° B．100° C．140° D．50°
【答案】B
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】分别作点P关于OM、ON的对称点 ，连接 ， 交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，此时△PAB的周长取最小值等于 .
由轴对称性质可得， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ .
故选B.
【分析】设点P关于OM、ON的对称点 ，当点A、B在 上时，△PAB的周长为PA+AB+PB= ，此时周长最小，根据轴对称的性质，可求出∠APB的度数.
8．（2020八上·乌海期末）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（ ）
A．140° B．100° C．50° D．40°
【答案】B
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，分别作出点P关于直线OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，此时△PMN周长取最小值.根据轴对称的性质可得OC=OP=OD，
∠CON=∠PON，∠POM=∠DOM。
∵∠AOB=∠MOP+∠PON＝40°
∴∠COD=2∠AOB=80°
在△COD中，OC=OD
∴∠OCD=∠ODC=50°
又∵OC=OP，∠CON=∠PON，ON=ON
∴△CON≌△PON （SAS）
∴∠OCN=∠NPO=50°
同理可得 ∠OPM=∠ODM=50°
∴ ∠MPN=∠NPO+∠OPM=50°+50°=100°.
故答案为：B.
【分析】先作图确定出当△PMN周长取最小值时点M、N在射线OA和射线OB上的位置，并连接OC、OD、PM、PN、MN。利用轴对称的性质得OC=OP=OD，∠CON=∠PON，∠POM=∠DOM，进而求出∠COD=2∠AOB=80°；继而分别在△COD中，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠OCD=∠ODC=50°，再利用SAS证得△CON≌△PON，利用全等三角形的性质可得∠OCN=∠NPO=50°，同理可得 ∠OPM=∠ODM=50°，则可利用 ∠MPN=∠NPO+∠OPM计算求解。
9．（2019八上·衢州期中）如图，∠AOB＝30 ，∠AOB内有一定点P，且OP＝10．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若ΔPQR周长最小，则最小周长是（ ）
A．10
B．
C．20
D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】设∠POA=θ，则∠POB=30 θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长到E，使ME=PM. 作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN到F，使NF=PN. 连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形；
∵OA是PE的垂直平分线， ∴EQ=QP，OP=OE，
同理，OB是PF的垂直平分线， ∴FR=RP，OP=OF，
∴△PQR的周长=EQ+QR+RF=EF，∴OE=OF=OP=10，
且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2(30 θ)=60 ，
∴△EOF是正三角形，
∴EF=10， 则△PQR的最小周长为10.
故答案为：A
【分析】分别利用垂直平分线的性质把PQ和PR转换为EQ和RF，则△PQR的周长即为EF的长，结合两点间线段最短，得出这时△PQR的周长最短，再根据垂直平分线的性质，结合∠AOB等于30°，即可判断出△EOF为等边三角形，从而求出EF的长，即ΔPQR的最小周长．
10．（2019八上·海安月考）如图，四边形 中， ，在 、 上分别找一点 ，使 周长最小时，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值。
∵∠DAB=120°，
∴∠AA′M+∠A″=180° 120°=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×60°=120°，
故答案为：C.
【分析】作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值，根据三角形的内角和可得∠AA′M+∠A″=180° 120°=60°，根据轴对称的性质及三角形外角的性质可得∠AMN=∠MA′A+∠MAA′=2∠AA′M，∠ANM=∠NAD+∠A″=2∠A″，从而求出结论.
二、填空题
11．（2020八下·涿鹿期中）如图，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE＝1，若点P在对角线BD上移动，则PA+PE的最小值是 ．
【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作出点E关于BD的对称点E′，连接AE′与BD交于点P，此时AP+PE最小，
∵PE=PE′，
∴AP+PE=AP+PE′=AE′，
在Rt△ABE′中，AB=3，BE′=BE=1，
根据勾股定理，得：AE′= ，
则PA+PE的最小值为 ．
故答案为： ．
【分析】作出点E关于BD的对称点E′交BC于点E′，连接AE′与BD交于点P，此时AP+PE最小，求出AE′的长即为最小值．
12．（2020八下·襄阳开学考）如图，等边△ABC的边长为2，过点B的直线 且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是 .
【答案】4
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接CC′，如图所示.
∵△ABC、△A′BC′均为正三角形，
∴∠ABC=∠A′=60°，A′B=BC=A′C′，
∴A′C′∥BC，
∴四边形A′BCC′为菱形，
∴点C关于BC'对称的点是A'，
∴当点D与点B重合时，AD+CD取最小值，
此时AD+CD=2+2=4.
故答案为：4.
【分析】连接CC′，根据△ABC、△A′BC′均为正三角形即可得出四边形A′BCC′为菱形，进而得出点C关于BC'对称的点是A'，以此确定当点D与点B重合时，AD+CD的值最小，代入数据即可得出结论.
13．（2019八上·瑞安月考）在直角坐标系中，点A(-1，1)，点B(3，2)，P是x轴上的一点，则PA+PB的最小值是 。
【答案】5
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，过B作B关于x轴的对称点N，连接AN，
∴PB=PN，P'B=P'N，
∵P‘A+P'N=AN即P'A+P'B∴当A、P、N共线时，PA+PB有最小值，
∵AN=
∴PA+PB的最小值为5.
故答案为：5.
【分析】先作出B关于x轴的对称点，连接AN交x轴于一点P，根据对称的性质，结合三角形的两边之和大于第三边，证得P当A、P、N共线时，PA+PB最短，于是根据勾股定理即可求出AN的长，即PA+PB的最小值.
14．（2019八上·武汉期中）如图，等腰三角形ABC底边BC的长为 4cm，面积是12cm2，腰 AB的垂直平分线EF交AC于点F，若 D为 BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为 cm.
【答案】8
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC= BC AD= ×4×AD=12，解得AD=6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+ BC=6+ ×4=6+=8cm.
【分析】连接AD，根据等腰三角形的三线合一得出AD⊥BC，从而根据三角形的面积计算方法列出方程求出AD的长，根据垂直平分线的性质得出点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，从而即可解决问题.
15．（2020八上·江汉期末）如图， ，四边形ABCD的顶点A在 的内部，B，C两点在OM上（C在B，O之间），且 ，点D在ON上，若当CD⊥OM时，四边形ABCD的周长最小，则此时AD的长度是 .
【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：分别过射线ON、射线OM作点A的对称点 ,连接 ,过点 作CD的垂线垂足为 ,连接 C,
由图可知，AQ= Q= C,AB＞AQ,当A、B、 共线时，AB最短， C=AB,∵四边形ABCD周长=AB+BC+CD+DA=
∴当 、C、D、 四点共线时，四边形ABCD的周长最短
∵∠MON=15°，CD垂直OM
∴∠ODC=90°-15°=75°
∴ =75°
∵A点和 点关于OM对称
∴∠ADF=75°
∴∠BDH=180°-75°-75°=30°
过A点作CD的垂线，垂足为H
∵BC=1
∴AH=1
在Rt△BHD中，
AD=
故答案为：2
【分析】根据最短路径的解决方法，分别作A点关于OM和ON的对称点，通过连接对称点，列出四边形周长的公式，根据题目已知条件，要使四边形ABCD的周长最短，只需使四点共线即可，然后根据三角形内角和和锐角三角函数计算求解即可.
三、解答题
16．（2018八上·北京月考）点P、P1关于OA对称，P、P2关于OB对称，P1P2交OA、OB于M、N，若P1P2=8，则△MPN的周长是多少？
【答案】解：∵点P、P1关于OA对称，P、P2关于OB对称，
∴PM=MP1，PN=NP2；
∴P1M+MN+NP2=PM+MN+PN=P1P2=8，
∴△PMN的周长为8．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】利用轴对称解决最短路径问题。
17．（1）已知：如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得ΔPMQ的周长最小；
（2）已知：如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点P，使得点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小．
【答案】（1）解：作点 关于角两边的对称点然后连接，交两边于
（2）解：作点 关于 的对称点 ，根据垂线段最短，作 与 的交点即为所求作的点
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质先确定点M关于两边的对称点，然后连接两个对称点，与角的两边的交点即为P、Q，从而构成的三角形的周长最小；
（2）先做M关于OB的对称点，然后过对称点和P作垂线即可得出结论.
18．如图，小河边有两个村庄A、B．要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．
（1）若要使水厂到A、B村的距离相等，则应选择在哪建厂？
（2）若要使水厂到A、B村的水管最省料，应建在什么地方？
【答案】（1）解：如图2，画线段AB的中垂线，交EF与Ｐ，则Ｐ到A、B的距离相等．
（2）解：如图3，画出点A关于河岸EF的对称点A′，连结A′B交EF于Ｐ，则Ｐ到AB的距离和最短。
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）满足到两点的距离相等可得在线段的垂直平分线上，从而可确定线段AB的垂直平分线与EF的交点即可；
（2）作A或B的关于EF的对称点，根据两点之间线段最短即可确定与EF的交点位置，从而可得结论.
19．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（4，5）、B（1，0）、C（4，0）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出A1点的坐标；
（2）在y轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，并求出点P的坐标及△PAB的周长最小值．
【答案】解：（1）如图所示，由图可知 A1（﹣4，5）；
（2）如图所示，点P即为所求点．
设直线AB1的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（4，5），B1（﹣1，0），
∴，解得，
∴直线AB1的解析式为y=x+1，
∴点P坐标（0，1），
∴△PAB的周长最小值=AB1+AB=+=5+．
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接各点，写出A1点的坐标即可；
（2）连接AB1交y轴于点P，则P点即为所求，利用待定系数法求出直线AB1的解析式，求出P点坐标，再利用两点间的距离公式求出线段AB1+AB长即可．
四、综合题
20．（2018八上·韶关期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于点M
（1）若∠B=70。，求∠NMA．
（2）连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm，求BC的长．
（3）在(2)的条件，直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小 若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：∵AB=AC
∴∠B=∠C=70°
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-2 × 70°=40°
∵MN垂直平分AB，
∴∠ANM=90°
∴∠NMA=90°-∠A=90°-40°=50°
（2）解：（2）如图1，连接BM
∵AB=AC，AB=8cm
∴AC=8
∵MN垂直平分AB，
∴AM=BM
∵△MBC的周长是14cm
∴BM+CM+BC=14，
∴AM+CM+BC=14，
即AC+BC=14
∴BC=14-8=6
（3）存在；点P与点M重合；△PBC的周长最小值为14.
解：（3）如图1，∵MN垂直平分AB，
∴点A、B关于直线MN对称，AC与MN交于点M，因此点M与点P重合
∴PB+PC的值最小。
∴△PBC的周长最小值为14.
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据等边对等角求出∠C的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠A的度数，再根据垂线的定义得出∠ANM=90°，然后根据∠NMA=90°-∠A，计算即可得出答案。
（2）根据相等垂直平分线的性质得出AM=BM，再根据△MBC的周长是14cm，证得AC+BC=14 ，即可得出答案。
（3）根据轴对称的性质及两点之间的最短，可得出点P与点M重合，因此△PBC的周长最小值就是△MBC的周长。
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